• Sonuç bulunamadı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ HİPERGEOMETRİK ORTOGONAL POLİNOMLAR. Övgü GÜREL YILMAZ MATEMATİK ANABİLİM DALI

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ HİPERGEOMETRİK ORTOGONAL POLİNOMLAR. Övgü GÜREL YILMAZ MATEMATİK ANABİLİM DALI"

Copied!
130
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

HİPERGEOMETRİK ORTOGONAL POLİNOMLAR

Övgü GÜREL YILMAZ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2013

Her hakkı saklıdır

(2)

ÖZET Yüksek Lisans Tezi

H·IPERGEOMETR·IK ORTOGONAL POL·INOMLAR Övgü GÜREL YILMAZ

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬

Dan¬¸sman: Prof. Dr. Abdullah ALTIN

Bu tez alt¬bölümden olu¸smaktad¬r.

Birinci bölüm giri¸s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r.

Ikinci bölümde, di¼· ger bölümlerde kullan¬lacak olan baz¬temel kavramlar verilmi¸stir.

Gamma fonksiyonu, Beta fonksiyonu ve Pochhammer sembolü tan¬t¬lm¬¸s ve aralar¬n- daki ili¸skiler incelenmi¸stir.

Üçüncü bölümde hipergeometrik fonksiyonlar ve hipergeometrik polinomlara yer ve- rilmi¸s ve bunlar¬n sa¼glad¬¼g¬temel özellikler üzerinde durulmu¸stur.

Dördüncü bölümde, klasik ortogonal polinomlar hakk¬nda bilgi verilmi¸s ve bu poli- nomlar¬n hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden ifade edili¸si üzerinde durulmu¸stur.

Be¸sinci bölümde hipergeometrik fonksiyonlar ve hipergeometrik polinomlar için kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬ incelenmi¸stir. Bulunan bu ba¼g¬nt¬lar yard¬m¬yla belirli para- metreler için hipergeometrik fonksiyonun de¼geri bulunmu¸s ve de klasik ortogonal polinom ailelerinden olan Laguerre ve Jacobi polinomlar¬ için rekürans ba¼g¬nt¬lar¬

elde edilmi¸stir. Ayr¬ca elde edilen baz¬ kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬n¬n genelle¸sti- rilmeleri yap¬lm¬¸st¬r.

Alt¬nc¬ bölümde ise, genelle¸stirilen kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬ndan yararlan¬larak kompleks parametreli baz¬hipergeometrik polinomlar¬n s¬f¬r yerlerinin say¬s¬hakk¬nda bilgiler verilmi¸stir.

Temmuz 2013, 123 sayfa

Anahtar Kelimeler : Gamma fonksiyonu, Beta fonksiyonu, Hipergeometrik fonksiyon, Hipergeometrik polinom, Pochhammer sembolü, Kom¸su fonksiyon, Kom¸su fonksiyon ba¼g¬nt¬lar¬, Hermite, Laguerre, Jacobi ve Legendre polinomlar¬, Rekürans ba¼g¬nt¬lar¬.

(3)

ABSTRACT Master Thesis

HYPERGEOMETRIC ORTHOGONAL POLYNOMIALS Övgü GÜREL YILMAZ

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Abdullah ALTIN

This thesis consists of six chapters.

The …rst chapter is devoted to the introduction.

In the second chapter, some basic concepts which will be used in the following chap- ters are given. Gamma and Beta functions and Pochhammer symbol are introduced and their relations are given.

In the third chapter, hypergeometric functions and hypergeometric polynomials are explained and the basic properties satis…ed by them are presented.

In the fourth chapter, classical orthogonal polynomials are discussed and their hyper- geometric representations are given.

In the …fth chapter, contiguous function relations of hypergeometric functions and hypergeometric polynomials are studied. For some certain parameters, the value of hypergeometric function is found with the help of these relations. Recurrence relations for Laguerre and Jacobi polynomials which are from classical orthogonal polynomials are given. Also, the generalizations of contiguous function relations which are obtained are presented.

In the last chapter, by means of the generalized contiguous function relations, zero locations of some hypergeometric polynomials with complex parameter are examined.

July 2013, 123 pages

Key Words: Gamma function, Beta function, Hypergeometric function, Hypergeo- metric polynomial, Pochhammer symbol, Contiguous function, Contiguous function relations, Hermite, Laguerre, Jacobi and Legendre polynomials, Recurrence relations.

(4)

TE¸SEKKÜR

Bana bu tez konusunu vererek bu konuda çal¬¸sma imkan¬sa¼glayan ve çal¬¸smalar¬m süresince yak¬n ilgi ve deste¼gini hiç esirgemeyen say¬n hocam Prof. Dr. Abdullah ALTIN’a (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬) en derin sayg¬lar¬m¬ ve te¸sekkürlerimi sunmay¬bir borç bilirim.

Ayr¬ca maddi ve manevi olarak her zaman yan¬mda olan aileme de en içten sayg¬ve sevgilerimi sunar¬m.

Övgü GÜREL YILMAZ Ankara, Temmuz 2013

(5)

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... i

ABSTRACT ... ii

TEŞEKKÜR ... iii

SİMGELER DİZİNİ ... vi

1. GİRİŞ... 1

2. TEMEL KAVRAMLAR VE ÖN BİLGİLER ... 3

2.1 Gamma ve Beta Fonksiyonları ... 3

3. HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR ... 18

3.1 Hipergeometrik Seri ve Hipergeometrik Fonksiyon ... 18

3.2 Hipergeometrik Polinomlar ... 20

3.3 Hipergeometrik Fonksiyonların Bazı Özellikleri ve Teoremler ... 20

4. KLASİK ORTOGONAL POLİNOMLAR ... 35

4.1 Jacobi Polinomları... 35

4.1.1 Jacobi polinomları için bir doğurucu fonksiyon ... 35

4.1.2 Jacobi polinomlarının sağladığı bazı rekürans bağıntıları ... 37

4.1.3 Jacobi polinomları için Rodrigues formülü ... 39

4.1.4 Jacobi polinomları için Bateman doğurucu fonksiyonu ... 40

4.1.5 Jacobi polinomlarının sağladığı diferensiyel denklem ... 42

4.1.6 Jacobi polinomlarının ortogonalliği ... 43

4.2 Legendre Polinomları ... 44

4.2.1 Legendre polinomlarının doğurucu fonksiyonu ... 44

4.2.2 Legendre polinomları için diferensiyel rekürans bağıntıları ... 47

4.2.3 Legendre polinomları için yalın rekürans bağıntıları ... 49

4.2.4 Legendre polinomları için Rodrigues formülü ... 50

4.2.5 Legendre polinomları için Bateman doğurucu fonksiyonu ... 52

4.2.6 Legendre polinomları için başka doğurucu fonksiyonlar ... 53

4.2.7 Legendre polinomlarının hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden ifadesi .... 57

4.2.8 Legendre polinomlarının sağladığı diferensiyel denklem ... 61

4.2.9 Legendre polinomlarının ortogonalliği ... 62

4.3 Hermite Polinomları ... 63

(6)

4.3.1 Hermite polinomlarının doğurucu fonksiyonu ... 63

4.3.2 Hermite polinomları için diferensiyel rekürans bağıntıları ... 65

4.3.3 Hermite polinomları için yalın rekürans bağıntısı ... 66

4.3.4 Hermite polinomları için Rodrigues formülü ... 66

4.3.5 Hermite polinomlarının bir özelliği ... 67

4.3.6 Hermite polinomları için başka doğurucu fonksiyonlar ... 69

4.3.7 Hermite polinomlarının hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden ifadesi ... 71

4.3.8 Hermite diferensiyel denklemi ... 72

4.3.9 Hermite polinomlarının ortogonalliği ... 72

4.4 Genelleştirilmiş Laguerre Polinomları ... 73

4.4.1 Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının doğurucu fonksiyonu ... 73

