Aşırı Đnce Titanyum Nanotellerin Erime Davranışları

No Capítulo 3 foram apresentados conceitos sobre operadores levelings e no Capítulo 4 foram apresentados conceitos sobre representação de imagens por meio de árvores de componentes e de formas. Além disso, foram estabelecidas as operações de podas e reconstruções de árvores podadas. Nesta seção, são apresentadas relações entre reconstruções de árvores podadas (ou seja, reconstru- ções inferiores, superiores e por formas) com os operadores levelings. Primeiramente, são mostradas

54 REPRESENTAÇÕES DE ESPAÇO DE ESCALA BASEADO EM LEVELINGS ATRAVÉS DE

HIERARQUIAS DOS CONJUNTOS DE NÍVEIS 5.1

as relações entre árvores de componentes e depois árvores de formas, com os operadores levelings. Relações entre reconstruções superiores (respectivamente, inferiores) e operadores le- velings

Seja Tf uma árvore max-tree (respectivamente, min-tree) construída a partir de uma imagem

f ∈ F(D) e considere Tg a árvore obtida por uma operação de poda em Tf, ou seja, Tg=Poda(Tf).

Logo, por meio das definições de poda e menores componentes (ver Definições 4.10 e 4.14) pode- se concluir que ∀p ∈ D, SC(Tf, p) ⊆ SC(Tg, p) e pela definição de reconstrução de árvore po-

dada (ver Seção 4.2.3_{) temos ainda que level(SC(T}f, p)) ≥ level(SC(Tg, p)) (respectivamente,

level(_SC(Tf, p)) ≤ level(SC(Tg, p))), graças à ordem bem definida dos conjuntos de níveis. Dessa

forma, temos que Rec(Tf) ≥ Rec(Tg) (respectivamente, Rec(Tf) ≤ Rec(Tg)) o que mostra que

reconstruções superiores (respectivamente, inferiores) são anti-extensivas (respectivamente, exten- sivas). Estas colocações dão origem à Proposição 5.1.

Proposição 5.1. Sejam T = (U(f), ⊆) a árvore max-tree (respectivamente, min-tree T = (L(f), ⊆ )) de uma imagem f _{∈ F(D) e (p, q) ∈ A. Então, f(p) > f(q) (respectivamente, f(p) < f(q)) se, e} somente se,SC(T , p) ⊂ SC(T , q).

Prova:

=_{⇒ Como f(p) > f(q), então por definição de conjunto de níveis, tem-se: Xf(p)}↑ (f ) = _{{x ∈ D :} f (x)_{≥ f(p) > f(q)} ⊂ Xf}↑_(q)(f ) = _{{x ∈ D : f(x) ≥ f(q)}. Logo, p ∈ SC(T , p) ⊆ Xf(p)}↑ (f ) _⊂ X_f(q)↑ (f ). Também temos que, q ∈ SC(T , q) ⊆ X_f(q)↑ (f ). Dessa forma, temos: (i) SC(T , p) é um CC de Xf(p)↑ (f ) contendo p; (ii)SC(T , q) é um CC de X

↑

f(q)(f ) contendo q; (iii) (p, q) são

adjacentes, ou seja, (p, q) ∈ A; e (iv) f(p) > f(q). Então, p ∈ SC(T , q) e consequentemente SC(T , p) ⊂ SC(T , q), pois existem caminhos em SC(T , q) para todos os pixels de SC(T , p) passando por p.

⇐= Por definição de conjuntos de níveis, temos que SC(T , p) ∈ CC(X_f(p)↑ (f ))⊆ U(f) e SC(T , q) ∈ CC(Xf↑(q)(f ))⊆ U(f) pois X

↑

f(p)(f ) eX ↑

f(q)(f ) são os menores conjuntos de níveis contendo os

pixels p e q, respectivamente. Assim, como_{SC(T , p) ⊂ SC(T , q) segue que Xf}↑_(p)(f )_{⊂ Xf(q)}↑ (f ), pois os conjuntos de níveis são aninhados pela relação de inclusão (ver Equação 4.3). Logo, por definição dos conjuntos de níveis, temos que Xf↑(p)(f ) ={x ∈ D : f(x) ≥ f(p) > f(q)} ⊂

Xf(q)↑ (f ) ={x ∈ D : f(x) ≥ f(q)}. Portanto, f(p) > f(q).

