3. F -BAER MOD ¨ ULLER
3.1 F -Baer Mod¨ ullerin Genel ¨ Ozellikleri
Tanım 3.1.1 M bir mod¨ul ve M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u F olsun. E˘ger S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F ) ={m ∈ M : Im ⊆ F } altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M mod¨ul¨u F -Baer mod¨ul olarak adlandırılmaktadır.
Her M mod¨ul¨u M -Baer mod¨uld¨ur. E˘ger M bir yarı basit mod¨ul ise o zaman F -Baerdir. Bu nedenle, yarı basit halkalar ¨uzerindeki mod¨uller F -Baerdir. S nin bir sol ideali I olmak ¨uzere I−1(0) = rM(I) oldu˘gundan, bir M mod¨ul¨un¨un 0-Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin bir Baer mod¨ul olmasıdır.
A¸sa˘gıdaki ¨ornek F -Baer mod¨ul olup Baer mod¨ul olmayan ve Baer mod¨ul olup F -Baer mod¨ul olmayan mod¨ullerin mevcut oldu˘gunu g¨ostermektedir.
Ornek 3.1.2 (1) F bir cisim olmak ¨¨ uzere, R =
F F 0 F
olsun. Bu durumda,
Ornek 2.2.4 gere˘¨ gince M =
F F 0 0
bir Baer R-mod¨uld¨ur. B¨oylece, ¨Onerme
2.2.9 gere˘gince M mod¨ul¨u SSIP ye sahiptir. Fakat, Soc(M ) =
0 F 0 0
altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı olmadı˘gından, M bir Soc(M )-Baer mod¨ul de˘gildir.
(2) Z4 halkası Z-mod¨ul olarak g¨oz ¨on¨une alınsın. Bu durumda, Z(Z4) = Z4 = Z2(Z4) oldu˘gundanZ4bir Z2(Z4)-Baer mod¨uld¨ur. Fakat,Z4bir Baer mod¨ul de˘gildir.
f (1) = 2 olacak ¸sekilde f ∈ EndZ(Z4) olsun. Buradan, I = EndZ(Z4)f sol ideali i¸cin, rZ4(I) = 2Z4 k¨umesi Z4 ¨un bir direkt toplananı de˘gildir. Sonu¸c olarak, Z4 bir Z2(Z4)-Baer mod¨ul olup Baer mod¨ul de˘gildir.
A¸sa˘gıdaki teorem yardımıyla F -Baer mod¨ullerin kullanı¸slı bir karakterizasyonu yapıl-maktadır. Bu sayede F -Baer mod¨ullerin yapısı daha kolay anla¸sılmaktadır.
Teorem 3.1.3 M bir mod¨ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.
(1) M bir F -Baer mod¨uld¨ur.
(2) N bir Baer mod¨ul olmak ¨uzere M = F ⊕ N ¸seklindedir.
˙Ispat: (1) ⇒ (2) M bir F -Baer mod¨ul olsun. Bu durumda, S−1(F ) = F altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oldu˘gundan, M = F ⊕ N olacak ¸sekilde M nin bir N altmod¨ul¨u vardır. N nin Baer oldu˘gunu g¨ostermek i¸cin I′, End(N ) nin bir sol ideali, A = {1 ⊕ f | f ∈ I′} ve I = SA olsun. Bu durumda, I−1(F ) = F ⊕ rN(I′)
¸seklindedir. M bir F -Baer mod¨ul oldu˘gundan, I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır. B¨oylece, rN(I′) altmod¨ul¨u N nin bir direkt toplananı olur ve istenilen elde edilir.
