SONUÇ

Benzetimlerde MAX ve INT kestiricileri için optimal bir radar çözünürlük değerinin olduğu belirlenmiştir. Radar çözünürlülüğünün arttırılması bu kestiriciler için hedefin yerinin daha az hata ile bulunacağı beklentisini karşılamamıştır. Optimal değerin altındaki hücre genişlikleri için geleneksel kestiricilerin performansı artmamaktadır.

Diğer taraftan ML kestiricisi hatası radar çözünürlüğü arttığında düşmektedir. YÇR’lar için en ideal kestirci HOPS tabanlı ML ve MAP kestiricileridir.

ML ve MAP kestiricileri hedef mesafesi ile birlikte işaret gürültü oranı, hedefin yayılmışlığı gibi parametreleri de kestirmektedir. Bu parametrelerin kestirimi hedef ve ortam hakkında daha fazla bilgi edinilmesini sağlamaktadır. Klasik MAX ve INT kestiricileri sadece hedef mesafesini kestirebilmektedir. HOPS tabanlı kestiricilerin işaret gürültü oranı ve hedef yayılmışlığı kestirim performansının gelecek çalışmalarda detaylı olarak incelenmesi planlanmaktadır.

YÇR’larda tek hedef için birden fazla ölçüm elde edildiği durumlarda hedef izleme süzgeci her ölçüm için hedef takibi yapacağından radarın hedef izleme performansı düşecektir. Bu sebeple klasik hedef izleme süzgeçleri tek hedef için tek ölçüm prensibiyle çalıştırılmaktadır. Tez kapsamındaki analizlerde hedef mesafesi kestirimi hatasının düşük olması durumunda Kalman süzgecin hedef takip performansının ne oranda iyileştiği gözlemlenmiştir. Hedef mesafesinin daha iyi tespit edilmesinin hedef izlemede kullanılan diğer süzgeçlerin ve algoritmaların da performansını artıracağı değerlendirilmektedir. Hedef mesafesi kestiriminde yapılacak olan en ufak bir iyileşme gürültülü ortamda yapılacak hedef izlemede iz başlatma, iz devam ettirme ve iz düşürme gibi algoritmaların performansını artıracaktır. HOPS tabanlı kestiricilerin hedef izlemenin farklı aşamalarına olan katkısının gelecek çalışmalarda detaylı olarak incelenmesi planlanmaktadır.

Tez kapsamında geliştirilen benzetim ortamı farklı birçok parametrenin hedef mesafesi tespiti ve hedef takibine etkilerini gözlemlemek açısından önemlidir. Farklı işaret gürültü oranları, farklı çevre yankısı modelleri ve parametreleri, farklı hedef modelleri ve radar işaretleri, farklı hedef izleme süzgeçleri, farklı radar çözünürlük değerleri için

benzetimler yapılabilir.

YÇR üreten firmalar hedef yerini daha iyi bulabilmek için çok yüksek maliyetleri göze almaktadırlar. HOPS modeli tabanlı ML ve MAP kestiricileri, yüksek işlemci gücü gerektirmekle birlikte radar firmalarının hassas hedef mesafesi tespiti hedeflerine önemli katkı sağlayacaktır.

Tez kapsamında bir biçimli olmayan ortamlar ve hedefin GGD sahip olduğu durumlar için ML kestiricisi geliştirilmiştir. HOPS modeli farklı yoğunluk işlevleri kullanılarak farklı senaryoları modelleyebilmektedir. Gelecek dönem çalışmaları kapsamında farklı yoğunluk işlevleri için farklı uygulamaların modellenmesi çalışmaları yapılacaktır.

Tez kapsamında YÇR’larda hedef mesafesi kestirim performansları incelenmiştir.

Geliştirilen işaret modeli ve kestiriciler; işaret, görüntü ve konuşma işlemede birçok farklı alanda kullanılabilir. Gelecek çalışmalar kapsamında kiplenimli radar işaretlerinin merkez frekanslarının bulunmasında ve işaretin bant genişliğinin tespit edilmesinde tez kapsamında geliştirilen HOPS modelinden faydalanılması planlanmaktadır.

KAYNAKLAR

Alizadeh, F., Eckstein, J., Noyan, N. and Rudolf, G. 2005. Arrival rate approximation by nonnegative cubic splines. IEEE International Conference on Electro Information Technology, 22-25 May.

