Modelleme çalışmaları gravite yönteminde anomaliye neden olan yapının şeklinin ve derinliğinin belirlenmesidir. Gravite prospeksiyonda bu gibi bilinmeyenlerin belirlenmesinde çeşitli ters ve düz çözüm teknikleri geliştirilmiştir. Bu teknikler belirli bir geometriye sahip yapıların ürettiği anomalilerin modellemesinde kullanıldığı gibi ana kaya ara yüzey sınırlarının modellenmesinde de kullanılmaktadır. Ancak ondülasyonlu sediman-anakaya sınırlarının belirlenmesinde bilinmeyen parametre sayısının fazlalığı modellemeyi güçleştirmektedir (Oruç, 2013). Güç spektrumu (Spector ve Grant, 1970) ve yoğunluk-derinlik (Parker-Oldeburg) dönüşümü, bilinmeyen parametre sayısının fazla olduğu ana kaya derinlik modellemesinde yaygın bir şekilde kullanılmaktadır (Maus ve Dimri, 1996; Abbott ve Louie, 2000; Jachens ve ark., 2002; Gomez-Ortiz ve Agarwal, 2005; McPhee ve ark., 2006; Özalaybey ve ark., 2011; Bonde ve ark., 2014; Shafie ve ark., 2016).
5.4.1. Güç spektrumu yöntemi
Potansiyel alanların spektral analizi ile farklı yoğunluktaki jeolojik yapılara ait derinlik kestirimi uzun yıllardan bu yana çeşitli araştırmacılar tarafından kullanılmaktadır (Spector ve Grant, 1970; Maus ve Dimri, 1996; Bansal ve Dimri, 2001; Salem ve ark., 2005; Olowofela ve ark., 2012; Shafie ve ark., 2016). İlk olarak Bhattacharyya (1966) tarafından ortaya atılan ve Spector ve Grant (1970) tarafından farklı kütlelerin derinliklerini belirlemede kullanılan yöntem yüzeyde ölçülen manyetik alanın yeraltındaki tüm derinliklerin manyetik değerlerinin integrali olarak tanımlanmaktadır (Nwosu ve ark., 2013). Fourier dönüşümü ile elde edilen güç spektrumu, yeraltında anomaliye kaynak oluşturan yapıların ortalama maksimum derinliklerini tespit etmede kullanılır. Diğer taraftan teknik herhangi bir kaynak geometrisi ve yoğunluk farkı bilgisi olmaksızın frekans ortamında anomali spektrumu ile kaynak üst yüzey derinliğinin çözümlenmesine imkanı vermektedir ve bu da yöntemin en önemli avantajıdır (Oruç, 2013).
İki boyutlu Fourier dönüşümü yapılarak uzay ortamından frekans ortamına aktarılan bir gravite verisi Karner ve Watts (1983) ve Oruç (2013)’den özetle
𝐺(𝑘) = 2𝜋𝐺∆𝜌𝑒𝑥𝑝(−𝑘𝑑)𝐻(𝑘) (5.39)
eşitliği ile tanımlanır. Burda; Δρ tabaka düzlemindeki yoğunluk kontrastı, k dalağa sayısını, H(k) ise h(x) topoğrafyasının Fourier dönüşümüdür. Bu eşitlik Bouguer düzeltmesi yapıldıktan sonra
|𝐺(𝑘)|2 = 4𝜋2𝐺∆𝜌2exp(−2𝑘𝑑) |𝐾(𝑘)|2 (5.40)
şekline gelecektir. Eşitlikte |G(k)|2
ortalama gravite güç spektrumudur ve tek bir noktanın yoğunluk kontrastı (Δρ), derinlik (d) ile Fourier dönüşümünün serbest değişiminden oluşur. Ortalama güç spektrumu denklem 5.40 kullanılarak
〈|𝐺(𝑘)2|〉 = 4𝜋2𝐺2〈∆𝜌2〉〈𝑒−2𝑘𝑑̅〉〈|𝐻(𝑘)|2〉 (5.41)
olarak yazılabilir. Eşitlikte 〈𝑒−2𝑘𝑑̅〉 terimi
〈𝑒−2𝑘𝑑̅〉 = 𝑒−2𝑘𝑑̅sinh (2𝑘∆𝑑)𝑘 (5.42)
yazılıp denklem 5.41’de her iki tarafın logaritması alınırsa
ln[〈𝑒−2𝑘𝑑̅〉] = −2𝑘𝑑̅ + ln [sinh (2𝑘∆𝑑)𝑘 ] (5.43)
şeklinde doğru denklemi eşitliği elde edilir.
Denklem 5.43’de -2𝑑̅ ile ifade edilen terim doğrunun eğimidir. Logaritmik dalga sayısına karşılık frekans değerlerinden çizdirilen güç spektrumu eğrilerinin eğimleri, anomali veren yapının üst yüzey derinliğini verir (Şekil 5.8.). Dalga sayısı ile lineer olarak değişen güç spektrumu artan dalga sayısı ile birlikte sıfıra yakınsar (Akay ve
125
ark., 2013). Buda güç spektrumunun logaritmasının dalga sayısı ile azalacağını gösterir. Güç spektrumunda genel olarak eğriler sığ ve derin olmak üzere iki kaynak ile tanımlanır. Spektrum eğrisinde büyük dalga sayıları sığ kaynaklar ilişkilendirilirken, küçük dalga sayıları ise derin kaynaklar ile ilişkili olmaktadır (Sadek ve ark., 1984).
