4. DUAL F -BAER MOD ¨ ULLER
4.3 Dual F -Baer Mod¨ ullerin Direkt Toplamları
f∈I
Imf + J (R) k¨umesi R nin bir direkt toplananı olur. J (R) ideali R halkasının bir dar ideali oldu˘gundan, ∑
f∈I
Imf k¨umesi R nin bir direkt toplananı olur. Buradan, I = ∑
a∈I
aR k¨umesi R nin bir direkt toplananı olup R bir yarı basit halkadır.
Onerme 4.2.6 E˘¨ ger R bir sa˘g dual P (R)-Baer halka ise o zaman R bir yarı asal halkadır.
˙Ispat: R bir sa˘g dual P (R)-Baer halka olsun. Bu durumda, R = P (R)⊕ K olacak
¸sekilde R nin bir K ideali vardır. P (R) ⊆ J(R) oldu˘gundan J(R) + K = R elde edilir. J (R) ideali R halkasının bir dar ideali oldu˘gundan, K = R dir. B¨oylece, P (R) = 0 olup R bir yarı asal halkadır.
Onerme 4.2.7 E˘¨ ger R bir sa˘g dual Soc(RR)-Baer halka ise o zaman R bir yarı basit halkadır.
˙Ispat: I k¨umesi R halkasının bir sa˘g ideali olsun. Bu durumda, I = ∑
a∈I
aR
¸seklindedir. Buradan, ∑
a∈I
aR+Soc(RR) k¨umesi R nin bir direkt toplananı olur.
B¨oylece, R = (∑
a∈I
aR+Soc(RR))⊕ U ve Soc(RR) = (∑
a∈I
aR∩Soc(RR))⊕ V olacak
¸sekilde R halkasının U, V sa˘g idealleri mevcuttur. Soc(RR) yarı basit oldu˘gundan, R = (∑
¸seklindedir. Dolayısıyla, R halkası yarı basit olur.
4.3 Dual F -Baer Mod¨ullerin Direkt Toplamları
Bu b¨ol¨umde dual F -Baer mod¨ullerin direkt toplamları ¨uzerinde ¸calı¸sılmaktadır. ˙Ilk olarak, dual F -Baer mod¨ullerin direkt toplamlarının her zaman dual F -Baer ol-madı˘gına dair ¨ornek verilmektedir. Daha sonra, dual F -Baer mod¨ullerin direkt toplamlarının hangi ¸sartlar altında dual F -Baer oldu˘gu ara¸stırılmaktadır.
Ornek 4.3.1 p bir asal tamsayı olmak ¨¨ uzere Zp ve Z(p∞) mod¨ulleri dual Baer mod¨ullerdir. B¨oylece, bu mod¨uller dual 0-Baerdir. Fakat, Sonu¸c 2.2.19 gere˘gince Zp ⊕ Z(p∞) bir dual Baer mod¨ul de˘gildir. Dolayısıyla, Zp⊕ Z(p∞) bir dual 0-Baer mod¨ul olamaz.
Onerme 4.3.2¨ I bir indeks k¨umesi olmak ¨uzere {Mi}i∈I k¨umesi R-mod¨ullerin bir sınıfı olsun. E˘ger her i∈ I i¸cin, Mi mod¨ul¨u⊕
Fi-Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul Mi nin her i ∈ I i¸cin bir dual Fi-Baer mod¨ul olmasıdır. toplananı olur. ¨Onerme 4.1.8 gere˘gince ¨onermenin kar¸sıtı do˘grudur.
Bir M mod¨ul¨un¨un her direkt toplananının tam de˘gi¸smez olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin bir Abel mod¨ul olmasıdır. Bu bilgi ve ¨Onerme 4.3.2 sayesinde a¸sa˘gıdaki sonu¸c direkt olarak elde edilir.
Sonuc. 4.3.3 I bir indeks k¨umesi olmak ¨uzere {Mi}i∈I k¨umesi R-mod¨ullerin bir sınıfı ve ⊕ n defa direkt toplamı bir dual
⊕n i=1
Fi-Baer mod¨uld¨ur.