Armstrong, B. C. and Griffiths H. D. 1991. CFAR detection of fluctuating targets in spatially correlated K-distributed clutter. IEE Proceedings-F, vol. 138, no. 2.

Barker, R. H. 1953. Group synchronization of binary digital systems, in Communication Theory. (Jackson, ed.) pp. 273–287, Academic Press, New York and London.

Bar-Shalom, Y., Li, X. R. and Kirubarajan, T. 2001. Estimation with Applications to Tracking and Navigation. John Wiley & Sons, Inc..

Billingsley, J. B. 2002. Low angle radar land clutter: measurements and empirical models. William Andrew publishing, Norwich, NY.

Blake, L. V. 1986. Radar Range-Performance Analysis. Artech House, Inc..

Byrne, C. L. 1993. Iterative image reconstruction algorithms based on cross-entropy minimization. IEEE Transactions on Image Processing, vol. 2, no. 1, pp. 96-103, January.

Chan, H. M., Chung, A. C. S., Yu, S. C. H., Norbash, A. and Wells, W. M. 2003. Multi-modal image registration by minimizing Kullback-Leibler distance between expected and observed joint class histograms. IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition.

Cinlar, E. 1975. Introduction to Stochastic Processes. Prentice–Hall, Englewood Cliffs,.

Conte, E., Maio A. D. and Ricci, G. 2001. GLRT-based adaptive detection algorithms for range-spread targets. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 49, no. 7, pp. 1336-1348.

Cook, C. E. and Bernfeld, M. 1993. Radar Signals: An Introduction to Theory and Application. Artech House, Inc..

Crysandt, H. 2006. Linear feature vector compression using Kullback-Leibler distance.

IEEE International Symposium on Signal Processing and Information Technology, pp. 556-561, August.

Darmet, C., Gauthier, J. P. and Gourd, F. 1991. Elliptic and almost hyperbolic

symmetries for the Woodward ambiguity function. IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 37, No. 5, September.

Davey, S. J. 2003. Extensions to the Probabilistic Multi-Hypothesis Tracker for Improved Data Association. Ph.D. Thesis, School of Electrical and Electronic Engineering, The University of Adelaide, Australia, September 2003. Available:

http://ssp.eleceng.adelaide.edu.au/public/theses/SDThesis.pdf. Erişim Tarihi:

01.08.2005.

DiFranco, J. V. and Rubin, W. L. 1980. Radar Detection. Artech House Inc. Norwood, Mass.

Do, M. N. and Vetterli, M. 2002. Wavelet-based texture retrieval using generalized Gaussian Density and Kullback-Leibler distance. IEEE Transactions on Image Processing, vol. 11, no. 2, pp. 146-158, February.

Dominic S. Lee, D. S and Chia, N. K. K. 2002. A particle algorithm for sequential bayesian parameter estimation and model selection. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, no. 2, pp. 326-336, February.

Eaves, J. L. and Reedy, E. K. 1987. Principles of Modern Radar. Van Nostrand Reinhold Company, Inc.. : New York.

eFunda: The Ultimate Online Reference for Engineers 2007. Web sitesi.

http://www.efunda.com/math/num_interpolation/num_interpolation.cfm. Erişim Tarihi: 23.04.2007.

Finn, H. M. and Johnson, R. S. 1968. Adaptive detection mode with threshold control as a function of spatially sampled clutter-level estimates. RCA Review, 29 (September 1968), pp. 414-464.

Gandhi, P. P. and Kassam S. A. 1988. Analysis of CFAR processors in nonhomogeneous background. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 24, no. 4, pp. 427-445.

Hansen, V. G. 1973. Constant false alarm rate processing in search radars. In Proceedings of IEEE 1973 International Radar Conference, London, pp. 325-332.

Ho,. C. H 1991. Nonhomogeneous Poisson model for volcanic eruptions. Journal of Mathematical Geology Vol. 23, No. 2, February.

Hossain, S.A. and Dahiya, R.C. 1993. Estimating the parameters of a non-homogeneous

Poisson-process model for software reliability.IEEE Transactions on Reliability, vol. 42, no. 4, December.

Huang, C. Y. and Lin, C. T. 2006. Software Reliability Analysis by Considering Fault Dependency and Debugging Time Lag. IEEE Transactions on Reliability, vol.

