3.1 Hipergeometrik Seri ve Hipergeometrik Fonksiyon
; ve reel ya da kompleks sabitler olmak üzere,
1 + z
1! + ( + 1) ( + 1) ( + 1)
z2
2! + ::: (3.1)
olarak ifade edilen seriye Gauss serisi ya da hipergeometrik seri ad¬verilir. Burada z reel ya da kompleks bir de¼gi¸sken olabilir. de¼geri de s¬f¬r ya da negatif tamsay¬
olmamal¬d¬r.
(3:1) hipergeometrik serisi 1
1 z = 1 + z + z2+ :::: ; jzj < 1 (3.2) geometrik serisinin bir genelle¸stirmesidir. Gerçekten de (3:1) ifadesinde özel olarak
= 1 ve = ya da = ve = 1al¬n¬rsa, (3:2) geometrik serisi elde edilir. Bu yüzden (3:1) serisine hipergeometrik seri ad¬verilir.
(2:21)Pochhammer gösterimi dikkate al¬narak (3:1) hipergeometrik serisi a¸sa¼g¬daki
¸sekilde yaz¬labilir.
X1 n=0
( )n( )n ( )n
zn
n! (3.3)
s¬f¬rdan ve negatif tamsay¬dan farkl¬olmak üzere, (3:3) serisine oran testini uygu-lad¬¼g¬m¬zda,
un = ( )n( )n ( )n
zn n!
olmak üzere,
n!1lim un+1
un = lim
n!1
( )n+1( )n+1zn+1
( )n+1(n + 1)! : ( )nn!
( )n( )nzn
= lim
n!1
( + n)( + n)z ( + n)(n + 1)
= jzj
olup, (3:3) hipergeometrik serisi jzj < 1 oldu¼gunda yak¬nsak, jzj > 1 için ¬raksakt¬r.
jzj = 1 oldu¼gunda ise (3:3)’ün yak¬nsakl¬¼g¬için Re( ) > 0 olmas¬gerekir.
(3:3) hipergeometrik serisi jzj < 1 birim çemberinin içinde yak¬nsak oldu¼gundan yak¬nsakl¬k bölgesi içerisinde yak¬nsad¬¼g¬bir fonksiyon vard¬r. (3:3) ile ifade edilen bu fonksiyona Gauss hipergeometrik fonksiyonu ya da k¬saca hipergeometrik fonksiyon denir ve de
2F1( ; ; ; z) = X1 n=0
( )n( )n
( )n zn
n! (3.4)
¸seklinde gösterilir.
(3:4)’te görülen F nin alt¬ndaki 2 ve 1 alt indisleri, F nin yap¬s¬nda pay da ve olmak üzere iki parametre ve payda da olmak üzere bir parametre bulundu¼gunu ifade eder.
(3:4)’ün genelle¸stirilmi¸s ifadesi,
pFq 1; :::; p; 1; ::: q; z = X1 n=0
( 1)n( 2)n::: ( p)n ( 1)n( 2)n::: q n
zn n!
dir.
Ayr¬ca hipergeometrik fonksiyonu ifade eden 2F1 gösterimi yerine F gösterimi de kullan¬l¬r. Yani,
2F1( ; ; ; z) = F ( ; ; ; z) yaz¬labilir.
3.2 Hipergeometrik Polinomlar
(3:4) hipergeometrik fonksiyonda veya parametrelerinin en az birinin s¬f¬r veya negatif bir tamsay¬ olmas¬ halinde, (3:4) hipergeometrik serisinin terimleri sonlu olup, hipergeometrik fonksiyon polinoma dönü¸secektir. Bu polinoma hipergeometrik polinom denir.
Genel olarak, n 2 N olmak üzere,
2F1( n; ; ; z) = Xn k=0
( n)k( )k ( )k
zk
k! (3.5)
ifadesi bir hipergeometrik polinom gösterir.
3.3 Hipergeometrik Fonksiyonlar¬n Baz¬Özellikleri ve Teoremler
Lemma 3.1 reel ya da kompleks bir say¬olmak üzere,
(1 z) =
X1 n=0
( )n
n! zn = 1F0( ; ; z) ; jzj < 1 (3.6) dir.
Ispat:· (3:6) e¸sitli¼gini ispat etmek için f (z) = (1 z) fonksiyonu için binom teoremini kullanmak yeterli olacakt¬r. Gerçekten de,
(1 z) = X1 n=0
0
@ n
1 A( z)n
n!
= X1 n=0
( )( 1):::( n + 1)( 1)nzn n!
= X1 n=0
( + 1)::::( + n 1)zn n!