4.4.2 Genelleştirilmiş Laguerre polinomları için diferensiyel rekürans bağıntıları ... 76

4.4.3 Genelleştirilmiş Laguerre polinomları için yalın rekürans bağıntısı ... 78

4.4.4 Genelleştirilmiş Laguerre polinomları için Rodrigues formülü ... 78

4.4.5 Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının bir özelliği ... 80

4.4.6 Genelleştirilmiş Laguerre polinomları için başka doğurucu fonksiyonlar ... 80

4.4.7 Genelleştirilmiş Laguerre diferensiyel denklemi ... 82

4.4.8 Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının ortogonalliği ... 83

5. HİPERGEOMETRİK POLİNOMLARDA KOMŞU BAĞINTILAR ... 85

5.1 Hipergeometrik Fonksiyonlarda Komşu Bağıntılar ... 85

5.2 Hipergeometrik Fonksiyonlarda Komşu Bağıntılara Örnekler ... 92

5.3 2F1(,;;z) Hipergeometrik Fonksiyonu İçin Komşu Bağıntılarının Genelleştirilmesi ... 93

5.4 Komşu Bağıntılardan Yararlanarak Hipergeometrik Fonksiyonlar İçin Yeni Toplam Formüllerinin Elde Edilmesi ... 105

5.5 Hipergeometrik Polinomların Komşu Bağıntılarından Yararlanarak Bazı Rekürans Bağıntılarının Elde Edilmesi ... 112

6. KOMPLEKS PARAMETRELİ BAZI HİPERGEOMETRİK POLİNOMLARIN SIFIR YERLERİ ... 117

KAYNAKLAR. ... 121

ÖZGEÇMİŞ ... 123

(7)

SİMGELER DİZİNİ

)

(x Gamma fonksiyonu )

, (x y

B Beta fonksiyonu )n

( Pochhammer sembolü )

)(

,

( x

Pn Jacobi Polinomları )

(x

Pn Legendre Polinomları )

)(

( x

Ln Genelleştirilmiş Laguerre Polinomları )

(x

Ln Laguerre Polinomları )

(x

Hn Hermite Polinomları )

;

; ,

1(

2F    z Gauss hipergeometrik fonksiyonu )

; ,...,

; ,...

( 1 1 z

Fq p q

p     Genelleştirilmiş Hipergeometrik fonksiyon

(8)

1. G·IR·I¸S

Özel fonksiyonlar¬n önemli bir bölümünü olu¸sturan hipergeometrik fonksiyonlar, Matematik, Fizik, Mühendislik ve Olas¬l¬k Teorisi’nde kar¸s¬m¬za ç¬kar. Bu bilim dallar¬nda kullan¬lan birçok fonksiyonun hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden gös- terimi vard¬r.

Hipergeometrik fonksiyonlar¬n ilk ad¬m¬Oxford Profesörü John Wallis’in 1655’teki çal¬¸smas¬nda,

1 + x + x2+ x3+ ::::

geometrik serisinin genelle¸stirilmi¸s hallerini incelemesiyle ortaya ç¬km¬¸st¬r. Özel olarak John Wallis,

1 + + ( + 1) + ( + 1) ( + 2) + :::

serisini çal¬¸sm¬¸st¬r. Bu tarihten itibaren birçok matematikçi de bu konuyu ele alm¬¸st¬r.

Hipergeometrik serilerle ile ilgili en önemli geli¸smeler 19. yy da ortaya ç¬km¬¸st¬r. 20 Ocak 1812’de Gauss me¸shur tezinde

1 + z

1! + ( + 1) ( + 1) ( + 1)

z2 2! + :::

hipergeometrik serisini tan¬mlam¬¸s ve onu bir fonksiyon olarak F ( ; ; ; z) notas- yonu ile göstermi¸stir. Ayr¬ca kendisi, 2F1 = F olarak da gösterilen bu fonksiyon için

2F1( ; ; ; 1) = ( ) ( )

( ) ( )

toplam formülünü ispatlam¬¸s ve iki veya daha çok hipergeometrik fonksiyon aras¬nda bulunan baz¬ba¼g¬nt¬lar vermi¸stir. Bu dönemde Swiss L. Euler,

2F1( n; ; ; z) = (1 z) +n 2F1( + n; ; ; z)

(9)

¸seklinde önemli bir ba¼g¬nt¬elde etmi¸s, 1770’te Frans¬z A.T. Vandermonde,

2F1( n; ; ; 1) = ( ) ( + 1) ( + 2) ::: ( + n 1) ( ) ( + 1) ( + 2) ::: ( + n 1)

e¸sitli¼gini bulmu¸stur. 1828’de Clausen3F2 serisini incelemi¸stir. 1836’da Kummer1F1 serisini çal¬¸sm¬¸s ve2F1( ; ; ; z) Gauss fonksiyonunun,

z(1 z)d2y

dz2 +f (1 + + )zgdy

dz y = 0

Gauss diferensiyel denklemini sa¼glad¬¼g¬n¬ gösterdikten sonra bu denklemin yirmi dört tane daha çözümünü elde etmi¸stir.

Hipergeometrik fonksiyonunun ilk integral temsili Euler taraf¬ndan verilmi¸stir. 19.

yüzy¬l¬n sonlar¬na do¼gru Appell 1880’de iki de¼gi¸skenli hipergeometrik fonksiyonlar¬

tan¬mlam¬¸s ve 1893’te de Lauricella bu serileri çok de¼gi¸skenli¼ge genelle¸stirmi¸stir.

Daha sonralar¬hipergeometrik fonksiyonlar ile ilgili çe¸sitli geli¸smeler Horn, Kampe de Feriet, MacRobert ve Meijer taraf¬ndan yap¬lm¬¸st¬r.

Bu tezde öncelikle hipergeometrik fonksiyonlar¬n incelemesinde kullan¬lan Gamma, Beta fonksiyonlar¬ve Pochhammer sembolü tan¬mlanm¬¸s ve bunlar¬n sa¼glad¬¼g¬özel- likler verilmi¸stir. Daha sonra hipergeometrik fonksiyonlar ile ilgili tan¬m ve teo- remlere yer ayr¬lm¬¸st¬r. Klasik ortogonal polinomlar¬n özellikleri incelenmi¸s ve bun- lar¬n hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden ifadeleri elde edilmi¸stir. Hipergeometrik fonksiyonlar¬n parametrelerinin artt¬r¬lmas¬ve azalt¬lmas¬ile elde edilen kom¸su fonksi- yonlar ve bu kom¸su fonksiyonlar aras¬ndaki ba¼g¬nt¬lar ele al¬nm¬¸st¬r. Kom¸su fonksi- yon ba¼g¬nt¬lar¬yard¬m¬yla baz¬toplam formülleri ve Laguerre ve Jacobi polinomlar¬

için rekürans ba¼g¬nt¬lar¬ elde edilmi¸stir. Son olarak da kompleks parametreli baz¬

hipergeometrik polinomlar¬n s¬f¬r yerleri incelenmi¸stir.

(10)

2. TEMEL KAVRAMLAR ve ÖN B·ILG·ILER

2.1 Gamma ve Beta Fonksiyonlar¬

I. Gamma Fonksiyonu

(x)ile gösterilen Gamma fonksiyonu,

(x) = Z1

0

tx 1e tdt ; x > 0 (2.1)

genelle¸stirilmi¸s integrali yard¬m¬yla tan¬mlan¬r. Burada x reel bir say¬d¬r.

Gamma fonksiyonu 1729 ve 1730 y¬llar¬nda Euler’in Z1

0

ln(1 s)

x 1

ds (2.2)

integralini ele almas¬yla ortaya ç¬km¬¸st¬r. Bu integral x > 0 olmas¬ durumunda yak¬nsakt¬r. 1809’da Legendre, (2:2) deki integral ile tan¬mlanan bu fonksiyona Gamma fonksiyonu ad¬n¬vermi¸s ve sembolünü kullanm¬¸st¬r.

