Dada uma medida µ : A → [0, +∞], denotamos por µp: Ap→ [0, +∞] a
vers˜ao livre de blocos da extens˜ao cheia canˆonica do completamento de µ, ou seja, µp= (µ)c
lb e Ap= A
c. ´E claro que µp ´e uma medida, pois dada
uma medida, as a¸c˜oes “completar”, “encher”e “livrar de blocos”geram uma nova medida. Pelo item (a) da Proposi¸c˜ao 2.3.1 temos que (µ)c´e completa, e
portanto, pelo item (c) dessa proposi¸c˜ao, (µ)c)lb´e cheia e completa. Assim,
µp´e cheia, completa e livre de blocos, ou seja, perfeita.
Definic¸˜ao 2.3.3. A medida µp: Ap→ [0, +∞] definida acima chama-se vers˜ao perfeita da medida µ.
Os dois exemplos que seguem evidenciam o fato de que n˜ao ´e poss´ıvel per- mutar a ordem “encher, livrar de blocos” nem a ordem “completar, encher”. Exemplo 2.3.4. Sejam X um conjunto n˜ao enumer´avel e A a σ-´algebra consistindo dos subconjuntos de X que s˜ao enumer´aveis ou tˆem complemen- tar em X enumer´avel. Sejam S um subconjunto de X que n˜ao est´a em A e µ : A → [0, +∞] a aplica¸c˜ao definida por: para cada A ∈ A, µ(A) ´e o n´umero de elementos de A ∩ S. ´E f´acil ver que µ ´e uma medida em A. Observe que se A ∈ A tem complementar em X enumer´avel ent˜ao A ∩ S = S \ (X \ A) ´e n˜ao enumer´avel e portanto µ(A) = +∞. A medida µ ´e claramente completa, uma vez que se A ∈ A tem medida nula ent˜ao A ´e enumer´avel e portanto cada subconjunto de A est´a em A. A medida µ ´e tamb´em livre de blocos, pois se A ∈ A ´e tal que µ(A) = +∞ ent˜ao A ∩ S ´e um conjunto infinito e, para cada x ∈ A ∩ S, o conjunto unit´ario {x} ´e um subconjunto mensur´avel de A com µ {x} = 1. A medida µ n˜ao ´e cheia; al´em disso, a σ-´algebra Ac
coincide com P(X), o conjunto das partes de X. Com efeito, se A ∈ P(X) ´e um subconjunto arbitr´ario de X e se E ∈ A tem medida finita ent˜ao S \ (X \ E) = E ∩ S ´e finito. Portanto E ´e enumer´avel e conseq¨uentemente (A ∩ E ´e tamb´em enumer´avel) A ∩ E ∈ A, o que mostra que A ∈ Ac.
Consideremos agora a extens˜ao cheia canˆonica µc : P(X) → [0, +∞] de µ.
Afirmamos que o conjunto X \ S ´e um bloco infinito para µc. De fato, uma
vez que X \ S n˜ao est´a em A temos µc(X \ S) = +∞. Agora, dado um sub-
conjunto A de X \ S, se A n˜ao ´e enumer´avel ent˜ao A /∈ A (pois S ⊂ X \ A, e portanto X \ A ´e n˜ao enumer´avel), e assim µc(A) = +∞. Se A ´e enumer´avel
O Exemplo 2.3.4 ilustra o fato de que a extens˜ao cheia canˆonica de uma medida livre de blocos (e completa) n˜ao ´e em geral livre de blocos. Isso tamb´em ilustra o fato de que a vers˜ao livre de blocos da extens˜ao cheia canˆonica de uma medida n˜ao ´e, em geral, o mesmo que a extens˜ao cheia canˆonica de sua vers˜ao livre de blocos, ou seja, (µlb)c 6= (µc)lb (at´e mesmo
quando ambas, (µlb)c e (µc)lb est˜ao definidas sobre a mesma σ-´algebra).
