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Sob o consentimento de se discutir o que parece assemelhar-se e ser o bem, Sócrates pede para que Glauco consinta em assumir no discurso a divisão de uma Linha: “Toma, pois, uma linha cortada em dois segmentos desiguais, um representando o gênero visível e outro o gênero inteligível, e seciona de novo cada segmento segundo a mesma proporção” (509d). Glauco deve pensar em uma Linha e dividí-la em duas partes desiguais7.

Depois de dividir a Linha em duas partes, Sócrates pede para se dividir essas partes segundo aquela divisão desigual e primeira. Resultam, então, quatro partes. As relações implicadas na primeira divisão se estendem sobre as duas partes derivadas do primeiro corte gerando, assim, o que é conhecida como Linha Dividida em Platão a qual segue a forma geral: A está na mesma relação com B, que C está para com o elemento D.

Dizer que essa forma assume determinadas relações, não implica concluir que em Platão a analogia tem exatamente quatro elementos. Na forma geral em que A está para B, como C está para D, há aparentemente quatro elementos que se relacionam no mesmo modo de uma proporção. Porém a proporção na Linha Dividida não é a relação entre quatro elementos. Se A fica a B, e C fica a D, e E fica a F, enquanto G fica a H, e mesmo que surjam mais termos, ainda se expressa uma proporção. Não são duas ou três proporções, todos esses termos formam uma. A primeira proporção A fica a B enquanto C fica a D, tem duas razões, logoi, uma razão A/B e outra C/D. Aquela mais complexa tem quatro razões: A/B, C/D, E/F, e G/H. Apesar de ter um número maior de razões ela é uma analogia semelhante a que tem duas razões. A proporção não é a relação entre quatro elementos, não somente porque mais termos podem se relacionarem analogicamente, mas também

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Geralmente há ambiguidade entre alguns pesquisadores sobre a primeira divisão da linha. Segundo Eleazar M. Teixeira há tradutores que optam pelo termo “desiguais” (ánisa) em vez de “iguais”, (án ìsa), porque no fragmento dessa passagem não está claro se está junto à ìsa (TEIXEIRA, 2009, p. 227). Nesta tese adota-se o emprego do termo que denota “desigualdade” porque é a que mais favorece a interpretação adotada nesta pesquisa e é a atualmente convencionada. Alexandre J. Baptista escreve que somente tratando as divisões como desiguais é que se pode estabelecer alguma proporção tal como Sócrates argumenta na passagem. Para Baptista, a polêmica surge já na antiguidade e formam duas linhas interpretativas: alguns pesquisadores seguem Jamblico ao optar por “iguais” (ìsa); outros seguem Proclus e Plutarco ao adotarem “desiguais” (ánisa). Baptista ainda enfatiza que há dentre os fatores determinantes na escolha que mantém o uso de “desiguais” nos dias de hoje, um que é predominante: o termo ánisa torna inteligível a proporção de estrutura matemática (BAPTISTA, 2006, p. 21).

porque um termo envolve dois elementos. Um termo é uma razão porque precisa de significância. Na razão, um elemento se define a partir de suas relações com outro elemento, independente de serem iguais ou diferentes. Nesse sentido, a Linha Dividida equivale a uma proporção que indica específicas equivalências entre razões. Portanto, A está para B como C está para D é a forma geral da Linha Dividida.

Os elementos presentes em uma proporção, se isolados perdem seu aspecto significativo. Seus significados só retornam quando vistos no todo da proporção. Não se pode pensar que, para se entender a verdade ou falsidade de uma proposição, é preciso saber somente o que quer dizer cada um dos elementos. A consequência do isolamento individual de cada termo é o obscurecimento de seus significados. Pensar A (um termo), ou mesmo A em sua relação com B (uma razão), tem mais significância quando está no contexto de uma proporção. Os significados dos elementos e das razões estão intrinsecamente ligados à situação da proporção que se mostra pela Linha Dividida.

A estrutura da Linha Dividida é o que se chama no capítulo introdutório de teoria das proporções de Eudoxo expostas em “os elementos de geometria” de Euclides. Charles Mugler (1948) defende que Platão cria a geometria euclidiana por postular a proporção contínua na matemática. Ele reconhece que A. E. Taylor está correto em julgar que a questão do espaço em Platão é profundamente euclidiano, mas que há outra questão mais fundamental que se passa despercebido não só por Taylor, também pelos demais pesquisadores. Mugler observa que, até sua época, a atenção dos pesquisadores se ocupa mais dos detalhes técnicos da construção dos poliedros regulares, deixando a questão da proporção sem uma análise mais atenta. Para ele, as relações de proporção presentes no discurso que explica os triângulos retângulos e as outras formas geométricas e que permitem a construção do mundo no diálogo Timeu estão presentes desde o inicio da teoria dos elementos em Euclides (MUGLER, 1948, p. 79). Mugler vê que Platão analisar a geometria para seus fins cosmogônicos no Timeu é reflexo da adoção pelos gregos, muito antes de Euclides, do modelo de geometria que se torna conhecido como geometria euclidiana. As propriedades e proporções usadas pelo demiurgo no Timeu são exatamente as mesmas que caracterizam a pesquisa de Euclides, segundo Mugler (p. 132-133, 241-242, 258, 388-399).

No contexto d’A República, Erickson e Fossa veem que, na Linha Dividida, os elementos intermediários formam a média geométrica entre os extremos a qual permite a participação de todos os segmentos em uma ordenação proporcional (ERICKSON, FOSSA, 2006, p. 59).

Nesse contexto, seguindo o argumento de Erickson e Fossa, a proporção inerente à Linha Dividida assume a forma específica de uma proporção contínua, pois mantém o aspecto de congruência entre os dois seguimentos internos. Por que um tipo específico de proporção? A resposta, segundo consta no capitulo introdutório desta tese, é a seguinte: porque quando uma Linha é dividida em duas partes de tal modo que a razão entre o segmento inteiro e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e a parte menor, essa relação na matemática atual é chamada de proporção contínua.