In Vivo Çalışmaların Sonuçları

A matem´atica, diz Weyl, ´e a ciˆencia do infinito∗_{. A posi¸c˜ao de Weyl e, em geral, dos}

intuicionistas a respeito do infinito na matem´atica ´e que a introdu¸c˜ao de considera¸c˜oes sobre o infinito – a introdu¸c˜ao de proposi¸c˜oes gerais – nos obriga a revisar n˜ao apenas o estatuto de algumas leis que valem para o caso finito e, no entanto, deixam de valer para o caso infinito, mas o pr´oprio conceito de prova. Para proposi¸c˜oes gerais que percorrem dom´ınios finitos, a investiga¸c˜ao da ocorrˆencia de certa propriedade (decid´ıvel) para todos os elementos deste dom´ınio ou para alguns destes elementos pode ser feita pela inspe¸c˜ao individual de cada elemento. Assim, as condi¸c˜oes de verdade – o sentido – do enunciado geral ´e simplesmente fun¸c˜ao de verdade dos enunciados particulares.

Provamos o enunciado geral em fun¸c˜ao das provas dos enunciados particulares. Esta formula¸c˜ao, por´em, deixa de valer quando as proposi¸c˜oes gerais percorrem dom´ınios infinitos (como, e.g., os n´umeros naturais). Com efeito, a investiga¸c˜ao do valor de verdade da proposi¸c˜ao geral j´a n˜ao pode ser feita pela inspe¸c˜ao individual de cada um dos infinitos elementos de que trata a proposi¸c˜ao. Nesse sentido, j´a n˜ao podemos provar o enunciado geral em fun¸c˜ao da totalidade de provas dos enunciados particulares. O que ocorre, ent˜ao, ´e que o pr´oprio conceito de prova e, portanto, de verdade de um enunciado deste tipo se altera: para as proposi¸c˜oes gerais, deixamos de nos preocupar com suas – infinitas – condi¸c˜oes de verdade, para nos preocupar apenas com suas condi¸c˜oes de assertabilidade, i.e., as condi¸c˜oes sem as quais a asser¸c˜ao do enunciado geral carece de

Zahlen (bzw. endlichen Dezimalbriichen) ¨uberlagerte volle Einheitskontinuum zu erhalten, ist es

notwendig, neben den ‘fertigen Elementen’ des reduzierten Kontinuums ‘unfertige Elemente’ einzufiihren, indem wir neben den konvergenten Fundamentalreihen unitar beschrankter rationaler Zahlen auch (durch freie Wahl erzeugte) konvergente Folgen derartiger rationaler Zahlen zulassen. Um von diesem

vollen Einheitskontinuum die fertige ¨uberabzahlbare Vielfachheit zum Ausdruck zu bringen, (...)”.

justifica¸c˜ao.

Como vimos anteriormente, a indu¸c˜ao ´e, ent˜ao, vista como uma ferramenta de justifica¸c˜ao das proposi¸c˜oes gerais (universais) na aritm´etica. Poincar´e chega a dizer que, com o racioc´ınio indutivo, a matem´atica pode – assim como as outras ciˆencias – proceder do particular ao geral∗_{. Na contram˜ao desta concep¸c˜ao, a ideia fundamental}

de Wittgenstein nas PhBm ´e que n˜ao h´a provas de enunciados gerais na aritm´etica, o que implica – dado o elo forte entre o sentido de um enunciado matem´atico e sua prova (Cf. o Cap´ıtulo 3 deste trabalho) – que n˜ao h´a enunciados gerais na matem´atica. As equa¸c˜oes alg´ebricas e aritm´eticas s˜ao igualmente particulares e s˜ao regidas, cada uma, por suas pr´oprias regras, ou seja, as regras para o c´alculo com caracteres tˆem regras que independem das regras aritm´eticas. A indu¸c˜ao n˜ao prova uma proposi¸c˜ao (uma regra) do c´alculo alg´ebrico†_{, mas apenas mostra a aplicabilidade desta regra ao c´alculo}

aritm´etico.