55, no. 3, September.

Hussain, M. G. M. 1990. Principles of high-resolution radar based on nonsinusoidal waves: III. Radar-target reflectivity model. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol. 32, no. 2, pp. 144-152, May.

Jacobs, S. P. and O’Sullivan, J. A. 2000. Automatic target recognition using sequences of high resolution radar range-profiles. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 36, no. 2, pp. 364-382, April.

Johnson, P. E. and Long, D. G. 1999. The probability density of spectral estimates based on modified periodogram averages. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 47, no. 5, pp. 1255-1261 May.

Kalman, R. E. 1960. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems.

Transactions ASME, J. Basic Engineering, 82:34-45, March.

Kalman, R. E. and Bucy R. 1960. New Results in Linear Filtering and Prediction Theory. Transactions ASME, J. Basic Engineering, 83:95-108, March.

Kogan, V. I. and Jones, T. L. 1994. An explanation for the decline in URD cable failures and associated nonhomogeneous Poisson process. IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 9, no. 1, January.

Komarov, I. V. and Smolskiy, S. M. 2003. Fundamentals of Short-Range FM Radar.

Artech House, Inc..

Kuhl, M. E. and Bhairgond, P. S. 2000. Nonparametric estimation of nonhomogeneous Poisson processes using wavelets. Proceedings of the 2000 Winter Simulation Conference. Available: http://www.informs-cs.org/wsc00papers/078.PDF.

Erişim Tarihi: 01.04.2007.

Kuhl, M. E., Damerdji H. and Wilson, J. R. 1998. Least squares estimation of nonhomogeneous Poisson processes. Proceedings of the 1998 Winter Simulation Conference. Available: http://www.informs-cs.org/wsc98papers/085.PDF.

Erişim Tarihi: 01.04.2007.

Kullback, S. 1978. Information Theory and Statistics. London, U.K.: Peter Smith.

Kural, F. 2006. Çoklu hedef izleme algoritmalarına doppler hızı ölçümünün katılımıyla izleme başarımının iyileştirilmesi. Doktora tezi, Hacettepe Üniversitesi, 162 s, Ankara.

Lagarias, J. C., Reeds, J. A., Wright, M. H. and Wright, P. E. 1998. Convergence properties of the Nelder-Mead simplex method in low dimensions. SIAM Journal of Optimization, vol. 9 no 1, pp. 112-147.

Leemis, L. M. 1990. Nonparametric estimation of the cumulative intensity function for a nonhomogeneous Poisson process. The University of Oklahoma School of

Industrial Engineering November. Available:

http://www.math.wm.edu/~leemis/1991mgmtsci.pdf. Erişim Tarihi: 01.04.2007.

Lops, M. and Orsini, M. 1989. Scan- by-scan averaging CFAR. IEE Proceedings vol.

136, Pt. F. no. 6, December.

Luginbuhl, T. E. and Willett, P. 1999. Tracking a general, frequency modulated signal in noise. Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control, pp.

5076-5081, December.

Mensa, D. L. 1991. High Resolution Radar Cross-Section Imaging. Artech House, Inc., 1991.

Musa, J. D, Iannino, A. and Okumoto, K. 1987. Software reliability: measurement, prediction, application. McGraw-Hill, Inc. New York, NY, USA.

Musicki, D. and Evans, R. 2004. Clutter map information for data association and track initialization. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 40, no. 2, pp. 387-398, April.

Omar, M. K. and Hasegawa-Johnson M. 2004. Model enforcement: A unified feature transformation framework classification and recognition. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 52, no. 10, October.

Özdemir, A. K. and Arıkan, O. 2001. Fast computation of the ambiguity function and the Wigner distribution on arbitrary line segments. IEEE Transactions Signal Process., vol. 49, no. 2, pp. 383-393, Feb..

Raghavan, R. S. 1991. A method for estimating parameters of K-distributed clutter.

IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 27, no. 2, pp.

238-246, March.

Rao, C. R. 1965. Linear Statistical Inference and Its Applications. Wiley, New York.

Rihaczek, A. W. 1969. Principles of High-Resolution Radar. McGraw-Hill, Inc..

Rohling, H. 1983. Radar CFAR Thresholding in Clutter and Multiple Target Situations.

