Erken Ortaçağ Dönemi’nde Ziyafet Anlayışı

Vejamos agora como o esquema de AMR permite obter um algoritmo muito eficiente para a expansão de um sinal discreto numa base de wavelets. Este algoritmo, que está inti- mamente ligado com sistemas de decomposição de sinais em duas bandas, foi introduzido por Mallat (1989). O algoritmo é um esquema clássico conhecido para processamento de sinal como codificador de sub banda de dois canais. Este prático algoritmo dá origem à transformada rápida de Wavelet uma caixa na qual o sinal passa, e na saída são obtidos os

Capítulo 3. Wavelets e análise de multiresolução coeficientes de Wavelet.

Consideremos, então, uma AMR com funções escala φ e wavelet mãe ψ, e denotamos por Pje Qj, os operadores de projecção ortogonal nos espaços Vj e Wj, respectivamente,

isto é, sejam Pjf =

∑

k∈Z aj,kφj,k Qjf =

∑

k∈Z dj,kψj,k, (3.28)

de tal forma que

aj,k=< f , φj,k>, dj,k=< f , ψj,k> .

Se os dados a serem analisados são discretos, isto é, são uma sequência (ak), k ∈ Z,

podemos sempre encará-los como representando a aproximação de um sinal contínuo f (t) num determinado espaço aproximador VJ, cuja escala está relacionada com o intervalo de

amostragem.

Por uma questão de simplicidade, consideremos que essa escala é J = 0, ou seja, partimos de

f0=

∑

k_∈Z

a_kφ0,k. (3.29)

Recordemos que utilizamos a convenção

. . . ⊂ V2⊂ V1⊂ V0⊂ V−1⊂ V−2⊂ ... ⊂ L2,

portanto j ↓, Vj↑. Essa aproximação pode, então, ser decomposta como soma de uma

aproximação f₋₁, de mais fraca resolução, com uma função w_{−1 ∈ W−1} que "contém"a informação que é perdida ao representar f na escala mais grosseira. Este processo pode ser repetido sucessivamente, até se chegar a uma escala −J desejada. Assim, o se pretende é obter a seguinte decomposição

f0=

∑

k∈Z

a_−J,kφ_−J,k+

_∑

−J

j=−1

∑

k

dj,kψj,k. (3.30)

ou, mais precisamente, obter as sequências (a_−J,k) e dj,k; j = −1,··· ,−J, a partir da

sequência inicial ak.

O algoritmo da transformada rápida com wavelets baseia-se no uso (3.17) e (3.21). Mostra-se que a partir destas equações se deduzem as seguintes fórmulas de decom- posição:

aj−1,k=

∑

n_∈Z

h_2n−kaj,n. (3.31)

Capítulo 3. Wavelets e análise de multiresolução ψjexpressa por: dj,k=

∑

n∈Z gn−2kaj,n, (3.32) onde gn:= (−1)nh_1−n.

Estas relações mostram que o cálculo dos coeficientes pode ser feito recursivamente, partindo da sequência (a0,k) := (ak). O algoritmo pode ser esquematizado da seguinte

forma:

Figura 3.8: Esquema de decomposição

Construirmos desta maneira um algoritmo rápido para passar de uma escala para outra escala subsequente. Para tanto é necessário apenas conhecermos os coeficientes aj,k que

representam a função f numa dada escala j e também os coeficientes de filtro hnda função

escala associada á análise. De forma semelhante obtemos uma maneira simples de obter os detalhes perdidos ao se passar de uma escala de maior para uma de menor resolução, sendo agora necessário os coeficientes de filtro gnda wavelet associada.

Verifica-se que são efetuadas multiplicações que totalizam um fator linear com relação ao total de dados de entrada, ou seja,

O

(N). Observamos ainda uma diferença entre o tratamento da aproximação com as wavelets e outras técnicas, utilizamos as projeções em diferentes espaços, não apenas uma análise mais fina é efetuada, mas por assim dizer, numa parte, num intervalo do espectro. Além disso, a divisão do sinal permite a análise separada de cada uma de suas partes, revelando aspectos locais, como pode ser visto nas Figuras (3.10) e (3.9).