Em uma passagem dos manuscritos, Wittgenstein chega at´e mesmo a elevar sua concep¸c˜ao das equa¸c˜oes e sua explica¸c˜ao dos enunciados gerais na aritm´etica ao estatuto de um Grundgedanke: “Eu n˜ao posso me elevar sobre equa¸c˜oes por meio de equa¸c˜oes, eu n˜ao posso obter nada al´em de equa¸c˜oes. Este ´e um de meus Grundgedanken que ´e imensamente dif´ıcil de se compreender plenamente”‡_{. Do que Wittgenstein parece n˜ao}

abrir m˜ao de modo algum em sua explica¸c˜ao ´e da tese composicionalista do sentido de proposi¸c˜oes complexas (moleculares). Se o enunciado alg´ebrico ´e entendido como uma proposi¸c˜ao que enuncia algo a respeito de todos os n´umeros naturais, ent˜ao o sentido deste enunciado deve ser, necessariamente, fun¸c˜ao do sentido de cada um dos infinitos enunciados particulares, e se um enunciado deste tipo ´e permitido na matem´atica, ent˜ao nada dep˜oe contra a existˆencia de enunciados cuja verdade n˜ao se pode decidir por meio de um c´alculo finito. Mas esta ´e, precisamente, a (falsa) concep¸c˜ao extensional do infinito, concep¸c˜ao da qual ele procura se desvencilhar:

A falsa concep¸c˜ao de vari´avel ´e em grande medida a culpada por nossa dificuldade, isto ´e, a concep¸c˜ao como se ela r e p r e s e n t a s s e n´umeros (a concep¸c˜ao extensional), ao passo que ela n˜ao representa nada, mas ela ´e o que ´e. Se ela representasse n´umeros, ent˜ao seria apenas preciso que 53_{+ 7}3_{= 9}3 _{tivesse sentido e o sentido das proposi¸c˜oes} gerais sobre a forma xn_{+ y}n_{= z}n _{se seguiria disso. Mas como a vari´avel ´e autˆonoma,} ent˜ao a proposi¸c˜ao que a cont´em somente ter´a sentido se ela for control´avel por seus pr´oprios princ´ıpios, assim como 53_{+ 7}3 _{= 9}3 _{pelos seus.}§

Porque n˜ao se deve dizer que a proposi¸c˜ao alg´ebrica diz precisamente o que ´e provado ∗_{Poincar´e: La Science et l’Hypoth`ese, p. 25.}

†_{Tampouco a descoberta de um n´umero que satisfaz um predicado aritm´etico F prova que (∃n)F n.}

Cf. PhBm, XIII−150g:“Das Wichtige ist, daß ich auch dann, wenn mir 32_{+ 4}2_{= 5}2 _{gegeben ist, nicht}

sagen darf: ‘(∃x, y, z, n) · xn_{+ y}n_{= z}n_{’, denn extensiv heißt es nichts und intensional ist es dadurch}

nicht bewiesen. Sondern ich darf dann eben nur die erste Gleichung aussprechen”.

‡_{WAii, p. 82 .} §_{WAi, p. 171 .}

por meio da indu¸c˜ao? Pois esta asserc¸˜ao conduz a incompreensibilidades l´ogicas cuja resolu¸c˜ao apenas a separa¸c˜ao das proposi¸c˜oes arim´eticas e das alg´ebricas fornece.∗

Wittgenstein fala, ent˜ao, que o modo usual (extensional) pelo qual se entende as rela¸c˜oes entre aritm´etica e ´algebra leva a incompreensibilidades l´ogicas. Que incompre- ensibilidades l´ogicas seriam estas? Vejamos a explica¸c˜ao de Weyl – a qual Wittgenstein certamente tem em vista em suas observa¸c˜oes – para o sentido das proposi¸c˜oes gerais, em particular para uma asser¸c˜ao existencial do tipo (∃n)F n:

N˜ao ´e um exame dos n´umeros individuais, mas o exame da essˆencia do n´umero que

pode me fornecer ju´ızos gerais sobre n´umeros. Apenas a descoberta ulterior de certo n´umero com a propriedade F pode fornecer uma justifica¸c˜ao para a resposta sim, e – como n˜ao posso examinar todos os n´umeros – apenas a percep¸c˜ao de que repousa na essˆencia do n´_{umero ter a propriedade ¬F pode fornecer uma justifica¸c˜ao para a} resposta n˜ao; nem mesmo a Deus est´a dispon´ıvel uma raz˜ao diferente para efetuar a

decis˜ao. Mas ambas as possibilidades n˜ao se op˜oem mais uma `a outra como asser¸c˜ao e nega¸c˜ao; nem a nega¸c˜ao de uma nem da outra fornece algum sentido compreens´ıvel.†

Por que raz˜ao Weyl alega que estas duas possibilidades n˜ao possuem uma nega¸c˜ao compreens´ıvel? Ora, se a justifica¸c˜ao para uma asser¸c˜ao geral ´e da forma “repousa na essˆencia do n´umero que ...”, ent˜ao a nega¸c˜ao desta justifica¸c˜ao ´e simplesmente “n˜ao repousa na essˆencia do n´umero que ... ”. Mas ´e inconceb´ıvel que haja na aritm´etica justifica¸c˜oes que recorrem a “propriedades acidentais” do n´umero (i.e., propriedades que n˜ao repousam em sua essˆencia). Se um n´umero possui certa propriedade, ent˜ao esta propriedade ´e parte de sua essˆencia.