A prova para os conjuntos de níveis inferiores segue de forma similar.

Estes fatos mostram que, se Tg é obtida por uma operação de poda de uma árvore max-tree

(respectivamente, min-tree) Tf, então a imagem g = Rec(Tg) é um leveling da imagem f = Rec(Tf),

pois para todo (p, q) ∈ A, a seguinte condição é sempre verdadeira: g(p) > g(q) ⇒ f(p) ≥ g(p) > g(q) = f (q) (respectivamente, g(p) > g(q)_{⇒ f(p) = g(p) > g(q) ≥ f(q)). Isso, pode ser constatado} pelos casos mostrados na Figura 5.1ou ainda pela prova mostrada na Proposição5.2.

Proposição 5.2. Reconstruções superiores (respectivamente, inferiores) são levelings.

Prova: Sejam f ∈ F(D) uma imagem e Tf a árvore max-tree de f. Então, g ∈ F(D) é uma

reconstrução superior de f se, e somente se, g = Rec(Tg) tal queTg =Poda(Tf). Para mostrar que

5.1RELAÇÕES ENTRE RECONSTRUÇÕES DE ÁRVORES PODADAS E OPERADORES LEVELINGS 55 Então, considere dois casos, quando f(p) = f(q) e f(p) 6= f(q). No primeiro caso, g satisfaz a definição de levelings por vacuidade, pois (p, q) pertence a uma mesma zona plana de f e conse- quentemente no mesmo vértice em Tf e portanto g(p) = g(q). No segundo caso, temos que SC(Tf, p)

e SC(Tf, q) são comparáveis, pois (p, q) ∈ A, SC(Tf, p)∩ SC(Tf, q)6= ∅ e graça ao Corolário4.13,

dois vértices são disjuntos ou comparáveis. Logo, a operação de poda que gera Tg a partir de Tf

pode: (1) ou um dos dois vértices é podado (como ilustrado na Figura 5.1- casos 1a e 1b); (2) ou ambos SC(Tf, p) e SC(Tf, q) são podados ou preservados (como ilustrado na Figura5.1 - casos 2a

e 2b). Analisando este casos, temos:

1. Se podar um dos dois vértices, então sem perda de generalidade suponha que SC(Tf, p) é

podado e SC(Tf, q) é preservado. Assim,SC(Tf, p)⊂ SC(Tg, p) eSC(Tg, q) =SC(Tf, q). Logo,

ou SC(Tf, p) ⊂ SC(Tg, p) ⊂ SC(Tg, q) = SC(Tf, q) (ver Fig. 5.1 - caso 1a), ou SC(Tf, p) ⊂

SC(Tg, p) = SC(Tg, q) = SC(Tf, q) (ver Fig. 5.1 - caso 1b). Portanto, pela Proposição 5.1,

segue que: ou f(p) ≥ g(p) > g(q) = f(q), ou f(p) = g(p) = g(q) = f(q) o que satisfaz a Definição3.3de levelings.

2. Se ambos SC(Tf, p) eSC(Tf, q) são preservados ou podados. Então, ou SC(Tf, p) =SC(Tg, p)

e SC(Tf, q) = SC(Tg, q) e por consequência segue que: ou f (p) = g(p) > g(q) = f (q) (ver

Fig. 5.1_{- caso 2a), ou SC(T}g, p) =SC(Tg, q) e consequentemente g(p) = g(q) (ver Fig. 5.1-

casos 2a e 2b) o que satisfaz a Definição 3.3de levelings.

