3. F -BAER MOD ¨ ULLER
3.3 F -Baer Mod¨ ullerin Direkt Toplamları
Bu b¨ol¨umde F -Baer mod¨ullerin direkt toplamlarının hangi durumlarda bu ¨ozelli˘gi sa˘gladı˘gı ara¸stırılmaktadır.
Ornek 3.3.1 g¨¨ ostermektedir ki F -Baer mod¨ullerin direkt toplamı F -Baer olmak zorunda de˘gildir.
Ornek 3.3.1 Baer¨ Z-mod¨ul olan Z ve Z2 halkaları g¨oz ¨on¨une alınsın. Dolayısıyla, Z ve Z2 mod¨ulleri 0-Baer mod¨uld¨ur. Fakat ¨Ornek 2.2.10 gere˘gince direkt toplamları Z ⊕ Z2, 0-Baer de˘gildir. edilir. Dolayısıyla, M bir F -Baer mod¨uld¨ur.
A¸sa˘gıdaki ¨ornek g¨ostermektedir ki e˘ger her i∈ I i¸cin Minin⊕
i∈I
Mi nin tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olmaması durumunda ¨Onerme 3.3.2 sa˘glanmayabilir.
Ornek 3.3.3 M =¨ Z ⊕ Z2 olsun. Z bir Baer mod¨ul oldu˘gundan, M bir Soc(M)-Baer mod¨uld¨ur. Di˘ger taraftan, ⊕
N
M = ⊕
N Z ⊕⊕
N Z2 dir. Uyarı 2.2.12 gere˘gince
⊕
N Z bir Baer mod¨ul de˘gildir. B¨oylece, ⊕
N M bir Soc(⊕
N M )-Baer mod¨ul de˘gildir.
Sonuc. 3.3.4 I keyfi bir indeks k¨umesi olmak ¨uzere {Mi}i∈I k¨umesi R-mod¨ullerin bir sınıfı ve⊕
i∈I
Mi bir Abel mod¨ul olsun. Bu durumda her i∈ I i¸cin Mi nin Fi-Baer olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul⊕
i∈I
Mi nin ⊕
i∈I
Fi-Baer olmasıdır.
Onerme 3.3.5 R bir halka ve I k¨¨ umesi R nin bir ideali olmak ¨uzere R bir sa˘g I-Baer halka olsun. Bu durumda, keyfi bir J indeks k¨umesi i¸cin her Abel serbest R-mod¨ul M , ⊕
J
I-Baerdir.
˙Ispat: M bir Abel serbest R-mod¨ul olsun. Bu durumda, J keyfi bir indeks k¨umesi ve her i∈ J i¸cin Ri = R olmak ¨uzere M =⊕
i∈J
Ri ¸seklindedir. R halkası sa˘g I-Baer oldu˘gundan, Sonu¸c 3.3.4 gere˘gince M bir ⊕
J I-Baer mod¨uld¨ur.
Tanım 3.3.6 M , N birer mod¨ul ve F altmod¨ul¨u N nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olsun. E˘ger End(N )Hom(M, N )End(M ) nin her sol End(N )-altmod¨ul¨u I i¸cin I−1(F ) k¨umesi M nin bir direkt toplananı oluyorsa M ye bir N ye g¨ore F -Baer (F -Baer relative to N ) veya N -F -Baer mod¨ul denir.
Tanımdan a¸cık¸ca g¨or¨ulmektedir ki bir M mod¨ul¨un¨un F -Baer olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M -F -Baer olmasıdır.
Lemma 3.3.7 M , N birer mod¨ul ve F altmod¨ul¨u N nin bir tam de˘gi¸smez
I2−1(F ∩ N2) dır. I1−1(F ∩ N1)⊕ I2−1(F ∩ N2) ⊆ I−1(F ) oldu˘gunu g¨ostermek i¸cin m1+ m2 ∈ I1−1(F ∩ N1)⊕ I2−1(F ∩ N2) olsun. Bu durumda, I1m1 ⊆ F ∩ N1 ⊆ F ve I2m2 ⊆ F ∩ N2 ⊆ F . B¨oylece, I(m1+ m2)⊆ F olur. Buradan, m1 + m2 ∈ I−1(F ) dir. Sonu¸c olarak, I−1(F ) = I1−1(F ∩ N1)⊕ I2−1(F ∩ N2) elde edilir.
Teorem 3.3.8 M , N birer mod¨ul ve F de N nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olsun.
Bu durumda, M nin N -F -Baer olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin her M′ direkt toplananı ve N nin her N′ direkt toplananı i¸cin M′ nin N′-(F∩ N′)-Baer olmasıdır.
