Almanya otoyol ücreti alanının özellikleri

Na tentativa de sintetizar as discussões relativas aos resultados das entrevistas, consideremos o seguinte questionamento: o que devemos considerar como concreto e como abstrato, quando ensinamos Matemática? Se tentarmos responder a essa pergunta com considerações objetivas e dicotômicas, estaremos indo de encontro aos princípios norteadores da nossa pesquisa que são a relatividade, o contínuo, a subjetividade e a dialética, elementos que defendemos como característicos da relação entre concreto e o abstrato.

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No nosso entendimento, precisamos basear nossa concepção sobre a Matemática e, em especial, sobre seu ensino, dentro do enfoque dialético por nós estabelecido. Mas se faz necessário que explicitemos mais uma vez qual a vertente dialética defendemos, tendo em vista os vários entendimentos relativos à dialética, no âmbito do conhecimento ao longo da história.

Para Melo Neto (2002), com base em considerações etimológicas, podem ser considerados, pelo menos, quatro conceitos principais da dialética: a dialética como um método de divisão, vista por Platão; a dialética como lógica do provável, presente em Aristóteles; a dialética como lógica, segundo Kant; a dialética como síntese dos opostos, a partir das formulações de Hegel/Marx. Para Melo Neto, estes quatro conceitos são pautados em quatro doutrinas que exerceram ‘forte’ influência na história da dialética, respectivamente: a doutrina platônica; a doutrina aristotélica; a doutrina estóica; e a doutrina hegeliana.

Entendemos que a superação do significado cotidiano tanto do termo "abstrato" quanto do termo "concreto", poderá ser efetivada a partir de uma abordagem segundo os princípios do materialismo histórico-dialético que faz emergir, para esses conceitos, não apenas novos significados, mas uma integração em uma concepção, a nosso ver, qualitativamente superior do processo de conhecimento, compatível com o aprofundamento e domínio de uma lógica que contribua para a compreensão e transformação da realidade social.

A dicotomia entre abstrato e concreto no ensino de Matemática será superada com a adoção consciente de uma concepção de conhecimento como algo verdadeiramente dinâmico e relacional. Sem isso, as críticas ao cotidiano escolar não ultrapassam o nível das constatações superficiais e pouco contribuem para a busca de soluções efetivas.

O processo dialético que defendemos para o ensino de Matemática pauta-se na tese de que o nível de abstração dos objetos matemáticos tem um caráter relativo, uma vez que a concepção de abstrato é inerente ao sujeito, é idiossincrática. Com isso, não se pode atribuir que um determinado objeto matemático possua o mesmo nível de abstração para todas as pessoas. A antítese desse processo dialético está no fato de que a formação inadequada dos nossos professores, com respeito a esse aspecto epistemológico da Matemática, contribui para a fragilização no processo de construção de conceitos matemáticos na escola.

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Ao se considerar abstrato e concreto como elementos disjuntos, ao conceber os objetos da Matemática inseridos exclusivamente no viés da abstração, estar-se-á dificultando a significação da aprendizagem de conhecimentos desse campo. A síntese desse processo dialético é definida pela afirmação de que é possível haver construção de conceitos matemáticos por todos os estudantes, desde que os professores sejam devidamente preparados para atuar compreendendo as relatividades no processo de abstração dos objetos matemáticos.

A relação dialética que entendemos ser necessária entre o abstrato e o concreto retira a presunção de um entendimento unidimensional de cada conceito, ou seja, falar em concreto nos remete a admissão da existência do abstrato da mesma forma que qualquer referência que se faça ao abstrato só fará sentido com o olhar também no concreto. Esses elementos, em qualquer esfera de análise, estarão complementados um pelo outro, sendo o nível de concretude e de abstração referidos a um objeto, fatores idiossincráticos.

Com esse olhar, as concepções que se tem desses conceitos, especialmente no contexto educativo, nos parecem extremamente limitadas, pelo que interpretamos das falas dos professores entrevistados, não respondendo à complexidade do mundo e as características do processo de ensino e de aprendizagem da Matemática. Basta verificar que, se considerarmos como concreto apenas aquilo que tem existência física (existência material), algo que podemos ver e que podemos tocar, estaremos admitindo que quase tudo que estudamos nas escolas não está no âmbito da concretude.