Bu durumda, (2) ⇒ (1) sa˘glanır. E˘ger M bir temel yarı basit mod¨ul ise o zaman (1) ⇒ (2) sa˘glanır.
˙Ispat: (2) ⇒ (1) A¸cıktır.
(1) ⇒ (2) M bir temel yarı basit mod¨ul, n bir pozitif tamsayı ve K = {1, 2, . . . , n}
olsun. Teorem 4.1.3 gere˘gince M = F ⊕ N olacak ¸sekilde dual Baer bir N mod¨ul¨u vardır. Hipotezden, N de temel yarı basit mod¨uld¨ur. B¨oylece, ¨Onerme 2.2.17 gere˘gince N bir yarı basit mod¨uld¨ur. Buradan,⊕
K
N bir yarı basit mod¨uld¨ur. Ayrıca
⊕ bir direkt toplananı oluyorsa M ye N ye g¨ore dual F -Baer (dual F -Baer relative to N ) ya da dual N -F -Baer mod¨ul denir.
Tanımdan a¸cık¸ca g¨or¨ulmektedir ki M nin bir dual F -Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin bir dual M -F -Baer mod¨ul olmasıdır.
Teorem 4.3.6 M = M1⊕M2ve N birer mod¨ul olmak ¨uzere M1, M2 ve F mod¨ulleri sırasıyla M ve N mod¨ullerinin tam de˘gi¸smez altmod¨ulleri olsun. E˘ger M bir dual N -F -Baer mod¨ul ise o zaman N nin her N1 direkt toplananı i¸cin i = 1, 2 olmak
¨
uzere Mi bir dual N1-(F ∩ N1)-Baer mod¨uld¨ur.
˙Ispat: I1 k¨umesi Hom(M1, N1) nin bir sa˘g End(M1)-altmod¨ul¨u olsun. I = {h ∈ Hom(M, N ) : h|M1 ∈ I1, ve her x ∈ M2 i¸cin h(x) ∈ F } olarak se¸cilsin. Bu du-rumda, M1 ve M2 mod¨ulleri M nin tam de˘gi¸smez altmod¨ulleri oldu˘gundan I k¨umesi Hom(M, N ) nin bir sa˘g End(M )-altmod¨ul¨u olur. ∑
nin bir direkt toplananı olur. B¨oylece, ∑
g∈I1
Img + (F ∩ N1) k¨umesi N1 nin bir direkt toplananıdır.
Sonuc. 4.3.7 M bir mod¨ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.
(1) M bir dual F -Baer mod¨uld¨ur.
(2) M nin her K direkt toplananı ve her tam de˘gi¸smez direkt toplananı N i¸cin N bir dual K-(F ∩ K)-Baer mod¨uld¨ur.
(3) M nin her N , K direkt toplananları ve Hom(M, K) nin her sa˘g End(M )-altmod¨ul¨u I i¸cin, ∑
f∈I
Imf|N + (F ∩ K) k¨umesi K nın bir direkt toplananıdır.
Onerme 4.3.8¨ I bir indeks k¨umesi olmak ¨uzere {Mi}i∈I k¨umesi R-mod¨ullerin bir sınıfı, N bir mod¨ul ve F de N nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olsun. Bu durumda, a¸sa˘gıdakiler sa˘glanır.
(1) N mod¨ul¨u SSSP ye sahip ve I keyfi bir indeks k¨umesi olsun. Bu durumda, e˘ger her i ∈ I i¸cin Mi bir dual N -F -Baer mod¨ul ise o zaman ⊕
i∈I
Mi bir dual N -F -Baer mod¨uld¨ur.
(2) N mod¨ul¨u SSP ye sahip ve I bir sonlu indeks k¨umesi olsun. Bu durumda, e˘ger her i ∈ I i¸cin Mi bir dual N -F -Baer mod¨ul ise o zaman ⊕
i∈IMi bir dual N -F -Baer mod¨uld¨ur.
