Newmark’ın Kayan Blok Modeli

Newmark (1965) depremlerde pratik olarak şev hareketlerinin tahmini için kayan bloğa benzer bir yöntem önermiştir. Newmark’ın yaklaşımı geniş çapta kullanılan bir yöntem olup Makdisi ve Seed (1978), National Research Council (Housner, 1985) ve Jibson (1993) gibi yazarları içeren bir çok araştırmacı tarafından da kabul edilmiştir.

Newmark tipi analizler, bir zeminin kayma mukavemetinin deprem boyunca değişmediğini kabul eder ve bu nedenle zemin sıvılaşmasından kaynaklanan zemin deformasyonlarının modellenmesi için geçerli değildir. Diğer taraftan, aşağıda tanımlandığı gibi Newmark benzeşimi ile sıvılaşma kırılmalarını modellemek için Baziar ve diğ. (1992) ve Byrne ve diğ. (1992) çalışmışlardır.

Yatay taban hareketlerine maruz kalmış sürtünme düzleminde kayan kütlenin Newmark benzeşimi Şekil 4.11’de gösterilmiştir (Rauch, 1997; Kim ve diğ., 2005). İç kuvvetlerden dolayı blok, taban ivmesine ters bir yönde hareket etme eğiliminde olacaktır. Bununla beraber, blok sadece statik ve dinamik kaydıran kuvvetlerin toplamı, karşı koyan kuvvetleri aştığı zaman tabanla bağıl olarak hareket etmeye başlayacaktır. Blok kaymaya başladığı zaman bu denge şartları bir akma ivmesi (ay) terimiyle ifade edilir. Yani kayan kütle ile alttaki zemin arasındaki veya blok ile düzlem arasındaki kayma direnci akma ivmesi (ay veya ky) ile ifade edilir. Verilmiş akma ivmesi için toplam birikmiş deplasman, Şekil 4.11’de gösterilen taban ivme kaydının çift integraliyle hesaplanır. Taban ivmesi akma değerini aştığı zaman blok kayar ve birinci integral bloğun hızını verir. Taban ivmesi ters yöne döndükten sonra bir pik değere ulaşır ve sonuç olarak hız sıfıra doğru azalır. Hız kaydının ikinci integrali akma ivmesinin aşıldığı yerdeki her ilerleme boyunca deplasmanları meydana getirir.

Şekil 4.11 de verildiği gibi, akma ivmesi şev açısı ve kaymaya karşı statik güvenlik faktörü ile ifade edilir. Kayma yüzeyi eğimli ise şevin yukarısına doğru hareket için ay şevin aşağısına doğru olan değerden daha büyüktür. Şekil 4.11’de, şevin yukarısına doğru akma ivmesi asla aşılmaz ve bütün deplasmanlar şevin aşağısına doğrudur. Zeminin eğimi düşünüldüğü zaman, akma ivmesi kayma yüzeyi veya kırılma mekanizması ve zeminin kayma mukavemetinin bir fonksiyonu olarak hesaplanır. Bilinen Newmark analizinde, kayma deplasmanla değişmeyen akma ivmesini içeren rijit, mükemmel-plastik davranışı sergilediği kabul edilir.

Ölçülmüş veya tahmin edilmiş yatay yer ivme geçmişi kullanılarak, zemin şevinin net deplasmanı nümerik integrasyon yöntemleri kullanılarak hesaplanabilir (Jibson 1993). Bu nedenle, özel alanda olabilecek sismik olay için ivmenin zaman geçmişini doğru olarak tahmin etme önemli problemdir. Bundan dolayı Jibson (1993) yer hareket kayıtlarından bir tek toplam sarsma şiddetinin ölçüldüğü yerde daha basit bir yaklaşım önermiştir. Jibson (1993), Newmark tipi analizle deplasmanları tahmin etmek için şiddetli hareket kayıtlarını analiz etme ve sarsma şiddetini temsil etmek için Arias şiddeti (I =

[

π/2g

]∫

a2dt

546 . 1 a 642 . 6 D log =1.460logI_a − _y+ (4.3)

[

π

]∫

= /2g a dt I_a ² (4.4) Burada D, tahmin edilen deplasman (cm), Ia, Arias şiddeti (m/s) ve ay, akma ivmesi (g)’dir. Böylece, verilen bir akma ivmesi için deplasmanlar direk olarak arias şiddetinden hesaplanabilir.

Şekil 4.11: Newmark'ın Kayan Blok Modeli Kullanılarak Deplasmanların Hesaplanması (Rauch, 1997)

Basit Newmark analizine alternatif yaklaşımlar eşdeğer taban ivmesi davranışına güvenir. Taban ivmesi matematiksel bir fonksiyon ile ifade edilirse gerekli integrasyonlar kapalı formda yapılabilir ve çözüm Yegian ve diğ. (1991) tarafından aşağıdaki şekilde ifade edilmiştir.