No entanto, em detrimento de um discurso simplista e segmentado, onde a fragmentação e a polaridade parecem ditar as regras sobre as concepções de conceitos inseridos no âmbito educacional, nossas primeiras associações com a palavra ‘concreto’ muitas vezes sugerem algo tangível, sólido, algo que podemos tocar, cheirar, manusear, que é real.

Em contrapartida, é bastante comum ouvirmos afirmações que transferem para esse termo um entendimento diferente desse modelo comumente usado para sua definição. Expressões como “ideia concreta”, “história concreta”, “pensamento concreto” ou “exemplo concreto”, indicam uma outra concepção para o concreto, que entendemos não ser vivenciada e tomada como referencial nas abordagens escolares de ensino.

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Machado (2011, p.49) comenta que “quando, por exemplo, recomenda-se o uso de material concreto nas aulas de Matemática, quase sempre se adota a concepção de algo manipulável, visível, palpável”. Para ele a dimensão material é uma importante componente da noção de concreto, embora não esgote o seu sentido. Há outra dimensão igualmente importante, apesar de bem menos ressaltada, que é seu conteúdo de significações.

Mesmo entre especialistas, os modelos mais abstratos de geometrias não euclidianas ou da mecânica quântica, ou ainda toda uma classe de experiências científicas para as quais não se vislumbra ainda qualquer possibilidade tecnológica de realização, admite-se com frequência que mantém seus vínculos com a realidade concreta pela via do conteúdo das significações. (MACHADO, 2011, p.54)

Esse posicionamento sugere que precisamos ser mais cautelosos nas referências que fazemos ao concreto e ao abstrato. Machado indiretamente afirma que devemos entender tais conceitos com mais profundidade e isto nos força a retirarmos do cabedal de construções cognitivas algumas concepções que temos – trazidas em grande parte da força do senso comum -, desse par conceitual.

Imersos numa concepção científica que tem por base o paradigma cartesiano, inserido por sua vez na corrente Racionalista de conhecimento e responsável pela estruturação e organização dos modelos educacionais, quase sempre enveredamos pelos caminhos da trivialidade. Exaltamos e confiamos cegamente na racionalidade objetiva, deixando à margem das análises questões que trazem consigo um forte aspecto de subjetividade, como é o caso do conteúdo de significações de um dado objeto. Para Meneghetti e Bicudo (2003), com base na história da Filosofia da Matemática, grande parte dos que lidam com a Matemática buscam fundamentar o saber matemático inteiramente na razão.

Buscando outra concepção, a partir desse ponto defenderemos que o entendimento ou classificação de concreto ou de abstrato, para um objeto dado, é estabelecido pelo grupo de significações que este objeto tem para o sujeito, fato que está diretamente associado ao conjunto de especificidades próprias, intrínsecas do objeto e também ao cabedal de construções cognitivas tomadas a partir dos conhecimentos prévios que o sujeito já possui do referido objeto. Ou seja, a base cognitiva do indivíduo (aluno) é que determina o que é concreto para ele.

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Samara e Clements (2009) defendem que há dois tipos de concreto.

Postulamos que existem dois tipos diferentes de conhecimento concreto. Alunos com conhecimento concreto-sensorial precisam de material sensorial para dar sentido a um conceito ou procedimento. O concreto-integrado é o conhecimento que está ligado em formas especiais (CLEMENTS & MCMILLEN, 1996). (...) O que fortalece o concreto-integrado é a combinação de ideias separadas em uma estrutura interligada de conhecimento (trad. nossa). (SAMARA e CLEMENTS, 2009, p.146)

Os autores entendem que nas fases iniciais da aprendizagem as crianças necessitam do tipo definido como concreto-sensorial, e estes servem para dar sentido aos conceitos, às ideias. “A maioria das crianças, até os 5,5 anos de idade, não resolvem os problemas sobre ‘qual é o maior número’ sem o suporte de objetos concretos”. (LEVINE, et al, 1992, tradução nossa). Nessa perspectiva o material concreto manipulável é fundamental para os esquemas de ação dos alunos (CORREA, NUNES, e BRYANT, 1998; MARTIN, 2009).

