2. KURAMSAL TEMELLER
2.8. Kontrollü İlaç Salınımı
2.8.1. Difüzyon ve ilaç salınım mekanizması
O n´umero real, assevera Wittgenstein, deve medir∗. Esta exigˆencia, que ´e extra´ıda do
modo pelo qual o n´umero real ´e aplicado, desdobra-se em dois crit´erios que um n´umero real leg´ıtimo deve satisfazer:
i) Crit´erio da comparabilidade absoluta: deve ser poss´ıvel determinar se o n´umero real ´e maior, igual ou menor que um n´umero racional arbitr´ario. (PhBm, XVIII−191b) ii)Crit´erio da comparabilidade relativa: deve ser poss´ıvel determinar limites
dentro dos quais se encontra a distˆancia entre o n´umero real e um n´umero racional arbitr´ario. (PhBm, XVIII−199d)
Precisemos cada um dos crit´erios. Dado um n´umero real α que engendra aproxima¸c˜oes racionais [α1, α2, ...] e um n´umero racional arbitr´ario ab, o crit´erio da
comparabilidade absoluta exige que as proposi¸c˜oes matem´aticas “α > a
b”, “α = a b” e
“α < ab” tenham sentido; j´a o crit´erio da comparabilidade relativa exige que seja poss´ıvel encontrar n´umeros racionais positivos q1 e q2, tais que q1 <
α − a b < q2.
Na posse de ambos os crit´erios, uma quest˜ao que se coloca ´e se o m´etodo de produzir aproxima¸c˜oes racionais de um n´umero real por meio de sua expans˜ao no sistema decimal pode satisfazˆe-los. Com rela¸c˜ao ao primeiro crit´erio, a expans˜ao decimal ´e um m´etodo de compara¸c˜ao v´alido apenas se for determinado, de antem˜ao, quantas casas decimais s˜ao necess´arias para se tomar uma decis˜ao a respeito da compara¸c˜ao†. N˜ao
se pode dizer “calcule a expans˜ao decimal at´e que, em algum momento, se obtenha uma decis˜ao a respeito da compara¸c˜ao”, j´a que “em algum momento” n˜ao significa absolutamente nada‡. Essa determina¸c˜ao do n´umero de casas decimais seria, em geral, poss´ıvel? Tomemos primeiramente o caso mais simples, em que o n´umero racional a
b
a ser comparado com o n´umero real n˜ao ´e uma d´ızima peri´odica. Seja n o n´umero de casas decimais deste n´umero§. Seria suficiente computar n + 1 casas decimais do
n´umero real para se tomar uma decis˜ao? Suponha que o n´umero racional seja 0.3375 e as n + 1 casas calculadas sejam 0.33750 ou 0.33749. Isso levaria a uma decis˜ao? De modo algum, ao menos que se saiba de antem˜ao que o n´umero real em quest˜ao n˜ao ´e um n´umero racional. J´a no caso em que o n´umero racional a ser comparado ´e peri´odico na base decimal, a determina¸c˜ao do n´umero de casas a serem calculadas ´e, em geral, imposs´ıvel; seria poss´ıvel, em certos casos, alterar a base num´erica para uma base em
∗PhBm, XVIII−a.
†Cf. ibid., XVIII−195f.
‡Ibid., XVIII−193a.
§Valor que ´e poss´ıvel computar de antem˜ao. Com efeito, o n´umero de casas decimais de um n´umero
racional n˜ao peri´odico a
b na base decimal ´e igual `a maior potˆencia dos componentes primos de b. Ex:
27 80 =
27
24×51; portanto, o n´umero de casas decimais de
27
que o n´umero racional ´e n˜ao peri´odico, retornando-se deste modo ao caso anterior. Em todo caso, quando n˜ao se sabe de antem˜ao que o n´umero real n˜ao ´e um n´umero racional, a expans˜ao decimal n˜ao constitui uma ferramenta para a compara¸c˜ao deste n´umero com os racionais.
No que diz respeito ao segundo crit´erio, a expans˜ao decimal, em geral, n˜ao fornece limites para a distˆancia entre o n´umero real e um n´umero racional arbitr´ario, na medida em que n˜ao ´e poss´ıvel determinar, p. ex., quantos noves ou quantos zeros podem se seguir a partir de uma determinada casa decimal∗. De fato, pois, se n˜ao ´e
poss´ıvel determinar o n´umero m´aximo de noves que ocorre porventura ap´os 1.414 na expans˜ao decimal de√2 (e computar a expans˜ao at´e que n˜ao apare¸ca um 9 n˜ao ´e uma op¸c˜ao), n˜ao ´e poss´ıvel fornecer uma distˆancia que seja menor que a diferen¸ca entre √
2 e 1.415. A expans˜ao decimal n˜ao satisfaz, portanto, o crit´erio da comparabilidade relativa, exceto em casos bastante particulares em que se conhece uma lei da ocorrˆencia dos d´ıgitos do sistema decimal na expans˜ao decimal, como ocorre, p. ex., com o n´umero 0.101001000.... Neste caso em particular, os dois crit´erios acima s˜ao satisfeitos.