E¼ger (2:2) e¸sitli¼gi

(x) = Z1

0

ln(1 s)

x 1

ds = Z1

0

( ln s)x 1ds ; x > 0

¸seklinde ifade edilir ve t = ln s dönü¸sümü yap¬l¬rsa Gamma fonksiyonunun

(x) = Z1

0

tx 1e tdt ; x > 0

(2:1) tan¬m¬elde edilir.

(11)

Gamma fonksiyonunun tan¬m¬ndaki genelle¸stirilmi¸s integral ifadesindeki reel x de¼gi¸skeni yerine z kompleks de¼gi¸skeni al¬narak bu fonksiyon kompleks düzleme geni¸sletilebilir.

Yani z 2 C olmak üzere Gamma fonksiyonu,

(z) = Z1

0

tz 1e tdt ; Re(z) > 0 (2.3)

¸seklinde tan¬mlan¬r ve reel (x) lerde oldu¼gu gibi bu integral de Re(z) > 0 için yak¬nsakt¬r.

Gamma fonksiyonunun (2:3) e¸sitli¼ginden ba¸ska tan¬mlar¬da vard¬r. Bunlar a¸sa¼g¬da verilmektedir.

Tan¬m 2.1 (Gamma Fonksiyonu ·Için Euler’in Sonsuz Çarp¬m Tan¬m¬)

z 6= 0; 1; 2; ::: olmak üzere, (z) Gamma fonksiyonu ;

(z) = 1 z

Y1 n=1

1 + 1 n

z

1 + z n

1

(2.4)

¸seklinde tan¬mlan¬r (Wang ve Guo 1989).

Gerçekten de (2:4) e¸sitli¼gini düzenlersek,

(z) = 1 z

Y1 n=1

"

n + 1 n

z n + z n

1#

= 1 z lim

n!1

Yn k=1

"

k + 1 k

z k + z k

1#

= lim

n!1(n + 1)z 1:2:::n z:(z + 1):::(z + n) bulunur. Son e¸sitlikte n yerine n 1 yaz¬l¬rsa,

(z) = lim

n!1

1:2:::(n 1)

z:(z + 1):::(z + n 1)nz

(12)

olup,

n!1lim n z + n = 1 oldu¼gundan e¸sitli¼gin sa¼g yan¬ n

z + n ile çarp¬larak yaz¬l¬rsa,

(z) = lim

n!1

n!

z:(z + 1):::(z + n)nz (2.5) elde edilir.

Tan¬m 2.2 (Gamma Fonksiyonu ·Için Weierstrass Sonsuz Çarp¬m¬)

z 6= 0; 1; 2; ::: olmak üzere, Gamma fonksiyonunun Weierstrass tan¬m¬,

1

(z) = ze z Y1 n=1

1 + z n e

z

n (2.6)

¸seklindedir. Burada Euler-Mascheroni sabiti olup,

= lim

n!1

( n X

m=1

1

m ln n )

= 0; 57721::: (2.7)

¸seklinde tan¬mlan¬r (Wang ve Guo 1989).

¸

Simdi de (2:5) e¸sitli¼gi ile (2:6) e¸sitli¼ginin birbirine denk oldu¼gunu gösterelim.

(2:5)’ten

1

(z) = lim

n!1

z:(z + 1):::(z + n)

n! n z

olup n z = e z ln n yaz¬labildi¼ginin dikkate al¬nmas¬yla,

(13)

1

(z) = lim

n!1z 1 + z

1 1 + z

2 :::: 1 + z

n e z ln n

) 1

(z) = lim

n!1zez 1+

1 2+:::+1

n ln n

Yn k=1

(

1 + z k e

z k

)

) 1

(z) = lim

n!1zez

Pn m=1

1

m ln n Yn k=1

(

1 + z k e

z k

)

bulunur. (2:7) e¸sitli¼ginde belirtilen Euler-Mascheroni sabitinin tan¬m¬son e¸sitlikte kullan¬l¬rsa,

1

(z) = lim

n!1ze z Yn k=1

(

1 + z k e

z k

)

) 1

(z) = ze z Y1 k=1

1 + z k e

z k

elde edilir. Bu da bizden istenen (2:6) e¸sitli¼gidir.

Gamma fonksiyonu a¸sa¼g¬daki özelliklere sahiptir.

i) Gamma fonksiyonunun (2:3) tan¬m¬n¬ele alal¬m.

(z + 1) = Z1

0

tze tdt = lim

a!1

Za

0

tze tdt

yaz¬labilir. Son e¸sitlikte bulunan integrale k¬smi integrasyon uygulan¬rsa,

(z + 1) = lim

a!1( e ttz)

a 0

+ z Z1

0

tz 1e tdt

bulunur. E¸sitli¼gin sa¼g taraf¬nda bulunan limit s¬f¬ra e¸sit olaca¼g¬ndan,

(z + 1) = z (z) (2.8)

(14)

elde edilir. Bu ifadeyi genelle¸stirmek istersek, n pozitif bir tamsay¬olmak üzere,

(z + n) = (z + n 1) (z + n 1)

= (z + n 1)(z + n 2):::z (z) (2.9)

yaz¬labilir.

ii) ¸Simdi ise (2:3) e¸sitli¼ginde z = 1 alarak (1) i hesaplayal¬m. Bu yap¬ld¬¼g¬nda,

(1) = Z1

0

e tdt

= lim

a!1( e t)

a 0

= 1 (2.10)

elde edilir.

iii)(2:8) e¸sitli¼ginde n = 0; 1; 2::: olmak üzere, özel olarak z = n al¬n¬rsa,

(n + 1) = n (n)

= n(n 1):::2:1: (1)

= n! (2.11)

oldu¼gu görülür. Bu özelli¼ginden dolay¬Gamma fonksiyonuna "genelle¸stirilmi¸s fak- töriyel fonksiyonu" ad¬da verilir.

Teorem 2.1 z bir kompleks say¬ve Re(z) > 0 olmak üzere,

(z) = 2 Z1

0

e t2t2z 1dt (2.12)

dir.

(15)

Ispat:· Gamma fonksiyonunun (2:3) e¸sitli¼ginde t = u2 dönü¸sümü yap¬l¬rsa,

(z) = Z1

0

tz 1e tdt

= Z1

0

(u2)z 1e u2(2u)du

= 2 Z1

0

e u2u2z 1du

elde edilir.

Lemma 2.1 z kompleks bir say¬olmak üzere,

sin( z) = z Y1 n=1

1 z2

n2 (2.13)

dir (Andrews vd. 1999).

Teorem 2.2 0 < z < 1olmak üzere (z ve 1 z negatif tamsay¬lar ve s¬f¬r olmamak üzere),

(z + 1) (1 z) = z

sin( z) (2.14)

dir.

Ispat :· Gamma fonksiyonunun (2:6) tan¬m¬ndan,

(z) ( z) =

"

1 ze z

Y1 n=1

1 + z n

1

ezn

# :

"

1 ze z

Y1 n=1

1 z

n

1

e zn

#

= 1

z2 Y1 n=1

1 z2 n2

1

yaz¬labilir. Lemma 2:1’deki (2:13) e¸sitli¼gi ve son e¸sitlik dikkate al¬n¬rsa,

(z) ( z) =

z sin( z)

(16)

olup bu son e¸sitli¼gin her iki taraf¬n¬ z2 ile çarparsak,

z (z)( z) ( z) = z sin( z) elde edilir. (2:8) e¸sitli¼gi kullan¬larak,

(z + 1) (1 z) = z sin( z) bulunur.

E¼ger (2:14) ifadesinde z = 1

2 al¬n¬r ve 1

2 > 0 olmas¬kullan¬l¬rsa, 1

2 =p elde edilir.

II. Beta Fonksiyonu

B(x; y) ile gösterilen Beta fonksiyonu,

B(x; y) = Z1

0

tx 1(1 t)y 1dt ; Re(x) > 0 ; Re(y) > 0 (2.15)

integrali ile tan¬mlan¬r. (2:15) ile tan¬mlanan integrale I. çe¸sit Euler integrali de denir.

