Binom ağacı yöntemi

Binom ağacı yöntemi, hisse senedi, döviz ve türev piyasa ürünleri için kabul gören Amerikan tipi bir opsiyon değerleme yöntemidir. Binomial model, opsiyon fiyatlamaya sayısal bir yaklaşımdır. Analitik bir yöntem olan Black-Scholes metodunun açıklamakta yetersiz kaldığı özellikle Amerikan tipi satım opsiyonları ve faiz opsiyonları başta olmak üzere çeşitli türev menkul kıymetlerin fiyatlandırılması açısından kullanılmıştır. Binomial modelinin varsayımları şöyle ortaya konulmaktadır:

1- Menkul kıymet piyasalarında açığa satış mümkündür.

2- İşlem maliyeti yoktur.

3- Vergiler ihmal edilmiştir.

4- Menkul kıymetler bölünebilir özelliğine sahiptir.

5- Türev menkul kıymetlerin süresi içinde kar payı ödemesi yoktur.

6- Menkul kıymet piyasalarında risksiz arbitraj olanağı yoktur.

7- Menkul kıymet ticareti süreklidir.

8- Risksiz faiz oranı tüm vadeler ve borçlanmalar için sabittir.

Binomial opsiyon değerleme model en genel tanımıyla söz konusu varlığın değerinin açılımını ortaya koymaktadır. Varlık, aşağıda görüldüğü gibi, her bir zaman diliminde iki olası seçenekten birinin yolunu izlemektedir (Gökçe ve Tekbaş, 2006). Seçimler her varılan noktada tekrar edilmektedir. Binomial Şekil 4.9‘de şematize edilmiştir.

Amerikan tipi opsiyonların fiyatlamasında kullanılan bu model, kısa bir zaman diliminde fiyatlarda iki yönde değişim olabileceği esasına dayanmaktadır. Binom modeli, kesikli zamanlı bir süreçte, hisse senedi fiyat hareketlerini inceler. Buna göre binom modeli, hisse senedi fiyatlarını belirlenen zaman aralıklarında

hesaplamaktadır. Binom modelinin güvenilir sonuçlar vermesi için opsiyonun vadesi, mümkün olan en fazla sayıda Δt zaman dilimine bölünmelidir (Hull, 2003).

𝑆0𝑢𝑁 𝑆0𝑢2 𝑆0𝑢𝑁−2 𝑆0𝑢2 𝑆0𝑢 𝑆0𝑢2𝑑 𝑆0𝑢𝑁−4 𝑆₀ 𝑆₀𝑢𝑑 𝑆0𝑑 𝑆𝑜𝑢𝑑2 𝑆0𝑑𝑁−4 𝑆0𝑑2 𝑆0𝑑3 𝑆0𝑑𝑁−2 𝑆0𝑑𝑁 Zaman Adımları 0 1 2 3

ġekil 4.9 : Binomial Model.

Binomial modelde; piyasaların mükemmel işlediği ve rekabetin söz konusu olduğu; yatırımcıların tek bir faiz oranı (r) ile nakit ödünç alıp verebildikleri, yatırımcıların daha fazla serveti daha az servete tercih ettikleri öngörülmektedir. Görüldüğü gibi temel prensip, sermaye piyasasının dengede olduğu bir durumda alım ve satım opsiyonlarının fiyatlaması ve bu opsiyonlar kullanılarak oluşturulan portföylerin beklenen getirisinin risksiz faiz oranına eşit olmasıdır (Küçükkocaoğlu, 2007).

Opsiyonları fiyatlamak için kullanılan kullanışlı ve popüler yöntemlerden biri de binom ağacı yöntemidir. Binom ağacı, opsiyona konu olan varlığın fiyatının, opsiyonun ömrü boyunca izlemesi muhtemel değişik yolları gösteren bir diyagramdır (Hull, 2005).

Binom modeli, kesikli zamanlı bir süreçte, hisse senedi fiyat hareketlerini inceleyen bir modeldir. Buna göre binom modeli, hisse senedi fiyatlarını belirlenen zaman aralıklarında hesaplamaktadır. Opsiyonlar ile diğer türev ürünlerin değerlenmesinde kullanılan binom yöntemi, sözleşmeye konu menkul kıymetin kesikli rassal yürüyüş modellerinden (discrete random walks models) ortaya çıkmıştır. Eğer St değişkeninin binom modeli ile hesaplanan S0,S1,…Sn değerleri po,p1,…pn olasılıklarını alıyorsa ve

p1+p2+…pn =1 şartı da gerçekleşiyorsa, St kesikli olasılık dağılımı olan binom dağılıma sahiptir. Buna göre, binom modelde St kesikli tesadüfî bir değişkendir. Vadelerinden önce uygulanabilen Amerikan tipi opsiyonların fiyatlandırılmasında kullanılan ve 1979'da Cox, Ross ve Rubinstein tarafından geliştirilen binom modeli, kısa bir zaman diliminde döviz kurlarında iki yönde (binomial) değişim olacağı esasına dayanmaktadır. 1000 adım üzerindeki ağaçlar iyi bir tahmin yapmak için gerekli olmaktadır. Yaklaşık olarak 50000 adımı olan ağaçlar ise Black-Scholes formülü uygulanan hesaplamalarla aynı sonucu vermektedir. Binom ağacı bir çeşit kesikli simülasyon iken stokastik bir süreç olan Brown Hareketi sürekli bir simülasyondur. Bu yüzden yukarıda da açıklandığı gibi granülizasyonun artması binom ağacından çıkacak sonucu limitte sürekli simülasyonlardan elde edilecek sonuca yakınsamaktadır (Mun, 2002).

