Coulomb yenilme kriteri

Yarı uzay bir ortamda olduğu varsayılan boyutları belirli bir fay düzlemi üzerinde oluşan yer değiştirme nedeniyle yer kabuğu deforme olmaktadır. Bunun sonucunda Coulomb gerilme değişimi meydana gelir (Okada, 1985; Okada, 1992). Yenilmenin meydana geldiği kayaçlar üzerinde şartları belirlemek için çeşitli kıstaslar kullanılmıştır. Coulomb yenilme kriteri bu kıstaslardan en yaygın olarak kullanılanıdır. Coulomb yenilme kriteri aşağıda takip eden formülasyonlarla açıklanmıştır (King ve ark., 1994). Bir düzlem üzerinde yenilmenin ortaya çıkması için Coulomb gerilmesi (𝜎_𝑓)’nin belirli bir değerin üzerine çıkması gerekmektedir (Denklem 2.24).

𝜎_𝑓 = 𝜏_𝛽− 𝜇(𝜎_𝛽− 𝑝) (2.24) Yukarıdaki eşitlikte; 𝜏_𝛽 yenilme düzleminde bulunan kayma gerilmesini, 𝜇 sürtünme katsayısını, 𝜎_𝛽 normal gerilme, 𝑝 boşluk suyu basıncı (gözenek sıvı basıncı) ifade etmektedir. 𝜏_𝛽’nın değeri daima pozitif olması gerekmektedir. Fakat 𝜏_𝛽, bir düzlem üzerinde gerilmenin incelenmesi işleminde kayma potansiyelinin sağ yada sol yanal olup olmadığına bağlı olarak negatif yada pozitif değerler alabilir. Bu nedenle eşitlikte önemli bir husus 𝜏_𝛽’nın uygun bir değer seçilmesi noktasıdır.

Şekil 2.5.’de gösterildiği gibi yenilme düzlemi, 𝜎₁ (en büyük asal gerilme) ekseninden β kadar yönlendiği zaman uygulanan gerilme bileşenleri 𝜎_𝛽 ve 𝜏_𝛽 ’yi asal gerilmeler 𝜎₁ ve 𝜎₃ asal gerilmeler türünden denklem 2.25 ve 2.26’da ortaya koyabiliriz.

Şekil 2.5. Eksen sistemi Coulomb gerilmelerini optimum yenilme düzlemleri üzerinde hesaplanmasını ifade eder. Şekilde sıkışma ve sağ-yanal kayma gerilmesi fay düzlemi üzerinde pozitif olarak alınır (King ve ark., 1994)

𝜎_𝛽= ¹₂(𝜎₁+ 𝜎₃) −¹₂(𝜎₁− 𝜎₃) cos 2𝛽 (2.25)

Eşitlikte, 𝜎₁ ve 𝜎₃ sırasıyla en büyük asal gerilme ekseni ve en küçük asal gerilme eksenlerini ifade etmektedir. Bu durumda 2.24 denklemi asal gerilmeler türünden şu şekilde yazılabilir.

𝜎_𝑓 = ¹₂(𝜎₁ − 𝜎₃)(sin 2𝛽 − 𝜇 cos 2𝛽) −¹₂𝜇(𝜎₁+ 𝜎₃) + 𝜇𝑝 (2.27) Coulomb yenilme gerilmesinde maksimum değişimin (𝜎_𝑓𝑚𝑎𝑥), en büyük asal gerilme ekseni ile yenilme düzlemi ile arasındaki açıyı belirten β ’nın, tan 2𝛽 = ±_𝜇¹_′ olduğunda meydana gelir (King ve ark., 1994).

Gözenek sıvı basıncı (𝑝), denklem 2.24’de belirtildiği üzere yenilme düzlemi karşısında etkin normal gerilmeyi değiştirmektedir. Kaya parçaları gerildiklerinde akış sayesinde değişebilen sıvı basıncından çok daha hızlı şekilde değişebilmektedir. Bu durumda gözenek sıvı basıncı (𝑝), değeri 0 ile 1 arasında değişebilen Skempton katsayısı B tarafından kayada hapsedilen gerilme ile ilişkilendirilebilir. Yani 𝜎_𝛽’nın düzlem üzerindeki normal gerilme yanı sıra hapsedilen gerilmeyi de temsil ettiği varsayımı ortaya konmuştur. Bu bilgiler neticesinde 2.24 denklemi ve yukarıda yazılmış eşitlikler tekrar yazılabilir (Denklem 2.28) (Simpson ve Reasenberg, 1994; Harris, 1998).