Beta fonksiyonu farkl¬dönü¸sümler yap¬larak farkl¬integrallerle de tan¬mlanabilir.

(17)

(2:15) e¸sitli¼ginde t = sin2 al¬n¬rsa dt = 2 sin cos d olur ve bu durumda,

B(x; y) = Z2 0

(sin2 )x 1(cos2 )y 12 sin cos d

= 2 Z2

0

(sin )2x 1(cos )2y 1d (2.16)

bulunur. Ayr¬ca yine (2:15) e¸sitli¼ginde t = u

u + 1 dönü¸sümü yap¬l¬rsa,

B(x; y) = Z1

0

ux 1 (1 + u)x+ydu

elde edilir. Son e¸sitlik Beta fonksiyonunun bir di¼ger tan¬m¬d¬r.

Beta fonksiyonu a¸sa¼g¬daki özellikleri sa¼glamaktad¬r.

Lemma 2.2 x ve y kompleks say¬lar ve Re(x) > 0 ; Re(y) > 0 olmak üzere,

B(x; y) = B(y; x) (2.17)

B(x; y) = (x) (y)

(x + y) (2.18)

B(x; y) = B(x + 1; y) + B(x; y + 1) (2.19)

dir.

Ispat:· (2:15)e¸sitli¼ginde t = 1 s dönü¸sümü yap¬l¬rsa,

B(x; y) = Z1

0

tx 1(1 t)y 1dt = Z1

0

sy 1(1 s)x 1ds = B(y; x)

elde edilir.

(18)

¸

Simdi Beta fonksiyonunun Gamma fonksiyonu cinsinden ifadesi olan (2:18) e¸sitli¼gini ispatlayal¬m. Bunun için öncelikle Gamma fonksiyonunun (2:3) tan¬m¬nda t = s2 dönü¸sümünü yapal¬m. Bu yap¬ld¬¼g¬nda,

(x) = Z1

0

tx 1e tdt = 2 Z1

0

s2x 1e s2ds

bulunur. (x) in bu e¸sitli¼ginden dolay¬

(y) = 2 Z1

0

t2y 1e t2dt

yaz¬labilir. Buradan,

(x) (y) = 4 Z1

0

Z1

0

s2x 1t2y 1e (s2+t2)dtds

olup, s = r cos ; t = r sin ¸seklinde kutupsal koordinatlara geçilirse,

(x) (y) = 4 Z2

0

Z1

0

r2(x+y) 2e r2(cos )2x 1(sin )2y 1rdrd

= 2 66 42

Z2

0

(cos )2x 1(sin )2y 1d 3 77 5

2 42

Z1

0

r2(x+y) 1e r2dr 3 5

= B(x; y) (x + y)

bulunur. Bu ise bizden istenilendir.

(2:19) e¸sitli¼gi ise (2:18)’in bir sonucu olup,

B(x + 1; y) = (x + 1) (y) (x + y + 1)

(19)

e¸sitli¼ginde (2:8) kullan¬l¬rsa,

B(x + 1; y) = x (x) (y) (x + y) (x + y) elde edilir. Benzer ¸sekilde

B(x; y + 1) = (x) (y + 1) (x + y + 1)

= y (x) (y) (x + y) (x + y) bulunur. Bulunan son iki ifade taraf tarafa toplan¬rsa,

B(x + 1; y) + B(x; y + 1) = x (x) (y)

(x + y) (x + y) + y (x) (y) (x + y) (x + y)

= x + y x + y

(x) (y) (x + y)

= (x) (y) (x + y)

= B(x; y)

elde edilir. Bu da bizden istenendir.

Teorem 2.3 (Legendre Katlama Ba¼g¬nt¬s¬)

z 2 C ve z 6= 0; 12; 1; 32; ::: olmak üzere,

p (2z) = 22z 1 (z) z +1

2 (2.20)

dir.

Ispat:· Beta fonksiyonunun sa¼glad¬¼g¬(2:18) özelli¼ginde x = y = z al¬n¬rsa,

B(z; z) = (z) (z) (z + z) yaz¬labilir.

(20)

Buna göre, (2:15) e¸sitli¼gi ile verilen Beta fonksiyonunun tan¬m¬ son e¸sitlikte kul- lan¬l¬rsa,

(z) (z) (z + z) =

Z1

0

tz 1(1 t)z 1dt

bulunur. Burada t = 1

2(1 + s) dönü¸sümü yap¬l¬rsa,

(z) (z)

(z + z) = 1 22z 1

Z1

1

(1 s2)z 1ds

= 2

22z 1 Z1

0

(1 s2)z 1ds

olup u = s2 dönü¸sümü alt¬nda,

(z) (z)

(z + z) = 2 2z+1 Z1

0

u 1=2(1 u)z 1du

= 2 2z+1B 1 2; z

bulunur. Beta fonksiyonunun Gamma fonksiyonu cinsinden ifadesi olan (2:18) e¸sitli¼gin- den,

(z) (z)

(z + z) = 2 2z+1

1 2 (z) (z + 12)

olup gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa

p (2z) = 22z 1 (z) (z + 1 2) elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.

(21)

Tan¬m 2.3 (Pochhammer Sembolü)

reel ya da kompleks bir say¬, n s¬f¬r ya da pozitif bir tamsay¬ olmak üzere ( )n

ifadesi, 8>

><

>>

:

( )n= Yn k=1

( + k 1) = ( + 1):::( + n 1) ; n 1

( )0 = 1 ; 6= 0

(2.21)

olarak tan¬mlan¬r. Bu ifade Pochhammer sembolü olarak bilinir.

Pochhammer sembolü a¸sa¼g¬daki özelliklere sahiptir.

Lemma 2.3 herhangi bir say¬ve n ve k lar do¼gal say¬lar olmak üzere,

( )n = ( + n)

( ) (2.22)

( )n+1 = ( + 1)n (2.23)

( )n+k = ( )n( + n)k (2.24)

( )n 1 = ( )n

( + n 1) (2.25)

dir.

Ispat:· (2:8) e¸sitli¼gi kullan¬larak ( + n)ifadesi,

( + n) = ( + n 1) ( + n 1)

= ( + n 1)( + n 2) ( + n 2)

= ( + n 1)( + n 2):::( + 1) ( )

= ( )n ( )

¸seklinde elde edilir.

(22)

E¸sitli¼gin her iki taraf¬ ( ) ya bölünürse,

( )n = ( + n) ( ) bulunur.

(2:23) e¸sitli¼gini ispatlamak için bir önceki özellik kullan¬l¬rsa,

( )n+1 = ( + n + 1) ( )

= ( + n + 1) ( )

= (( + 1) + n) ( + 1)

= ( + 1)n

yaz¬labilir.

(2:24) özelli¼gi için Pochhammer sembolünün tan¬m¬ndan,

( )n+k = ( + 1):::( + n 1)

| {z }

( )n

( + n)( + n + 1):::( + n + k 1)

| {z }

( +n)k

( )n+k = ( )n( + n)k

elde edilir.

(2:25)’i ispatlamak için ise,

( )n= ( + 1)( + 2):::( + n 2)( + n 1)

yaz¬l¬r.

(23)

Her iki taraf ( + n 1)e bölünürse, ( )n

( + n 1) = ( + 1)( + 2):::( + n 2) ( )n = ( )n 1( + n 1)

elde edilir. Buradan ( )n 1 in çekilmesiyle,

( )n 1 = ( )n ( + n 1) bulunur.

Lemma 2.4 n pozitif bir tamsay¬ve 6= 0; 1; 2; ::: olmak üzere,

( ) n= 1

( 1)( 2):::( n) = ( 1)n

(1 )n (2.26)

dir (Horn 1931).

Lemma 2.5 n; k = 0; 1; 2; ::: olmak üzere

( n)k= 8>

<

>:

( 1)kn!

(n k)! 0 k n

0 k > n

(2.27)

dir (Srivastava ve Manocha 1984).