˙Ispat: N nin N′′ altmod¨ul¨u ve M nin M′′altmod¨ul¨u i¸cin M = M′⊕M′′, N = N′⊕ N′′ ve I1mod¨ul¨u Hom(M′, N′) nin sol End(N′)-altmod¨ul¨u olsun. I2 ={0|M ′′} olmak
¨
uzere I = I1⊕ I2 mod¨ul¨u End(N )Hom(M, N )End(M ) nin sol End(N )-altmod¨ul¨ud¨ur.
Ayrıca Lemma 3.3.7 gere˘gince I−1(F ) = I1−1(F∩N′)⊕I2−1(F∩N′′) dir. M bir N F -Baer mod¨ul oldu˘gundan, I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır. B¨oylece, I1−1(F ∩ N′) altmod¨ul¨u M′ nin bir direkt toplananı olur. Sonu¸c olarak, M′ bir N′ -(F ∩ N′)-Baer mod¨uld¨ur. M nin her M′ direkt toplananı ve N nin her N′ direkt toplananı i¸cin M′ bir N′-(F∩ N′)-Baer mod¨ul ise o zaman M nin N -F -Baer oldu˘gu a¸cıktır.
Sonuc. 3.3.9 M bir mod¨ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.
(1) M bir F -Baer mod¨uld¨ur.
(2) M nin her N , K direkt toplananı ve End(K)Hom(N, K)End(N )nin herhangi bir I sol End(K)-altmod¨ul¨u i¸cin I−1(F∩K) k¨umesi N nin bir direkt toplananıdır.
Teorem 3.3.10 I = {1, 2, . . . , n} olmak ¨uzere {Mi}i∈I k¨umesi R-mod¨ullerin bir sınıfı ve her i, j ∈ I i¸cin Mi bir Mj-injektif mod¨ul olsun. Bu durumda ⊕
i∈I
Mi nin Z2(⊕
i∈I
Mi)-Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul i, j ∈ I i¸cin Mi nin Mj-Z2(Mj)-Baer olmasıdır.
˙Ispat: Her i, j ∈ I i¸cin Mi nin Mj-Z2(Mj)-Baer mod¨ul olsun. Genelli˘gi boz-maksızın n = 2 yani M = M1 ⊕ M2 kabul edilsin. gij : Mj → Mi ve g nin matris g¨osterimi g11 + g21 + g12 + g22 olmak ¨uzere her g ∈ S i¸cin g = g11 + g21 + g12 + g22 ¸seklindedir. Bu durumda, M1 bir Z2(M1)-Baer mod¨ul ve M2 bir
Z2(M2)-Baer mod¨uld¨ur. B¨oylece, K11 mod¨ul¨u M1 in bir Baer altmod¨ul¨u ve K22
mod¨ul¨u M2 nin bir Baer altmod¨ul¨u olmak ¨uzere M1 = Z2(M1)⊕ K11 ve M2 = Z2(M2)⊕K22¸seklindedir. I12= Hom(M2, M1) olmak ¨uzere M2 bir M1-Z2(M1)-Baer mod¨ul oldu˘gundan, M2 = I12−1(Z2(M1))⊕ K12 olacak ¸sekilde K12 altmod¨ul¨u vardır.
Benzer ¸sekilde I21 = Hom(M1, M2) olmak ¨uzere M1 bir M2-Z2(M2)-Baer mod¨ul oldu˘gundan M1 = I21−1(Z2(M2))⊕ K21 olacak ¸sekilde M1 nin K21 altmod¨ul¨u vardır.
Z2(M1) ≤ I21−1(Z2(M2)) ve Z2(M2) ≤ I12−1(Z2(M1)) oldu˘gundan, I21−1(Z2(M2)) = Z2(M1)⊕ [I21−1(Z2(M2))∩ K11] ve I12−1(Z2(M1)) = Z2(M2)⊕ [I12−1(Z2(M1))∩ K22] elde edilir. Buradan, M = Z2(M1)⊕ Z2(M2)⊕ [I21−1(Z2(M2))∩ K11]⊕ [I12−1(Z2(M1))∩ K22]⊕ K12⊕ K21 ¸seklindedir. Z2(M ) = Z2(M1)⊕ Z2(M2) olup [I21−1(Z2(M2))∩ K11]⊕ [I12−1(Z2(M1))∩ K22]⊕ K12 ⊕ K21 tekil olmayan mod¨uld¨ur. Teorem 3.3.8 gere˘gince [I21−1(Z2(M2))∩ K11]⊕ K21 ve [I12−1(Z2(M1))∩ K22]⊕ K12mod¨ulleri birbir-lerine g¨ore Z2(·)-Baerdir. [I21−1(Z2(M2))∩ K11]⊕ K21 ve [I12−1(Z2(M1))∩ K22]⊕ K12
mod¨ulleri tekil olmayan mod¨uller oldu˘gundan, birbirlerine g¨ore Baer mod¨uld¨ur.