(3) N mod¨ul¨u SSSP ye sahip ve I keyfi bir indeks k¨umesi olsun. Bu durumda, e˘ger her i ∈ I i¸cin Mi bir dual N -F -Baer mod¨ul ise o zaman ∏
bir direkt toplananıdır. Ayrıca, N mod¨ul¨u SSSP ye sahip oldu˘gundan, ∑
f∈IImf + F k¨umesi N nin bir direkt toplananı olur.
(2) ve (3) ifadeleri de benzer ¸sekilde ispatlanır.
E˘ger her i ∈ I i¸cin Mibir tam de˘gi¸smez altmod¨ul ise o zaman Teorem 4.3.6 gere˘gince (1), (2) ve (3) ifadelerinin kar¸sıtları da do˘grudur.
Sonuc. 4.3.9 I sonlu bir indeks k¨umesi, {Mi}i∈I k¨umesi R-mod¨ullerin bir sınıfı ve her i ∈ I i¸cin Fi mod¨ul¨u Mi nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olsun. j ∈ I olmak durumda, Mj bir dual Fj-Baer mod¨uld¨ur. B¨oylece, Teorem 2.2.31 gere˘gince Mj mod¨ul¨u Fj yi i¸ceren direkt toplananları i¸cin SSP ye sahiptir. Dolayısıyla, ¨Onerme 4.3.8(1)’in ispatına benzer ¸sekilde istenilen elde edilir.
Teorem 4.3.10 I = {1, 2, . . . , n} ve {Mi}i∈I k¨umesi R-mod¨ullerin bir sınıfı olsun.
Her i > j ∈ I i¸cin Mi nin Mj-projektif oldu˘gu ve f ∈ Hom(Mi, Mj) olmak ¨uzere her i, j ∈ I i¸cin fFi ⊆ Fj olacak ¸sekilde Mi nin bir Fi altmod¨ul¨u oldu˘gu kabul edilsin. Bu durumda, N nin bir dual ⊕
i∈I
Mi-⊕
i∈I
Fi-Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul N nin her j ∈ I i¸cin dual Mj-Fj-Baer olmasıdır.
˙Ispat: Her j ∈ I i¸cin N bir dual Mj-Fj-Baer mod¨ul olsun. I k¨umesi Hom(N, M1⊕ M2) nin bir sa˘g End(N )-altmod¨ul¨u ve i = 1, 2 olmak ¨uzere πi: M1 ⊕ M2 → Mi
fonksiyonları do˘gal izd¨u¸s¨um fonksiyonları olsunlar. Ii ={πif : f ∈ I} kabul edilsin.
Bu durumda, Ii k¨umesi Hom(N, Mi) nin bir sa˘g End(N )-altmod¨ul¨ud¨ur. B¨oylece,
∑ ve ayrıca M1 ⊕ M2 nin bir direkt toplananı olur. T¨umevarım y¨ontemi ile ispat n i¸cin genelle¸stirilir. Kar¸sıt olarak N bir dual⊕
i∈I
Mi-⊕
i∈I
Fi-Baer mod¨ul olsun. Teorem 4.3.6 ve Lemma 2.2.27 gere˘gince her j ∈ I i¸cin N bir dual Mj-Fj-Baer mod¨uld¨ur. yapılmaktadır. Dual F -Baer mod¨ul sınıflarında F tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olarak Z∗(·) d¨u¸s¨un¨uld¨u˘g¨unde ortaya ¸cıkan sonu¸clar ara¸stırılmaktadır.
A¸sa˘gıdaki ¨onerme Teorem 4.1.3 ve Lemma 2.1.51 gere˘gince a¸cıktır.
Onerme 4.4.1 M bir mod¨¨ ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.
(1) M bir dual Z∗(M )-Baer mod¨uld¨ur.
(2) N bir e¸s tekil olmayan dual Baer mod¨ul olmak ¨uzere M = Z∗(M ) ⊕ N
¸seklindedir.
(3) N bir dual Baer mod¨ul olmak ¨uzere M = Z∗(M )⊕ N ¸seklindedir.
Ornekler 4.4.2¨
(1) Z-mod¨ul Q nun her devirli altmod¨ul¨u dar oldu˘gundan, Z∗(Z) = Z dir. Bu nedenle, Z bir dual Z∗(Z)-Baer mod¨uld¨ur.