As obje¸c˜oes que Wittgenstein faz a este modo de conceber o estatuto de asser¸c˜oes gerais na matem´atica s˜ao as seguintes: em primeiro lugar, uma asser¸c˜ao n˜ao pode ser entendida se sua nega¸c˜ao n˜ao ´e compreens´ıvel. Neste caso, ela n˜ao tem o estatuto l´ogico de uma asser¸c˜ao, de um ju´ızo. Weyl concorda com esta conclus˜ao e prop˜oe chamar, na sequˆencia de seu texto, ju´ızos existenciais de “ju´ızos abstratos” (Urteilsabstrakt) e ju´ızos universais de “instru¸c˜oes para ju´ızos” (Anweisung f¨ur Urteile). Weyl insiste em dizer, por´em, que h´a justifica¸c˜oes para estas constru¸c˜oes gerais. Mas poderia haver propriamente justifica¸c˜ao para algo que n˜ao se op˜oe a nada (para algo cuja nega¸c˜ao n˜ao ´e nem mesmo compreens´ıvel)? Em segundo lugar, mesmo que se suponha, ent˜ao, que as “asser¸c˜oes” (_{∃n)F n e (n)¬F n sejam opostas – em algum sentido diferente de “asser¸c˜ao”}

e sua “nega¸c˜ao” –, seria a justifica¸c˜ao de cada uma delas sua prova? Poderia a prova na matem´atica ser concebida de tal modo que houvesse uma prova para o “sim” e outra para o “n˜ao”? Se a mesma prova n˜ao decide pelo “sim” ou pelo “n˜ao” de uma asser¸c˜ao, ent˜ao a asser¸c˜ao necessariamente diz mais do que aquilo que a prova prova (a prova n˜ao

∗_{WAii, p. 59 .}

seria, neste caso, uma mera an´alise da asser¸c˜ao). A prova na matem´atica seria, ent˜ao, semelhante a “provas” de proposi¸c˜oes emp´ıricas (provas por ind´ıcios, por sintomas). O que ´e caracter´ıstico de uma prova por ind´ıcios ´e precisamente o fato de haver uma prova para o “sim” e outra para o “n˜ao”. P. ex., conclui-se, da presen¸ca de p´olvora em uma das m˜aos, que ele ´e o assassino, mas a ausˆencia deste ind´ıcio n˜ao justifica – sozinha – a conclus˜ao oposta. Do mesmo modo, a indu¸c˜ao seria um ind´ıcio de que a propriedade F vale para todos os n´umeros, mas a ausˆencia deste ind´ıcio n˜ao justificaria – sozinha – a asser¸c˜ao contr´aria. A analogia faz ´agua, por´em, no momento em que se percebe que, no caso da proposi¸c˜ao emp´ırica, ´e poss´ıvel ao menos descrever completamente a situa¸c˜ao que est´a sendo “provada”, ao passo que, na matem´atica, nem mesmo ´e poss´ıvel descrever a situa¸c˜ao de uma propriedade sendo satisfeita por todos os n´umeros, a menos que se adote a (falsa) concep¸c˜ao extensional do infinito. No caso de proposi¸c˜oes emp´ıricas, n´os entendemos o sentido daquilo que est´a sendo “provado” independentemente da “prova”, ao passo que, no caso da proposi¸c˜ao matem´atica geral, entendida intensionalmente, ´e apenas a indu¸c˜ao que lhe daria um sentido. E se entendermos a indu¸c˜ao como a prova da asser¸c˜ao geral, portanto, como aquilo que lhe fornece, ao mesmo tempo, “sentido” e “verdade”, n˜ao estaremos utilizando o termo “asser¸c˜ao” no sentido estrito que este termo recebe na l´ogica. Pois ´e essencial a uma asser¸c˜ao – o mesmo vale de um problema, de uma quest˜ao, de uma proposi¸c˜ao – que ela tenha um sentido independentemente de seu valor de verdade. Assim, se a indu¸c˜ao prova o enunciado geral, ent˜ao n˜ao h´a propriamente um “problema” associado a este enunciado. Wittgenstein rejeita, por´em, essa conclus˜ao:

Minha explica¸c˜ao n˜ao deve eliminar a existˆencia de problemas matem´aticos. Isto ´e, n˜ao ´e de tal modo que uma proposi¸c˜ao matem´atica s´o tem sentido quando ela (ou seu contr´ario) tiver sido provada. (Neste caso, seu contr´ario nunca teria um sentido (Weyl).)∗

Voltamos `a pergunta: em que sentido podemos asserir uma proposi¸c˜ao matem´atica? N˜ao significaria nada dizer que s´o posso asseri-la se ela for correta. – N˜ao, para poder asseri-la, tenho de fazˆe-lo em referˆencia a seu sentido, n˜ao a sua verdade. Como eu j´a disse, parece-me claro que posso asserir uma proposi¸c˜ao geral tanto ou t˜ao pouco quanto a equa¸c˜ao 3 × 3 = 9 ou 3 × 3 = 11.†

A explica¸c˜ao de Wittgenstein a respeito do sentido das proposi¸c˜oes alg´ebricas as coloca no mesmo n´ıvel de proposi¸c˜oes aritm´eticas elementares. Em ambos os casos, o sentido destas proposi¸c˜oes se refere apenas ao m´etodo de prova usado para a demonstra¸c˜ao de sua corre¸c˜ao ou incorre¸c˜ao, e este m´etodo n˜ao faz referˆencia em nenhum ponto de sua execu¸c˜ao a uma infinidade, ainda que potencial. Ora, se era neste infinito que Brouwer buscava justificar a existˆencia de proposi¸c˜oes indecid´ıveis

∗_{PhBm, XIII−148d .}

e, portanto, a n˜ao validade do Princ´ıpio do Terceiro Exclu´ıdo, ent˜ao ´e poss´ıvel dizer precisamente o ponto em que ele se equivoca: estas constru¸c˜oes sinuosas, usadas como contraexemplos ao princ´ıpio, n˜ao instituem quest˜oes matem´aticas, tampouco proposi¸c˜oes matem´aticas:

Brouwer est´a certo quando ele diz que as propriedades do seu n´umero pendular s˜ao incompat´ıveis com a lei do terceiro exclu´ıdo. Mas, com isso, nenhuma peculiaridade de proposi¸c˜oes acerca de agregados infinitos ´e revelada. Ao inv´es disso, isto ´e baseado no fato que a l´ogica pressup˜oe que n˜ao pode ser imposs´ıvel a priori – portanto, logicamente – dizer se uma proposi¸c˜ao ´e verdadeira ou falsa. Pois, se a quest˜ao da verdade ou falsidade de uma proposi¸c˜ao ´e indecid´ıvel a priori, a consequˆencia ´e que a proposi¸c˜ao perde o seu sentido e, como decorrˆencia de tal fato, as proposi¸c˜oes da l´ogica perdem sua validade para ela.∗

N˜ao preciso dizer que, onde o princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo n˜ao vale, nenhuma outra proposi¸c˜ao da l´ogica vale, pois, nesse caso, n˜ao estamos trabalhando com proposi¸c˜oes da matem´atica. (Contra Weyl e Brouwer.)†

Wittgenstein n˜ao contesta, portanto, a validade do terceiro exclu´ıdo para as proposi¸c˜oes matem´aticas‡_{, tampouco contesta a existˆencia de proposi¸c˜oes no c´alculo}

alg´ebrico. Resulta disso que, embora as regras b´asicas do sistema alg´ebrico n˜ao sejam pass´ıveis de prova, as regras que delas se seguem s˜ao prov´aveis do mesmo modo que uma equa¸c˜ao elementar da aritm´etica ´e prov´avel a partir da defini¸c˜ao de adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao etc. ´E preciso recusar, portanto, a interpreta¸c˜ao de Marion§ _{do texto de Wittgenstein}

segundo a qual as leis l´ogicas n˜ao valeriam para “f´ormulas com vari´aveis livres” (equa¸c˜oes alg´ebricas); o correto a dizer ´e que elas valem onde h´a proposi¸c˜oes, onde h´a um sentido proposicional, onde h´a uma quest˜ao cuja resposta seja um “sim” ou um “n˜ao” (e h´a certamente isso na ´algebra).

Para concluir, vale a pena fazer uma curta exposi¸c˜ao (sem a pretens˜ao de esgotar o assunto) de como Wittgenstein trataria as constru¸c˜oes que s˜ao usualmente expressas com quantificadores na aritm´etica (chamadas habitualmente de proposi¸c˜oes aritm´eticas gerais). Para esse fim, consideremos a coluna `a esquerda do quadro abaixo. Ela representa as quatro constru¸c˜oes referentes `as quatro combina¸c˜oes poss´ıveis de nega¸c˜ao e generalidade de um predicado aritm´etico F n. A coluna `a direita representa estas mesmas constru¸c˜oes, por´em em sua forma equacional, consequˆencia da ideia de que a verdade ou falsidade de um predicado matem´atico sempre se refere `a validade ou n˜ao validade de uma equa¸c˜ao (para simplificar a exposi¸c˜ao, consideramos que a verdade do predicado F n ´e provada pela validade de uma equa¸c˜ao).

