Fransa otoyol ücreti alanının özellikleri

Defendemos ao longo das secções anteriores, relativamente aos aspectos de abstração e de concretude do conhecimento matemático, uma reconfiguração das concepções de concreto e de abstrato para o ensino de Matemática. O concreto que antes era concebido como algo materialmente próximo, acessível pelos sentidos, pertencente ao contexto do indivíduo, agora, pode ser expandido para além dessa realidade. Nesse âmbito, ele pode não ter materialidade, mas, tem existência na estrutura cognitiva do sujeito. É nesse sentido que falamos de concreto cognitivo.

A partir dessa configuração a questão precípua passa a ser: como construir possibilidades metodológicas que possam ter como base a relação dialética entre o concreto e o abstrato, favorecendo que os conceitos matemáticos se tornem concretos cognitivos? Primeiro, defendemos que, no processo de ensino de Matemática da educação básica, deve-se buscar sempre uma associação direta entre os conceitos (objetos) matemáticos e os objetos concretos materiais manipuláveis. No entanto, dependendo do nível de abstração do objeto matemático, essa associação direta poderá não ser possível, exigindo que se recorram às formas não triviais de representação desses objetos e à observância dos conhecimentos prévios estabelecidos, que constituem o concreto cognitivo.

Portanto, no planejamento metodológico para o ensino de qualquer conceito matemático deve ser observado o nível de abstração desse conceito, com base nas categorias mostradas na Figura 7 e na Figura 8, para, a partir daí, buscarmos o melhor encaminhamento metodológico. Isso significa que se deve analisar o objeto matemático em estudo, buscando possibilidades de associações diretas a objetos concretos materiais. Em caso afirmativo, deve-se fazer uso dos recursos auxiliares didáticos que possibilitem essa associação, inclusive objetos manipuláveis, acessíveis aos sentidos.

Porém, não havendo possibilidades de associação direta, constatando-se o vazio de significação entre o objeto matemático e os objetos concretos materiais, deve-se buscar um recurso metodológico para fazer o diálogo entre os conhecimentos prévios, que nesse sentido são entendidos como concretos cognitivos, e os elementos matemáticos novos, em estudo.

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Assim, surge um segundo elemento que é fundamental no processo de ensino de Matemática: a representação. Quanto maior o conjunto de representações e quanto mais significativas forem, em termos de visualização, maiores serão as possibilidades de compreensão do objeto matemático, como já tratamos anteriormente.

Da mesma forma como ocorre com a sociedade, em termos de dinâmica sociocultural, ocorre com as várias facetas do conhecimento e com os processos didáticos relativos a estes. Ou seja, transformam-se continuadamente, a partir de novos estudos, novas investigações, novas diretrizes e novas conjunturas sociais. Por isso, sempre existiram diversas possibilidades de representação dos objetos matemáticos e, portanto, várias maneiras metodológicas de se atuar didaticamente. A metodologia que contempla os jogos didáticos, o uso da História da Matemática, a resolução de problemas, o uso de metáforas, dentre outras, são exemplos metodológicos nessa área.

Compreendemos que cada uma dessas metodologias tem sua importância e entendemos também que elas podem e devem ser utilizadas de modo simultâneo. No entanto, defendemos que qualquer modelo metodológico deve estar embasado em uma concepção dialética que contemple o aspecto concreto, seja este material e/ou cognitivo, e o aspecto abstrato dos objetos matemáticos.

Nesse sentido, as transformações advindas do desenvolvimento tecnológico trouxeram novos horizontes para a relação entre o conhecimento, o professor e o aluno, especialmente no que concerne aos modos de representação dos objetos do conhecimento científico. No caso do ensino de Matemática, defendemos que qualquer modelo metodológico pode fazer uso das possibilidades geradas pelas novas tecnologias para seu enriquecimento didático e para o fortalecimento da relação dialética entre o concreto o abstrato.

Em particular, os recursos da tecnologia computacional possibilitam uma diversidade de representações, tanto de objetos matemáticos que são facilmente representáveis também por objetos concretos quanto àqueles que não possuem representação por objetos manipuláveis. Por isso, entendemos que os recursos tecnológicos computacionais se configuram como auxiliares significativos no processo de ensino de Matemática, tendo em vista às possibilidades de representações que demandam, favorecendo também a ativação dos

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conhecimentos prévios e possibilitando a relação dialética entre o abstrato e o concreto, seja este material ou cognitivo.