B¨oylece, birbirlerine g¨ore Rickart mod¨ullerdir. Bu nedenle, Teorem 2.2.13 gere˘gince [I21−1(Z2(M2))∩ K11]⊕ [I12−1(Z2(M1))∩ K22]⊕ K12⊕ K21 Baerdir. Sonu¸c olarak, M bir Z2(M )-Baer mod¨ul elde edilir. Teorem 3.3.8 gere˘gince ¨onermenin kar¸sıtı a¸cıktır.
Sonuc. 3.3.11 M bir injektif Z2(M )-Baer mod¨ul olsun. Bu durumda, n∈ N ve her i i¸cin Mi = M olmak ¨uzere
⊕n i=1
Mi bir Z2(
⊕n i=1
Mi)-Baer mod¨uld¨ur.
Onerme 3.3.12 R halkası Z¨ 2(RR)-Baer ve sa˘g R-mod¨ul olarak injektif olsun. Bu durumda, her sonlu ¨uretilmi¸s projektif P bir Z2(P )-Baer mod¨uld¨ur.
˙Ispat: P nin sonlu ¨uretilmi¸s projektif R-mod¨ul oldu˘gu kabul edilsin. Bu durumda, F bir sonlu ¨uretilmi¸s serbest R-mod¨ul olmak ¨uzere, P mod¨ul¨u F nin bir direkt toplananıdır. Sonu¸c 3.3.11 gere˘gince F bir Z2(F )-Baer mod¨uld¨ur. B¨oylece, ¨Onerme 3.1.15 gere˘gince P bir (Z2(F )∩ P )-Baer mod¨ul olup P nin Z2(P )-Baer oldu˘gu elde edilir.
Onerme 3.3.13¨ I bir indeks k¨umesi, N bir mod¨ul ve {Mi}i∈I k¨umesi R-mod¨ullerin bir sınıfı olsun. Her i, j ∈ I ve f ∈ Hom(Mi, Mj) i¸cin f Fi ⊆ Fj olacak ¸sekilde Minin bir tam de˘gi¸smez Fi altmod¨ul¨un¨un oldu˘gu kabul edilsin. Bu durumda, a¸sa˘gıdakiler
sa˘glanır. gerek ve yeter ko¸sul I keyfi bir indeks k¨umesi olmak ¨uzere her i ∈ I i¸cin N nin Mi-Fi-Baer olmasıdır. gerek ve yeter ko¸sul I keyfi bir indeks k¨umesi olmak ¨uzere her i ∈ I i¸cin N nin Mi-Fi-Baer olmasıdır.
˙Ispat: (1) E˘ger N bir ⊕
i∈I
Mi-⊕
i∈I
Fi-Baer mod¨ul ise o zaman Teorem 3.3.8 gere˘gince her i ∈ I i¸cin N bir Mi-Fi-Baer mod¨uld¨ur. Her i ∈ I i¸cin N bir Mi-Fi-Baer
(2) ve (3) ¨onermelerinin ispatı da benzer ¸sekilde yapılır.
Sonuc. 3.3.14 I = {1, 2, . . . , n} olmak ¨uzere {Mi}i∈I k¨umesi R-mod¨ullerin bir sınıfı toplananları i¸cin SIP ye sahiptir. ¨Onerme 3.3.13(1)’in ispatına benzer ¸sekilde ispat tamamlanır. Kar¸sıt olarak, her j ∈ I i¸cin Mj bir ⊕
Teorem 3.3.15 I = {1, 2, . . . , n} olmak ¨uzere R-mod¨ullerin bir sınıfı {Mi}i∈I ve direkt toplananıdır. B¨oylece, I−1(F ) k¨umesi M1⊕ M2 nin bir direkt toplananı olup M1⊕M2 bir N -F -Baer mod¨uld¨ur. mod¨uld¨ur. T¨umevarım prensibi gere˘gince ispat tamamlanır. Kar¸sıt olarak, her N ve N nin bir tam de˘gi¸smez F altmod¨ul¨u i¸cin⊕
Mi nin Mj-Fj-Baer olmasıdır.
˙Ispat: Her i, j ∈ I i¸cin Mi nin Mj-Fj-Baer oldu˘gu kabul edilsin. Sonu¸c 3.3.14 gere˘gince Mi bir ⊕
i∈I
Mi-⊕
i∈I
Fi-Baer mod¨uld¨ur. Dolayısıyla Teorem 3.3.15 gere˘gince
⊕
i∈I
Mi bir ⊕
i∈I
Fi-Baer mod¨ul elde edilir. Kar¸sıt olarak, ⊕
i∈I
Mi bir ⊕
i∈I
Fi-Baer mod¨ul olsun. Bu durumda, Teorem 3.3.8 gere˘gince her i, j ∈ I i¸cin Mi bir Mj-Fj-Baer mod¨uld¨ur.