3. MATEMATİKSEL MODELLER ve ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI

3.3. Çok Amaçlı Programlama

Günümüzün rekabetçi global iş dünyasında, en uygun ve kritik kararı alabilme yeteneğine sahip işletmeler çok büyük rekabet avantajı sağlayabilir.

Kritik kararların çoğu, zorlu ve birbiriyle çelişen amaçların üstesinden gelinmesi gereken çok amaçlı problemlerdir. Örneğin tedarik zincir yönetiminde, toplam maliyetlerin azaltılması tipik olarak teslimat zamanını azaltan ve ürün kalitesini arttıran amaçlarla çatışır. Bu çelişen amaçlara aynı zamanda iş ve atölye çizelgeleme, envanter kontrol, tesis yerleşimi, portföy yönetimi ve proje yönetimini içeren diğer problem düzenlemelerinde de rastlanır.

Çok amaçlı en iyileme terimi, kararlı bir şekilde en iyilenen birden fazla amaç fonksiyonlu problemi sınıflandırmak için kullanılır. Bu problemleri çözmek için bir çok yöntem kullanılmaktadır. Bunlardan en basiti, en önemli olan amacı seçmek ve diğer önemsiz amaçları göz ardı etmektir. Bazı amaçların göz ardı edilmesi yaklaşımı, kuşkusuz zayıf bir çözüm elde edilmesiyle son bulur. Diğer bir yöntem ise en iyileme için tek bir amacı seçmek ve belli değerler içerisinde olan diğer amaçların değerlerini sınırlandırmaktır. Bu metodun temel dezavantajı, kısıtlandırılmış amaç genellikle uygun çözüm uzayını sınırlandırdığı için en iyi çözümün bulunamamasıdır.

Çok amaçlı en iyileme probleminin çözümü için kullanılan daha geleneksel yaklaşımda birden çok amaç tek bir amaç haline getirilerek amaçlar ölçeklendirilmeye çalışılır. Bu yaklaşım, çok amaçlı en iyileme probleminin formülasyonunu tek çözümlü ve tek amaçlı eniyileme problemine dönüştürür. Bu alternatif tekniklerin kullanımı için motivasyon görevi gören geleneksel metotların en büyük dezavantajları şunlardır (Eskandari 2006):

• Amaçların tek bir amaç haline getirilme ölçeklendirme sürecinde kullanılan öncelik (veya ağırlık) vektörü, büyük oranda son çözümü etkiler.

• Alternatif çözümlerin, en azından öncelik vektörü gibi bazı parametreler değiştirilmeden elde edilmeleri mümkün değildir.

• Eğer amaç uzayı enküçükleme problemleri için konveks değilse, bazı eniyi çözümler asla bulunamayabilir.

• Farklı performans ölçümlerinin homojenliğinde (örneğin; maliyet, ürün kalitesi ve çevrim zamanları) karışıklıklar vardır.

• Eğer amaçlar sürekli olmayan değişken uzayına sahipse, geleneksel yaklaşım etkin bir şekilde çalışmayabilir.

Bu dezavantajlardan birincisi dikkate alındığında, öncelik vektörünün değerinde küçük bir değişiklik, elde edilen çözümü büyük bir oranda etkileyecektir. Her ağırlık çifti w1 ve w2’nin (iki amaçlı problem için w2 = 1- w1) belirli değeri için amaç değişim eğrisinde tek bir üstün olmayan noktanın (Pareto-en iyi çözümler) elde edilmesini sağlar. Bununla birlikte, bu sınıf yaklaşımların dezavantajı, araştırmacıları ve uygulamacıları, tek bir çözümden çok, Pareto-en iyi çözümler (üstün olmayan nokta) çözüm kümesini bulan alternatif teknikleri araştırmaya yönlendirmesidir.

Çok amaçlı en iyileme problemleri genel olarak;

T şeklinde ifade edilir. k, amaç fonksiyonu sayısını; n, dizayn değişken sayısını, l,

kısıt sayısını ve S∈Rn çözüm uzayını gösterir (Agrawal 2005).

Çok amaçlı en iyileme problemlerinin sonuçları, amaç fonksiyonları arasındaki ilişkiye bağlıdır. Amaç fonksiyonları ve ardışık çözümler arasındaki ilişkiye örnek olarak iki amaç fonksiyonu dikkate alındığında, bu amaç fonksiyonları arasında üç durumdan birisi gözlemlenebilir. Birinci durumda, tasarım değişkenlerindeki değişiklikle birlikte eş zamanlı olarak her iki amaç fonksiyonu da iyileşebilir. Dolayısıyla amaç fonksiyonları temel olarak ortaktır.

