Açıklayıcı örnek

k t

o ana kadar bulunan en iyi çözüm

, Eğer çözüm ortalama (af ) ( ) 0 , Diğer durumda k k _{t çözüm} ij (3.26)

Feromon güncellemenin ilk aĢamasında öncelikle her tur sonunda görev- pozisyon feromon miktarları belirlenen ρ değerine bağlı olarak (1-ρ) değeri ile çarpılmakta ve görev-pozisyon feromon miktarları buharlaĢtırılmaktadır (Denklem 3.24). Feromon güncelleĢtirmenin ikinci kısmında ise denklem 3.25 ve denklem 3.26‟ ya göre güncellemeler yapılmaktadır. Denklem 3.26‟daki ortalama (aft) ifadesi t.

turda karıncaların elde ettikleri çözümlerin ortalamasını ifade etmektedir.

3.2.3. Açıklayıcı örnek

ġekil 3.13. Yedi görevli örnek bir öncelik diyagramı (Merten, 1967)

Bu bölümde, ġekil 3.13.‟de öncelik diyagramı verilen Merten (1967) probleminin baĢlangıç çevrim süresinin (C0=12), yeni çevrim süresinin (C1=9) olması

durumunda nasıl bir yeniden dengeleme yapılacağı baĢlangıç çözümü gösterilerek örnek üzerinde açıklanmıĢtır. Çizelge 3.6.‟da ilgili problemin görev süreleri ortalamaları,

1 2 4 3 5 7 6

1 Hattın GiriĢi Hattın ÇıkıĢı 0 100 200 700 600 500 300 400 3 2 1 3 7 4 6 2 ₅

görev süresi varyansları, görev yer değiĢtirme maliyetleri verilmiĢtir. ġekil.3.14.‟de ise hattın mevcut hat yerleĢimine ait çözümün kodu, kodun çözümü ve hattın pozisyonlarına göre yerleĢimi gösterilmektedir. ġekil 3.14. b‟de parantez içinde yazılan değer görevin hangi istasyonda bulunduğunu gösterirken görevin önünde bulunan negatif değer ise görevin gölge diyagramdan (ardılı olmadığı için) atandığını göstermektedir. Görev pozitif olarak gösterilmesi görevin hattın baĢına atandığını göstermektedir. ġekil 3.14. c‟de hattın kenarında gösterilen sayılar görev baĢlangıç ve bitiĢ noktalarını göstermektedir. Örneğin 2 numaralı görevin hattın giriĢ noktası “0” kabul edilerek hesaplanan baĢlangıç noktası 200. cm iken bitiĢ noktası 300. cm‟dir. Görevin baĢlangıç noktasının değiĢmesi görev yer değiĢtirme maliyetine bağlı olarak amaç fonksiyonuna ek maliyet getirmektedir.

Çizelge 3.6. Merten (1967) probleminin görev süresi ve yer değiĢtirme maliyetleri Görev No Görev Süresi _Ortalaması Görev Süresi _Varyansı Görev Yer DeğiĢtirme _Maliyeti

1 1 0,1 0 2 5 0,5 0 3 4 0,4 250 4 3 0,3 0 5 5 0,5 319 6 6 0,6 0 7 5 0,5 1.385 -3 1 -7 -4 -6 2 5