Portanto, reconstruções superiores são levelings. A prova para reconstruções inferiores segue de forma análoga. Tf SC(Tf, q) SC(Tf, p) Tg SC(Tg, q) SC(Tg, p) Tg SC(Tg, q) SC(Tg, p) Tg SC(Tg, q) SC(Tg, p) Tg SC(Tg, q) SC(Tg, p) caso 1a: f(p) > g(p) g(q) = f (q) g(p) > g(q) caso 1b: f(p) > g(p) g(q) = f (q) g(p) = g(q) caso 2a: f(p) = g(p) g(q) = f (q) g(p) > g(q) caso 2b: g(p) = g(q)

Figura 5.1: Ilustrações das configurações de podas em uma árvore max-tree.

De fato, este resultado não é novo e já foi mencionado por muito autores, como por exemplo:

Salembier e Wilkinson (2009),Garrido (2002) eXu (2013). No entanto, temos um novo resultado quando consideramos a versão estendida da max-tree (respectivamente, min-tree). Assim, como

56 REPRESENTAÇÕES DE ESPAÇO DE ESCALA BASEADO EM LEVELINGS ATRAVÉS DE

HIERARQUIAS DOS CONJUNTOS DE NÍVEIS 5.1

é garantido pelo Teorema 5.3, reconstruções superiores (respectivamente, inferiores) por meio da versão estendida da max-tree (respectivamente, min-tree) são equivalentes aos operadores levelings anti-extensivos (respectivamente, extensivos).

Teorema 5.3. Reconstruções superiores (respectivamente, inferiores) e levelings anti-extensivos (respectivamente, extensivos) são equivalentes.

Prova: Sejam f ∈ F(D) uma imagem e Tf = (Ext(U(f)), ⊑) a versão estendida da max-tree da

imagem f. Assim, temos que: g ∈ F(D) é uma reconstrução superior de f ⇐⇒ g = Rec(Tg) tal que Tg =Poda(Tf)

⇐⇒ g_{≤ f e ∀(p, q) ∈ A,} ( ou SC(Tf, p)⊑ SC(Tf, q)⊑ SC(Tg, p) =SC(Tg, q) ou SC(Tf, p)⊑ SC(Tg, p)⊑ SC(Tf, q) =SC(Tg, q) ⇐⇒ g_{≤ f e ∀(p, q) ∈ A, SC(T}g, p) ⊏ SC(Tg, q) ⇒      SC(Tf, p)⊑ SC(Tg, p) e SC(Tg, q) =SC(Tf, q) ⇐⇒ g_{≤ f e ∀(p, q) ∈ A, level(SC(T}g, p)) > level(SC(Tg, q)) ⇒      level(SC(Tf, p))≥ level(SC(Tg, p)) e level(_SC(Tg, q) = level(SC(Tf, q)) ⇐⇒ g≤ f e ∀(p, q) ∈ A, g(p) > g(q) ⇒ f(p) ≥ g(p) e g(q) = f(q) ⇐⇒ g é um leveling anti-extensivo de f .

A prova para a equivalência de levelings extensivos e reconstruções inferiores segue de maneira similar.

Relações entre reconstruções de formas e operadores levelings

Para estabelecer relações entre reconstruções por formas e operadores levelings é necessário conhecer as relações entre os pixels adjacentes e os vértices da árvore de formas. Neste sentido, as Proposições5.4, 5.5, 5.6 e 5.8ajudam a entender como os pixels adjacentes estão relacionados na árvore. Assim, a Proposição5.4é um corolário do Teorema 2.16 apresentado porCaselles e Monasse

(2010), a Proposição 5.5 é uma consequência direta da Proposição 5.1 e a Proposição 5.8 é uma consequência direta da Proposição 5.6.

Proposição 5.4. Seja Tf a árvore de formas construída a partir de uma imagem f ∈ F(D).