Ispat:· Pochhammer sembolünün (2:21) tan¬m¬ndan,

( n)k = ( n)( n + 1):::( n + k 1)

= ( 1)kn(n 1):::(n k + 1)

olup, son e¸sitlik (n k)(n k 1):::3:2:1 ile çarp¬p bölünürse,

( n)k = ( 1)kn!

(n k)! 0 k n

(24)

bulunur. k > n için ( n)kaç¬l¬m¬na bakarsak,

( n)k = ( n)( n + 1):::( n + k 1)

olup, bu ifade kesinlikle s¬f¬ra e¸sit olacakt¬r.

Lemma 2.6 n = 0; 1; 2; :::olmak üzere,

( )2n = 22n 2 n

+ 1

2 n (2.28)

dir.

Ispat:· Pochhammer sembolü tan¬m¬ndan,

( )2n = ( + 1):::( + 2n 1)

= 22n 2

+ 1

2 ::: + 2n 1

2

= 22n 2

+ 2

2 ::: + 2n 2

2

+ 1 2

+ 3

2 ::: + 2n 1

2

= 22n 2 n

+ 1

2 n

elde edilir.

(25)

3. H·IPERGEOMETR·IK FONKS·IYONLAR

3.1 Hipergeometrik Seri ve Hipergeometrik Fonksiyon

; ve reel ya da kompleks sabitler olmak üzere,

1 + z

1! + ( + 1) ( + 1) ( + 1)

z2

2! + ::: (3.1)

olarak ifade edilen seriye Gauss serisi ya da hipergeometrik seri ad¬verilir. Burada z reel ya da kompleks bir de¼gi¸sken olabilir. de¼geri de s¬f¬r ya da negatif tamsay¬

olmamal¬d¬r.

(3:1) hipergeometrik serisi 1

1 z = 1 + z + z2+ :::: ; jzj < 1 (3.2) geometrik serisinin bir genelle¸stirmesidir. Gerçekten de (3:1) ifadesinde özel olarak

= 1 ve = ya da = ve = 1al¬n¬rsa, (3:2) geometrik serisi elde edilir. Bu yüzden (3:1) serisine hipergeometrik seri ad¬verilir.

(2:21)Pochhammer gösterimi dikkate al¬narak (3:1) hipergeometrik serisi a¸sa¼g¬daki

¸sekilde yaz¬labilir.

X1 n=0

( )n( )n ( )n

zn

n! (3.3)

s¬f¬rdan ve negatif tamsay¬dan farkl¬olmak üzere, (3:3) serisine oran testini uygu- lad¬¼g¬m¬zda,

un = ( )n( )n ( )n

zn n!

olmak üzere,

(26)

n!1lim un+1

un = lim

n!1

( )n+1( )n+1zn+1

( )n+1(n + 1)! : ( )nn!

( )n( )nzn

= lim

n!1

( + n)( + n)z ( + n)(n + 1)

= jzj

olup, (3:3) hipergeometrik serisi jzj < 1 oldu¼gunda yak¬nsak, jzj > 1 için ¬raksakt¬r.

jzj = 1 oldu¼gunda ise (3:3)’ün yak¬nsakl¬¼g¬için Re( ) > 0 olmas¬gerekir.

(3:3) hipergeometrik serisi jzj < 1 birim çemberinin içinde yak¬nsak oldu¼gundan yak¬nsakl¬k bölgesi içerisinde yak¬nsad¬¼g¬bir fonksiyon vard¬r. (3:3) ile ifade edilen bu fonksiyona Gauss hipergeometrik fonksiyonu ya da k¬saca hipergeometrik fonksiyon denir ve de

2F1( ; ; ; z) = X1 n=0

( )n( )n

( )n zn

n! (3.4)

¸seklinde gösterilir.

(3:4)’te görülen F nin alt¬ndaki 2 ve 1 alt indisleri, F nin yap¬s¬nda pay da ve olmak üzere iki parametre ve payda da olmak üzere bir parametre bulundu¼gunu ifade eder.

(3:4)’ün genelle¸stirilmi¸s ifadesi,

pFq 1; :::; p; 1; ::: q; z = X1 n=0

( 1)n( 2)n::: ( p)n ( 1)n( 2)n::: q n

zn n!

dir.

(27)

Ayr¬ca hipergeometrik fonksiyonu ifade eden 2F1 gösterimi yerine F gösterimi de kullan¬l¬r. Yani,

2F1( ; ; ; z) = F ( ; ; ; z) yaz¬labilir.

3.2 Hipergeometrik Polinomlar

(3:4) hipergeometrik fonksiyonda veya parametrelerinin en az birinin s¬f¬r veya negatif bir tamsay¬ olmas¬ halinde, (3:4) hipergeometrik serisinin terimleri sonlu olup, hipergeometrik fonksiyon polinoma dönü¸secektir. Bu polinoma hipergeometrik polinom denir.

Genel olarak, n 2 N olmak üzere,

2F1( n; ; ; z) = Xn k=0

( n)k( )k ( )k

zk

k! (3.5)

ifadesi bir hipergeometrik polinom gösterir.

3.3 Hipergeometrik Fonksiyonlar¬n Baz¬Özellikleri ve Teoremler

Lemma 3.1 reel ya da kompleks bir say¬olmak üzere,

(1 z) =

X1 n=0

( )n

n! zn = 1F0( ; ; z) ; jzj < 1 (3.6) dir.

Ispat:· (3:6) e¸sitli¼gini ispat etmek için f (z) = (1 z) fonksiyonu için binom teoremini kullanmak yeterli olacakt¬r. Gerçekten de,

(28)

(1 z) = X1 n=0

0

@ n

1 A( z)n

n!

= X1 n=0

( )( 1):::( n + 1)( 1)nzn n!

= X1 n=0

( + 1)::::( + n 1)zn n!

= X1 n=0

( )n n! zn

= 1F0( ; ; z)

elde edilir. 2 Z olmas¬halinde (3:6) e¸sitli¼gi sonlu binom aç¬l¬m¬d¬r.

Lemma 3.2 2F1 hipergeometrik fonksiyonu ve parametrelerine göre simetri özelli¼gine sahiptir.Yani,

2F1( ; ; ; z) = 2F1( ; ; ; z) (3.7)

dir.

Ispat:· F fonksiyonunun ve parametrelerine göre simetri özelli¼gine sahip oldu¼gu hipergeometrik fonksiyon tan¬m¬kullan¬larak kolayca gösterilebilir. Yani,

2F1( ; ; ; z) = X1 n=0

( )n( )n ( )n

zn n!

= X1 n=0

( )n( )n ( )n

zn n!

= 2F1( ; ; ; z)

elde edilir.

(29)

Lemma 3.3 2F1( ; ; ; z) hipergeometrik fonksiyonu,

z(1 z)w00+ [ ( + + 1)z] w0 w = 0 (3.8)

diferensiyel denklemini sa¼glar.

Ispat:· 2F1( ; ; ; z) hipergeometrik fonksiyonunun sa¼glad¬¼g¬diferensiyel denklemi bulmak için,

= z d dz operatörünü ele alaca¼g¬z.

w = 2F1( ; ; ; z) = X1 n=0

( )n( )nzn ( )nn!

olsun. Buna göre,

( + 1)w =

X1 n=0

n(n + 1)( )n( )nzn ( )nn!

bulunur. Burada Pochhammer sembolünün ( )n= ( )n 1( + n 1)özelli¼ginden,

( + 1)w =

X1 n=1

( )n( )nzn ( )n 1(n 1)!

elde edilir. Son e¸sitlikte n yerine n + 1 yaz¬l¬rsa,

( + 1)w =

X1 n=0

( )n+1( )n+1zn+1 ( )nn!

bulunur ki,

( )n+1= ( )n( + n) oldu¼gundan,

( + 1)w = z

X1 n=0

( + n)( + n)( )n( )nzn ( )nn!

= z( + )( + )w

(30)

elde edilir. Buna göre w = 2F1( ; ; ; z);

[ ( + 1) z( + )( + )] w = 0

diferensiyel denkleminin bir çözümü olarak bulunur.