(2) ⇒ (1) N bir Baer mod¨ul olmak ¨uzere M = F ⊕ N olsun. Ayrıca I k¨umesi S nin bir sol ideali, πN do˘gal izd¨u¸s¨um ve ιN i¸cerim d¨on¨u¸s¨um¨u olmak ¨uzere, A′ = {πNf ιN | f ∈ I } ve I′= End(N )A′ ¸seklinde tanımlansın. Bu durumda, I−1(F ) = F ⊕ rN(I′) ¸seklindedir. N bir Baer mod¨ul oldu˘gundan, rN(I′) altmod¨ul¨u N nin bir direkt toplananıdır. B¨oylece, I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı olup, M bir F -Baer mod¨uld¨ur.
Onerme 3.1.4 E˘¨ ger M bir par¸calanamaz F -Baer mod¨ul ise o zaman M bir Baer mod¨uld¨ur ya da F = M dir.
˙Ispat: M bir par¸calanamaz F -Baer mod¨ul ve F ̸= M olsun. Bu durumda, F = 0 oldu˘gundan S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F ) = I−1(0) = rM(I) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır. B¨oylece, M bir Baer mod¨ul olarak bulunur.
Tanım 3.1.5 M bir mod¨ul olmak ¨uzere e˘ger S nin her I sol ideali i¸cin rM(I) altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez direkt toplananı ise o zaman M mod¨ul¨u kuvvetli Baer (strongly Baer) mod¨ul olarak adlandırılmaktadır.
Onerme 3.1.6 M bir mod¨¨ ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.
(1) S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez direkt toplananıdır.
(2) N mod¨ul¨u M nin bir kuvvetli Baer altmod¨ul¨u olmak ¨uzere M mod¨ul¨u M = F ⊕ N ¸seklinde bir par¸calanmaya sahiptir.
(3) M bir F -Baer mod¨uld¨ur ve M nin F yi kapsayan her direkt toplananı bir tam de˘gi¸smez altmod¨uld¨ur.
(4) M = F ⊕ N olmak ¨uzere S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F )∩ N altmod¨ul¨u N nin bir tam de˘gi¸smez direkt toplananıdır.
˙Ispat: (1) ⇒ (2) S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez direkt toplananı olsun. Teorem 3.1.3 gere˘gi, M mod¨ul¨u N bir Baer mod¨ul olmak ¨uzere M = F ⊕ N ¸seklinde bir par¸calanmaya sahiptir. End(N) nin bir sol ideali I olsun. E˘ger rN(I) altmod¨ul¨un¨un N nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u oldu˘gu g¨osterilirse ispat tamamlanır. g ∈ End(N) ve n ∈ rN(I) olsun. A′ ={0|F⊕f | f ∈ I}
olmak ¨uzere I1 = SA′ olsun. Bu durumda hipotez gere˘gi I1−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez direkt toplananıdır. Buradan, (0|F ⊕ g)(I1−1(F )) ⊆ I1−1(F ) elde edilir. Ayrıca her f ∈ I ve 0 + n ∈ I1−1(F ) i¸cin (0|F⊕ f)(0|F⊕ g)(0 + n) ∈ F dir. Bu durumda, f gn∈ F ∩N = 0 olur. B¨oylece, rN(I) altmod¨ul¨u N nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olup N bir kuvvetli Baer mod¨uld¨ur.
(1) ⇒ (3) M nin F -Baer mod¨ul oldu˘gu a¸cıktır. M nin F yi kapsayan bir direkt toplananı N olsun. Bu durumda, N = eM olacak ¸sekilde e2 = e ∈ S vardır.
(S(1− e))−1(F ) = eM oldu˘gu a¸cık¸ca g¨or¨ulmektedir. Hipotez gere˘gi N altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olup istenilen elde edilir.
(3) ⇒ (1) S nin bir sol ideali I olsun. M bir F -Baer mod¨ul oldu˘gundan, I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır. F tam de˘gi¸smez altmod¨ul oldu˘gundan,
F ⊆ I−1(F ) dir. B¨oylece, ispat tamamlanır.