As considera¸c˜oes acima valem, ´e claro, n˜ao apenas para a expans˜ao decimal, mas para toda uma fam´ılia de aproxima¸c˜oes por meio da expans˜ao do n´umero real em certa base. Isso n˜ao significa, por´em, que todo sistema de aproxima¸c˜oes racionais tem os mesmos defeitos da expans˜ao decimal ou de uma expans˜ao em outra base qualquer. A t´ıtulo de exemplo, considere a representa¸c˜ao de n´umeros reais por meio de fra¸c˜oes continuadas simples, i.e., por leis da forma a0+
1 a1+ 1 a2+ 1 a3+ · · · , sendo
cada ai um n´umero inteiro positivo. ´E poss´ıvel provar (Cf. Apˆendice B) que a
expans˜ao nesta nota¸c˜ao satisfaz a ambos os crit´erios de comparabilidade (isso tem a ver fundamentalmente com o fato de que a representa¸c˜ao de cada n´umero racional em fra¸c˜oes continuadas simples ´e finita). E este fato ´e importante para mostrar que o crit´erio da comparabilidade (absoluta e relativa) n˜ao ´e o ´unico crit´erio para que se reconhe¸ca, em uma prescri¸c˜ao para a forma¸c˜ao de aproxima¸c˜oes racionais, um n´umero real leg´ıtimo. Com efeito, no decorrer dos cap´ıtulos XVI a XVIII, Wittgenstein introduz uma s´erie de prescri¸c˜oes que ser˜ao qualificadas como “pseudoirracionais”. S˜ao elas:
•
5→3√
2, que ´e a prescri¸c˜ao para gerar fra¸c˜oes decimais
5→3√ 2 1 , 5→3√ 2 2 , 5→3√ 2 3 ,
..., especificada do seguinte modo:
5→3√ 2 n = n X i=1 ai 10i−1, em que ai = ∗Ibid., XVIII−199e.
i-´esima casa decimal de √2, caso ela seja 6= 5 3, caso contr´ario
• 7→3π , que ´e a prescri¸c˜ao para gerar fra¸c˜oes decimais 7→3π
1 , 7→3 π 2 , 7→3 π 3 ,
..., especificada do seguinte modo: 7→3π
n = n X i=1 ai 10i−1, em que ai =
i-´esima casa decimal de π, caso ela seja 6= 7 3, caso contr´ario
• P , que ´e a prescri¸c˜ao para gerar fra¸c˜oes decimais P1, P
2, P3, ..., especificada do seguinte modo: P n = n X i=1 ai 10i, em que ai = 1, se i ´e primo 0, caso contr´ario
• F , que ´e a prescri¸c˜ao para gerar fra¸c˜oes decimais F
1, F2, F3,
..., especificada do seguinte modo: F
n = n X i=1 ai 10i, em que ai = 1, se ∃x, y, z ∈ N, 0 < x, y, z ≤ 100, tal que xi+ yi = zi 0, caso contr´ario
Por raz˜oes semelhantes, nenhum destes n´umeros satisfaz o crit´erio da compa- rabilidade com os racionais∗. Este resultado, no entanto, depende de caracter´ısticas
particulares do sistema decimal e de modo algum pode ser generalizado. Caso estas prescri¸c˜oes n˜ao fossem prescri¸c˜oes para gerar fra¸c˜oes decimais, mas para produzir fra¸c˜oes continuadas simples, todas elas obedeceriam o crit´erio da comparabilidade. Isso indica que a motiva¸c˜ao para introduzir estes pseudon´umeros n˜ao ´e apenas a de exemplificar ou explorar este crit´erio, que estes pseudon´umeros tˆem a fun¸c˜ao de destacar outra caracter´ıstica essencial ao n´umero real. De fato, vejamos.
Todos estes exemplos ilustram aquilo que Wittgenstein chama, no in´ıcio do cap´ıtulo XVIII das PhBm, de experimento aritm´etico. Um experimento aritm´etico ´e, por assim dizer, a mistura de uma lei e de uma “descri¸c˜ao”. H´a uma lei e, portanto, uma regularidade, mas as constru¸c˜oes regulares da lei s˜ao selecionadas por uma “descri¸c˜ao” (e.g., a ocorrˆencia do d´ıgito 7 na expans˜ao de π), por uma “propriedade” (e.g., ser
um n´umero primo). O resultado desta sele¸c˜ao, por sua vez, n˜ao obedece a uma lei. Wittgenstein procura mostrar que estes resultados n˜ao s˜ao de interesse aritm´etico, que apenas o que ´e claramente regular (i.e., regido por uma lei) pode ser de interesse aritm´etico†. Esta exigˆencia de regularidade resultar´a no crit´erio segundo o qual os
valores aproximados que a lei de um n´umero real produz devem formar uma “s´erie
∗Contrariamente ao que afirma Frascolla em Frascolla: Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics,
p. 89.