De acordo com Samara e Clements, o conhecimento concreto-integrado seria aquele adquirido por diferentes vias, por formas diversas, numa combinação de vários elementos, aspectos dos objetos físicos, das ações executadas sobre eles e das representações simbólicas, interligados em uma forte estrutura mental. Portanto, a discussão não deve ser baseada simplesmente sobre o que é ou não concreto. Dependendo do tipo de relacionamento que o sujeito tenha com o conhecimento, ele pode ser concreto-sensorial ou concreto-integrado.

Para Samara e Clements (2009), o que em última análise faz ideias matemáticas tornarem-se ideias concretas-integradas não são suas características físicas, mas o seu significado completo, ligado a outras ideias, aplicações e situações. Por isso, defendem que os melhores objetos manipuláveis são aqueles que ajudam aos estudantes na construção, fortalecimento e conexão de várias representações de ideias matemáticas.

De forma semelhante ao pensamento de Samara e Clements (2009), compreendemos que a instancia física é importante nas primeiras etapas de aprendizagem e, por isso, é fundamental buscar os representantes manipulativos mais adequados para a compreensão do conhecimento matemático. O que os autores chamam de concreto-sensorial está bem próximo do que estamos chamando de concreto material (ou objeto manipulável). O que os autores definem

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como concreto-integrado se aproxima do que estamos definindo como concreto cognitivo. Estabeleceremos que apenas o conhecimento que ainda não está integrado na estrutura cognitiva do estudante, poderá ser considerado abstrato.

O enfoque da nossa discussão traz em seu cerne o aspecto ontológico uma vez que discute a natureza dos objetos matemáticos. No entanto, compreendemos que trazemos com mais ênfase aspectos epistemológicos, uma vez que nos aprofundamos na análise de como construir ou elaborar ou significar conceitos matemáticos. Assim, partimos do seguinte entendimento: os objetos matemáticos possuem diferentes níveis de abstração. Os menos abstratos são aqueles com representações que têm ligações diretas a objetos reais. Os mais abstratos são aqueles que possuem representações que não se inserem no contexto real, legitimadas pela linguagem, simbologia, dentre outros.

Como já referido na nossa tese, o nível de abstração de um objeto matemático é relativo. No nosso entendimento, ele depende de quatro aspectos principais. O primeiro aspecto é que a abstração de um objeto não está relacionada apenas à sua complexidade, mas depende da estrutura cognitiva de quem o explora. Cada sujeito traz consigo um conjunto de informações (ideias, experiências, observações, prévias definições) que é único. Isso leva a consideração de que qualquer objeto possui níveis de abstração diferentes para duas pessoas.

Outro elemento que interfere no nível de abstração dos objetos matemáticos é a natureza de suas representações. Se um objeto matemático possui representações com repercussão no mundo físico ele terá um nível de abstração maior que um objeto que só possui representação no campo da simbolização. Porém, além da natureza da representação deve-se considerar que o modo como essas representações são exploradas no processo de ensino também interfere no nível de abstração dos objetos. Mesmo que um objeto possua diversas formas de representação por objetos concretos manipuláveis, se isso não for explorado no processo de ensino é possível que não traga contribuição para a concretização cognitiva do conceito.

Por fim, entendemos que outro fato que relativiza o aspecto de abstração dos objetos matemáticos é o lugar desse mesmo objeto na rede intradisciplinar, ou seja, como ele se relaciona com os demais objetos matemáticos. Numa primeira instância, quanto mais significados o objeto possuir, maior será o seu nível de abstração.