(2)⇒ (4) N bir kuvvetli Baer altmod¨ul olmak ¨uzere M mod¨ul¨u M = F ⊕N ¸seklinde bir par¸calanmaya sahip ve I da S nin bir sol ideali olsun. Bu durumda, N = eM olacak ¸sekilde e2 = e∈ S vardır. B¨oylece, End(N) = eSe dir. A = {efe | f ∈ I} ve I1 =End(N )A olarak se¸cilsin. E˘ger rN(I1) = I−1(F )∩ N oldu˘gu g¨osterilirse ispat biter. x ∈ rN(I1) alınsın. B¨oylece, her g ∈ End(N) i¸cin gefex = 0 olup efx = 0 elde edilir. f x ∈ M oldu˘gundan fx = a + b olacak ¸sekilde a ∈ F ve b ∈ N vardır.
Bu durumda, 0 = ef x = ea + eb = ea + b olup ea =−b ∈ F ∩ N = 0 dır. Buradan, f x = a ∈ F elde edilir. O halde, x ∈ I−1(F )∩ N bulunur. I−1(F )∩ N ⊆ rN(I1) oldu˘gu a¸cıktır. Sonu¸c olarak, rN(I1) altmod¨ul¨u bir tam de˘gi¸smez direkt toplanan oldu˘gundan, I−1(F )∩ N de bir tam de˘gi¸smez direkt toplanandır.
(4)⇒ (1) M mod¨ul¨u M = F ⊕ N ¸seklinde bir par¸calanmaya sahip ve I da S nin bir sol ideali olsun. Mod¨ularite kuralı gere˘gi, I−1(F ) = F⊕(I−1(F )∩N) dir. I−1(F )∩N altmod¨ul¨u N nin bir direkt toplananı oldu˘gundan, I−1(F ) de M nin bir direkt toplananıdır. g∈ S ve πN : M → N do˘gal izd¨u¸s¨um olsun. Ayrıca 1 − πN : M → F nin de do˘gal izd¨u¸s¨um oldu˘gu a¸cıktır. Buradan, g = (1− πN)g + πNg olarak ifade edilebilir. B¨oylece, (1− πN)g(I−1(F )) ⊆ F dir. Ayrıca πNg(I−1(F )) = πNg(F ) + πNg(I−1(F )∩ N) oldu˘gu da g¨or¨ulmektedir. F ve I−1(F )∩ N altmod¨ulleri sırasıyla M ve N nin tam de˘gi¸smez altmod¨ulleri oldu˘gundan, πNg(F ) = 0 ve πN(I−1(F )∩ N ) = I−1(F )∩ N bulunur. Bu durumda, πNg(I−1(F )∩ N) = πNgπN(I−1(F )∩ N ) ≤ I−1(F ) ∩ N elde edilir. Ayrıca her x ∈ I−1(F ) i¸cin gx = (1 − πN)gx + πNgx ∈ (1 − πN)g(I−1(F )) + πNg(I−1(F )) ≤ F + (I−1(F )∩ N) = I−1(F ) olarak ifade edilebildi˘ginden g(I−1(F )) ≤ I−1(F ) oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Sonu¸c olarak, I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olarak bulunmu¸s olur.
Teorem 3.1.7 M bir mod¨ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.
(1) M bir F -ters par¸calı mod¨ul ve F yi kapsayan her direkt toplananı i¸cin SSIP ye sahiptir.
(2) M bir F -Baer mod¨uld¨ur.
(3) S nin her I altk¨umesi i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır.
˙Ispat: I−1(F ) = ∩
f∈If−1(F ) oldu˘gundan ¨Onerme 2.2.24 gere˘gince istenilen elde edilir.
A¸sa˘gıdaki sonu¸c F = Z2(M ) alınması durumunda Teorem 3.1.7’nin direkt sonu-cudur.
Sonuc. 3.1.8 M bir mod¨ul olmak ¨uzere M nin bir t-Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin bir T -Rickart mod¨ul olması ve Z2(M ) yi kapsayan her direkt toplananı i¸cin SSIP ye sahip olmasıdır (Asgari ve Haghany 2011).