Exemplo 2.3.5. Seja Λ um conjunto n˜ao enumer´avel arbitr´ario e seja X = [0, 1]×Λ. Considere a σ-´algebra A consistindo de todos os subconjuntos A de X tais que a λ-´esima linha
Aλ =x ∈ [0, 1] : (x, λ) ∈ A
est´a em B(R)|[0,1] i.e., se ´e um subconjunto boreleano de [0, 1], para todo λ ∈ Λ. A aplica¸c˜ao µ : A → [0, +∞], definida por
µ(A) = P λ∈Λ
m(Aλ) se o conjunto {λ ∈ Λ : Aλ 6= ∅} ´e enumer´avel
+∞ caso contr´ario,
´e uma medida em A. De modo an´alogo ao que foi feito no Exemplo 2.1.6 mostra-se que, de fato, A ´e uma σ-´algebra de partes de X e que µ ´e uma medida em A. A medida µ n˜ao ´e livre de blocos; com efeito, se A ∈ A tem uma quantidade n˜ao enumer´avel de linhas n˜ao vazias, e se todas as linhas de A tˆem medida de Lebesgue igual a zero, ent˜ao A ´e um bloco infinito para µ. De fato, µ(A) = +∞ e para cada B ⊂ A, B ∈ A, temos µ(B) = +∞ se o n´umero de linhas n˜ao vazias de B ´e n˜ao enumer´avel, e µ(B) =Pλ∈Λm(Bλ) = 0, caso contr´ario. A medida µ ´e cheia; com efeito,
dado A ∈ Acent˜ao, para cada λ ∈ Λ, o conjunto [0, 1]×{λ} ∈ A tem medida
finita e portanto
A ∩ [0, 1] × {λ}∈ A.
Mas a λ-´esima linha de A ∩ [0, 1] × {λ} ´e igual `a λ-´esima linha Aλ de
A, e portanto Aλ ´e boreleano de [0, 1] para todo λ ∈ Λ, i.e., A ∈ A. A
medida µ n˜ao ´e completa e o completamento µ : A → [0, +∞] de µ ´e definido na σ-´algebra A consistindo dos subconjuntos A ⊂ X tais que Aλ ´e um subconjunto Lebesgue mensur´avel de [0, 1] para todo λ ∈ Λ e tal que ´e enumer´avel o conjunto
2.3. MEDIDAS PERFEITAS 79
ou seja, um conjunto ´e A-mensur´avel se todas as suas linhas s˜ao Lebesgue mensur´aveis e apenas uma quantidade enumer´avel delas n˜ao ´e boreleana. De fato, se A ∈A ent˜ao A = B ∪ N , com N ⊂ M , B, M ∈ A e µ(M ) = 0. Para cada λ ∈ Λ temos Aλ = Bλ∪ Nλ, com Nλ⊂ Mλ, Bλ e Mλ boreleanos
e m(Mλ) = 0, e assim Aλ ´e Lebesgue mensur´avel pois, L =B(R). Al´em
disso, o conjunto A est´a contido no conjunto Bdef= λ ∈ Λ : Mλ 6= ∅ ,
que ´e enumer´avel, visto que µ(M ) ´e finita. Reciprocamente, suponhamos que A ⊂ X ´e tal que todas as linhas de A s˜ao Lebesgue mensur´aveis, com apenas uma quantidade enumer´avel de n˜ao boreleanos. Para cada λ ∈ Λ, existem B(λ), M (λ) boreleanos de [0, 1], com m M (λ)= 0, tais que
Aλ = B(λ) ∪ N (λ),
para algum N (λ) ⊂ M (λ), e N (λ) = M (λ) = ∅ se Aλ ∈ B(R). Sejam
B = [ λ∈Λ B(λ) × {λ}, N = [ λ∈Λ N (λ) × {λ}, M = [ λ∈Λ M (λ) × {λ},