) a / a ( f a T N D 2 _{maks y maks} eq = (4.5)

Burada D, tahmin edilen deplasman (cm), ay = akma ivmesi (g), eşdeğer üniform taban hareketinin parametreleri: Neq, çevrim sayısı, T, periyot ve amaks, en büyük yatay yer ivmesidir.

Boyutsuz fonksiyon f(ay/amaks) taban hareket kaydının kabul edilen şekline bağlıdır; dikdörtgen, üçgen ve sinüzoidal hareketler için çözümler Yegian ve diğ. (1991)’de verilmiştir. Ayrıca Yegian ve diğ. (1991) gerçek kuvvetli hareket kayıtlarının integrasyonunu daha iyi temsil eden f(ay/amaks) için bir polinom fonksiyonu ifade etmişlerdir.

Eşdeğer sinüzoidal taban ivme kaydı kabulüyle, Baziar ve diğ. (1992) Newmark analiziyle tahmin edilmiş deplasmanları aşağıdaki formülle hesaplanabileceğini önermiştir. ) a / a ( f ) a / ( N D 2 _{max y max} max eq ν = (4.6)

Burada D, tahmin edilen deplasman (cm), Neq, çevrim sayısı, ay, akma ivmesi (g), amaks, en büyük yatay yüzey ivmesi, vmaks, deprem kaydının hızı, f(ay/ amax) sinüzoidal harekete bağlı bir fonksiyondur (Şekil 4.12).

A.B.D.'in batısındaki depremler için, Baziar ve diğ. (1992) Neq=2 olarak tavsiye etmiştir. 4.6 denklemi kullanılarak Newmark'ın kayan blok modeli ile tahmin edilen deplasmanlar verilen alanda önceden tahmin edilmiş pik hareketlerden kolayca hesaplanabilir. Baziar ve diğ. (1992) tipik bir yanal yayılmayı göstermek için ay=0.0477g alınarak, Youd ve Perkins'in ampirik LSI denklemiyle uyum gösteren 4.6 denklemini bulmuştur.

Şev deformasyonlarının analizinde, akma ivmesi için denklemler Newmark (1965) tarafından verilmiştir. Genelde, ay için bu ilişkiler aşağıdaki bazı kabuller ile geliştirmişlerdir (Jibson, 1993; Bray ve diğ. 1995).

• Zemin, dinamik yüklerle değişmeyen çok iyi tanımlanmış akma gerilmesi gösterir

• Zemin, sabit kayma gerilmesinde plastik deformasyonlara maruzdur (mükemmel plastik davranış).

Şekil 4.12: ay/amaks ile f(ay/ amaks)’ın Değişimi (Baziar ve diğ., 1992).

Kayma genellikle fark edilemeyen kayma yüzeyi ile sıvılaşmış tabaka boyunca oluşur. Sıvılaşma kırılmasıyla ilgili çok önemli problem dinamik yükleme boyunca altta bulunan zeminin kayma mukavemetindeki olağan dışı değişim ve daha sonraki deformasyonlardır. Gerçekte, akma ivmesi zeminler sıvılaşırken önemli derecede değişir. Çoğu bilinen analizler için tanımlanan akma ivmeleri sıvılaşmanın neden olduğu şev deformasyonları için uygun değildir (Rauch, 1999).

Baziar ve diğ. (1992) akma ivmesini sıvılaşmış zeminin normalize edilmiş drenajsız kayma mukavemeti (Su/σv^') ile ifade eder. Su drenajsız deneylerde kırılma boyunca ölçülmüş maksimum kayma mukavemetidir ve oldukça büyük deformasyonlarda sabit kaldığı kabul edilir. (Su/σv^')'ne dayalı bir Newmark tipi analiz sadece gevşek zeminler için geçerlidir ve genişleyen zeminlere uygulanamaz (Baziar ve diğ. 1992). Sonuç olarak numune hazırlama tekniklerini de içeren laboratuvar deney teknikleri, özellikle (Su/σv^') yaklaşımı sıvılaşma kırılmasını modellemek için kullanıldığı zaman kritiktir. Sabit Su, sıvılaşma göçmesini meydana getirene kadar olan zemin

yumuşamasını ihmal eder. Bunun anlamı akma ivmesi bütün analizler için sabit olarak kabul edilir.