Teorem 3.1.9 M bir mod¨ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.
(1) M bir F -ters par¸calı mod¨uld¨ur.
(2) S nin sonlu ¨uretilmi¸s her I sol ideali i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır.
(3) S nin her sonlu I altk¨umesi i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır.
Ayrıca, S nin sıfırdan farklı dik e¸skare elemanlarının her altk¨umesi sonlu ise o zaman yukarıdaki ifadeler a¸sa˘gıdaki ¨onermeye denktir.
(4) M bir F -Baer mod¨uld¨ur.
˙Ispat: I−1(F ) = ∩
f∈I
f−1(F ) oldu˘gundan Teorem 2.2.25 gere˘gince istenilen elde edilir.
Teorem 3.1.9’da F = Z2(M ) alınarak elde edilen sonu¸clar a¸sa˘gıda verilmektedir.
Sonuc. 3.1.10 M bir mod¨ul ve S nin sıfırdan farklı dik e¸skare elemanlarının her altk¨umesi sonlu olsun. Bu durumda, M nin bir T -Rickart mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin bir t-Baer mod¨ul olmasıdır (Ebrahimi Atani vd. 2012).
Sonuc. 3.1.11 M bir mod¨ul olmak ¨uzere M nin bir T -Rickart mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul S nin sonlu ¨uretilmi¸s her I sol ideali i¸cin tM(I) altmod¨ul¨un¨un M nin bir direkt toplananı olmasıdır (Ebrahimi Atani vd. 2012).
Baer mod¨uller ile F -Baer mod¨uller arasındaki ili¸ski Teorem 3.1.12’de ortaya konul-maktadır.
Teorem 3.1.12 M bir mod¨ul ve M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u F olsun. Bu durumda, M nin bir Baer mod¨ul ve F nin de M nin bir direkt toplananı olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin bir F -Baer mod¨ul ve S nin bo¸stan farklı her I altk¨umesi i¸cin I−1(0) altmod¨ul¨un¨un I−1(F ) nin bir direkt toplananı olmasıdır.
˙Ispat: (⇒) F mod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı olsun. B¨oylece M = F ⊕N olacak
¸sekilde N ≤ M mevcuttur. Ayrıca, M bir Baer mod¨ul olarak kabul edilsin. Bu durumda, N bir Baer mod¨ul olup Teorem 3.1.3 gere˘gince M bir F -Baer mod¨uld¨ur.
Onerme 2.2.9 gere˘¨ gince M mod¨ul¨u SSIP ye sahiptir. Ayrıca her f ∈ S i¸cin Kerf altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır. I−1(0) = ∩
f∈I
Kerf oldu˘gundan, S nin bo¸stan farklı her I altk¨umesi i¸cin I−1(0) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır.
B¨oylece, I−1(0) de I−1(F ) nin bir direkt toplananı olur.
(⇐) M bir F -Baer mod¨ul ve S nin bir sol ideali I olsun. Bu durumda, rM(I) = I−1(0) oldu˘gu a¸cıktır. Teorem 3.1.7 gere˘gince I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır. Hipotez gere˘gince I−1(0) da M nin bir direkt toplananı olur. Buradan rM(I) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı olarak elde edilir. B¨oylece, M bir Baer mod¨ul olur. Ayrıca M bir F -Baer mod¨ul oldu˘gundan, Teorem 3.1.3 gere˘gince F altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır.
A¸sa˘gıdaki lemma bir F -Baer M mod¨ul¨un¨un tam de˘gi¸smez altmod¨ullerinin hangi durumda bu ¨ozelli˘gi korudu˘gunu g¨ostermektedir.
Lemma 3.1.13 M bir F -Baer mod¨ul ve N de M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u ol-sun. E˘ger N nin her endomorfizması M nin bir endomorfizmasına geni¸sleyebiliyorsa, o zaman N bir (N ∩ F )-Baer mod¨uld¨ur.