As transformações causadas pelo advento das novas tecnologias, especialmente os recursos computacionais, que tiveram um crescimento progressivo desde a última década do século passado, têm modificado as formas de comunicação e, por consequência as ações humanas, em todas as esferas da sociedade. No espaço escolar, essas mudanças são responsáveis por alterações nas práticas de ensino e nos processos de aprendizagem, ainda que de modo não muito generalizado, e, por isso, têm exigido novas adaptações, tanto por parte dos professores e alunos, quanto das instituições educativas.

Esse aspecto está diretamente alinhando ao pensamento de Moreira (2002), que define o computador como uma ferramenta com potencial para alterar um dado sistema social ou a atividade mental do indivíduo que o utiliza. Ela ressalta que deve ser considerado o fato de que a relação do indivíduo com o instrumento é uma relação de mediação e, por isso mesmo, dialética. Assim, o computador media a ação do homem sobre o mundo ao mesmo tempo em que sofre alterações advindas desta ação. Essas alterações trazem novas possibilidades de utilização e, por consequência, novas mudanças nos instrumentos e no meio onde ele é utilizado.

Além do mais, os recursos computacionais possuem características que os fazem singulares entre os diversos elementos que são responsáveis pelas mediações da atividade humana.

O grau de alteração que o computador pode ocasionar está diretamente ligado ao uso que o ser humano dará a ele e este uso está limitado pelo meio social a que este pertence. Dessa forma, o computador só poderá trazer alguma alteração enquanto estiver envolvido na atividade humana; de outro modo, não terá influência alguma sobre o viver da sociedade. A influência que o computador traz no cotidiano social está ligada às funções para ele determinadas pela sociedade. (MOREIRA, 2002, p.21)

A função que os computadores desempenham nas práticas educativas tem sofrido redefinições desde os primeiros projetos de uso desse recurso na escola. A filosofia educacional que acompanha o uso desta tecnologia entende que este recurso pode ser utilizado de diversas formas, dependendo dos objetivos envolvidos

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na tarefa a ser realizada. Defendemos o uso do computador como instrumento educacional, como recurso auxiliar nas metodologias de ensino, uma vez que,

[...] o computador pode ser utilizado para solucionar problemas que antes eram solucionados exclusivamente pela mente humana, como é o caso de resolução de cálculos complexos, elaboração de gráficos ou a simulação de atividades que requerem o raciocínio humano, como programas simuladores. (MOREIRA, 2002, p.14)

Nesse contexto, já foram superadas as fases de resistências dos sujeitos envolvidos, quanto à possibilidade do uso da tecnologia como elemento auxiliar nas práticas educacionais. Negar a presença da tecnologia computacional nos ambientes escolares é ir de encontro a uma configuração social imersa num mundo permeado, cada vez mais, por objetos tecnológicos, onde predominam os conhecimentos e os artefatos computacionais. Estes recursos já fazem parte da realidade do ambiente escolar, ainda que indiretamente.

Não há como isolarmos a escola dos avanços tecnológicos que transformam a sociedade atual. As tecnologias adentram o campo escolar por meio de políticas públicas ou pelos usos informais que alunos e professores fazem destes recursos. Entretanto, o aproveitamento dessa nova situação em processos pedagógicos que contemplem o aprender dos alunos depende da (re) construção de práticas, currículos, metodologias que podem não corresponder aos paradigmas seguidos na educação atual. (SILVA e LIMA, 2013, p.162)

Logo, os agentes do processo educacional têm que enfrentar esse novo viés fazendo uso dele para trazer ganhos significativos ao processo de ensino e à aprendizagem dos estudantes. Em particular, defendemos que tais recursos podem ser significativos para processos metodológicos que tenham como base a relação dialética entre o concreto e o abstrato.