= z d

dz oldu¼gundan elde edilen diferensiyel denklem

z(1 z)w00+ [ ( + + 1)z] w0 w = 0

formunda yaz¬labilir. Bu da bizden istenen olacakt¬r.

Lemma 3.4 2F1( ; ; ; z) fonksiyonu, Re( ) > Re( ) > 0 ve jzj < 1 olmak üzere,

2F1( ; ; ; z) = 1

B( ; )

Z1

0

t 1(1 t) 1(1 tz) dt (3.9)

¸seklinde bir integral gösterimine sahiptir.

Ispat:· Pochhammer sembolünün (2:22) özelli¼ginden dolay¬, ( )n

( )n = ( + n) ( )

( + n) ( ) = ( )

( ) ( )

( + n) ( ) ( + n)

yaz¬labilir. Beta fonksiyonunun Gamma fonksiyonu cinsinden ifadesi olan (2:18) özelli¼ginden ve Beta fonksiyonunun

B(x; y) = Z1

0

tx 1(1 t)y 1dt

(31)

tan¬m¬ndan dolay¬da,

( + n) ( )

( + n) = B( + n; )

= Z1

0

t +n 1(1 t) 1dt

yaz¬labilir. Buna göre

( )n

( )n = ( )

( ) ( )

Z1

0

t +n 1(1 t) 1dt

¸seklinde bulunur. Böylece jzj < 1 olmak üzere bu bulunan ifade hipergeometrik fonksiyonun (3:4) tan¬m¬nda yerine yaz¬l¬rsa,

2F1( ; ; ; z) = X1 n=0

( )n( )n ( )n

zn n!

= X1 n=0

( )n ( )

( ) ( )

Z1

0

t +n 1(1 t) 1zn n!dt

olur. Seri düzgün yak¬nsak oldu¼gundan toplam ile integralin yerleri de¼gi¸stirilirse,

2F1( ; ; ; z) = ( )

( ) ( )

Z1

0

t 1(1 t) 1 ( 1

X

n=0

( )n n! (tz)n

) dt

bulunur. Di¼ger taraftan (3:6) e¸sitli¼ginden dolay¬,

(1 tz) = X1 n=0

( )n(tz)n n!

olaca¼g¬gözönünde tutulur ve Beta fonksiyonunun (2:18) özelli¼gi dikkate al¬n¬rsa,

2F1( ; ; ; z) = 1

B( ; )

Z1

0

t 1(1 t) 1(1 tz) dt

elde edilir ki bu istenilendir.

(32)

Lemma 3.5 A ve B iki de¼gi¸skenli fonksiyonlar¬için, X1

n=0

X1 k=0

A(k; n) = X1 n=0

Xn k=0

A(k; n k) (3.10)

X1 n=0

Xn k=0

B(k; n) = X1 n=0

X1 k=0

B(k; n + k) (3.11)

X1 n=0

X1 k=0

A(k; n) = X1 n=0

[n2] X

k=0

A(k; n 2k) (3.12)

X1 n=0

[n2] X

k=0

B(k; n) = X1 n=0

X1 k=0

B(k; n + 2k) (3.13)

e¸sitlikleri geçerlidir (Rainville 1960).

Teorem 3.1 (Gauss Teoremi)

Re( ) > 0 ve de s¬f¬rdan ve negatif tamsay¬dan farkl¬olmak üzere,

2F1( ; ; ; 1) = ( ) ( )

( ) ( ) (3.14)

dir.

Ispat:· Re( ) > 0 olmak üzere, hipergeometrik fonksiyonun (3:9) integral gösteriminden,

2F1( ; ; ; z) = ( )

( ) ( )

Z1

0

t 1(1 t) 1(1 tz) dt

oldu¼gunu biliyoruz. Burada her iki yan¬n z ! 1 için limiti al¬n¬rsa,

z!1lim 2F1( ; ; ; z) = lim

z!1

( )

( ) ( )

Z1

0

t 1(1 t) 1(1 tz) dt

= ( )

( ) ( )

Z1

0

t 1(1 t) 1dt

(33)

bulunur. Beta fonksiyonunun (2:15) tan¬m¬ ve (2:18) özelli¼ginin gözönüne al¬n- mas¬yla da,

2F1( ; ; ; 1) = ( )

( ) ( )B( ; )

= ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

= ( ) ( )

( ) ( )

elde edilir.

Lemma 3.6 jzj < 1 ve z

1 z < 1 olmak üzere,

2F1( ; ; ; z) = (1 z) 2F1 ; ; ; z

1 z (3.15)

dir.

Ispat:· 2F1 hipergeometrik fonksiyonun tan¬m¬ndan,

(1 z) 2F1 ; ; ; z

1 z = (1 z)

X1 k=0

( )k( )k

( )kk!

( 1)kzk (1 z)k

= X1 k=0

( )k( )k ( )kk!

( 1)kzk (1 z)k+

yaz¬labilir. (1 z) n¬n (3:6) özelli¼ginden dolay¬da,

(1 z) =

X1 n=0

( )nzn n!

oldu¼gunu biliyoruz. O halde,

(1 z) (k+ ) = X1 n=0

( + k)nzn n!

(34)

olacakt¬r. Buna göre

(1 z) 2F1 ; ; ; z

1 z =

X1 k=0

X1 n=0

( )k( )k( + k)n( 1)kzn+k ( )kk!n!

elde edilir.

( )k( + k)n= ( )n+k oldu¼gunun dikkate al¬nmas¬yla yukar¬daki e¸sitlik,

(1 z) 2F1 ; ; ; z

1 z =

X1 k=0

X1 n=0

( )n+k( )k( 1)kzn+k ( )kk!n!

¸seklinde yaz¬labilir. (3:10) e¸sitli¼gi gözönünde tutularak n yerine n k al¬n¬r ve gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa, bu son ifadenin e¸siti,

(1 z) 2F1 ; ; ; z

1 z =

X1 n=0

Xn k=0

( )n( )k( 1)kzn ( )kk!(n k)!

¸seklinde yaz¬labilir.

( n)k = 8>

<

>:

( 1)kn!

(n k)! 0 k < n 0 k > n oldu¼gu dikkate al¬n¬rsa,

(1 z) 2F1 ; ; ; z

1 z =

X1 n=0

Xn k=0

( n)k( )k ( )kk!

( )nzn n!

= X1 n=0

2F1( n; ; ; 1)( )nzn n!

bulunur. Teorem 3:1’deki (3:14) e¸sitli¼ginden,

(1 z) :2F1 ; ; ; z

1 z =

X1 n=0

( ) ( + n) ( + n) ( )

( )nzn n!

(35)

olup, Pochhammer sembolünün (2:22) özelli¼ginden,

(1 z) 2F1 ; ; ; z

1 z =

X1 n=0

( )n( )n ( )n

zn n!

= 2F1( ; ; ; z)

elde edilir. Bu ise ispat¬tamamlar.

Lemma 3.7 Re( ) > 0ve n negatif olmayan bir tamsay¬olmak üzere,

2F1 n 2; n

2 + 1

2; + 1

2; 1 = 2n( )n

(2 )n (3.16)

dir.

Ispat:· Gauss Teoremi’ndeki (3:14) e¸sitli¼ginden,

2F1

n 2; n

2 +1

2; +1

2; 1 =

+1

2 + 1

2+ n 2 +n

2 1 2 +1

2 +n

2 +1

2 +n 2

1 2

=

+1

2 ( + n) +1

2 +n

2 + n

2

yaz¬labilir. Lemma 2:3’teki Pochhammer sembolünün (2:22) özelli¼ginden, ( + n)

( ) = ( )n ) ( + n) = ( )n ( ) olup,

2F1 n 2; n

2 +1

2; + 1 2; 1 =

+ 1

2 ( )n ( ) +1

2 +n

2 + n

2

(36)

bulunur. Teorem 2:3’teki (2:20) e¸sitli¼gi ile verilen Legendre Katlama Ba¼g¬nt¬s¬kul- lan¬l¬rsa,

( ) + 1

2 = 21 2 p

(2 ) + n

2 +1

2 +n

2 = 21 2 np

(2 + n)

elde edilir. Böylece

2F1 n 2; n

2 + 1

2; +1

2; 1 = ( )n2n (2 ) (2 + n)

oldu¼gu görülür. Yine Lemma 2:3’teki (2:22) e¸sitli¼ginden (2 )

(2 + n) = 1

(2 )n olup,

2F1 n 2; n

2 + 1

2; + 1

2; 1 = 2n( )n (2 )n

elde edilir.