IEEE Transactions Aerospace and Electronic Systems, AES-19, pp. 608-621.

Runge, C. 1901. Über empirische Functionen und die Interpolation zwischen aquidistanten Ordinaten. Zeitschrift für Mathematik und Physik, 46, pp. 224-243.

Sadjadi, F. 2005. Technique for selection of optimum polarimetric angles in Radar signature classification. Radar Conference, 2005 IEEE International Volume , Issue , 9-12 pp. 459-463, May.

Scharf, L. L. 1991. Statistical signal processing: detection, estimation and time series analysis. Addison-Wesley, July.

Skolnik, M. 1990. Radar Handbook. Mc Graw-Hill., 2. baskı.

Snyder, D. L. 1975. Random Point Processes. John Wiley & Sons, Inc..

Spath, H. 1995. One Dimensional Spline Interpolation Algorithms. AK Peters, March.

Steffensen, J. F. 2006. Interpolation, 2nd edition. Dover Pubns, April.

Streit, R. L., Graham, M. L. and Walsh, M. J. 2002. Tracking in hyper-spectral data.

Proceedings of the 5th International Conference on Information Fusion, pp. 852-859, July.

Sundance Inc., Rapid Prototype Solutions 2007. Web sitesi http://www.sundance.com/web/files/productpage.asp?STRFilter=SMT391.

Erişim Tarihi: 11.05.2007.

Swerling, P. 1960. Probability of detection for fluctuating targets. Rand Report RM-1217 (March 1954); reissued since in a special issue, Transactions IRE Prof.

Group on Information Theory, IT-6: (2), 269-308 (April, 1960).

Trunk, G. V. 1978. Range resolution of targets using automatic detectors. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, AES-6, pp. 750-755, September 1978.

Unser, M. 1999. Splines a perfect fit for signal and image processing. IEEE Signal Processing Magazine, vol. 16, no. 6, pp. 22–38, Nov..

Üner, M. K. and Varshney, P. K. 1996. Distributed CFAR detection in homogeneous and nonhomogeneous backgrounds. IEEE Transactions Aerospace and Electronic Systems, vol. 32, no. 1, pp. 84-97, January.

Van Trees, H. L. 1968. Detection, Estimation, and Modulation Theory: Part I. Wiley, New York.

Ville, J. 1948. Theory and application of the notion of the complex signal. Cables et transmission, vol. 2, pp. 67-74, 1948. Translated into English by I. Selin, Rand Corp. Rept. T-92, Aug. 1, 1958.

Wachowiak, M. P., Smolikova, R., Zurada, J. M. and Elmaghraby, A. S. 2002.

Estimation of K distribution parameters using neural networks. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, vol. 49, no. 6, pp. 617-623.

Walsh, M. J., Graham, M. L., Streit, R. L., Luginbuhl, T. E. and Matthews, L. A. 2001.

Tracking on intensity modulated sensor data streams. Proceedings of the 2001 IEEE Aerospace Conference, pp. 1901-1909, March.

Wehner, D. R. 1995. High-Resolution Radar. Artech House, Inc..

Weinstock, W. 1965. Ch. 5 in Modern Radar, R. S. Berkowitz, ed., New York: John Wiley & Sons, p.567.

Wikipedia, the free encyclopedia 2007. Web sitesi

http://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation. Erişim Tarihi: 23.04.2007.

Wikipedia, the free encyclopedia 2007. Web sitesi

http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_radar. Erişim Tarihi: 07.05.2007.

Woodward, P. M. 1953. “Probability and information theory with applications to radar,”

McGraw-Hill, New York.

Xilinx Inc., 2007. Web sitesi.

http://www.xilinx.com/products/silicon_solutions/fpgas/virtex/virtex5/index.htm . Erişim Tarihi: 11.05.2007.

Yamaguchi, H., Kajiwara, A. and Hayashi, S. 2005. Radar signal detection in non-Gaussian distributed clutter by Bayesian predictive densities. Radar Conference 2005 IEEE International, pp. 278-283, May.

Yıldırım, A., Efe, M. and Özdemir, A. K. 2005. Peak picking losses in radar detectors.

The 5th IEEE International Symposium on Signal Processing and Information Technology, pp. 136-140, December 18-21, 2005, Athens, Greece.