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Assim, qualquer conhecimento (ou novo conhecimento) está inserido em um determinado nível de abstração e de concretude que varia de sujeito para sujeito, em decorrência da estrutura cognitiva que cada um possui e também do próprio objeto. No entanto, independentemente da situação cognitiva e do objeto do conhecimento do qual se esteja tratando, haverá duas possibilidades a serem consideradas: (1) O físico (material, palpável, sensorial) pode ser considerado como instância do primeiro nível de abstração (A1); ou (2) O físico não representa o

primeiro nível de abstração e há entre estes um “vazio de significação” ou um “obstáculo de representação”.

Entendemos que a base cognitiva de qualquer pessoa, especialmente em idade escolar, já tenha alcançado níveis de abstração superiores ao nível físico. Isto significa que, em termos de conhecimento matemático, alguns elementos abstratos inicialmente já sejam considerados como elementos concretos (concretos cognitivos). Consideraremos que, independente do aspecto do objeto, do tipo de conhecimento e da sua materialidade ou não, a partir do momento em que este se incorpora à base cognitiva do indivíduo, ele passa a ser entendido como um objeto concreto.

Essa característica tem bases assentadas no enfoque psicológico. Em outros termos, entendemos que as concepções de concreto e de abstrato de cada indivíduo dependem diretamente dos elementos constituídos em sua estrutura cognitiva, levando-nos a expandir o entendimento que, agora, o concreto, é concebido como algo que está completamente compreendido e estruturado em nossa mente.

Esse processo ocorre em virtude da amplitude do pensamento humano, que de tão complexo, constitui um tipo de atividade que nos diferencia de todas as outras espécies. “Podemos pensar praticamente em qualquer coisa que quisermos: objetos reais que nunca vimos, mas dos quais simplesmente ouvimos falar ou sobre os quais lemos; ou objetos puramente fictícios”. (DEVLIN, 2006, p.142). É necessário lembrar essa característica da mente humana relativa aos processos de ensino, para que não caiamos no equívoco de limitar o processo aos fatos e objetos perceptíveis aos sentidos.

Essa consideração levanta um questionamento, relativo ao pensamento humano, que, segundo Devlin (2006), os filósofos discutem interminavelmente: como é possível pensarmos sobre algo que não existe? Segundo Devlin (2006, p.143), a

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resposta a esta questão está no fato de que o objeto dos processos de pensamento são símbolos, isto é, coisas que representam outras coisas.

Os símbolos que formam os objetos dos nossos pensamentos podem também representar versões imaginárias dos objetos reais, tais como bananas imaginárias ou cavalos imaginários, ou até mesmo objetos inteiramente imaginários reunidos de representações simbólicas de objetos reais do mundo, tais como uma banana de ouro ou um unicórnio. (DEVLIN, 2006, p.143)

Devlin (2006) considera o pensamento abstrato em termos de quatro níveis, como representado na Figura 6. Na categorização de Devlin (2006) são considerados níveis de abstração do pensamento humano de um modo geral. Tomando como referência esta classificação e pensando no caso específico do conhecimento matemático, concordamos com ele ao enfatizar que os objetos matemáticos são inteiramente abstratos, que não têm ligações diretas com o mundo real, com o concreto. No entanto, defendemos que associações dos objetos matemáticos a objetos concretos, quanto mais substanciais, mais fortes, possibilitarão mais resultados significativos no processo de aprendizagem e maiores facilidades de incorporação à base cognitiva do indivíduo.

Figura 6: Níveis do pensamento abstrato de acordo com Devlin (2006).

Fonte: Devlin (2006, p.143)

Abstração de nível 1

Os objetos sobre os quais pensamos são todos objetos reais acessíveis à percepção no ambiente imediato. Entretanto, pensar em objetos do ambiente imediato pode muito bem envolver imaginá-los se deslocando para diferentes lugares do ambiente. Por isso, é razoável encarar esse processo como pensamento abstrato, mesmo que os objetos desse pensamento sejam todos objetos concretos no ambiente imediato.

Abstração de nível 2

Nesse nível, estão inseridos os objetos reais familiares a quem pensa, mas que não são acessíveis à percepção no ambiente imediato.