No entanto, diversos estudos (KENSKI, 2009; MOREIRA, 2002; MORAN, 2006; SIMÕES, 2008), têm evidenciado a complexidade de integração desses recursos com o processo de ensino. Para Kenski (2009), os maiores desafios dessa integração, no sistema educativo brasileiro, estão na relação entre professor e aluno, uma vez que se tem de lidar com alunos que já possuem conhecimentos avançados

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e acesso pleno às últimas inovações tecnológicas e com alunos que se encontram em plena exclusão tecnológica.

Ele também vê fatores de complexidade nas diferenças entre as realidades socioeconômica das escolas, indo de instituições de ensino equipadas com as mais modernas tecnologias digitais aos espaços educacionais precários e com recursos mínimos para o exercício da função docente. Além disso, enfatiza a fragilidade da formação profissional para enfrentar esses e tantos outros problemas que permeiam o ambiente educativo.

Sobre esse último ponto destacado por Kenski (2009), entendemos que o empecilho é configurado, especialmente, pela formação inicial e/ou continuada dos professores que é, geralmente, frágil, nesse contexto, não contribuindo para a mudança de concepção sobre o modelo de educação em que atuam. Assim, o uso dos recursos da tecnologia computacional, quando ocorre, é prioritariamente no sentido de legitimar o atual modelo com enfoque de transmissão de conhecimentos por parte do professor.

De acordo com Bittar (2006) e Brandão (2005), ao se referirem ao ensino de Matemática no sistema educativo brasileiro, os professores, sejam eles de ensino fundamental, médio ou superior, não têm efetivamente integrado de maneira significativa a tecnologia em suas aulas. No entanto, as novas tecnologias têm reconfigurado o modo de se conceber o conhecimento, revolucionando o entendimento de certas questões, a busca de resultados, os cálculos, as análises de problemas sociais.

Na Matemática, apesar da variedade de exemplos aonde se percebe uma forte relação do conhecimento com as tecnologias computacionais, ainda há resistência em se admitir tais interligações, fato configurado pelas correntes teóricas que têm demarcado esse campo. Essa discussão, além de outras questões, foi levantada por Silva já em 1999.

A rigor, a Matemática vive em constante crise de fundamento, da descoberta dos incomensuráveis entre os gregos até a querela atual suscitada pelo uso de computadores como instrumentos não apenas heurísticos, mas de demonstração matemática, passando pela descoberta das geometrias não euclidianas e pela introdução dos números imaginários no cálculo algébrico, a Matemática está constantemente revendo os seus fundamentos. (SILVA, 1999, p. 47).

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Entendemos que diversas questões estão no cerne do embate dessa relação entre tecnologia e conhecimento matemático. Defendemos que os recursos das tecnologias baseadas em arranjos computacionais são auxiliares importantes para que se faça a relação entre o concreto e o abstrato, tanto o concreto em termos materiais (manipuláveis) como o concreto a partir da concepção psicológica (concreto cognitivo). Pois,

[o] conhecimento não é produzido somente por humanos, mas também por atores não humanos. As tecnologias são produtos humanos, e são impregnadas de humanidade, e reciprocamente o ser humano é impregnado de tecnologia. Neste sentido, o conhecimento produzido é condicionado pelas tecnologias (BORBA e PENTEADO, 2003, p. 305).

Há uma infinidade de possibilidades da inserção das tecnologias computacionais no ensino de Matemática, desde as mais simples - apenas com observações ou aplicações de algoritmos -, até situações mais complexas, como a exploração gráfica de funções, as representações geométricas espaciais, entre outros. O uso da tecnologia como auxiliar nos processos de ensino deve ser justificado, inclusive, pela sua importância para o desenvolvimento da própria matemática. Diferentemente do que se concebe no senso comum, a Matemática, como todas as outras Ciências, vive em constante evolução, com problemas considerados insolúveis por grandes períodos de tempo.

A busca de respostas consistentes para eles tem, gradualmente, feito uso dos recursos tecnológicos, em especial o computador, que, apesar das suas limitações, contribui diretamente, tanto para a redução de tempo em atividades que antes só poderiam ser desenvolvidas com lápis e papel, como para a interpretação, manipulação e compreensão de objetos matemáticos.