= X1 n=0
( )n n! zn
= 1F0( ; ; z)
elde edilir. 2 Z olmas¬halinde (3:6) e¸sitli¼gi sonlu binom aç¬l¬m¬d¬r.
Lemma 3.2 2F1 hipergeometrik fonksiyonu ve parametrelerine göre simetri özelli¼gine sahiptir.Yani,
2F1( ; ; ; z) = 2F1( ; ; ; z) (3.7)
dir.
Ispat:· F fonksiyonunun ve parametrelerine göre simetri özelli¼gine sahip oldu¼gu hipergeometrik fonksiyon tan¬m¬kullan¬larak kolayca gösterilebilir. Yani,
2F1( ; ; ; z) = X1 n=0
( )n( )n ( )n
zn n!
= X1 n=0
( )n( )n ( )n
zn n!
= 2F1( ; ; ; z)
elde edilir.
Lemma 3.3 2F1( ; ; ; z) hipergeometrik fonksiyonu,
z(1 z)w00+ [ ( + + 1)z] w0 w = 0 (3.8)
diferensiyel denklemini sa¼glar.
Ispat:· 2F1( ; ; ; z) hipergeometrik fonksiyonunun sa¼glad¬¼g¬diferensiyel denklemi bulmak için,
= z d dz operatörünü ele alaca¼g¬z.
w = 2F1( ; ; ; z) = X1 n=0
( )n( )nzn ( )nn!
olsun. Buna göre,
( + 1)w =
X1 n=0
n(n + 1)( )n( )nzn ( )nn!
bulunur. Burada Pochhammer sembolünün ( )n= ( )n 1( + n 1)özelli¼ginden,
( + 1)w =
X1 n=1
( )n( )nzn ( )n 1(n 1)!
elde edilir. Son e¸sitlikte n yerine n + 1 yaz¬l¬rsa,
( + 1)w =
X1 n=0
( )n+1( )n+1zn+1 ( )nn!
bulunur ki,
( )n+1= ( )n( + n) oldu¼gundan,
( + 1)w = z
X1 n=0
( + n)( + n)( )n( )nzn ( )nn!
= z( + )( + )w
elde edilir. Buna göre w = 2F1( ; ; ; z);
[ ( + 1) z( + )( + )] w = 0
diferensiyel denkleminin bir çözümü olarak bulunur.
= z d
dz oldu¼gundan elde edilen diferensiyel denklem
z(1 z)w00+ [ ( + + 1)z] w0 w = 0
formunda yaz¬labilir. Bu da bizden istenen olacakt¬r.
Lemma 3.4 2F1( ; ; ; z) fonksiyonu, Re( ) > Re( ) > 0 ve jzj < 1 olmak üzere,
2F1( ; ; ; z) = 1
B( ; )
Z1
0
t 1(1 t) 1(1 tz) dt (3.9)
¸seklinde bir integral gösterimine sahiptir.
Ispat:· Pochhammer sembolünün (2:22) özelli¼ginden dolay¬, ( )n
( )n = ( + n) ( )
( + n) ( ) = ( )
( ) ( )
( + n) ( ) ( + n)
yaz¬labilir. Beta fonksiyonunun Gamma fonksiyonu cinsinden ifadesi olan (2:18) özelli¼ginden ve Beta fonksiyonunun
B(x; y) = Z1
0
tx 1(1 t)y 1dt
tan¬m¬ndan dolay¬da,
yaz¬labilir. Buna göre
( )n
¸seklinde bulunur. Böylece jzj < 1 olmak üzere bu bulunan ifade hipergeometrik fonksiyonun (3:4) tan¬m¬nda yerine yaz¬l¬rsa,
2F1( ; ; ; z) =
olur. Seri düzgün yak¬nsak oldu¼gundan toplam ile integralin yerleri de¼gi¸stirilirse,
2F1( ; ; ; z) = ( )
bulunur. Di¼ger taraftan (3:6) e¸sitli¼ginden dolay¬,
(1 tz) = X1 n=0
( )n(tz)n n!
olaca¼g¬gözönünde tutulur ve Beta fonksiyonunun (2:18) özelli¼gi dikkate al¬n¬rsa,
2F1( ; ; ; z) = 1
B( ; )
Z1
0
t 1(1 t) 1(1 tz) dt
elde edilir ki bu istenilendir.
Lemma 3.5 A ve B iki de¼gi¸skenli fonksiyonlar¬için,
e¸sitlikleri geçerlidir (Rainville 1960).
Teorem 3.1 (Gauss Teoremi)
Re( ) > 0 ve de s¬f¬rdan ve negatif tamsay¬dan farkl¬olmak üzere,
2F1( ; ; ; 1) = ( ) ( )
( ) ( ) (3.14)
dir.