𝑆0𝑢2 𝑆₀𝑢2 𝑆₀𝑢 𝑆₀𝑢2_𝑑 𝑆0 𝑆0𝑢𝑑 𝑆0𝑑 𝑆𝑜𝑢𝑑2 𝑆₀𝑑2 𝑆0𝑑3 Zaman Adımları 0 1 2 3

ġekil 4.10 : Zaman Adımlı ve 4 Düğümlü Binom Ağacı.

Bu modelde hiçbir arbitraj fırsatının olmadığı varsayılmıştır. Aynı zamanda opsiyona konu olan varlığın vade sonundaki değeri hakkında hiçbir belirsizlik yani risk yoktur, hesaplama risk yansız bir dünyada yapılmaktadır. Bu yüzden bu varlığın getirisi risksiz faiz oranına eşit olmalıdır (Hull, 2005).

Şekil 4.10‘de dalları birleşen tipte bir binom ağacı görülmektedir. Nadiren de olsa, örneğin opsiyona konu olan iki ya da daha fazla stokastik değişken olduğunda veya

tek bir opsiyona konu olan varlık olduğu halde bu varlığın volatilitesi zaman içerisinde değiştiğinde, dalları birleşmeyen tipte binom ağacına ihtiyaç duyulabilir. Her iki ağaç çeşidi de limitte aynı sonucu vermektedir (Mun, 2002).

Hangi tip gerçek opsiyon problemi çeşidi çözülecek olursa olsun binom ağacı yaklaşımında sonuca iki şekilde ulaşılabilir. Birinci yol kopyalanmış pazar portföyünü kullanmak ikincisi ise risk yansız olasılıkları kullanmaktır. Burada risk yansız olasılıklar kullanılmıştır. Her iki yol da benzer sonuçlar vermektedir.

Problemlerde kullanılan notasyon şu şekildedir. So opsiyona konu olan varlığın piyasa fiyatını aynı zamanda başlangıç değerini temsil etmektedir. K kullanım fiyatını aynı zamanda opsiyonun uygulama maliyetinin bugünkü değerini göstermektedir. Vadeye kalan süre T ile gösterilmekte opsiyona konu olan varlığın volatilitesi ζ risksiz faiz oranı r ile anlatılmaktadır. Ek olarak sürekli olarak yapılan kâr payı ödemeleri yüzde olarak d ile ifade edilmektedir. δt zaman adımını göstermektedir. Zaman adımı adımlar arasındaki zaman ölçüsüdür. Örneğin bir opsiyonun vadesi 1 yıl ise ve 10 adımdan oluşuyorsa her zaman adımının büyüklüğü 0.1 yıl olacaktır. Volatilite yıllık bir değer olarak alındığından adımlar da yıllık olarak hesaplanmaktadır. Binom ağacı kurulurken yapılması gereken ilk adım düğüm noktalarındaki değerleri hesaplamaktır. Burada opsiyona konu olan varlığın değerinin ya düşeceği ya da yükseleceği varsayılmaktadır. Yükselme adımı 𝑢 = 𝑒𝜍 𝛿𝑡 _{ile hesaplanmaktadır. Düşme adımı 𝑑 = 𝑒}−𝜍 𝛿𝑡 ₌ 1

𝑢 olarak

hesaplanmaktadır. Bu hesaplama belirlenen zaman adımında yapılan sürekli faiz hesabından başka bir şey değildir. Düşme ve yükselme adımları aynı büyüklükte olduğundan belirli noktalarda birleşmektedirler. Ağacın çatal açıklığını belirleyen faktör de volatilitedir. Volatilitenin olmadığı bir durumda yani ζ = 0 iken, atlama adımları yani u ve d 1‘e eşit olacak, ağaç yapısı gerçekleşmeyecek ve ancak düz bir çizgi oluşacaktır. Bu durum belirsizliğin olmadığı bir proje yapısında opsiyon yaklaşımının uygulanmasının gereksizliğini ispatlamaktadır ve standart NŞD uygulamasının yeterli olduğunu belirtmektedir.

Burada gerçekleştirilmesi gereken ikinci adım risk yansız olasılığın hesaplanmasıdır. Risk yansız olasılık formülü şu şekildedir;

Bu noktadan sonraki aşama opsiyon fiyatının bulunmasıdır. Bu aşamada ikinci bir binom ağacı hazırlanır ve daha önce bulunan S değerlerinden hareketle geriye doğru indirgeme yöntemi uygulanır. S değerleri her adımda u ve d değerlerinin gereken sayıda çarpılmasıyla bulunmaktadır.

Örneğin sadece iki adımlı bir binom ağacında opsiyon fiyatı şu şekilde hesaplanmaktadır;

𝑆0𝑢 𝑆0

𝑆0𝑑

𝑂𝑝𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛. 𝑓𝑖𝑦𝑎𝑡ı = [𝑝 𝑆0𝑢 + 1 − 𝑝 𝑆0𝑑 ]𝑒𝑟𝛿𝑡 (4.6) Daha fazla adımı olan ağaçlarda bir yukarı adımı ve bir aşağı adımı hesaplamaya alarak, ikili kümeler halinde başlangıç değerine yani opsiyonun fiyatına ulaşılır. Kapalı sonlu çözümler matematiksel olarak üstün olmakla beraber türetilmeleri oldukça zordur ve oldukça spesifik yapıdadırlar. Üzerlerinde değişiklik yapılması gelişmiş bir stokastik matematik bilgisi gerektirmektedir. Bununla beraber binom ağaçlarının zaman zaman hesaplanması zor olsa da, oluşturulmaları oldukça kolaydır ve sadece basit cebir işlemleri gerektirirler. Aynı zamanda oldukça esnektirler ve gerçek opsiyon problemlerinin pek çoğuna göre uyarlanabilirler (Mun, 2002).