ADF Birim Kök Testi

Granger ve Newbold (1974) durağan olmayan zaman serileriyle çalıĢılması halinde sahte regresyon problemiyle karĢılaĢılabileceğini göstermiĢtir. Zira durağan serilerin kullanıldığı serilerden elde edilen sonuçlarda bir sorun gözlenmez iken, durağan olmayan serilerin kullanılması güvenilir olmayan ve yorumlanması ekonomik olarak zor olan sonuçların elde edilmesine yol açabilecektir. Bu nedenle zaman serileriyle yapılan regresyon analizlerinde kullanılan değiĢkenlerin zaman serisi özelliklerinin incelenmesi gerekmektedir. Literatürde yapılan birçok çalıĢma çoğu makroekonomik değiĢkenin birim kök içerdiğini göstermektedir. Uygulamada serilerinin durağanlık özelliklerinin test edilmesinde, GeniĢletilmiĢ Dickey–Fuller (ADF, 1981) birim kök testi ekonometrik çalıĢmalarda oldukça sık kullanılmaktadır. Dickey-Fuller testi, gözlenen serilerde birim kökün varlığının (serinin durağan olmadığı) olup

olmadığının belirlenmesinde kullanılan bir testtir. Bu yöntemin ilk olarak duyurulması, Dickey D.A. ve W.A.Fuller‟ın 1979‟da „Journal of American Statistical Association‟ adlı dergide yayınlanan makaleleriyle olmuĢtur. Testin ilk çıktığı dönemden günümüze kadar çeĢitli alanlarda yeterli gelmediği ve bundan dolayı eksikliklerin kapatılması için oluĢturulan yardımcı yöntemler ortaya çıkmıĢtır. Ancak yapılan uygulamalarda serinin birim kök taĢıyıp taĢımadığının saptanması için mutlak suretle DF (Dickey-Fuller) testinin yapılması Ģart niteliğinde bulunmaktadır.

Testin kullanımını açıklamak için aĢağıdaki veri üreten süreç kullanabiliriz:

Model: yt= yt-1+ t t WN(0, ²)³ (3.2.1.1) AR(1) sürecini ele alalım. EĢitliği aĢağıdaki gibi gösterilebiliriz.

yt – yt-1 = ( -1) yt-1 + t (3.2.1.2)

Denklemin her iki tarafından yt-1 çıkarıldığında, ( -1) = y olmak üzere denklem aĢağıdaki Ģekle gelir.

yt= yt-1+ t (2) = -1 (3.2.1.3)

elde edilir. Dolayısıyla baĢlangıçtaki (1) no‟lu denklemde H0 : =1 hipotezini test etmekle (2) no‟lu modelde H0 : =0 hipotezini test etmek aynı Ģeydir. Dolayısıyla test hipotezimiz:

H₀ : =0 (seri birim kök taĢımaktadır, durağan değildir ) H0 : <0 (seride birim kök yoktur, trend durağandır)

Ģeklinde olacaktır.( -1) = 0 veya γ = 0 durumunda yt serisi bir birim kök içermektedir. Ancak IpI < 1 durumunda seri durağan olur. Burada Dickey ve Fuller‟ın Monte Carlo uygulamasında ortaya çıkarılan „„ T‟‟ (tau) istatistiği kullanılmaktadır.

3 t = stokastic hata terimi

Hesaplanan „„ T‟‟ değerinin mutlak değeri Fuller veya McKinnon Dickey-Fuller kritik değerlerinin mutlak değerini aĢıyorsa, zaman serisinin durağan olduğu hipotezini reddedemeyiz. „Ho: =1‟ reddedilirse zaman serisi durağandır (Gujarati, 1999). Dickey-Fuller‟in ortaya koyduğu üç denklem türü bulunmaktadır :

Sabitsiz trendsiz Dickey-Fuller denklemi :ΔYt =γY(t-1) +ut Sabitli trendsiz Dickey-Fuller denklemi :ΔYt =a+γY(t-1) +ut Sabitli trendli Dickey-Fuller denklemi: ΔYt =a+bt+γY(t-1) +ut

H0 hipotezi standart t istatistikleri kullanılarak test edilebilir. Üç model için t istatistikleri Dickey-Fuller tarafından sırasıyla ile gösterilmiĢtir. Ancak t istatistikleri bu hipotez altında ne standart t dağılımı izlerler nede asimptotik olarak standart normal dağılım gösterirler. Çünkü standart dağılımların türetilmesinde durağanlık varsayımına ihtiyaç vardır.

t t-1 2 t-1

ˆ y y

y y_t~I(0) ve y_t-1~I(1) (3.2.1.4)

yt serisi durağan olmadığından varyansı sonsuza doğru artacaktır. Dolayısıyla ^ asimptotik olarak sıfıra yaklaĢacaktır ve asimtotik dağılımı olmayacaktır. Birim kökün varlığının sınanması için kullanılan iki hipotez kullanılmaktadır. Bunlar:

H1: γ<0 (p<1) (seride birim kök yoktur.) (seri durağandır.) H0 : γ=0 (p=1) (seride birim kök vardır.) (seri durağan değildir.)