(Su/σv^') ifadesiyle sıvılaşmanın neden olduğu yanal yayılmanın modellenmesine uygun akma ivmesi için ifadeler Baziar ve diğ. (1992) tarafından verilmiş olup Şekil 4.13’de gösterilmiştir. Sıvılaşmış zeminin şevin aşağısına doğru hareket edeceği ve deplasmanların bu yönde oluşacağı bilinir. Bu nedenle, aşağı doğru olan deplasmanlar için akma ivmesi burada verilmiştir. Yeraltı suyu sızıntısının olduğu ve olmadığı sonsuz şevi temsil eden iki ifade Şekil 4.13a ve 4.13b’de verilmiştir. Akmayan topuğun etkisi Şekil 4.13d’de modellenirken, Şekil 4.13c’de verilmiş modelde serbest yüzeye doğru bir hareket düşünülür.

Son iki modelde (Şekil 4.13c-4.13d), β1 ve β2 açısı için nümerik değerler ay'in minimum veya kritik değerini vermek için seçilmiştir. Baziar ve diğ. (1992), serbest yüzeyi olan sonsuz şeve ait model kullanılarak, 1987’de sıvılaşma ve yanal yayılmanın meydana geldiği California'daki Wildlife sitesini modellemiştir. Sitede kayıt edilmiş kuvvetli hareketlerin toplanması ve ay'in sınır tahminlerini hesaplamak için (Su/σv^') ve α'ın kabul edilen değerlerini kullanarak, 1.9’dan 31.7cm'e kadar değişen deplasmanlar hesaplamışlardır. Bu değerleri yaklaşık olarak ortalama 18cm ölçülmüş deplasmanlarla karşılaştırmışlardır. Baziar ve diğ. (1992) analizlerinin kayma düzleminin kabul edilen eğimine (α) çok hassas olduğunu anlamışlardır. Ayrıca, Newmark'ın kayan blok benzeşimine dayalı alternatif bir model Byrne ve diğ. (1992) tarafından önerilmiştir. Düşünülen denge kuvvetlerinin yerine, bu formülasyon şev deformasyonu boyunca enerjinin korunumundan elde edilmiş yani kayan kütlenin kinetik enerjisindeki değişim, sismik hareketlerin ve iç zemin direncinin aşılmasında yapılmış işin giriş enerjisindeki farka eşittir. Bu yaklaşım çok serbest dereceli bir sistemi modellemede kullanılabilir. Ayrıca, bilinen Newmark modelleri rijit-plastik davranışla sınırlandırıldığı yerde, Byrne ve diğ. (1992) tarafından geliştirilen model, deplasmanın bir fonksiyonu olarak kayma direncindeki değişimleri içerir. Rijit-mükemmel-plastik davranış kabul edildiği zaman, çözüm için Newmark modeline dönülebilir. Bununla beraber, zemin sıvılaşmasıyla beraber değişen kayma direncini modelleme, sıvılaşmış zeminin nonlineer gerilme-deformasyon davranışı hakkında bilgiye ihtiyaç duyar ve analize bir zorluk getirir.

Şekil 4.13: Sıvılaşmanın Neden Olduğu Yanal Yayılmanın Newmark Tipi Analizi İçin Akma İvmesinin Belirlenmesi (Orijinal:Baziar ve diğ., 1992; Kaynak: Rauch, 1997)

Martin ve Qui (1994) yol dolgularının deplasmanlarını bulmak için Newmark yaklaşımını benimsemişlerdir. Limit denge prensibi kullanılarak çoğu kritik kayan bloklar için güvenlik faktörünün bir olmasına yol açan yatay akma ivmesi (ay=ky) belirlenebilir. Kabul edilen rijit blok davranışında k>ky olduğu zaman yatay blok deplasmanlarının artışına neden olan zemin hareketleri, kayan blokun tabanında

rezidüel mukavemet hareketlidir. Nihai blok deplasmanları verilen bir zaman geçmişine göre bilgisayar programı yardımıyla hesaplanabilir. Yada boyutsuz şekilde ky/kmax’ın bir fonksiyonu olarak sürekli deplasmanları ifade eden kartlar kullanılabilir (Şekil 4.14). Burada kmax maksimum zemin ivme katsayısıdır. Ortalama deplasman (d) aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.

66 . 1 86 . 0 08 . 5 max y 55 . 0 max y/k ) *(1 k /k ) *A *V k ( 82 . 6 d= − − − (4.7)

Burada, V, en büyük zemin hızı, A, en büyük zemin ivmesi, M, deprem manyitüdü olup birimler inch ve saniyedir. A^-0.86*v^1.66 ile normalize edilerek d/A^-0.86*v^1.66 -ky/kmax gösteren normalize edilmiş deplasman kartı Şekil 4.14’de verilmiştir.

Belgede Depremler Sırasında Zeminlerin Davranışına Bağlı Olarak Meydana Gelen Zemin Deplasmanlarının Belirlenmesi (sayfa 126-134)