∗_{PhBm, XV−173e .}

†_{ibid., XIII−151g .}

‡_{Embora conteste, como vimos no Cap´ıtulo 3, certa interpreta¸c˜ao de sua aplica¸c˜ao em provas}

indiretas.

§_{Mathieu Marion: Jogando o bebˆe junto com a ´agua do banho: Wittgenstein, Goodstein e o}

Forma predicativa Forma equacional

1. (n)F n (n)f n = g n

2. (n)¬F n (n)f n 6= gn

3. (∃n)¬F n (∃n)f n 6= gn

4. (∃n)F n (∃n)f n = gn

Vejamos, ent˜ao, cada um destes casos.

Para o primeiro caso, h´a duas possibilidades: i) ou a equa¸c˜ao ´e uma estipula¸c˜ao (como, p. ex., a + 1 = 1 + a), e sua aplicabilidade `a aritm´etica ´e estabelecida por uma “prova” indutiva sobre uma equa¸c˜ao aritm´etica; ii) ou ela ´e uma proposi¸c˜ao alg´ebrica (como, p. ex., (a + 1)2

= a2

+ 2a + 1), e o que ela assere ´e que a aplica¸c˜ao das regras do c´alculo alg´ebrico ao lado esquerdo da equa¸c˜ao fornece o lado direito da equa¸c˜ao. Uma vez provada a aplicabilidade das estipula¸c˜oes alg´ebricas `a aritm´etica, estas proposi¸c˜oes alg´ebricas derivadas s˜ao tamb´em aplic´aveis sem a necessidade de indu¸c˜oes que correspondam a elas e, para este caso, os caracteres s˜ao entendidos como constantes gerais.

O segundo caso admite, de modo similar, duas possibilidades: i) ou a inequa¸c˜ao ´e uma estipula¸c˜ao (como, p. ex., a 6= a + 1), podendo corresponder, na aritm´etica, a uma indu¸c˜ao; ii) ou ´e uma proposi¸c˜ao alg´ebrica (como, p. ex., a2

+ a + 1 6= 0), e o que ela assere ´e que a aplica¸c˜ao das regras do c´alculo alg´ebrico `a equa¸c˜ao correspondente conduz a um ponto de parada, i.e., a um ponto em que n˜ao ´e mais poss´ıvel prosseguir com o c´alculo (p. ex., a2

= −1). Se fosse fornecida a “prova” de aplicabilidade das estipula¸c˜oes alg´ebricas `a aritm´etica, esta inequa¸c˜ao mostraria a impossibilidade de se provar, na aritm´etica, uma f´ormula correspondente `a equa¸c˜ao (no nosso exemplo, ( )2_{+ ( ) + 1 = 0), com um numeral qualquer ocupando a posi¸c˜ao vazia da f´ormula.}

No terceiro e quarto casos, os caracteres s˜ao entendidos como inc´ognitas. No terceiro caso, a inequa¸c˜ao ´e uma proposi¸c˜ao alg´ebrica que ´e verdadeira nos seguintes casos: i) a equa¸c˜ao correspondente tem ra´ızes, mas n˜ao se chega, como no primeiro caso, a uma identidade entre o lado esquerdo e o lado direito da equa¸c˜ao, ii) a equa¸c˜ao correspondente conduz a um ponto de parada do c´alculo. No quarto caso, a equa¸c˜ao ´e uma proposi¸c˜ao alg´ebrica, que diz que um dos seguintes casos ocorre: i) ou a equa¸c˜ao tem ra´ızes; ii) ou se chega a uma identidade entre o lado esquerdo e o lado direito da equa¸c˜ao.

Nos casos em que ´e preciso encontrar a(s) raiz(es) da equa¸c˜ao, a proposi¸c˜ao alg´ebrica tem apenas sentido caso haja um m´etodo para encontr´a-la(s) (e percorrer a s´erie num´erica testando a equa¸c˜ao para cada n´umero natural n˜ao ´e um m´etodo). O c´alculo alg´ebrico e suas quest˜oes permanecem, assim, no dom´ınio daquilo que ´e decid´ıvel, o que coincide, para Wittgenstein, com o dom´ınio daquilo que ´e, na matem´atica, pens´avel.