Se (p, q) _{∈ A tal que f(p) 6= f(q) então duas formas SC(T}f, p) e SC(Tf, q) são comparáveis ou

disjuntas.

Prova: Por definição, level(SC(Tf, p)) = f (p) e level(SC(Tf, q)) = f (q). Portanto, como f (p)6=

f (q) então segue que_SC(Tf, p)6= SC(Tf, q). Assim, o Teorema 2.16 de Caselles e Monasse (2010)

garantem que duas formas em Tf são comparáveis ou disjuntas.

Proposição 5.5. Seja Tf a árvore de formas construída a partir de uma imagem f ∈ F(D). Se

(p, q) _{∈ A tal que SC(T}f, p) ⊂ SC(Tf, q) e ambos SC(Tf, p) e SC(Tf, q) pertencem a SATU(f )

(respectivamente, _SATL(f )), então f (p) > f (q) (respectivamente, f (p) < f (q)).

Prova: Por definição do conjunto SATU(f ), segue que existem conjuntos P e Q pertencentes a

5.1RELAÇÕES ENTRE RECONSTRUÇÕES DE ÁRVORES PODADAS E OPERADORES LEVELINGS 57 seguindo a definição do operador de saturação temos:

SC(Tf, p) = sat(P ) = P ∪

[

H∈Int(P )

H.

Assim, se h ∈ H ∈ Int(P ), então SC(Tf, h)⊂ SC(Tf, p) e consequentementeSC(Tf, p) não é a menor

forma contendo o pixel h. Logo, como SC(Tf, p) é a menor forma contendo p, então p /∈ SC(Tf, h).

Portanto, p ∈ P e analogamente q ∈ Q.

Agora, queremos mostrar que p ∈ Q e assim concluir que P ⊂ Q, pois (p, q) ∈ A e P e Q são CCs de U(f). Então, suponha por contradição que p /∈ Q. Logo, temos que Q ⊂ P pelos mesmos argumentos anteriores. Então, como sat é um operador crescente (ver Lema 2.8 em Caselles et al.

(2008_{)), segue que, se Q ⊆ P então sat(Q) ⊆ sat(P ) o que é uma contradição. Portanto, p ∈ Q e}

consequentemente P ⊂ Q. Portanto, graças à Proposição 5.1, segue que f(p) > f(q).

Proposição 5.6. Seja A ∈ L(f) ∪ U(f) tal que sat(A) ∈ SAT (f). Se B ∈ Int(A) e (p, q) ∈ A tal que p∈ B e q /∈ B, então q ∈ sat(A) (Veja uma ilustração do enunciado na Figura 5.2).

A

B

sat(A)

Int(A)

.

p

.

q

Figura 5.2:Ilustração do enunciado da Proposição5.6.

Prova: Vamos mostrar que q∈ sat(A) por contradição. Suponha, por contradição que q /∈ sat(A). Como q /∈ sat(A) então q pertence ao complemento de sat(A), ou seja, q ∈ (D \ sat(A)) = Ext(A) _{⊆ (D \ A). Como Int(A) contém os CCs de (D \ A) incluídas em sat(A) e B ∈ Int(A),} então temos que ambos B e Ext(A) são CCs de (D \ A). Com este resultado em mente e pelo fato que (p, q) ∈ A com p ∈ B e q ∈ Ext(A) conclui-se que Ext(A) = B. Mas isso é uma contradição, pois q /_{∈ B. Portanto, q ∈ sat(A).}

O Corolário 5.7a seguir é uma consequência direta da Proposição 5.6.