𝜎_𝑓 = 𝜏_𝛽− 𝜇′𝜎_𝛽 (2.28)

Eşitlikte 𝜇′ efektif sürtünme katsayısı olarak tanımlanır. 𝜇′= 𝜇(1 − 𝐵) şeklinde ise formülize edilir. 𝜇′ ‘nün değeri ile ilgili çeşitli görüşler bulunmaktadır. Stein (1999), 0.2 ile 0.8 aralığında değiştiğini, King ve ark. (1994) ve Steacy ve ark. (2004) ise hesaplamalarda μ′ değeri ile ilgili seçimin, modellemelerde Coulomb yenilme gerilmesi üzerindeki değişimi önemli bir şekilde etkilemediğini ortaya koymuşlardır. Orta asal gerilme 𝜎₂ yenilme durumunun olduğu koşulda herhangi bir etkiye sahip değildir. Bu nedenle yenilme şartı iki boyutlu olarak alınmaktadır. Bu adımdan sonraki süreçlerin tümünde anlatımlar iki boyutlu olarak tasvir edilecektir.

Tasarlanan sistemde, x ve y eksenleri ve fay yer değiştirmeleri yatay, fay düzlemleri ise düşeydedir. Bu durumda Şekil 2.5. x ekseninden ψ miktarında bir açıda bulunan düzlem üzerindeki gerilmesi aşağıdaki eşitliklerle tanımlanır.

𝜎₁₁= 𝜎_𝑥𝑥𝑐𝑜𝑠2ψ + 2𝜎_𝑥𝑦sin ψ cos ψ + 𝜎_𝑦𝑦𝑠𝑖𝑛2ψ (2.29) 𝜎₃₃ = 𝜎_𝑥𝑥𝑠𝑖𝑛2ψ − 2𝜎_𝑥𝑦sin ψ cos ψ + 𝜎_𝑦𝑦𝑐𝑜𝑠2ψ (2.30)

𝜏₁₃= ¹₂(𝜎_𝑦𝑦− 𝜎_𝑥𝑥) sin 2ψ + 𝜏_𝑥𝑦cos 2ψ (2.31)

Şimdi, sağ-yanal (𝜎_𝑓𝑅) ve sol-yanal (𝜎_𝑓𝐿) durumlar için Coulomb gerilmesi değişimleri x eksenine göre ψ açısı ile yönlenmiş düzlemler üzerinde aşağıdaki şekilde yazılabilir.

𝜎_𝑓𝑅 = 𝜏₁₃𝑅 + 𝜇′𝜎₃₃ (2.32)

𝜎_𝑓𝐿 = 𝜏₁₃𝐿 + 𝜇′𝜎₃₃ (2.33)

2.31’deki denklemde bulunan 𝜏₁₃’ün değeri denklem 2.32’da bulunan sağ-yanal kayma (𝜏₁₃𝑅 ) için değişmezken denklem 2.33’deki sol-yanal kayma (𝜏₁₃𝐿 ) için bu değerin tam aksi yani tersini alınmaktadır. Yukarıda bahsi geçen denklem 2.32, Şekil 2.6.’da sağ-yanal kayma gerilmesi hesabı olarak gösterilmiştir. Burada gerilmenin olmadığı elastik bir yarı uzay kabulü yapılmış tekdüze olan ana bir fay üzerine kayma eliptik olarak dağıtılmıştır. Şekil incelendiğinde ana faya paralel olarak gelişen faylar için yenilme durumuna ek olarak kayma ve normal bileşenlerin etkileri de katılarak Coulomb gerilme değişim modeli ortaya koyulmuştur. Bu hesaplama türü yalnızca ana fay üzerinde mevcut bulunan kayma nedeniyle ortaya çıkan belirli bir düzlem üzerindeki Coulomb gerilme değişimini ifade etmektedir.

