ARIMA (p,d,q) Yöntemi ile Talep Tahmini

ARIMA yöntemi tek değişkenli bir model olarak, geleceği tahmin etme yöntemlerinden biridir. Bu yöntemin önemli bir varsayımı, uygulandığı serinin eşit zaman aralıklarıyla elde edilen gözlem değerlerinden oluşan kesikli ve durağan olmasıdır (Bircan ve Karagöz, 2003: 50).

AR (Otoregresif), MA (Hareketli Ortalama) ve bunların bir araya gelmesiyle oluşan ARMA (Otoregresif Hareketli Ortalama) modelleri en çok kullanılan ARIMA modelleridir. Ancak bu modeller yalnızca durağan olan serilere uygulanabilmektedir. Durağan olmayan serilerin farkı alındıktan sonra ARMA (p,q) modellerinin kullanımı uygun hale gelebilmektedir. Burada d, serinin durağanlaştırma (fark alma) parametresidir. Serinin grafiğine (Şekil 4.25) bakarak serinin trend ve mevsimsellik içermesi nedeniyle durağan olmadığı daha önce belirtilmişti. Ancak burada durağanlığının sınanması için literatürde sık başvurulan Genişletilmiş Dickey-Fuller (Augmented Dickey-Fuller: ADF) testi kullanılmış ve test sonuçları Tablo 4.26’da verilmiştir. 3.000.000 4.000.000 5.000.000 6.000.000 7.000.000 8.000.000 2003 -1 2003 -6 2003 -11 2004 -4 2004 -9 2005 -2 2005 -7 2005 -12 2006 -5 2006 -10 2007 -3 2007 -8 2008 -1 2008 -6 2008 -11 2009 -4 2009 -9 2010 -2 2010 -7 2010 -12 2011 -5 2011 -10 2012 -3 2012 -8 2013 -1 2013 -6 2013 -11 T a l e p M i k t a r ı Aylar

168

Tablo 4.26: Birinci Genişletilmiş Dickey-Fuller Testi Sonuçları t-İstatistiği Olasılık* Genişletilmiş Dickey-Fuller test istatistiği -0.082220 0.9479 Test kritik değerleri 1% düzey -3.486064

5% düzey -2.885863

10% düzey -2.579818

*MacKinnon (1996) tek taraflı p değerleri

Tablo 4.26’da görüldüğü gibi, ADF test istatistiği değeri (0.082220) mutlak değerce, test kritik değerlerinden (3.486064, 2.885863 ve 2.579818) küçük olduğu için serinin durağan olmadığı anlaşılmaktadır. Bu nedenle serinin birinci dereceden farkının alınması gerekmektedir. Böylece serinin birinci dereceden farkı alınmış ve elde edilen serisinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu aşağıda Şekil 4.27’de verilmiştir.

Şekil 4.27: Birinci Dereceden Farkı Alınmış Serinin Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Grafiği

169

Şekil 4.27’de birinci dereceden farkı alınan serinin otokorelasyon fonksiyonunun hızla azaldığı ve katsayıların üçüncü gecikmede sıfırı kestiği görülmektedir. Dolayısıyla birinci farkı alınarak elde edilen serisinin durağan hale geldiği söylenebilir. Durağanlığının sınanması amacıyla tekrar ADF testi uygulanmış ve sonuçları aşağıda Tablo 4.27’de verilmiştir.

Tablo 4.27: İkinci Genişletilmiş Dickey-Fuller Testi Sonuçları t-İstatistiği Olasılık* Genişletilmiş Dickey-Fuller test istatistiği -5.447264 0.0001

Test kritik değerleri -4.036983

-3.448021 -3.149135 *MacKinnon (1996) tek taraflı p değerleri

Tablo 4.27’deki sonuçlara bakıldığında ADF test istatistiği değeri (5.447264) mutlak değerce, test kritik değerlerinden (-4.036983, -3.448021 ve -3.149135) büyük olduğu için serinin durağan hale geldiği söylenebilir. Ancak Şekil 4.27 incelendiğinde, otokorelasyon katsayılarının dalgalı ve 1., 12. ve 24. gecikmelerde benzer bir şekil göstermesi mevsimsel durağanlığın sağlanamadığına işaret etmektedir. Bu durumu düzeltmek için mevsimsel fark alma işleminin uygulanması gerekmektedir. Mevsimsel fark almadan önce, otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon katsayılarına göre ARIMA modeline ait p ve q dereceleri belirlenebilir. AR modeline p derecesi, kısmi otokorelasyon katsayılarının sıfırdan anlamlı derecede farklı olup olmadıkları kontrol edilerek belirlenir. Kısmi otokorelasyon katsayısı mutlak değerce değerinden büyük ise kısmi otokorelasyon katsayısının sıfırdan farklı olduğu %5 anlamlılık düzeyinde kabul edilebilir (Bayazıt, 1996: 174). Buna göre, olarak elde edilir. Şekil 4.27’deki kısmi otokorelasyon katsayılarına bakıldığında 0,171 değeri, 0,315 ile 0,140 arasında olduğundan p’nin değeri 1’dir. Aynı yöntem MA modelinde q için otokorelasyon katsayılarına bakıldığında 0,171 değeri, 0,225 değerinden sonra geldiği için q, 2’ye eşittir.