Corolário 5.7. Sejam A, B ∈ SAT (f) tal que B ⊂ A, A ∈ SATU(f ) e B∈ SATL(f ) (respectivamente,

A _{∈ SAT}L(f ) e B ∈ SATU(f )). Se (p, q) ∈ A tal que p ∈ B e q /∈ B, então ou q ∈ A, ou

∃B′ _{∈ SAT}

U(f ) (respectivamente, ∃B′ ∈ SATL(f )) tal que B⊆ B′⊆ A e q ∈ B′

Proposição 5.8. Sejam (p, q) ∈ A, SC(Tf, p) e SC(Tf, q) duas menores formas de SATU(f )

(respectivamente, _SATL(f )) contendo os pixels p e q. Se X ∈ SAT (f) tal que SC(Tf, p) ⊂ X ⊂

58 REPRESENTAÇÕES DE ESPAÇO DE ESCALA BASEADO EM LEVELINGS ATRAVÉS DE

HIERARQUIAS DOS CONJUNTOS DE NÍVEIS 5.1

Prova: Suponha, por contradição, que X /∈ SATU(f ). Assim, X ∈ SATL(f ) pois X ∈ SAT (f).

Então, graças ao Corolário 5.7_{, segue que q ∈ X, pois (p, q) ∈ A, SC(T}f, p) ∈ SATU(f ), X ∈

SATL(f ) eSC(Tf, p)⊂ X. Mas isso é uma contradição, pois SC(Tf, q) é a menor forma contendo

q. Portanto, X _{∈ SAT}U(f ).

Teorema 5.9. Reconstruções por formas são levelings.

Prova: Seja f ∈ F(D) uma imagem e Tf a árvore de formas construída a partir da imagem

f . Então, g _{∈ F(D) é uma reconstrução por formas de f se, e somente se, g = Rec(T}g) tal que

Tg =Poda(Tf). Para provar que g é um leveling de f , é preciso verificar se para todo (p, q)∈ A, a

definição de leveling é satisfeita, isto é, que g(p) > g(q) ⇒ f(p) ≥ g(p) e g(q) ≥ f(q).

Inicialmente, considere dois casos, quando f(p) = f(q) e f(p) 6= f(q). No primeiro caso, g satisfaz a definição de levelings por vacuidade, pois (p, q) pertence a uma mesma zona plana de f e consequentemente no mesmo vértice de _Tf e portanto g(p) = g(q). No segundo caso, temos

pelo Teorema 4.16_{, que duas formas SC(T}f, p) e SC(Tf, q) são disjuntas ou comparáveis. Logo, na

operação de poda que gera Tg a partir de Tf pode-se: (1) ou preservar ambos os vértices; (2) ou

eliminar ambos os vértices; (3) ou eliminar um dos dois vértices. Veja na Figura5.3 as ilustrações sobre as configurações de podas.

Casos 1 e 2: triviais Tf Tg Tg SC(Tf, q) SC(Tf, p) SC(Tg, q) SC(Tg, p) SC(Tg, p) = SC(Tg, q) caso 2: g(p) = g(q) caso 1: f(p) = g(p) e f(q) = g(q)

Caso 3: remover um dos dois vértices

ւProp.5.4 ց (a) comparáveis mesmo tipo Tf SC(Tf, q) SC(Tf, p) Props.5.5,5.8 SC(Tg, q) SC(Tg, p) ambos os casos: f(p) ≥ g(p) ≥ g(q) = f (q) ou f(p) ≤ g(p) ≤ g(q) = f (q) Tipos diferentes Tf SC(Tf, q) SC(Tf, p) ւProps.5.5,5.8 e Corol.5.7 Tg Tg SC(Tg, q) SC(Tg, p) (b) disjuntos Tf Tg Tg SC(Tf, p) SC(Tf, q) ¬Prop.5.5 SC(Tg, p) SC(Tg, q) SC(Tg, p) SC(Tg, q) ambos os casos: f(p) ≥ g(p) > g(q) ≥ f (q) ou f(p) ≤ g(p) < g(q) ≤ f (q)

Figura 5.3:Ilustrações das configurações de podas.