Şekil 5.8. Güç spektrumu yönteminde derinlik kestiriminin şematik gösterimi
5.4.2. Parker ve Oldenburg yöntemi
Gravite anomalilerinden üç boyutlu ara yüzey yoğunluk sınırlarının tespiti birçok jeofizik çalışmanın ortak sorunudur (Jachens ve Moring, 1990; Abbott ve Louie, 2000; Jachens ve ark., 2002; Gomez-Ortiz ve Agarwal, 2005; Chakravarthi ve Sundararajan, 2007; Özalaybey ve ark., 2011). Bu sorundan yola çıkan çeşitli araştırmacılar yoğunluk ara yüzey sınırlarının hesaplaması için farklı algoritmalar geliştirilmiştir (Talwani ve Ewing, 1960; Parker, 1973; Oldenburg, 1974; Tsuboi, 1983; Holstein ve Ketteridge, 1996; Chakravarthi ve Sundararajan, 2004). Bu algoritmalardan Oldenburg (1974) algoritması, Fourier dönüşümünü kullanarak gravite veri setlerinin analizi ve tektonik yorumlamasında kullanışlı bir algoritma olarak bilinmektedir (Gomez-Ortiz ve Agarwal, 2005). Teknik esasında Parker (1973) algoritmasının iteratif çözümleme yapılmış şeklidir ve bu nedenle literatürde Parker-Oldenburg yöntemi olarak geçer.
Parker (1973) tarafından tanımlanan algoritma, düzenli veya düzensiz sınır derinliklerinden meydana gelen gravite anomalilerinin Fourier dönüşümü yapılarak hesaplanmasını sağlar (Nagendra ve ark., 1996). Bu ifade bir boyutlu olarak
𝐹(∆𝑔) = −2𝜋𝐺𝜌𝑒(−𝑘𝑧0)∑ 𝑘𝑛−1
𝑛! 𝐹[ℎ𝑛(𝑥)]
∞
𝑛=1 (5.44)
şeklinde verilir. Burda; F(Δg) gravite anomalisinin Fourier transformu, G gravite sabiti, ρ ara yüzey boyunca yoğunluk, k dalga sayısı, h(x) ara yüzey derinliği, z0 yatay ara yüzeyin ortalama derinliği, n ise ondülasyon derecesidir.
Gravite anomalisine neden olan ondülasyonlu ara yüzey seviyesinin derinliğini iteratif hesaplanabilmesi için Oldenburg (1974) denklem 5.44’ü yeniden düzenleyerek
𝐹[ℎ(𝑥)] = −𝐹[∆𝑔(𝑥)]𝑒2𝜋𝐺𝜌(−𝑘𝑧0)− ∑∞ 𝑘𝑛−1𝑛! 𝐹[ℎ𝑛(𝑥)]
𝑛=2 (5.45)
eşitliğini türetmiştir. Verilen bu eşitlik ara yüzey yoğunluk kontrastından, ara yüzey derinlik değişiminin ters çözüm yöntemi ile belirlenmesini sağlar (Gomez-Ortiz ve Agarwal, 2005). Eşitlikte z0 ara yüzeyin ortalama derinliğini ρ ise iki ortam arasındaki yoğunluk kontrastını ifade eder. Bu durumda iterasyon h(x)=0 başlangıç derinliği ile başlar ve F[hn
(x)]’in ters Fourier dönüşümü ile bir değer üretir. Üretilen h(x) denklem 5.45’de tekrar yerine konularak yeni bir derinlik seviyesi elde edilir.
Hesaplanan h(x)’ler arasındaki farkın makul kabul edilen bir değere yakınsamasıyla süreç sonlandırılır.
127
Denklem 5.45’de ters çözüm işlemi yüksek frekanslarda kararsızdır ve bu işlemin yakınsaması için Oldenburg (1974) low-pass (düşük frekans geçiren) veya high-cut (yüksek frekans kesme) filtre önermiştir (Şekil 5.9.) (Nagendra ve ark., 1994). Bu nedenle gravite anomalilerinin Fourier spektrumunda, yüksek frekans içeriğinin sınırlanmasında aşağıda verilen denklem 5.46 ters çözüm işlemine dahil edilir.
𝑊𝐻 < 𝑘 < 𝑆𝐻; 𝑌𝐹𝐾(𝑘) =12[1 + cos (2(𝑆𝐻−𝑊𝐻)𝑘−2𝜋𝑊𝐻 )] 𝑘 > 𝑆𝐻; 𝑌𝐹𝐾(𝑘) = 0
𝑘 < 𝑊𝐻; 𝑌𝐹𝐾(𝑘) = 1 (5.46)
Verilen eşitlikte WH ve SH filtre katsayıları olup, k ise 1/λ ile ifade edilir. Ancak bu filtre değerleri seçilirken dikkatli olmak gereklidir. Yüksek frekans içeriğinin gereğinden fazla filtrelenmesi topoğrafyadaki yapısal detayların eleminize edilmesine neden olacaktır. Bu durumda SH ile ifade edilen kesme frekansının azalması daha yuvarlatılmış bir derinlik dağılımı oluşturacaktır.