Elde edilen bu sonuçlara göre, d fark alma derecesi 1 olduğundan ARIMA (1,1,2) modeli elde edilir.

170

Seride mevsimsel durağanlığı sağlamak için mevsimsel fark alınmıştır. Mevsimsel fark alındıktan sonra, aşağıda Şekil 4.28’de bulunan serinin aylık zaman grafiğine bakılabilir.

Şekil 4.28: Mevsimsel Farkı Alınmış Serinin Zaman Grafiği

Şekil 4.28’de görüldüğü gibi seri, sabit bir ortalama etrafında rassal değerler aldığı için mevsimselliğin giderildiği anlaşılmaktadır. Bu durumu, Şekil 4.29’da serinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon grafiklerinde de incelemek mümkündür.

Şekil 4.29’da, mevsimsel fark alma işleminden sonra, grafikte mevsimsel dalgalanmanın olmadığı bir başka deyişle, seride mevsimsellik etkisinin tamamen giderildiği görülmektedir. Mevsimsel ARIMA modelinin P ve Q dereceleri ise değerine göre belirlenmiştir. Buna göre, Şekil 4.29’daki kısmi otokorelasyon katsayılarına bakıldığında -0,18 değeri, -0,156 ile -0,193 arasında olduğundan P’nin değeri 1’dir. Aynı yöntem MA modelinde, Q için otokorelasyon katsayılarına bakıldığında -0,18 değeri, -0,139 değerinden sonra geldiği için Q’nun değeri 3 olarak belirlenir.

-1.000.000 -500.000 0 500.000 1.000.000 1.500.000 1 6 _{11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96} 101 106 111 116

171

Şekil 4.29: Mevsimsel Farkı Alınmış Serinin Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Grafiği

Bu sonuçlara göre, Çarpımsal-Mevsimsel ARIMA modeli olarak tanımlanan ARIMA(1,1,2)(1,1,3)12 modeli elde edilir. Ancak modelin uygunluğuna tam olarak

karar verebilmek için model artıklarının (residuals) analiz edilmesi gerekmektedir. Elde edilen modelin artıklarına ait otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarına ait grafik Şekil 4.30’da verilmiştir.

Şekil 4.30’da korelasyon katsayılarının %95 güven sınırları içersinde kaldığı, sadece birinin (35. ay) bu sınırlar dışına çıktığı görülmektedir. Buna göre, model artıklarının bağımsız dağıldığı ve bu nedenle belirlenen modelin uygunluğunun sağlandığı söylenebilir. Ancak bu konuda ayrıca literatürde oldukça sık kullanılan,

172

Şekil 4.30: ARIMA Modeline Ait Artıkların Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Grafiği

Ljung-Box (LB) Q istatistiğine bakılabilir. Ljung-Box Q istatistiğinde, model artıkları arasında otokorelasyon olup olmadığına dair, tüm otokorelasyon katsayılarının aynı anda sıfır olduğu hipotezi test edilir. Bu teste göre, mevsimsel modeller için K gecikmesindeki Q değeri, K-p-q-P-Q serbestlik derecesinde X2

(ki-kare) tablo değerinden küçük ise tüm oto korelasyon katsayılarının sıfır olduğu hipotezi kabul edilir (Saygılı, 2008: 24). Uygulamamızda, örneğin K=18 için Q değeri, Şekil 4.30’da görüldüğü gibi 12,518’dir. K-p-q-P-Q serbestlik derecesinde (18-1-2-1-3=11) X2

tablo değeri ise 19,675’dir. X2

tablo değeri Q’dan büyük olduğu için model artıklarının tesadüfi dağıldığı sonuca varılabilir. Bu nedenle modelin uygun olduğuna karar verilir.

173

ARIMA modeli belirlendikten ve uygunluğu test edildikten sonra, elde edilen model ile tahminler üretilmiştir. ARIMA modeli uygulanarak elde edilen, 2003-2013 yıllarına ait aylık içme suyu tahmin değerleri Ek-5’te verilmiştir. Ayrıca, gerçekleşen su talebi ile tahminlenen su talebi grafik olarak aşağıda Şekil 4.31’de verilmiştir.

Şekil 4.31: Gerçekleşen Talep ve ARIMA ile Tahminlenen Talep Grafiği

Şekil 4.31’de görüldüğü gibi ARIMA ile tahminlenen talep değerlerinin ilk on üç ayına ait değerler bulunmamaktadır. Bunun nedeni, zaman serisinin birinci farkı ve mevsimsel farkının alınması sonucu bu aylara ait değerlerin hesaplanmamasıdır.