a) Mevcut hat dengesinin çözüm kodu

-3(1) 1(1) -7(1) -4(2) -6(2) 2(3) 5(3) b) Kodun çözümü

c)Mevcut hattın pozisyonlarına göre yerleĢimi ġekil 3.14. Mevcut hat yerleĢimi

Ġlgili problemin tamamlanmama olasılığı 0,1 ve VK‟sı ise 0,1‟dir. Probleme ait baĢlangıç feromon miktarları Çizelge 3.7.‟de gösterilmiĢtir. BaĢlangıçta, her bir görevin her bir pozisyona atanma olasılığını hesaplamakta kullanılacak görev-pozisyon feromon miktarları, görev ilgili pozisyona atandığında mevcut hat yerleĢimine göre yerleri değiĢmesi muhtemel görevlerin yer değiĢtirme maliyetleri toplamı ile ters orantılıdır. Mevcut hat yerleĢimine göre yerleri değiĢmesi muhtemel görevlerin maliyetleri toplamının sıfır olması durumunda ve görevin mevcut hat dengesindeki pozisyonuna atanmasını ifade etmek üzere kullanılan görev-pozisyon feromon miktarının “1” olduğu varsayılmaktadır. Örneğin, baĢlangıç çözümü kodunda 2. pozisyonda yer alan görev 1‟in yeni çözümde pozisyon 1‟e atanması durumunda kendi konumun değiĢmesi muhtemel olduğu gibi, baĢlangıç çözüm kodunda 1. pozisyonda olan 3 numaralı görevin de farklı bir pozisyona atanmasına neden olması muhtemel olduğundan, 1 ve 3 numaralı görevlerin yerlerinin değiĢmesi muhtemeldir. Bu durumda 1 ve 3 numaralı görevleri yer değiĢtirme maliyetleri toplamı 250 pb dir. Görev 1‟in pozisyon1‟e atanması durumunda feromon miktarı 1/250=0,004000 olacaktır. Görev 1‟in baĢlangıç çözüm kodunda yer aldığı pozisyon 2‟ye atanması durumunda herhangi bir görevin bu atamadan etkilenmemesi muhtemeldir ve görev 2‟nin pozisyonu 2‟deki baĢlangıç feromon miktarı ise 1 olacaktır. Görev 1‟in pozisyon 3 atanması durumunda 1 ve 7 numaralı görevler etkilenebilir. Bu durumda ise 1 ve 7 numaralı görevleri yer değiĢtirme maliyetleri toplamı 1.385 pb‟dir. Görev 1‟in pozisyon3‟e atanması durumunda feromon miktarı 1/1.385=0,000722 olacaktır. Benzer Ģekilde görev 1‟in pozisyon 7‟ye atanması durumunda ise 1, 2, 4, 5, 6 ve 7 numaralı görevleri etkilenmesi muhtemeldir. Bu durumda ise 1, 2, 4, 5, 6 ve 7 numaralı görevlerin yer değiĢtirme maliyetleri toplamı 1.704 pb‟dir. Görev 1‟in pozisyon7‟e atanması durumunda feromon miktarı 1/1.704 = 0,000587 olacaktır. Her bir görevin her bir pozisyona atanması durumunda görevlere ait feromon miktarları Çizelge 3.7.‟de ayrıntılı bir Ģekilde gösterilmektedir.

Çizelge 3.7. BaĢlangıç feromon miktarları

Pozisyon1 Pozisyon2 Pozisyon3 Pozisyon4 Pozisyon5 Pozisyon6 Pozisyon7 Görev 1 0,004000 1,000000 0,000722 0,000722 0,000722 0,000722 0,000587 Görev 2 0,000612 0,000722 0,000722 1,000000 1,000000 1,000000 0,003135 Görev 3 1,000000 0,004000 0,000612 0,000612 0,000612 0,000612 0,000512 Görev 4 0,000612 0,000722 0,000722 1,000000 1,000000 1,000000 0,003135 Görev 5 0,000512 0,001420 0,001420 0,003135 0,003135 0,003135 1,000000 Görev 6 0,000612 0,000722 0,000722 1,000000 1,000000 1,000000 0,003135 Görev 7 0,000612 0,000722 1,000000 0,000722 0,000722 0,000722 0,001420

Ġncelenen örneğin ilk aĢamasında görevlerin hangi pozisyona atanması gerektiği incelenmektedir. Görevler pozisyonlara atandıktan sonra tamamlanmama olasılığı kısıtına bağlı olarak istasyona atanmaktadır. Burada öncelikle hangi görevin hangi pozisyonda yer alacağı, ardından pozisyonu belirlenmiĢ görevin hangi istasyon içinde bulunacağı ve en son olarak ise bu atamanın ne kadar bir ek maliyet getireceği anlatılmaktadır.

Öncelik diyagramına bağlı atanabilir görevler kümesi, görevlerin negatif olması görevin öncelik diyagramının gölge diyagramdan alındığını ve görevin hattın arkasına atanacağını göstermektedir.