Observe que para cada λ ∈ Λ temos Bλ = B(λ), Nλ = N (λ) e Mλ= M (λ). Ent˜ao B, M ∈ A e µ(M ) = 0, uma vez que o conjunto B ´e enumer´avel (pois A´e enumer´avel). Al´em disso, claramente N ⊂ M e
B ∪ N = [ λ∈Λ B(λ) × {λ}∪ [ λ∈Λ N (λ) × {λ} = [ λ∈Λ B(λ) ∪ N (λ)× {λ}= [ λ∈Λ Aλ× {λ}= A, o que mostra que A ∈ A. Afirmamos que a medida µ n˜ao ´e cheia. Em primeiro lugar, note que se E ∈ A ´e tal que µ(E) < +∞ ent˜ao E possui uma quantidade enumer´avel de linhas n˜ao vazias; com efeito, se E tem uma quantidade n˜ao enumer´avel de linhas n˜ao vazias, seja E0 o conjunto
contendo exatamente um ponto de cada linha de E. Ent˜ao E0 ∈ A, E0 ⊂ E e
µ(E0) = µ(E0) = +∞, e assim µ(E) = +∞. Agora, seja S um subconjunto
n˜ao est´a em A, pois Aλ ∈ B(R) para uma quantidade n˜ao enumer´avel de/
´ındices λ ∈ Λ. N´os afirmamos que A est´a em Ac. De fato, se E ∈A ´e tal que µ(E) < +∞ ent˜ao E tem apenas uma quantidade enumer´avel de linhas n˜ao vazias, e portanto A ∩ E possui apenas uma quantidade enumer´avel de linhas que n˜ao est˜ao em B(R) (pois tem, ´e claro, uma quantidade enumer´avel de linhas n˜ao vazias). Al´em disso, todas as linhas de A ∩ E s˜ao Lebesgue mensur´aveis e portanto A ∩ E ∈ A.
O Exemplo 2.3.5 ilustra o fato de que o completamento de uma medida cheia pode n˜ao ser uma medida cheia, e que a extens˜ao cheia canˆonica do completamento de uma medida pode n˜ao coincidir com o completamento da extens˜ao cheia canˆonica dessa medida, i.e., pode ocorrer (µ)c6= (µc).
Seja (X, A, µ) um espa¸co de medida. Observamos que A ⊂ A ⊂ (A )c= Ap
e, para cada p ∈ [1, +∞], a aplica¸c˜ao inclus˜ao de M(X, A) em M(X, Ap)
induz a aplica¸c˜ao linear:
(2.3.1) Lp(X, A, µ) ∋ [f ]µ7−→ [f ]µp ∈ L
p(X, A p, µp)
que ´e exatamente a composi¸c˜ao das aplica¸c˜oes (2.2.1), (2.2.4) e (2.1.2). Com efeito, para cada f ∈ Lp(X, A, µ), temos:
[f ]µ (2.2.1) 7−→ [f ]µ (2.2.4) 7−→ [f ](µ)c (2.1.2) 7−→ [f ]((µ)c)lb= [f ]µp.
Proposic¸˜ao 2.3.6. A aplica¸c˜ao (2.3.1) ´e uma isometria linear para p ∈ [1, +∞[.
Demonstrac¸˜ao. Segue das Proposi¸c˜oes 2.1.9, 2.2.1 e 2.2.11. Combinando os diagramas comutativos (2.2.2), (2.2.5) e (2.1.4) n´os obte- mos um novo diagrama comutativo:
(2.3.2) Lp(X, A, µ)∗ Lp(X, A p, µp)∗ φ∗ oo Lq(X, A, µ) α OO γ // Lq(X, Ap, µp) , β OO
no qual α e β s˜ao (q, p)-aplica¸c˜oes de Riesz (1.4.2) para os espa¸cos (X, A, µ) e (X, Ap, µp), φ∗´e a transposta da aplica¸c˜ao (2.3.1) e γ ´e a vers˜ao da aplica¸c˜ao