Bu durumda, yalnızca bir tane en iyi çözüm vardır. İkinci durumda, amaç fonksiyonlarından biri değiştiğinde diğerinde bir değişiklik oluşmaz. Diğer bir ifadeye, amaç fonksiyonları arasında bir ilişki yoktur. Bu durumda yine yalnızca bir tane en iyi çözüm vardır. Son olarak üçüncü durumda, amaç fonksiyonlarından birindeki iyileşme diğerinde belli bir maliyete neden olur. Bu durumda, en uygun fonksiyonlar çatıştığından, en iyi sonuç bir tane değildir. Fakat, çözüm kümesi eşit oranda önemlidir. Çelişen amaç fonksiyonları çok ilginçtir, çünkü, “kabul

edilebilir” veya “en iyi” çözüm, karar vericinin tercihine ve amaç fonksiyonlarının birisinden vazgeçmesine bağlıdır (Agrawal 2005).

Çözüm stratejisi olarak, çok amaçlı problemler genellikle tek bir amaç fonksiyonu oluşturmak için birleştirilir. Böylece amaç fonksiyonu ile tek bir çözüm elde edilir. Bu yaklaşım kullanılarak bulunan çözüm, birleştirilen amaca bağlıdır. Çok amaçlı problemlerin üstesinden gelmenin daha pratik yolu (tipik olarak çelişen amaç tipleri için), tek bir birleştirilmiş amaca bağlı global en iyiyi araştırıp bulmak yerine, Pareto-en iyi çözümleri veya Pareto kümesi olarak adlandırılan çözüm kümesinin bulunmasıdır. Son çözüm, bütün amaçlardan daha iyi bir çözümün olmadığı Pareto-en iyi çözüm kümesinden seçilir.

3.3.1. Pareto-en iyi çözümler

Vilfredo Pareto, ilk olarak Pareto eniyi kavramını 19. yüzyılda kullanmıştır. Çözüm, herhangi bir diğer uygun çözümle karşılaştırıldığında daha üstün çözüm değilse, Pareto-en iyi çözüm olarak adlandırılır. Örneğin, en azından bir amaç için başka daha iyi bir çözüm ve diğer amaçlar ile karşılaştırıldığında onlara eşit veya daha üstün çözüm yoktur. Bu yüzden, bütün Pareto-en iyi çözümleri eşit oranda önemli ve hepsi global en iyi çözümdür. Matematiksel olarak, uygun bir çözüm olan X*‘ın Pareto en iyi olabilmesi için başka uygun çözümlerinin olmaması gerekir. Böylece, bütün amaç fonksiyonları için Fk(X)≤Fk(X*) ve en azından bir amaç fonksiyonu için Fk(X)<Fk(X*)’ dir. Bu yüzden, Pareto bir çözüm yerine bir çözüm kümesi verir. Pareto-en iyi çözümler tarafından adlandırılan bölge Şekil 3.1’de görüldüğü gibi Pareto sınır bölgesi olarak adlandırılır. Şekil 3.1’de, F1*, F2*,… Fk*, her amaç fonksiyonunun ayrı minimum değerleridir. F* ile gösterilen değerler, hayali çözümü tanımlar. Hayali çözümler ideal çözüm olmasına rağmen, aynı anda bütün amaç fonksiyonlarının enküçüklemesi hemen hemen imkansızdır. Bu yüzden, son çözümün seçimi, genellikle hayali çözüme en yakın olan olarak belirlenir (Agrawal 2005).

F*

F1*

F2*

F1

Pareto Sınır Bölgesi

Şekil 3.1. İki amaçlı problem için Pareto sınır bölgesi (Agrawal 2005).

Pareto-en iyi çözümler, karar verme sürecinde tasarımcılara yardımcı olmak için endüstride yaygın olarak kullanılır. Pareto sınır bölgesi bilgisine sahip karar vericiler farklı amaçlar ile ilgili tercihlerini daha iyi ifade edebilir

Belgede UÇAK BAKIM PLANLAMASININ EN İYİLENMESİNE YÖNELİK BİR KARAR DESTEK TASARIMI (sayfa 73-76)