Öncelik diyagramına bağlı atanabilir görevler kümesi, AGK1 ={1,-3,-6,-7};

Görev 1 „in pozisyon1‟deki feromon miktarı (FM11)=0,004

FM31 =1; FM61 =0,000612; FM71 =0,000612

Toplam feromon miktarı (TFM1)=0,004 + 1 + 0,000612 + 0,000612=1,005223

Görev 1 „in seçilme olasılığı(SO1) =0,004000 / 1,005223=0,0039792

SO3 =1,000000 / 1,005223=0,9948039; SO6=0,000612 / 1,005223=0,0006084

SO7=0,000612 / 1,005223=0,0006084

Atanabilir görevler kümesindeki elemanların kümülatif olasılıklar hesaplanır. 1→p(1)= 0,0039792, 3→p(2)= 0,9987831, 6→p(3)= 0,9993915, 7→p(4)=1, x=0,3431 rassal sayısı üretilir ve 0,3431 sağlayan görev seçilen görevdir. SG1=-3 hattın arkasına atanmak üzere seçilir.

AGK2 ={1,-6,-7}; FM12= 1; FM62 = 0,000722; FM72 = 0,000722; TFM2=1 + 0,000722 + 0,000722=1,001444 SO1 =1,000000 / 1,001444=0,998558; SO6 =0,000722 / 1,001444=0,000721; SO7 =0,000722 / 1,001444=0,000721 1→p(1)= 0,998558, 6→p(2)= 0,9992790, 7→p(3)=1, x=0,7832; 0,7832 ; SG2=1; AGK3 ={2,4,-6,-7}; FM23=0,000722; FM43 =0,000722; FM63 =0,000722; FM73 =1 TFM3=0,000722 + 0,000722 + 0,000722 + 1=1,005223 SO2 =0,000722 / 1,002166=0,0007205; SO4 =0,000722 / 1,002166=0,0007205 SO6 =0,000722 / 1,002166=0,0007205;SO7 =0,000612 / 1,002166=0,9978386 2→p(1)= 0,0007205, 4→p(2)= 0,0014410, 6→p(3)= 0,0021615, 7→p(4)=1, x=0,7121; 0,7121 ; SG3= -7

AGK4 ={2,4,-4,-6}; FM24=1; FM44 =1; FM-44 =1; FM64 = 1 TFM4=1 + 1 + 1 + 1=4 SO2=1 / 4=0,25; SO4 =1 / 4=0,25; SO-4=1 / 4=0,25;SO6=1 / 4=0,25 1→p(1)=0,25, 4→p(2)=0,5, 4→p(3)=0,75, 6→p(4)=1, x=0,5848; 0,5848 SG4= -4 AGK5 ={2,-2,-6}; FM25=1; FM-25 =1; FM65 =1 TFM5=1 + 1 + 1=3; SO2 =1 / 4=0,33; SO-2=1 / 4=0,33; SO6=1 / 4=0,33 2→p(1)=0,33, 2→p(2)=0,66, 6→p(4)=1,

x=0,5143; 0,5143 SG5= 2 hattın önüne atanmak üzere seçilir.

AGK6={5,-5,-6}; FM56=0,003135; FM-56 =0,003135; FM66 =1

TFM6=0,003135 + 0,003135 + 1=1

SO5 =1 / 4=0,33; SO-5=1 / 4=0,33; SO-6=1 / 4=0,33

2→p(1)=0,33, 2→p(2)=0,66, 6→p(4)=1,

x=0,8765; 0,8765 ; SG6= -6 hattın arkasına atanmak üzere seçilir.

AGK7 ={5,-5};

FM57=1; FM-57=1

TFM7=1 + 1=2; SO5 =1 / 2=0,5; SO-5 =1 / 2=0,5

5→p(1)=0,5, 5→p(2)=1

x=0,3345; 0,3345 ; SG7= 5

Tur sonunda elde edilmiĢ çözüm kodu ise Ģekil 3.15.‟de gösterilmektedir.