˙Ispat: f ∈ End(N) oldu˘gu kabul edilsin. Hipotez gere˘gince g|N = f olacak ¸sekilde g ∈ S vardır. N ve F altmod¨ulleri M nin tam de˘gi¸smez altmod¨ulleri oldu˘gundan f (N ∩ F ) = g(N ∩ F ) ≤ g(N) ∩ g(F ) ≤ N ∩ F dir. B¨oylece, N ∩ F altmod¨ul¨u N nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨ud¨ur. A = {g ∈ S | g|N = f, f ∈ I} ve S
nin bir I sol ideali i¸cin K = SA olarak alınsın. M bir F -Baer mod¨ul oldu˘gundan K−1(F ) = eM olacak ¸sekilde e2 = e ∈ S vardır. N altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u oldu˘gundan (e|N)2 = (e|N)∈ End(N) dir. ˙Iddia I−1(N ∩ F ) = e|NN oldu˘gudur. n∈ I−1(N∩F ) alınsın. I−1(N∩F ) ⊆ K−1(F ) oldu˘gundan n = em olacak ¸sekilde bir m∈ M vardır. B¨oylece, n ∈ e|NN olup I−1(N ∩ F ) ⊆ e|NN elde edilir. Kapsamanın di˘ger y¨on¨u i¸cin n ∈ N ve f ∈ I alınsın. Bu durumda, g|N = f olacak ¸sekilde g ∈ S mevcuttur. Buradan, fe|Nn = g|Ne|Nn = gen bulunur. Ayrıca en∈ eN ⊆ eM = K−1(F ) ve g∈ K oldu˘gundan gen ∈ F dir. O halde, gen ∈ N ∩F olup e|Nn∈ I−1(N∩ F ) sonucu elde edilir. B¨oylece, N bir (N ∩ F )-Baer mod¨uld¨ur.
Onerme 3.1.14 M bir yarı-injektif mod¨¨ ul ve F de E(M ) nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olsun. Bu durumda, a¸sa˘gıdaki ifadeler sa˘glanır.
(1) E˘ger E(M ) bir F -Baer mod¨ul ise o zaman M de bir (M∩ F )-Baer mod¨uld¨ur.
(2) E˘ger M bir duo mod¨ul ve bazı K altmod¨ulleri i¸cin K-Baer mod¨ul ise o zaman M nin her N altmod¨ul¨u de bir (N ∩ K)-Baer mod¨uld¨ur.
˙Ispat: (1) M bir yarı-injektif mod¨ul olsun. Bu durumda ¨Onerme 2.1.32 gere˘gince M mod¨ul¨u E(M ) nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨ur. B¨oylece Lemma 3.1.13 gere˘gince M bir (M∩ F )-Baer mod¨uld¨ur.
(2) M bazı K altmod¨ulleri i¸cin K-Baer mod¨ul, N k¨umesi M nin bir altmod¨ul¨u ve I1 de End(N ) nin bir sol ideali olsun. M yarı-injektif oldu˘gundan her f ∈ I1
homomorfizması bir g∈ S endomorfizmasına geni¸sler. I = {g ∈ S | g|N ∈ I1} olarak se¸cilsin. Buradan, I−1(K) = eM olacak ¸sekilde e2 = e∈ S vardır. N altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u oldu˘gundan Lemma 3.1.13 gere˘gince istenilen elde edilir.
A¸sa˘gıdaki ¨onerme bir F -Baer M mod¨ul¨un¨un her direkt toplananının da bu ¨ozelli˘gi sa˘gladı˘gını g¨ostermektedir.
Onerme 3.1.15 M bir F -Baer mod¨¨ ul olsun. Bu durumda, M nin her N direkt toplananı (N∩ F )-Baerdir.