Sobre essa questão, são pertinentes as considerações de Ponte e Canavarro (1997, p.01), ao afirmarem que

[U]ma parte importante da investigação em áreas como a análise numérica, a matemática discreta, os sistemas dinâmicos, a investigação operacional, a lógica e a ciência da computação faz-se hoje com forte recurso à utilização do computador. (...) O uso cada vez mais intensivo de computadores para o processamento e transmissão de informação está a levar ao surgimento de novos conceitos e novas práticas na investigação nesta ciência.

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Desde a origem do computador, que teve por trás o desenvolvimento de várias pesquisas, inclusive na área do conhecimento matemático, a Matemática e a tecnologia caminham juntas. O olhar dos matemáticos frente aos recursos da computação tem sofrido alterações ao longo do tempo. É cada vez maior o número dos que usam, de alguma forma, os computadores em suas pesquisas.

Relativamente ao desenvolvimento da Matemática como campo de pesquisa, há diversos exemplos que mostram a utilização dos computadores como auxílio no estudo de temas complexos da matemática. Já em 1999, Silva (p.55), declarava que demonstrações assistidas por computadores, por exemplo, estavam mudando a noção de demonstração matemática.

A busca pela demonstração do Último Teorema de Fermat é um exemplo do uso da tecnologia computacional como auxilio na pesquisa matemática. Ao longo do percurso de investigação, foram desenvolvidas novas técnicas e conjecturas matemáticas, só sendo ela demonstrada por completo em 1995, por Andrew Wiles, em uma prova onde foram utilizados também recursos computacionais.

Singh (1999), ao descrever a história desse grande enigma discorre que

[D]epois da segunda guerra mundial, equipes de matemáticos e cientistas dos computadores demosntraram o Último Teorema de Fermat para valores de n até 500, depois para valores até 1000 e 10000. Na década de 1980, Samuel S. Wagstaff da Universidade de Illinois elevou o limite para 25000 e mais recentemente os matemáticos já podeiam afirmar que o Último Teorema de Fermat é verdadeiro para todos os valores de n até 4 milhões. (SINGH, 1999, p.169)

Um dos grandes obstáculos encontrados pelos matemáticos ao usarem o computador para obter indícios da prova do Ùltimo Teorema de Fermat foi o infinito. Conforme descreve Sing(1999, p.170), “não se pode chegar ao infinito através da simples força bruta dos esmagadores de números computadorizados”. Mas, é aceitável que ele foi uma ferramneta importantíssima auxiliando em cálculos extensos, no teste de algorítmos e lançando aos matemáticos evidências, para cada maior valor de n, da veracidade da afirmação de Fermat.

O uso dos recursos da tecnologia computacional nas pesquisas matemáticas mostra a forte relação entre tais recursos e o desenvolvimento do conhecimento matemático. No entanto, no que concerne a utlização do computador nas práticas de

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ensino, talvez esteja distoando do que vem ocorrendo nas outras ciências. No geral, ainda nota-se na comunidade dos professores uma amarra aos preceitos clássicos da Matemática, onde impera a supervalorização da escrita numa linguagem própria, apenas à lapis e papel.

A integração da tecnologia computacional com o ambiente escolar traz transformações nas práticas de ensino que podem levar a consequências relevantes para a aprendizagem. Compreendemos que, quanto mais adequadamente planejadas forem as ações didáticas que utilizam recursos tecnológicos, maior será a possibilidade de contribuição dessas metodologias de ensino para o fortalecimento da compreensão dos conceitos pelos estudantes.

Diversas pesquisas (KAPUT, HEGEDUS, 2007; LAZAKIDOU & RETALIS, 2010; REED, DRIJVERS, KIRSCHNER, 2010; HOYLES E JONES, 1998; JONES, 2001; MARRADES E GUTIÉRREZ, 2000) apontam benefícios ligados ao uso de tecnologias para o fortalecimento da aprendizagem matemática.

Para nós, um dos fatores preponderantes para que se faça uso das tecnologias no processo de ensino é a riqueza de representatividade dos objetos matemáticos. Pois, os recursos computacionais, além de permitir representações de objetos concretos manipuláveis, favorecem a representação de objetos matemáticos que não podem ser associados a objetos do contexto do estudante. Com isso, é possível que se atue baseado num processo dialógico entre o concreto e o abstrato.