Abstração de nível 3

Os objetos de pensamento podem ser objetos reais que o indivíduo conheceu de alguma forma, mas que nunca encontrou, na realidade, ou versões imaginárias de objetos reais, ou variações imaginárias de objetos reais, ou combinações imaginárias de objetos reais.

Abstração de nível 4

Nesse nível está inserido o pensamento matemático. Os objetos matemáticos são inteiramente abstratos; eles não têm ligações simples ou direta com o mundo real, ou que não seja abstraída do mundo a partir de relações e ideias criadas pela mente.

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Entendemos que os objetos de estudo da Matemática podem ser categorizados a partir de níveis de abstração, levando-se em consideração a possibilidade deles apresentarem ligações ou relações ou ainda representações com objetos concretos. Ou seja, existem elementos matemáticos que têm uma aproximação mais direta com objetos reais do que outros, sendo este enfoque, para nós, o parâmetro para os níveis de abstração. Exemplos característicos são objetos estudados na Geometria Básica, como círculos, polígonos, retas, dentre outros.

Evidentemente, imersos no aspecto da formalidade matemática, nunca veremos os objetos matemáticos definidos como uma reta, um círculo, um triângulo. Mas, podemos construir representações associativas dessas estruturas. Esses tipos de objetos estão inseridos no que vamos chamar de primeiro nível de abstração dos objetos da Matemática. A associação direta, que diremos ser o físico (concreto) instância de nível de abstração 1, caracteriza a primeira possibilidade (P1) da relação entre objetos matemáticos e objetos do mundo real.

Na segunda possibilidade (P2), os objetos matemáticos inseridos no nível de abstração 1 não apresentam uma relação direta com os objetos concretos. Há um vazio entre o nível físico (concreto) com estes objetos da Matemática. Um exemplo de objeto matemático que se insere nessa categoria é o conceito de número. O que representa, em termos de concreto imediato, um número? Não há como representar esse objeto com nenhum objeto do mundo real. Qualquer associação que se faça, entre um número e um objeto real, se enquadra num estágio de abstração que já tem absorvido o primeiro.

Assim, temos o objeto matemático ‘número’, que não carrega uma relação direta com nenhum objeto concreto. Ou seja, dois livros que vejo à minha frente nada me dizem sobre o número 2; um par de sapatos também não mostra ligação direta com esse número. Isso significa que há um vazio (um fosso) entre esse objeto da Matemática e os objetos do mundo real (objetos concretos materialmente).

Diante das considerações que levantamos, elaboramos uma categorização dos níveis de abstração dos objetos da matemática. Na Figura 77, temos a primeira possibilidade, quando o nível físico é instância do primeiro nível de abstração.

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Figura 7: Níveis de abstração do conhecimento matemático quando o nível físico é instancia do primeiro nível de abstração

Fonte: Autoria própria (Sugerida pelo pesquisador John Andrew Fossa).

Essa classificação de abstração do conhecimento matemático está organizada de modo a avançar cada vez mais no processo de abstração, o que pode levar ao completo desligamento dos objetos da matemática de objetos reais. Porém, ao considerar o aspecto relativo à base cognitiva, mesmo que os objetos estejam desligados do nível físico (concreto material) isto não indica que para o sujeito eles não sejam concretos, afinal a base cognitiva é que determina o que é concreto e o que é abstrato para o indivíduo.

No primeiro nível de abstração estão inseridos todos os objetos matemáticos que possibilitam uma instanciação direta com o nível físico, com o concreto manipulativo, imediato e sensorial. Nessa configuração se inserem, em especial, os conhecimentos da geometria básica, dada à possibilidade de representação dos objetos dessa área da matemática por objetos concretos. Nesse nível, não estão sendo consideradas definições matemáticas, conceitos, propriedades, dentre outros. O que se vislumbram são as representações diretas, simples e sensoriais de objetos matemáticos por objetos reais. Há uma relação direta entre este nível de abstração do conhecimento matemático e o primeiro nível de abstração do conhecimento humano colocado por Devlin (2006). Para ele, os objetos sobre os

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Dialética entre os níveis de abstração

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