˙Ispat: M = N ⊕ K oldu˘gu kabul edilsin. A¸cık¸ca g¨or¨ulmektedir ki N ∩ F k¨umesi N nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨ud¨ur. End(N ) nin bir sol ideali I olmak ¨uzere A ={f ⊕ 1K | f ∈ I} ve J = SA olarak se¸cilsin. M bir F -Baer mod¨ul oldu˘gundan J−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır. J−1(F ) = I−1(N ∩ F ) ⊕ (K ∩ F ) oldu˘gu iddia edilsin. m ∈ J−1(F ) alınsın. Bu durumda, m = n + k olacak ¸sekilde n ∈ N ve k ∈ K vardır. J(n + k) ⊆ F oldu˘gundan her g(f ⊕ 1K) ∈ J i¸cin g(f ⊕ 1K)(n + k) ∈ F sa˘glanır. ¨Ozel olarak (f ⊕ 1K)(n + k) ∈ F oldu˘gu a¸cıktır.
Ayrıca F altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u oldu˘gundan ¨Onerme 2.1.7 gere˘gince F = (N ∩ F ) ⊕ (K ∩ F ) dir. B¨oylece, fn + k ∈ (N ∩ F ) ⊕ (K ∩ F ) elde edilir. Buradan, m∈ I−1(N ∩ F ) ⊕ (K ∩ F ) olup J−1(F ) ⊆ I−1(N∩ F ) ⊕ (K ∩ F ) bulunur. Kapsamanın di˘ger y¨on¨u i¸cin n+k ∈ I−1(N∩F )⊕(K ∩F ) ve g(f ⊕1K)∈ J alınsın. F altmod¨ul¨u tam de˘gi¸smez oldu˘gundan g(f⊕ 1K)(n + k)∈ F dir. B¨oylece, n + k∈ J−1(F ) olup I−1(N∩F )⊕(K ∩F ) ⊆ J−1(F ) bulunur. M bir F -Baer mod¨ul oldu˘gundan J−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır. O halde, I−1(N∩ F ) de N nin bir direkt toplananı olur. B¨oylece, N bir (N ∩ F )-Baer mod¨uld¨ur.
A¸sa˘gıdaki sonu¸c ¨Onerme 3.1.15’in direkt bir sonucudur.
Sonuc. 3.1.16 R bir halka olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.
(1) Her serbest R-mod¨ul M i¸cin M bir F -Baer mod¨ul olacak ¸sekilde M nin bir tam de˘gi¸smez F altmod¨ul¨u vardır.
(2) Her projektif R-mod¨ul M i¸cin M bir F -Baer mod¨ul olacak ¸sekilde M nin bir tam de˘gi¸smez F altmod¨ul¨u vardır.
Bir M mod¨ul¨un¨un F tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olarak Z2(M ) Goldie burulmalı alt-mod¨ul¨u d¨u¸s¨un¨uld¨u˘g¨unde Sonu¸c 3.1.16 yardımıyla a¸sa˘gıdaki sonu¸c elde edilir.
Sonuc. 3.1.17 R bir halka olsun. R ¨uzerindeki her serbest mod¨ul¨un t-Baer olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul R ¨uzerindeki her projektif mod¨ul¨un t-Baer olmasıdır (Asgari ve Haghany 2011).
Onerme 3.1.18 M bir yarı-projektif mod¨¨ ul olsun. Bu durumda, M nin bir F -Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul her K ⊆ F altmod¨ul¨u i¸cin M/K nın bir (F/K)-Baer mod¨ul olmasıdır.
