( , Para e (2.14) √(( ( , Para (2.15) Onde
L = comprimento da escavação sem suporte D = Diâmetro equivalente do túnel
H= Cobertura de solo até o teto do túnel
Kp = Coeficiente de empuxo passivo ( )
2.9.3 Análise proposta por Leca e Dormieux (1990)
O método proposto por Leca e Dormieux (1990) aborda o problema da estabilidade de um túnel executado em um material seguindo o critério de Mohr-Coulomb, sob o ponto de vista da análise limite. O problema pode ser idealizado considerando um túnel circular rígido, de diâmetro D e executado sob uma profundidade de cobertura C, conforme ilustrado na Figura 2.22, onde H é dado pela Equação 2.16.
(2.16)
Onde: H = Cobertura de solo até o eixo do túnel D = Diâmetro equivalente do túnel
C = Cobertura de solo do teto do túnel à superfície do terreno
O peso específico do solo é e uma sobrecarga de é aplicada à superfície do solo. O comprimento não suportado atrás da face P é tornado nulo (uma hipótese aceitável é o uso de tuneladora) e uma pressão de retenção é aplicada à frente. Tal suporte pode ser alcançado
usando ar comprimido, borra de bentonita ou pressão de terra (EPB shield). Em escavação convencional, utilizam-se muros de inércia (muros de empuxo de Rankine) e enfilagens com fibra de vidro, dentre outros recursos.
FIGURA 2.22 - Definição do carregamento e geometria para análise da estabilidade da frente de escavação. (Leca e Dormieux, 1990)
Nesse caso, as condições do solo são consideradas uniformes ao redor do túnel. O solo é considerado um material com parâmetros de Mohr-Coulomb, com coesão efetiva c’ e ângulo atrito efetivo ’. Para tais materiais, é necessário introduzir a resistência à compressão não confinada (Equação 2.17) e, os coeficiente de empuxo de Rankine para os estados ativos e passivos respectivamente são representados pelas Equação 2.18 e Equação 2.19.
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Os parâmetros ( podem ser usados alternativamente para caracterizar a resistência do solo. Para um material sem coesão, , podem ser usados alternativamente com ϕ´. A análise dimensional mostra que o problema pode ser analisado em termos destes cinco parâmetros adimensionais: C/D, , ( .
Uma estimativa de limite superior da carga é encontrada supondo um mecanismo cinematicamente admissível de falha em que a potência das forças aplicadas ao sistema seja maior que a potência que pode ser dissipada pelo sistema através de seu movimento. Por outro lado, qualquer configuração de carregamentos para o qual um campo de tensões pode ser encontrado – que promova o equilíbrio e não satisfaz o critério de escoamento do material – se configura como uma solução limite inferior.
Para o túnel analisado, o autor considerou três parâmetros de carregamentos, quais sejam:
. Como o escoamento do solo do referido túnel é controlado pelo critério de Mohr-Coulomb, o mecanismo de falha deve ser escolhido de tal forma que, ao longo de qualquer superfície de escoamento , o ângulo entre a descontinuidade de velocidade
satisfaça a condição da Equação 2.20.
(2.20)
Caso contrário, a potência dissipada Pv será infinita e, portanto, a solução de limite superior
não poderá ser encontrada.
Soluções de limite superior
Três mecanismos de falha foram considerados neste estudo e todos eles envolveram o movimento de troncos de cones sólidos de seções de corte circulares. Representados na Figura 2.23, esses mecanismos foram denominados MI, MII e MIII, sendo que MI e MII se referem a
mecanismos de colapso e MIII é referente ao mecanismo de “Blow Out”, cuja pressão
.MI
MII
MIII
A falha é consequência do colapso da região cônica nos blocos MI e dos dois blocos em MII. No último caso, a geometria é mais complexa: o primeiro cone (bloco 1) é truncado por um
plano π perpendicular ao plano de simetria do túnel que se projeta como Δ (Figura 2.23). O
segundo cone (bloco 2) é uma imagem espelhada do primeiro em relação ao plano π’
(perpendicular a π ) e passando pelo centro da interseção entre π e o bloco 1. O plano π’
se projeta como Δ’. Isso assegura que o plano π intercepte ambos os blocos ao longo da
mesma superfície elíptica O plano π é escolhido de tal forma que o eixo do segundo cone seja vertical. Portanto, tanto MI quanto MII são caracterizados por apenas um parâmetro: o
ângulo α entre o eixo do cone adjacente ao túnel e a horizontal. O mecanismo MIII pode ser
interpretado como o mecanismo MI inverso.
Em todos esses mecanismos, a interseção do túnel com seu cone adjacente é uma elipse, cujo semi-eixo maior tem comprimento igual a D/2. Isso implica que apenas uma parte da face é falha, embora a teoria da análise limite permaneça válida para tal simetria e um limite superior possa ser derivado desse mecanismo.
O trabalho realizado pelos carregamentos externos, , e o trabalho dissipado são calculados, e para que haja uma condição estável é preciso que satisfaça a Equação 2.21.
(2.21)
Os parâmetros de carregamento relacionados aos empuxos realizados pela sobrecarga bem como o peso próprio e o trabalho pela força aplicada na face do túnel ( , são calculados respectivamente pelas Equações 2.22,2.23 2.24.
( )
(2.22)
( )
(2.23) ( ) (2.24)
Em uma relação final, o modelo de Leca e Dormieux (1990) destaca que a estrutura permanecerá estável se satisfizer a Equação 2.25.
(2.25)
onde são coeficientes de peso que dependem do ângulo α entre o eixo do cone adjacente ao túnel e a horizontal. Os mecanismos de colapso MI e MII são otimizados quando
α é escolhido de forma que Ns e N sejam máximos. Todas as derivações, bem como o
modelo matemático proposto por Leca e Dormieux (1990) estão apresentadas no Apêndice I.
Soluções de limite inferior
Leca e Panet (1988 apud LECA e DORMIEUX, 1990) propõem mecanismos que determinam campos de tensões geostáticas semelhantes ao mecanismo proposto por Davis et al. (1980), mecanismos esses representados em dois campos denominados SI, SII e SII conforme mostra a Figura 2.24.
O equilíbrio de forças obtido pelas análises no limite superior (Equação 2.25) são as mesmas para o limite inferior. As soluções obtidas para SI, onde >0 estão apresentadas nas Equações 2.26 e 2.27.
(2.26)
( (2.27)
onde coeficiente de empuxo ativo (Equação 2.18);
: coeficiente de peso de sobrecarga para o limite interior : coeficiente de peso próprio do maciço para o limite interior
Para os mecanismos SII e SIII ( =0), são obtidos respectivamente pelas Equações 2.28 e o 2.29:
( (2.28)
( ( (2.29)
Onde é o coeficiente de empuxo passivo (Equação 2.19).
A linha de superfície de ruptura foi comparada na Figura 2.25. Já os resultados obtidos pela análise limite superior e inferior foram comparados aos resultados obtidos em laboratório por ensaios de centrífuga e apresentados na Tabela 2.1.
TABELA 2.1 - Comparação entre tensões de terra (σT) previstas e medidas em laboratório (Leca e
Dormieux, 1990)
C/D (kN/m³ Tensões críticas previstas por análise limite (kPa)
Tensões de colapso medidas em centrífugas (kPa) (Limite inferior) (Limite superior) 1,0 15,3 29 2 6 1,0 16,1 29 3 3 2,0 15,3 46 2 4 2,0 16,1 44 3 4
FIGURA 2.25 - Comparação entre superfície de ruptura teórica e área de ruptura observada em laboratório. (Modificado – Leca e Dormieux, 1990)