Ispat:· Re( ) > 0 olmak üzere, hipergeometrik fonksiyonun (3:9) integral gösteriminden,
oldu¼gunu biliyoruz. Burada her iki yan¬n z ! 1 için limiti al¬n¬rsa,
z!1lim 2F1( ; ; ; z) = lim
bulunur. Beta fonksiyonunun (2:15) tan¬m¬ ve (2:18) özelli¼ginin gözönüne al¬n-mas¬yla da,
2F1( ; ; ; 1) = ( )
( ) ( )B( ; )
= ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
= ( ) ( )
( ) ( )
elde edilir.
Lemma 3.6 jzj < 1 ve z
1 z < 1 olmak üzere,
2F1( ; ; ; z) = (1 z) 2F1 ; ; ; z
1 z (3.15)
dir.
Ispat:· 2F1 hipergeometrik fonksiyonun tan¬m¬ndan,
(1 z) 2F1 ; ; ; z
1 z = (1 z)
X1 k=0
( )k( )k
( )kk!
( 1)kzk (1 z)k
= X1 k=0
( )k( )k ( )kk!
( 1)kzk (1 z)k+
yaz¬labilir. (1 z) n¬n (3:6) özelli¼ginden dolay¬da,
(1 z) =
X1 n=0
( )nzn n!
oldu¼gunu biliyoruz. O halde,
(1 z) (k+ ) = X1 n=0
( + k)nzn n!
olacakt¬r. Buna göre oldu¼gunun dikkate al¬nmas¬yla yukar¬daki e¸sitlik,
(1 z) 2F1 ; ; ; z
¸seklinde yaz¬labilir. (3:10) e¸sitli¼gi gözönünde tutularak n yerine n k al¬n¬r ve gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa, bu son ifadenin e¸siti,
(1 z) 2F1 ; ; ; z
¸seklinde yaz¬labilir.
( n)k = oldu¼gu dikkate al¬n¬rsa,
(1 z) 2F1 ; ; ; z
bulunur. Teorem 3:1’deki (3:14) e¸sitli¼ginden,
(1 z) :2F1 ; ; ; z
olup, Pochhammer sembolünün (2:22) özelli¼ginden,
elde edilir. Bu ise ispat¬tamamlar.
Lemma 3.7 Re( ) > 0ve n negatif olmayan bir tamsay¬olmak üzere,
2F1 n
Ispat:· Gauss Teoremi’ndeki (3:14) e¸sitli¼ginden,
2F1
yaz¬labilir. Lemma 2:3’teki Pochhammer sembolünün (2:22) özelli¼ginden, ( + n)
bulunur. Teorem 2:3’teki (2:20) e¸sitli¼gi ile verilen Legendre Katlama Ba¼ g¬nt¬s¬kul-lan¬l¬rsa,
( ) + 1
2 = 21 2 p
(2 ) + n
2 +1
2 +n
2 = 21 2 np
(2 + n)
elde edilir. Böylece
2F1 n 2; n
2 + 1
2; +1
2; 1 = ( )n2n (2 ) (2 + n)
oldu¼gu görülür. Yine Lemma 2:3’teki (2:22) e¸sitli¼ginden (2 )
(2 + n) = 1
(2 )n olup,
2F1 n 2; n
2 + 1
2; + 1
2; 1 = 2n( )n (2 )n
elde edilir.
Lemma 3.8 2 s¬f¬rdan ve negatif tamsay¬dan farkl¬ olmak üzere, jxj < 1 ve j4x(1 + x) 2j < 1 için,
(1 + x) 2 2F1 ; ; 2 ; 4x
(x + 1)2 = 2F1 ; + 1
2; +1
2; x2 (3.17) dir (Rainville 1960).
Lemma 3.9 2 s¬f¬rdan ve negatif tamsay¬dan farkl¬ olmak üzere, jyj < 1 2 ve y
1 y < 1 için,
(1 y) 2F1 2;
2 + 1
2; + 1 2; y2
(1 y)2 = 2F1( ; ; 2 ; 2y) (3.18) dir.