˙Ispat: (⇒) M bir yarı-projektif F -Baer mod¨ul ve K ⊆ F olsun. g ∈ End(M/K) olmak ¨uzere M bir yarı-projektif mod¨ul oldu˘gundan a¸sa˘gıdaki diyagram de˘gi¸smeli olacak ¸sekilde f ∈ S vardır. Bu durumda g(F/K) = gπ(F ) = πf(F ) ⊆ π(F ) = F/K elde edilir. Dolayısıyla, F/K b¨ol¨um mod¨ul¨u M/K nın bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨ud¨ur. Teorem 3.1.3 gere˘gince bir N Baer mod¨ul¨u i¸cin M = F ⊕ N
¸seklinde yazılabilir. Buradan, M/K = F/K + (N + K)/K dır. Bu toplamın bir direkt toplam oldu˘gunu ispatlamak i¸cin x ∈ (F/K) ∩ ((N + K)/K) alınsın. Bu-radan, x = y + K = n + K olacak ¸sekilde y ∈ F ve n ∈ N vardır. B¨oylece, y− n ∈ K ⊆ F olup n ∈ N ∩ F = 0 bulunur. Sonu¸c olarak, x = 0 elde edilir. O halde, M/K = (F/K)⊕(
(N + K)/K)
dir. N ∼=(
(N + K)/K)
ve N bir Baer mod¨ul oldu˘gundan (N + K)/K da bir Baer mod¨uld¨ur. Bu durumda, M/K bir (F/K)-Baer mod¨uld¨ur.
M
M/K
M M/K 0
ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp p
f ?
π
?
g
π-
-(⇐) K = 0 mod¨ul¨u d¨u¸s¨un¨uld¨u˘g¨unde M/0 bir F/0-Baer mod¨ul olup istenilen elde edilir.
Lemma 3.1.19 M bir F -Baer mod¨ul ve N de M nin F yi kapsayan bir direkt toplananı olsun. Bu durumda, M nin her K direkt toplananı i¸cin N ∩ K da bir direkt toplanandır.
˙Ispat: M nin bir direkt toplananı K olsun. O halde, K = fM ve N = eM olacak ¸sekilde f2 = f ∈ S ve e2 = e ∈ S vardır. I = S(1 − e)f olarak alınsın.
I−1(F ) = (eM ∩ fM) ⊕ (1 − f)M oldu˘gu iddia edilsin. x ∈ I−1(F ) olsun. Bu durumda, her h(1− e)f ∈ I i¸cin h(1 − e)fx ∈ F ⊆ eM dir. ¨Ozel olarak (1 − e)fx ∈ F ⊆ eM olur. B¨oylece, x = fx + (1 − f)x ∈ (eM ∩ fM) ⊕ (1 − f)M olup I−1(F ) ⊆ (eM ∩ fM) ⊕ (1 − f)M elde edilir. y + z ∈ (eM ∩ fM) ⊕ (1 − f)M ve h(1− e)f ∈ I olarak se¸cilsin. O halde, h(1 − e)f(y + z) = h(1 − e)fy + h(1 − e)fz =
h(1− e)y + h(1 − e)f(1 − f)z = 0 ∈ F olup y + z ∈ I−1(F ) bulunur. Sonu¸cta (eM∩ fM) ⊕ (1 − f)M ⊆ I−1(F ) olup istenilen elde edilir.
Lemma 3.1.19 yardımıyla bir mod¨ul¨un F -Baer olması farklı bir ¸sekilde karakterize edilmektedir.
Onerme 3.1.20 M bir F -Baer mod¨¨ ul olsun. Bu durumda, a¸sa˘gıdaki ifadeler sa˘glanır.
(1) M nin her K direkt toplananı i¸cin F ∩ K da bir direkt toplanandır.
(2) M mod¨ul¨u F altmod¨ul¨un¨u kapsayan direkt toplananları i¸cin SIP ye sahiptir.
Ornek 3.1.2(1) gere˘¨ gince ¨Onerme 3.1.20(2)’nin kar¸sıtı her zaman sa˘glanmak zorunda de˘gildir. Yani; M mod¨ul¨u F altmod¨ul¨un¨u kapsayan direkt toplananları i¸cin SIP ye sahip olsa bile M bir F -Baer mod¨ul olmayabilir.