Şekil 2.6. Coulomb gerilme değişimin sağ-yanal bir ortam için denklem 2.32 uyarınca şematik gösteerimi (King ve ark., 1994)

Coulomb gerilme değişimi sadece parametreleri tanımlanmış belirli olan faylar üzerinde değil aynı zamanda optimum olarak yönlenmiş ve artçı deprem üretme potansiyeli olan düzlemler üzerinde de hesaplanabilmektedir. Aynı zamanda meydana gelen depremden sonra optimum yönler, yalnızca bu ilgili deprem nedeniyle oluşan gerilme değişimi (𝜎_𝑖𝑗^𝑞) ile yorumlanmamalı, buna ek olarak önceden depremin meydana geldiği bölgede var olan bölgesel gerilmelerde (𝜎_𝑖𝑗𝑟) hesaplamalara katılarak belirlenmesi gerekmektedir. Bu durumda optimum düzlemler üzerinde hesaplanan toplam gerilme denklem aşağıdaki şekilde tanımlanmaktadır.

𝜎_𝑖𝑗𝑡 = 𝜎_𝑖𝑗𝑟 + 𝜎_𝑖𝑗^𝑞 (2.34)

Aynı zamanda mevcut toplam gerilmenin neden olduğu asal eksenlerin yönelimi denklem aşağıdaki eşitlik kullanılarak ortaya çıkarılır.

𝜃 =¹₂tan−1( ^2𝜎𝑥𝑦^𝑡

𝜎_𝑥𝑥^𝑡 −𝜎_𝑦𝑦^𝑡 ) (2.35)

Eşitlikteki θ, Şekil 2.5.’de incelenirse açık bir şekilde gösterilmiştir. Buna göre θ, asal eksenlerden birinin x ekseni ile yaptığı açıdır ve diğer asal eksen θ ile ± 90º açı

oluşturmaktadır. Bu iki yönelimden en büyük sıkışma açısı 𝜃₁ olarak seçilir ve böylece optimum yenilme açısı ψ_𝑜, 𝜃₁± 𝛽 ile verilmektedir. 𝜎_𝑖𝑗^𝑡 burada optimum düzlemler olarak tanımlanmıştır ve bu düzlemler üzerinde bulunan normal ve kayma gerilmesi değişimleri yalnızca deprem gerilme değişimleriyle 𝜎_𝑖𝑗^𝑞 belirtilir. Tüm bu bilgiler ışığında optimum düzlemler üzerindeki gerilmedeki değişimler 2.36 ve 2.37 denklemlerindeki gibi, Coulomb gerilme değişimi ise 2.38 denklemi ile ifade edilmektedir.

𝜎₃₃ = 𝜎_𝑥𝑥^𝑞 𝑠𝑖𝑛2ψ_𝑜− 2𝜎_𝑥𝑦^𝑞 sin ψ_𝑜cos ψ_𝑜+ 𝜎_𝑦𝑦^𝑞 𝑐𝑜𝑠2ψ_𝑜 (2.36)

𝜏₁₃= ¹₂(𝜎_𝑦𝑦^𝑞 − 𝜎_𝑥𝑥^𝑞 ) sin 2ψ_𝑜+ 𝜏_𝑥𝑦^𝑞 cos 2ψ_𝑜 (2.37)

𝜎_𝑓^𝑜𝑝𝑡 = 𝜏₁₃− 𝜇′𝜎₃₃ (2.38)

Coulomb gerilme değişimini ifade eden 2.38 denklemi Şekil 2.7.‘de optimum düzlemler üzerinde hesaplanan Coulomb gerilme değişimini göstermektedir. Burada, hesaplanan Coulomb gerilme değişim modeli 100 bar ve K7ºD yönelimli bölgesel sıkışma gerilmesindeki (𝜎𝑟) optimum olarak yönlenmiş faylar için gösterilmiştir.

Şekil 2.7. Coulomb gerilme değişiminin 𝜎𝑟 bölgesel sıkışma gerilmesi altında optimum yönelimli düzlemler üzerinde denklem 2.38 uyarınca şematik açıklaması (King ve ark., 1994’den derlenmiştir)

Bu çalışmada gerilme değişimi hesaplamalarında Matlab tabanlı olarak çalışan Coulomb 3.2 paket programı tercih edilmiştir (Lin ve Stein, 2004; Toda ve ark., 2005, Toda ve ark., 2011). Hesaplamalarda ihtiyaç duyulacak parametrelerden µ”=0.4, Young modülü 8x105

bar ve Poisson oranı 0.25 olarak alınmıştır. Deprem kırılmalarının yarı elastik bir ortamdaki dikdörtgen dislokasyon yüzeyleri olduğu varsayımı yapılmış ve Okada (1992) tarafından verilen denklemler baz alınarak depremlerin kosismik elastik dislokasyon modellemesi hesaplanmıştır.