Ispat:· (3:18)’in sol yan¬n¬ ile gösterelim. (3:4) 2F1 hipergeometrik fonksiyonun
yaz¬labilir. (2:28) özelli¼ginin dikkate al¬nmas¬yla
2 k 2 +1
2 k = ( )2k 22k elde edilir. Bu takdirde,
= bulunur. (3:6)’dan dolay¬,
(1 y) 2k = X1 n=0
( + 2k)nyn n!
olup, (2:24)’te n yerine 2k ve k yerine n al¬nmas¬yla,
( )2k( + 2k)n = ( )n+2k
elde edilir. Bu bulunan e¸sitlikler de yerlerine yaz¬l¬rsa,
=
bulunur. Lemma 3:5’teki (3:12) e¸sitli¼ginden dolay¬,
=
yaz¬labilir. (2:27) ve (2:28) e¸sitliklerinden dolay¬,
(n 2k)! = n!
olacaklar¬n¬n dikkate al¬nmas¬yla da,
bulunur. Lemma 3:7’deki (3:16) e¸sitli¼ginden dolay¬da,
=
elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
Lemma 3.10 1 + s¬f¬rdan ve negatif tamsay¬dan farkl¬olmak üzere,
(1 z) 2F1 fonksiyonunun e¸sitini yerine yazarsak,
(1 + x2) 2F1
yaz¬labilir. Son e¸sitlikte x2 yerine z ve yerine 1
2+ al¬n¬rsa,
(1 + z) 2F1 2;
2 + 1
2; 1 + ; 4z
(1 + z)2 = 2F1( ; ; 1 + ; z)
elde edilir. Lemma 3:6’daki (3:15) e¸sitli¼ginde yerine
2, yerine
2 + 1
2; yerine 1 + + ve z yerine de 4z
(z + 1)2 al¬n¬rsa,
2F1 2;
2 +1
2; 1 + ; 4z (1 + z)2
= 1 z
1 + z 2F1 2;
2 + 1
2 ; 1 + ; 4z
(1 z)2 bulunur. O halde bulunan bu fonksiyon bir önceki e¸sitlikte yerine yaz¬l¬rsa,
(1 z) 2F1 2;
2 + 1
2 ; 1 + ; 4z
(1 z)2 = 2F1( ; ; 1 + ; z) olarak elde edilir. Bu da bizden istenendir.
Teorem 3.2 (Kummer Teoremi)
1 + s¬f¬r ve negatif tamsay¬dan farkl¬ ve yak¬nsakl¬k için Re( ) < 1 olmak üzere,
2F1( ; ; 1 + ; 1) =
(1 + ) 1 +
2
1 + 2 (1 + )
(3.20)
d¬r.
Ispat:· Lemma 3:10’daki (3:19) ba¼g¬nt¬s¬ndan, z ! 1 için limit al¬n¬rsa,
2 2F1 2;
2 + 1
2 ; 1 + ; 1 = 2F1( ; ; 1 + ; 1)
bulunur. (3:14) e¸sitli¼gi ile verilen Gauss Teoremi’nden dolay¬da,
2 2F1 2;
2 + 1
2 ; 1 + ; 1 =
(1 + ) 1
2
2 1 +
2 2 +1
2
elde edilir. Legendre Katlama ba¼g¬nt¬s¬nda z =
2 +1
2 al¬n¬rsa, 1
2 (1 + ) = 2
2 +1
2 2 + 1
olaca¼g¬dikkate al¬n¬r ve bu özellik son e¸sitli¼ge uygulan¬rsa,
2F1( ; ; 1 + ; 1) =
(1 + ) 1 +
2
1 + 2 (1 + )
elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
Teorem 3.3 (Gauss’un ikinci teoremi) 1
2( + + 1) s¬f¬r ve negatif tamsay¬dan farkl¬olmak üzere,
2F1 ; ;1
2( + + 1);1
2 =
1
2 2 +
2 + 1 2 2 +1
2 2 + 1
2
(3.21)
dir.
Ispat:· Lemma 3:6’daki (3:15) e¸sitli¼ginde z ! 1 için limit al¬n¬rsa,
2F1 ; ; ;1
2 = 2 2F1( ; ; ; 1)
bulunur. Burada ilk olarak yerine al¬n¬r ve sonra da yerine 1
2( + + 1)
konulursa,
2F1 ; ;1
2( + + 1);1
2 = 2 2F1 ;
2 2 +1 2;1
2( + + 1); 1 elde edilir. (3:20) ile ifade edilen Kummer Teoremi’nden dolay¬,
2F1 ; ;1
2( + + 1);1
2 = 2 2 +
2 +1
2 2 + 1
2 + 1
2 (1 + )
yaz¬labilir. Legendre Katlama ba¼g¬nt¬s¬nda z =
2 +1
2 al¬n¬rsa, 1
2 ( + 1) = 2
2 + 1
2 2 + 1
elde edilir. O halde,
2F1 ; ;1
2( + + 1);1
2 =
1
2 2 +
2 + 1 2 2 +1
2 2 + 1
2 bulunur. Bu da bizden istenendir.