Lemma 3.8 2 s¬f¬rdan ve negatif tamsay¬dan farkl¬ olmak üzere, jxj < 1 ve j4x(1 + x) 2j < 1 için,

(1 + x) 2 2F1 ; ; 2 ; 4x

(x + 1)2 = 2F1 ; + 1

2; +1

2; x2 (3.17) dir (Rainville 1960).

Lemma 3.9 2 s¬f¬rdan ve negatif tamsay¬dan farkl¬ olmak üzere, jyj < 1 2 ve y

1 y < 1 için,

(1 y) 2F1 2;

2 + 1

2; + 1 2; y2

(1 y)2 = 2F1( ; ; 2 ; 2y) (3.18) dir.

(37)

Ispat:· (3:18)’in sol yan¬n¬ ile gösterelim. (3:4) 2F1 hipergeometrik fonksiyonun tan¬m¬ndan dolay¬,

= (1 y) 2F1 2;

2 + 1

2; +1 2; y2

(1 y)2 = X1 k=0

2 k 2 +1 2 ky2k +1

2 kk!(1 y) +2k

yaz¬labilir. (2:28) özelli¼ginin dikkate al¬nmas¬yla

2 k 2 +1

2 k = ( )2k 22k elde edilir. Bu takdirde,

= X1 k=0

( )2ky2k 22k( + 1

2)kk!(1 y) +2k bulunur. (3:6)’dan dolay¬,

(1 y) 2k = X1 n=0

( + 2k)nyn n!

olup, (2:24)’te n yerine 2k ve k yerine n al¬nmas¬yla,

( )2k( + 2k)n = ( )n+2k

elde edilir. Bu bulunan e¸sitlikler de yerlerine yaz¬l¬rsa,

= X1 n=0

X1 k=0

( )n+2kyn+2k 22k +1

2 kk!n!

bulunur. Lemma 3:5’teki (3:12) e¸sitli¼ginden dolay¬,

= X1 n=0

[n2] X

k=0

( )nyn

22k +12 kk!(n 2k)!

yaz¬labilir. (2:27) ve (2:28) e¸sitliklerinden dolay¬,

(n 2k)! = n!

( n)2k ( n)2k = 22k n

2 k

n 2 + 1

2 k

(38)

olacaklar¬n¬n dikkate al¬nmas¬yla da,

= X1 n=0

[n2] X

k=0 n 2 k

n 2 +1

2 k

+ 12 kk!

( )nyn n!

= X1 n=0

2F1 n 2; n

2 +1

2; + 1

2; 1 ( )nyn n!

bulunur. Lemma 3:7’deki (3:16) e¸sitli¼ginden dolay¬da,

= X1 n=0

( )n( )n(2y)n (2 )nn!

= 2F1( ; ; 2 ; 2y)

elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.

Lemma 3.10 1 + s¬f¬rdan ve negatif tamsay¬dan farkl¬olmak üzere,

(1 z) 2F1 2;

2 +1

2 ; 1 + ; 4z

(1 z)2 = 2F1( ; ; 1 + ; z) (3.19) dir.

Ispat:· (3:18)’de y = 2x

(1 + x)2 al¬n¬rsa,

1 y = 1 + x2

(1 + x)2 ; y

1 y = 2x 1 + x2 olup,

(1 + x2) (1 + x)2 2F1 2;

2 +1

2; +1

2; 4x2

(1 + x2)2 = 2F1 ; ; 2 ; 4x (x + 1)2

bulunur. (3:17)’den son e¸sitli¼gin sa¼g taraf¬nda bulunan 2F1 ; ; 2 ; 4x (x + 1)2 fonksiyonunun e¸sitini yerine yazarsak,

(1 + x2) 2F1 2;

2 +1

2; + 1

2; 4x2

(1 + x2)2 = 2F1 ; +1

2; +1 2; x2

(39)

yaz¬labilir. Son e¸sitlikte x2 yerine z ve yerine 1

2+ al¬n¬rsa,

(1 + z) 2F1 2;

2 + 1

2; 1 + ; 4z

(1 + z)2 = 2F1( ; ; 1 + ; z)

elde edilir. Lemma 3:6’daki (3:15) e¸sitli¼ginde yerine

2, yerine

2 + 1

2; yerine 1 + + ve z yerine de 4z

(z + 1)2 al¬n¬rsa,

2F1 2;

2 +1

2; 1 + ; 4z (1 + z)2

= 1 z

1 + z 2F1 2;

2 + 1

2 ; 1 + ; 4z

(1 z)2 bulunur. O halde bulunan bu fonksiyon bir önceki e¸sitlikte yerine yaz¬l¬rsa,

(1 z) 2F1 2;

2 + 1

2 ; 1 + ; 4z

(1 z)2 = 2F1( ; ; 1 + ; z) olarak elde edilir. Bu da bizden istenendir.

Teorem 3.2 (Kummer Teoremi)

1 + s¬f¬r ve negatif tamsay¬dan farkl¬ ve yak¬nsakl¬k için Re( ) < 1 olmak üzere,

2F1( ; ; 1 + ; 1) =

(1 + ) 1 +

2

1 + 2 (1 + )

(3.20)

d¬r.

Ispat:· Lemma 3:10’daki (3:19) ba¼g¬nt¬s¬ndan, z ! 1 için limit al¬n¬rsa,

2 2F1 2;

2 + 1

2 ; 1 + ; 1 = 2F1( ; ; 1 + ; 1)

(40)

bulunur. (3:14) e¸sitli¼gi ile verilen Gauss Teoremi’nden dolay¬da,

2 2F1 2;

2 + 1

2 ; 1 + ; 1 =

(1 + ) 1

2

2 1 +

2 2 +1

2

elde edilir. Legendre Katlama ba¼g¬nt¬s¬nda z =

2 +1

2 al¬n¬rsa, 1

2 (1 + ) = 2

2 +1

2 2 + 1

olaca¼g¬dikkate al¬n¬r ve bu özellik son e¸sitli¼ge uygulan¬rsa,

2F1( ; ; 1 + ; 1) =

(1 + ) 1 +

2

1 + 2 (1 + )

elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.

Teorem 3.3 (Gauss’un ikinci teoremi) 1

2( + + 1) s¬f¬r ve negatif tamsay¬dan farkl¬olmak üzere,

2F1 ; ;1

2( + + 1);1

2 =

1

2 2 +

2 + 1 2 2 +1

2 2 + 1

2

(3.21)

dir.

Ispat:· Lemma 3:6’daki (3:15) e¸sitli¼ginde z ! 1 için limit al¬n¬rsa,

2F1 ; ; ;1

2 = 2 2F1( ; ; ; 1)

bulunur. Burada ilk olarak yerine al¬n¬r ve sonra da yerine 1

2( + + 1)

(41)

konulursa,

2F1 ; ;1

2( + + 1);1

2 = 2 2F1 ;

2 2 +1 2;1

2( + + 1); 1 elde edilir. (3:20) ile ifade edilen Kummer Teoremi’nden dolay¬,

2F1 ; ;1

2( + + 1);1

2 = 2 2 +

2 +1

2 2 + 1

2 + 1

2 (1 + )

yaz¬labilir. Legendre Katlama ba¼g¬nt¬s¬nda z =

2 +1

2 al¬n¬rsa, 1

2 ( + 1) = 2

2 + 1

2 2 + 1

elde edilir. O halde,

2F1 ; ;1

2( + + 1);1

2 =

1

2 2 +

2 + 1 2 2 +1

2 2 + 1

2 bulunur. Bu da bizden istenendir.