A transformação anterior pode ser invertida, ou seja, é possível reconstruir o sinal original (ak), partindo do conhecimento das sequências (a−J,k) e dj,k; j = −1,··· ,−J.

Capítulo 3. Wavelets e análise de multiresolução menores a uma versão mais grosseira. A fórmula que descreve essa transformada inversa também é deduzida das equações (3.17) e (3.21) e é a seguinte:

aj,k=

∑

n∈Z

(hk−2naj−1,n+ gk−2ndj−1,n) (3.33)

As expressões (3.32) e (3.33) indicam que apenas uma tabela com valores de hne gnsão

exigidas para dar partidas aos cálculos.

Figura 3.9: Esquema de decomposição

Capítulo 4

Método dos momentos via wavelet

Neste capítulo foi desenvolvida uma metodologia para calcular a distribuição de cor- rente através da antena em estudo. A metodologia envolve o método dos momentos, utilizando as Wavelets de Haar como funções base.

Os métodos utilizados na resolução de problemas, nos vários ramos da Engenharia ou ciências aplicadas, baseiam-se, atualmente, em duas categorias: métodos analíticos e métodos numéricos.

Por exemplo, na resolução de equações diferenciais, é raro se encontrar um problema que possa ser resolvido analiticamente, a menos que se imponham condições de simpli- ficação nos modelos respectivos. Com o desenvolvimento de rápidos e eficientes com- putadores, o papel dos métodos numéricos tem vindo a aumentar significativamente a resolução de problemas.

4.1 Descrição do método dos momentos (MoM)

O método dos momentos (MoM) é uma das mais poderosas técnicas numérica para a resolução de equações integrais que envolvem problemas eletromagnéticos (Harring- ton, 1968). O MoM é essencialmente um esquema de discretização no qual o operador da equação é transformado em uma equação matricial que pode ser resolvido computacional- mente (Cardoso e Satori, 2005). Na formulação pelo MoM, considera-se uma equação não homogênea,

L( f ) = g (4.1) onde, L é um operador linear, g é uma função conhecida e f é a função a ser obtida. Expandindo-se f numa série de funções f1, f2, ...., fn, definidas no domínio do operador

Capítulo 4. Método dos momentos via wavelet f =

_∑

n

αnfn (4.2)

onde, os αnrepresentam constantes e as funções fn são conhecidas como funções de

base ou funções de expansão. Para soluções exatas o segundo termo da equação (4.2) é um somatório infinito e os fn formam um conjunto completo de soluções de base. Caso

seja uma solução aproximada, f é dado por um somatório finito. Fazendo uso da linearidade do operador L, obtemos:

L( f ) = L(

∑

n

αnfn) =

∑

n

αnL( fn) = g (4.3)

O próximo passo consiste em calcular o produto interno usando um conjunto de funções conhecidas, wm, definidas como funções de teste ou funções peso.

hwm, gi = h

∑

n

αnL( fn), wmi =

∑

n

αnhL( fn), wmi (4.4)

Finalmente, após algumas manipulações algébricas, o conjunto de equações descrito em (4.4) assume a forma matricial dada a seguir:

[lmn] [αn] = [hm] (4.5) onde, [lmn] =    hw1, L( f1)i hw1, L( f2)i ... hw2, L( f1)i hw2, L( f2)i ... . . . .   , [αn] = α1 α2 . . . [hm] =    hw1, gi hw2, gi . . .   

Se a matriz [lmn] for não singular, sua inversa [lmn]−1 existe, conseqüentemente, as con-

stantes αnpodem ser obtidas da seguinte forma:

[αn] = [lmn]−1[hm] . (4.6)

Desta forma, a solução para f é obtida a partir de (4.2). Finalmente, considerando todas as funções de base, [ ˜fn] = [ f1, f2, f3, ...], a equação (4.2) poderá ser reescrita da

Capítulo 4. Método dos momentos via wavelet [ f ] = [ ˜fn][α1] = [ ˜fn] [lmn]−1[hm] . (4.7)

Podemos observar que a solução pode ser exata ou aproximada, dependendo apenas da escolha das funções fn e wn. Como o nosso objetivo é sempre obtermos uma melhor

aproximação, se considerarmos as funções fn linearmente independentes, então alguma

superposição de (4.2) pode aproximar f razoavelmente bem.

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