A base para sustentarmos que o uso das tecnologias é importante para o processo de ensino de Matemática, em especial na Educação Básica, configurando- se como auxiliares significativos para a relação dialética entre o concreto e o abstrato, está no entendimento de que o processo de representação é um fator essencial para a aprendizagem nesse nível de ensino. Esse processo não só é importante, mas, de acordo com Duval (2003), quanto mais possibilidades de representação de um objeto matemático um estudante explora, maiores serão as chances de compreensão e, consequentemente, de aprendizagem.

Associamos a esse entendimento o aspecto dialético, defendendo que quanto maior o conjunto de representações de um objeto mais forte se tornará a relação entre os aspectos de concretude e de abstração do referido. Daí, vemos nos recursos da tecnologia um forte aliado para que se estabeleça o diálogo entre o

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concreto e o abstrato, aproveitando-se as diversas formas de representação que a tecnologia favorece.

Porém, nessa perspectiva não se deve compreender o concreto apenas como sinônimo de objeto físico manipulável. Um objeto representado na tela de um computador pode ser uma extensão de um objeto concreto e, assim, manipulações realizadas nele com a ferramenta computacional, também serão válidas. É dentro desse contexto que os computadores podem fornecer representações que são tão significativas para os alunos como os objetos físicos (YERUSHALMY, 2005). Além disso, as pesquisas indicam que, em comparação com os seus respectivos físicos, as representações em computador podem ser mais administráveis e flexíveis (BROWN, MCNEIL, E GLENBERG, 2009; KAMINSKI et al., 2009; UTTAL et al., 2009).

Não estamos negando a importância dos objetos concretos físicos manipuláveis para o processo de aprendizagem, entretanto, eles não são os únicos determinantes na significação dos conceitos e ideias matemáticas (GAGATSIS, 2003; MARTIN et al., 2007; UTTAL et al, 2009), uma vez que quando mais se alcança níveis elevados de abstração mais frágeis se tornam as ligações ou associações dos objetos matemáticos com objetos da natureza citada.

Assim, quanto mais se avança nos níveis de ensino deve-se buscar que os alunos associem a concepção de concreto ao nível de compreensão que possuem (concreto cognitivo), indo além da ideia de manipulação e, portanto, reconfigurando a ideia sobre o que é concreto.

Portanto, embora os objetos manipuláveis tenham um lugar importante na aprendizagem, seus aspectos físicos não são essenciais como apoio a significação de ideias matemáticas. Os alunos podem fazer uso de materiais concretos para construir significado inicialmente, mas eles devem refletir sobre suas ações com objetos manipuláveis. Quando os educadores falam de compreensão concreta, eles não estão sempre se referindo a fisicalidade. Professores de classes intermediárias e posteriores esperam que os alunos tenham uma espécie de "compreensão" "concreta" que vai além dos aspectos manipuláveis. (SAMARA e CLEMENTS, 2009, p.146 – Traduçao nossa)

Nessa perspectiva, as representações possibilitadas pelos recursos das tecnologias computacionais ganham mais consistência e passam a ter maior importância para o processo de ensino.

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Vários estudos referentes ao uso dos recursos computacionais em aulas de Matemática (ROCHA, 2008; SOARES, 2009; GARCIA, 2013; HENSBERRY & PERKINS, 2015; KEBRITCHI et al, 2010) enfatizam que um dos aspectos mais positivos desse processo é a motivação dos estudantes. Compreendemos que isso é significativo, no entanto, pensamos que a importância desses recursos vai além dessa característica. Ainda mais significativo é o enriquecimento do cabedal de representações dos objetos matemáticos, em particular daqueles não possuem associação direta com objetos concretos físicos.

Nesse contexto, as chances de que ocorra a compreensão do objeto matemático em estudo serão maiores, até porque, com a riqueza da representatividade, será mais fácil o desenvolvimento de ações metodológicas centradas na relação dialética entre o concreto, seja este manipulável ou cognitivo, e o abstrato. Essa perspectiva do uso dos recursos computacionais no processo de ensino está coerente com o que Ausubel et al (1981) denominam de ‘organizadores prévios’ que, segundo eles, servem de ponte entre o que o aprendiz já sabe e o que ele deve saber para que ocorra uma aprendizagem significativa22.

Portanto, estamos justificando o uso dos recursos computacionais a partir de