(42)

4. KLAS·IK ORTOGONAL POL·INOMLAR

4.1 Jacobi Polinomlar¬

4.1.1 Jacobi polinomlar¬için bir do¼gurucu fonksiyon

n bir do¼gal say¬olmak üzere n-yinci dereceden Pn( ; )(x) ile gösterilen Jacobi poli- nomlar¬hipergeometrik fonksiyon cinsinden,

Pn( ; )(x) = (1 + )n

n! 2F1 n; 1 + + + n; 1 + ;1 x

2 (4.1)

e¸sitli¼gine sahiptir.

Lemma 3:6’daki (3:15) e¸sitli¼ginde z = 1 x

2 ; = n; = 1 + + + n ve

= + 1 al¬nmak suretiyle Pn( ; )(x) in bir ba¸ska tan¬m¬,

Pn( ; )(x) = (1 + )n n!

x + 1 2

n

2F1 n; n; 1 + ;x 1

x + 1 (4.2)

elde edilir. k > n için ( n)k = 0 oldu¼gundan (4:1) e¸sitli¼gi sonlu seri formunda

Pn( ; )(x) = Xn k=0

(1 + )n( n)k(1 + + + n)k k!n!(1 + )k

1 x

2

k

yaz¬labilir. Burada (2:24) özelli¼ginden (1 + + )n+k = (1+ + )n(1 + + + n)kve (2:27) özelli¼ginden ( n)k

n! = ( 1)k

(n k)! olup, bir önceki sonlu terimli seride bu bulu- nanlar yerine yaz¬l¬rsa,

Pn( ; )(x) = Xn k=0

(1 + )n(1 + + )n+k k!(n k)!(1 + )k(1 + + )n

x 1

2

k

(4.3)

(43)

elde edilir. Benzer ¸sekilde (4:2) sonlu terimli serisi,

Pn( ; )(x) = Xn

k=0

(1 + )n( n)k( n)k k!n!(1 + )k

x 1

x + 1

k x + 1 2

n

bulunur. ( n)k = ( 1)k(1 + )n

(1 + )n k e¸sitli¼gi ve (2:27) özelli¼gi kullan¬l¬rsa yukar¬daki seri,

Pn( ; )(x) = Xn k=0

(1 + )n(1 + )n k!(n k)!(1 + )k(1 + )n k

x 1

2

k x + 1 2

n k

(4.4)

olarak yaz¬labilir.

¸

Simdi Jacobi polinomlar¬için bir do¼gurucu fonksiyon bulal¬m. (4:3)’ün her iki yan¬

(1 + + )ntn

(1 + )n ile çarp¬l¬r ve n = 0 dan n = 1 a toplam al¬n¬rsa, X1

n=0

(1 + + )nPn( ; )(x)tn

(1 + )n =

X1 n=0

Xn k=0

(1 + + )n+k(x 1)ktn k!(n k)!2k(1 + )k

elde edilir. Burada (3:11) e¸sitli¼ginden X1

n=0

(1 + + )nPn( ; )(x)tn

(1 + )n =

X1 n;k=0

(1 + + )n+2k(x 1)ktn+k k!n!(1 + )k2k

bulunur. (2:24)’ten (1 + + )n+2k = (1 + + )2k(1 + + + 2k)n olup, X1

n=0

(1 + + )nPn( ; )(x)tn

(1 + )n =

X1 k=0

" 1 X

n=0

(1 + + + 2k)ntn n!

#(1 + + )2k(x 1)ktk k!(1 + )k2k

yaz¬labilir. (3:6)’dan dolay¬

X1 n=0

(1 + + + 2k)ntn

n! = (1 t) (1+ + +2k) olarak bulunur. O halde,

X1 n=0

(1 + + )nPn( ; )(x)tn

(1 + )n =

X1 k=0

(1 + + )2k(x 1)ktk 2kk!(1 + )k(1 t)1+ + +2k

(44)

elde edilir. (2:28) e¸sitli¼ginde = 1 + + ve n = k al¬n¬rsa,

(1 + + )2k = 22k 1 + +

2 k

2 + +

2 k

olup, X1 n=0

(1 + + )nPn( ; )(x)tn (1 + )n

= X1 k=0

22k 12(1 + + ) k 12(2 + + ) k(x 1)ktk 2kk!(1 + )k(1 t)1+ + +2k

= (1 t) 1

X1 k=0

1

2(1 + + ) k 12(2 + + ) k k!(1 + )k

2(x 1)t (1 t)2

k

bulunur. Bu ise X1 n=0

(1 + + )nPn( ; )(x)tn (1 + )n

= (1 t) 1 2F1 1

2(1 + + ) ;1

2(2 + + ); 1 + ;2t(x 1) (1 t)2 (4.5)

¸seklinde do¼gurucu fonksiyonu elde edilir.

4.1.2 Jacobi polinomlar¬n¬n sa¼glad¬¼g¬baz¬rekürans ba¼g¬nt¬lar¬

Jacobi polinomunun (4:1) tan¬m¬ndan

Pn( ; )(x) = (1 + )n

n! 2F1 n; 1 + + + n; 1 + ;1 x 2

oldu¼gunu biliyoruz. D = d

dx türev operatörü olmak üzere,

(45)

DPn( ; )(x) = n(1 + )n(1 + + + n)

n!2(1 + ) 2F1 n + 1; 2 + + + n; 2 + ;1 x 2

= (2 + )n 1(1 + + + n) 2(n 1)!

2F1 n + 1; 2 + + + n; 2 + ;1 x 2

= (2 + )n 1(1 + + + n) 2(n 1)!

2F1 (n 1); 1 + ( + 1) + ( + 1) + (n 1) ; 1 + ( + 1);1 x 2

¸seklinde yaz¬labilir. Buradan (4:1) tan¬m¬gözönüne al¬narak,

Pn 1( +1; +1)(x) = (2 + )n 1 (n 1)!

2F1 (n 1); 1 + ( + 1) + ( + 1) + (n 1) ; 1 + ( + 1);1 x 2 bulunur. Bu takdirde

DPn( ; )(x) = 1

2(1 + + + n)Pn 1( +1; +1)(x) (4.6) elde edilir. 0 < k n için D operatörünün k kez uygulanmas¬yla,

DkPn( ; )(x) = 2 k(1 + + + n)kPn k( +k; +k)(x) (4.7)

oldu¼gu görülür.

¸

Simdi Jacobi polinomunun (4:2) ile verilen

Pn( ; )(x) = (1 + )n n!

x + 1 2

n

2F1 n; n; 1 + ;x 1 x + 1

Referanslar

Benzer Belgeler

aralığının dışında x-eksenine yapışık gibidir, yani x-ekseni ile grafik arasında kalan alan yaklaşık olarak sıfırdır. Bu olasılık, [9,11]

[r]

[r]

Temel tanımlar ve kavramlar, ortogonal fonksiyon sistemi, ortogonal polinom sisteminin inşaası, ortogonal polinom ailelerine ilişkin örnekler, ortogonal polinomların

Logaritma fonksiyonu, x-ekseninin pozitif bölgesinde tanımlı olduğundan x=14 değeri soruda verilen denklemin çözüm değeridir.. Buradan denklemin çözüm kümesi, Ç.K=

Üçüncü bölümde ikinci dereceden lineer diferensiyel denklem yardımıyla Hipergeometrik diferensiyel denklemi ve Hipergeometrik fonksiyon elde edilmiştir.. Dördüncü

Fakat, sözgelimi ( ) g x  x fonk- siyonu hiçbir ahval ve şerait altında, içinde negatif bir reel sayı barındıran bir kümede tanımlamaz. Çünkü negatif sayıların

• Eğer bağıntı yansıyan bağıntı ise R ’ nin digraphının her noktasından kendisine bir yönlü ok vardır.. • İkili matrisinde ise diyagonal elemanların hepsi