†Cf. WAii, p. 69: “Das arithmetische Experiment kann nichts arithmetisch Interessantes sein. Es
muß immer die Nebensache einer Hauptsache sein. Das Unwesentliche an einem Wesentlichen. / Was in der Arithmetik, nicht offenbar gesetzm¨aßig ist, ist uninteressant”.
evidente” (offenbare Reihe). Voltaremos nossa aten¸c˜ao a este crit´erio na Se¸c˜ao seguinte; por ora, ´e relevante assinalar que, em diversas passagens dos manuscritos, Wittgenstein manifesta a inten¸c˜ao de juntar ambos os crit´erios∗ (o da comparabilidade e o da s´erie
evidente), de mostrar que h´a uma rela¸c˜ao entre eles. Ora, se h´a uma tentativa de junt´a-los, de relacion´a-los, ´e precisamente porque eles foram introduzidos de forma independente. Inversamente, se a introdu¸c˜ao de “experimentos aritm´eticos” j´a tivesse vinculada desde o princ´ıpio ao crit´erio da comparabilidade, esta tentativa posterior de uni-los n˜ao teria nem p´e nem cabe¸ca.
Como vimos anteriormente para o caso das fra¸c˜oes continuadas simples, ambos os crit´erios n˜ao s˜ao extensionalmente inclusivos, j´a que ´e poss´ıvel definir, por meio de um experimento aritm´etico, uma prescri¸c˜ao compar´avel com os racionais. Para que ambos fossem unificados em um ´unico crit´erio, o crit´erio da comparabilidade teria que ser necessariamente modificado, de modo a exigir tamb´em a comparabilidade com outros n´umeros reais, e n˜ao apenas com os n´umeros racionais. Wittgenstein chega a esta for- mula¸c˜ao mais forte do crit´erio da comparabilidade nos manuscritos†, mas prefere manter
a vers˜ao mais fraca nas PhBm. No lugar da exigˆencia categ´orica da comparabilidade entre dois n´umeros reais, permanece nas PhBm apenas um questionamento: como ´e poss´ıvel haver dois n´umeros que s˜ao incompar´aveis um com o outro? Isso n˜ao contradiz a representa¸c˜ao unit´aria da reta num´erica?‡ Qual seria o motivo deste acautelamento?
Se o n´umero real ´e a lei, ´e a indu¸c˜ao segundo a qual s˜ao engendrados valores aproximados, ent˜ao uma equa¸c˜ao ou inequa¸c˜ao entre n´umeros reais deve necessariamente remeter, no caso geral, a uma indu¸c˜ao que relaciona estes valores engendrados por cada uma das leis. Esta indu¸c˜ao se relacionaria com a proposi¸c˜ao que compara os n´umeros reais assim como a “prova indutiva” se relaciona com a proposi¸c˜ao alg´ebrica correspondente. Por´em, como vimos no Cap´ıtulo anterior, a indu¸c˜ao n˜ao prova a equa¸c˜ao alg´ebrica: a equa¸c˜ao alg´ebrica ´e uma estipula¸c˜ao e, enquanto tal, n˜ao possui um sentido. Do mesmo modo, a equa¸c˜ao ou inequa¸c˜ao que compara dois n´umeros reais n˜ao possui, mutatis mutandis, um sentido e, portanto, o crit´erio de comparabilidade n˜ao pode ser estendido para os n´umeros reais. H´a, deste modo, uma tens˜ao entre a tese da separa¸c˜ao dos sistemas aritm´etico e alg´ebrico e a representa¸c˜ao unit´aria de pontos, racionais e reais, sobre uma mesma reta num´erica, tens˜ao que transparece nas PhBm
∗Cf. ibid., p. 69: “F ist keine Zahl, einerseits, weil sie an sich uninteressant ist, andererseits,
weil sie sich nicht mit den Zahlen vergleichen l¨aßt, aber beides muß Eines sein”. Cf. tb. ibid., p. 64:
“Wie ist es aber dann mit der Zahl P = 0.1110101000 etc. Angenommen einer behauptete sie w¨urde
periodisch und es h¨atte auch an irgendeiner Stelle den Anschein, dann m¨ußte ich die angenommene
Zahl unmittelbar im Gesetz probieren k¨onnen, wie ich unmittelbar durch Multiplikation sehen kann,
ob 1.41 ˙4 die√2 ist. Das ist aber doch nicht m¨oglich. / H¨angt das damit zusammen daß P – wie ich
gesagt habe – das Ergebnis eines arithmetischen Experiments ist? Ich glaube schon, sehe aber nicht, wie”.
†Cf. ibid., p. 39: “Ich glaube: alle reellen Zahlen m¨ussen miteinander vergleichbar sein”.
no decorrer destes cap´ıtulos.