Hipotezlerinin oluĢturulduktan sonra mevcut model içinde sınanması Ģu Ģekilde olmaktadır: Dickey-Fuller testinin uygulanmasında „„Δyt = γyt-1 + ut‟‟

regresyonunda yer alan γ parametresinin sahip olduğu „t‟ değerinin, Dickey-Fuller‟a

özel olarak hazırlanan „„ T‟‟ istatistik tablo değeri ile karĢılaĢtırılarak, önceden hazırlanan Ho ve H1 hipotezlerine göre birim kökün varlığı tespit edilmektedir.

Dickey-Fuller testleri sadece birinci dereceden bir AR sürecini baz alır. Ancak hata teriminin beyaz gürültü özelliği gösterebilmesi için daha yüksek dereceden AR modellerine ihtiyaç olabilir. Eğer yt‟nin önemli gecikmelerinden birisi unutulursa o zaman model kurma hatasına yol açılarak hata teriminin otokoreli olmasına neden olunur.Bu eksiklik, ADF testlerinde daha yüksek dereceden AR süreçlerine yer verilerek giderilmeye çalıĢılmıĢ, ve yukarıdaki modeller Ģu Ģekilde geniĢletilmiĢtir:

yt= yt-1+

Karar kuralı : t= /s.e( )< tablo H0:Red :seri durağan Ģeklindedir.Dickey D.A. ve W.A.Fuller‟ın (1981) „de „Econometrıca‟ dergisinde yayınlanan makalelerinde buldukları konuyu iĢlemiĢler ve mevcut olan test denklemini en genel haliyle Ģu Ģekilde bulunmaktadır:

ΔYt =a + bt + γY(t-1) + cΣΔY(t-1) + ut (3.2.1.9)

Son Ģekli oluĢan regresyon günlük yaĢamda kullanılan zaman serilerinin birim kök taĢıyıp taĢımadığını açıklamada daha yüksek iĢlevsellik kazanmıĢtır.

Tablo-1. X ve M için ADF Birim Kök Testi Sonuçları

*Parantez içindeki değerler SIC kriterine göre seçilen gecikme uzunluklarını göstermektedir.

** ADF testi için %5 güven aralığında Mac Kinnon(1996) kritik değerleridir.

Tablo-1‟deki ADF test sonuçları Mac Kinnon kritik değerleri ile karĢılaĢtırıldığında, her iki değiĢken için birim kök temel hipotezi reddedilmez. Böylece Ġhracat(lnX) ve Ġthalat(lnM) düzey değerleri ile durağan olmayan değiĢkenlerdir. Ġlk farkları alınmıĢ serilere ADF testi uygulanması sonucunda, her iki değiĢkenin de durağan olduğu tespit edilmiĢtir. Böylece ADF test sonucuna göre, lnX ve lnM fark durağan değiĢkendir I(1). Bu durum bize gösteriyor ki ihracat ve ithalat ekonomide meydana gelen dalgalanmalara karĢı etkileĢime girmektedir. Bu durum döviz kurunda meydana gelen değiĢimlerin ithalat ve ihracat üzerinde etki yaratarak dıĢ ticaret hususunda rekabeti etkileyici rol oynadığını göstermektedir.

Tablo-2. RER için ADF Birim Kök Testi Sonuçları

ln(RER)

Sabit Trendsiz Sabitli Sabitli Trendli Düzey Değeri 0.337591(2)*

*Parantez içindeki değerler SIC kriterine göre seçilen gecikme uzunluklarını göstermektedir.

** ADF testi için %5 güven aralığında Mac Kinnon(1996) kritik değerleridir.

Tablo-2‟de M, X ve RER için yapılan ADF birim kök testi sonuçlarına baktığımızda lnX, lnM ve lnRER serilerinin I(1). ve I(2). farkının alındığı her durumda serilerin durağan olduğu ve birim kök taĢımadığı anlaĢılmaktadır. Serilerin birinci farkında durağan olmaları, diğer bir değiĢle düzey değerlerinde durağan olmamaları ekonomik dalgalanmalara gösterdikleri tepkilerin sonucudur. Ekonominin serilerin alındığı dönemler itibariyle belirli dalgalanmalara gösterdikleri tepkiler, düzey değerlerinin durağan olmamasını kanıtlar. Buradan serilerde belirli dönemler itibariyle kırılmaların olabileceği anlaĢılmaktadır. Kırılmalar, Zivot Andrews ve Lee-Strazicich yapısal kırılma birim kök testleriyle incelenmiĢtir.