-3 1 -7 -4 2 -6 5

ġekil 3.15. Tur sonunda elde edilmiĢ çözümün kodu

Önerilen algoritmanın ikinci kısmında ise tur sonunda elde edilmiĢ çözüm kodunun istasyonlara atanma kısmı yapılmaktadır. Açıklayıcı örneğin bu kısmı aĢağıda gösterilmektedir.

Ġstasyon=1 için 3 numaralı görev seçilir ve tamamlanmama olasılığı kısıtı dikkate alınarak istasyon 1‟e atanır. 3 numaralı görevin görev ortalaması 4 ve varyansı 0,4‟dür.

Bu durumda; 2 1 0,1 4 0, 4 9 1 0,9 k k i W i W P Z (P 7,90 1) 0,1

Ġstasyon=1 için ikinci görev ataması incelenir ve 1 numaralı görevin görev süresi ortalaması 1 ve varyansı 0,1‟dir.

2 2 1 0,1 (4 1) 0, 4 0,1 9 1 0,9 k k i W i W P Z (P 4, 21 1) 1 0.9

Ġstasyon=1 için üçüncü görev ataması incelenir ve 7 numaralı görevin görev süresi ortalaması 5 ve varyansı 0,5‟dir.

2 2 2 1 0,1 (4 1 5) 0, 4 0,1 0,5 9 1 0,9 k k i W i W P Z (P 1,54 ) 1 0.9 ((1 P 1,54 0, 0618)) (1 0,9)

olduğundan dolayı 7 numaralı görev Ġstasyon=1‟e atanamaz. Ġstasyon=2 olur ve görevlerin istasyonlara atamaları benzer Ģekilde gerçekleĢtirilir.

Ġstasyon=2, 7 numaralı görev seçilir. 2 1

5 0,5 9 1 0,9

k k

i W i W

P Z

Ġstasyon=3, 4 numaralı görev seçilir. 2 1 0,9

3 0,3 9 1 0,9

k k

i W i W

P Z

Ġstasyon=4, 2 numaralı görev seçilir. 2

1 0,9

5 0,5 9 1 0,9

k k

i W i W

P Z

Ġstasyon=5, 6 numaralı görev seçilir. 2

1 0,9

6 0, 6 9 1 0,9

k k

i W i W

P Z

Ġstasyon=6, 5 numaralı görev seçilir. 2 1

5 0,5 9 1 0,9

k k

i W i W

P Z

Örnek problem için yeni çevrim süresinin (C1=9) olması durumunda bir

karıncanın bir tur dolaĢtıktan sonra elde ettiği çözümün kodu, kodun çözümü ve çözüme ait yerleĢim Ģekil 3.16.‟de gösterilmektedir.

0 100 200

700 600 500

300

400

-3 1 -7 -4 2 -6 5

a) Tur sonunda elde edilmiĢ çözümün kodu

-3(1) 1(1) -7(2) -4(3) 2(4) -6(5) 5(6) b) Kodun çözümü

c) Çözümden elde edilen hat yerleĢimi

ġekil 3.16. Örnek problem için bir tur sonunda elde edilen çözüm

Çevrim süresinin azalması sonucunda yeniden dengelenen hatta elde edilen çözüm incelendiğinde mevcut hattın yerleĢiminde herhangi bir değiĢiklik olmadığı fakat ilk dengeye kıyasla 3 yeni istasyon açıldığı görülmektedir. Yeni istasyon açma maliyeti 500 pb olduğundan 3x500pb=1.500 pb ek maliyet getirmektedir. Ġstasyon iĢletme maliyetinin 6.000 pb olduğu varsayılarak 6x6.000=36.000 pb maliyet oluĢmaktadır. Mevcut hat dengesi ile yeni denge sonucunda elde edilen hat yerleĢimleri incelendiğinde, herhangi bir görev yerinin değiĢmediğinin ve dolayısıyla yer değiĢtirme maliyeti meydana getirmediği görülmektedir. Bu durumda 1.500 pb istasyon açma maliyeti ve 36.000 pb istasyon iĢletme maliyetlerinin toplamlarından oluĢan 37.500 pb maliyet elde edilmiĢtir.

Hattın GiriĢi Hattın ÇıkıĢı 1 3 7 4 6 2 ₅ 4 2 6 3 5 1