1. Se ambos os vértices são preservados, então f(p) = g(p) e f(q) = g(q) o que satisfaz a condição da definição de leveling;

2. Se ambos os vértices são eliminados, então g(p) = g(q) caso eles sejam comparáveis e assim a definição de leveling é verdadeira por vacuidade, caso contrário, veja o caso 3(b);

5.2

OPERADORES MORFOLÓGICOS OBTIDOS POR MEIO DE RECONSTRUÇÕES DE ÁRVORES PODADAS

59 3. Se um dos dois vértices é eliminado, então graças à Proposição 5.4_{, SC(T}f, p) eSC(Tf, q) são

disjuntas ou comparáveis.

(a) Se SC(Tf, p) e SC(Tf, q) são comparáveis, então sem perda de generalidade, suponha

que SC(Tf, p) ⊂ SC(Tf, q). Assim, SC(Tf, p) ⊆ SC(Tg, p) e SC(Tf, q) = SC(Tg, q) e

consequentemente g(q) = f(q).

• Se SC(Tf, p) e SC(Tf, q) pertencem SATU(f ) (respectivamente, SATL(f )) então

graças à Proposição 5.8_{, segue que SC(T}g, p) ∈ SATU(f ). Assim, graças à Propo-

sição 5.5_{, segue que f(p) ≥ g(p) ≥ g(q) = f(q) (respectivamente, f(p) ≤ g(p) ≤}

g(q) = f (q) ) satisfazendo a condição da definição de leveling;

• Se SC(Tf, p) eSC(Tf, q) são de tipos diferentes, então graças ao Corolário5.7, segue

que ∀(r, s) ∈ A tal que r ∈ SC(Tf, p) e s /∈ SC(Tf, p) segue que s∈ SC(Tf, q). Assim,

SC(Tf, p) ⊂ SC(Tf, s) ⊆ SC(Tf, q) e consequentemente ou f (p) < f (s) ≤ f(q) ⇒

f (p)_{≤ g(p) ≤ g(q) = f(q), ou f(p) > f(s) ≥ f(q) ⇒ f(p) ≥ g(p) ≥ g(q) = f(q), o} que satisfaz a condição da definição de leveling.

(b) Se SC(Tf, p) e SC(Tf, q) são disjuntos, então eles são de tipos diferentes (ver Propo-

sição 5.5_{). Além do mais, SC(T}f, p) e SC(Tf, q) não pertencem ao mesmo ramo em

Tf. Neste caso, certamente existe um vértice SC(Tf, r) que é ancestral comum a am-

bos os vértices SC(Tf, p) e SC(Tf, q). Assim, SC(Tf, r) é do mesmo tipo que SC(Tf, p)

ou SC(Tf, q). Então, ou f (p) > f (r) > f (q), ou f (p) < f (r) < f (q). Sem perda de

generalidade, assume-se que f(p) > f(r) > f(q). Dessa forma, se SC(Tf, p) é remo-

vido e SC(Tf, q) é preservado, então temos que SC(Tf, p) ⊂ SC(Tg, p) ⊆ SC(Tf, r) e

SC(Tg, q) =SC(Tf, q) e consequentemente f (p) > g(p)≥ f(r) e g(q) = f(q). Portanto,

f (p) > g(p)_{≥ f(r) > g(q) = f(q) ⇒ f(p) > g(p) > g(q) = f(q), satisfazendo a condição} da definição de leveling. Mas, se SC(Tf, p) é preservado eSC(Tf, q) é removido, então te-

mos que SC(Tg, p) =SC(Tf, p) eSC(Tf, q)⊂ SC(Tg, q)⊆ SC(Tf, r) e consequentemente

f (p) = g(p) e f (r)≥ g(q) > f(q). Portanto, f(p) = g(p) > g(q) > f(q), o que satisfaz a condição da definição de leveling.

5.2 Operadores morfológicos obtidos por meio de reconstruções de árvores po-

Belgede Titanyum nanoparçacık ve nanotellerin ergime sürecindeki davranışlarının atomik düzeyde incelenmesi (sayfa 59-65)