Yıldırım, A., Efe, M. and Özdemir, A. K. 2007. An Alternative Model for Target Position Estimation in Radar Processors. IEEE Signal Processing Letters, vol.

14, no.8, pp. 549-552, August.

Zabin, S. M. and Furbeck, D. S. 2000. Efficient identification of non-Gaussian mixtures. IEEE Transactions on Communications, vol. 48, no. 1, pp. 106-117, January.

EK-1

Teorem: (Cramer Rao Alt Sınır) (Snyder 1975)

{

N t t_t; ≥ 0

}

, λ Xt

( )

yoğunluk işlevine sahip homojen olmayan Poisson süreç olsun. X , ^* N'in histogram veri olarak [ , )t T₀ aralığındaki gözlemleri için X parametre vektörünün kestirimidir. Ortalama karesel hata matrisi ∑∑∑∑

( )

^X ⁼^{E }__

(

X - X X - X^*

)(

)

^T^|X^___Eşitlik 6.1’deki gibi ifade edilebilir:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

T + +  -1  + 

≥    

   

b X b X

X b X b X I F X I

X X

∂ ∂

∑

∑∑

∑ . (6.1)

Burada b X

( )

⁼^{E }X - X X , ^* ^| ^ X ’in yanlılı^* ğı, ∂ ^{b X}

( )

∂^/ ^X yanlılığın Jacobian matrisi (i, j’inci elemanı ∂ bj

( )

X ∂^/ Xi’dır), I birim matris ve F X Fisher bilgi matrisi olup

( )

Eşitlik 6.2’de ifade edilmiştir:

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1 T

λ λ

i i i

t t t

σ σ

i t t t

dσ dσ dσ

− − −

−

   ∂   ∂ 

=      

∂ ∂

     

     

∑ ∫ ∫

∫

F X X

X X . (6.2)

Eşitlik 6.2’de ∂^λσ

( )

X ^/∂X , ∂^λσ

( )

X ’in X’e göre gradyan vektörüdür (i’inci elemanı

( )

λ_σ / X_i

∂ X ∂ ’dir). Eşitlik 6.1 ancak ve ancak X ’in bütün X’ler için Eşitlik 6.3’ü ^* sağlaması ile geçerli olmaktadır:

( ) ( )

+ +  -1  + I 

   

   

* b X X

X = X + b X I F X I

X X

∂ ∂

∂ ∂ . (6.3)

İspat: (Snyder 1975)

( )

z X ’i

( )

( ) ( )

 

 

 

X - X - b X*

z X = X

∂ ∂

şeklinde tanımlayalım, burada ^I

( )

X Eşitlik 3.12’de tanımlanmış olabilirlik işlevidir. Eşitlik 6.1’deki sınır değeri ^{E }_z X z X X

( ) ( )

^T ^| ^_

beklentisinden türetilecektir. Bu beklentiyi hesaplamak için öncelikle

( ) ( )

I | E

   

  

   

 

 

 

* X

X - X - b X X

∂ ∂ ve

( ) ( )

I I |

    

 

    

   

 

 

X X

X X X

∂ ∂

∂ ∂ beklentilerini

hesaplamak gerekmektedir. Eşitlik 3.11’deki olasılık işlevi kısa gösterimle

(

1, ,...,2 _k |

)

P n n n X şeklinde ifade edildiğinde Eşitlik 6.4 elde edilir:

{ ( ) } ⁽ ⁾ ^{( ) (} ⁾

1 2

1 2 1 2

, ,...,

| , ,..., , ,..., | 0

k k

n n n

E X - X - b X^*  X =

∑

X^* n n n - X - b X P n n n X = . (6.4)

Eşitlik 6.4’ün X’e göre gradyanı alındığında ve ∂P/∂X=P I∂ /∂X eşitliği kullanıldığında Eşitlik 6.5 elde edilir:

( ) ( )

( )

I | E

   

  = +

   

 

 

 

* X b X

X - X - b X X I

X X

∂ ∂

∂ ∂ . (6.5)

Eşitlik 3.12’nin X’e göre gradyanı alındığında aşağıdaki eşitlik elde edilir:

( ) ( )

( )

1 1

-1

λ 1 λ

i i

t t

i σ

i t t

l dσ N dσ

− −

 

   

∂ ∂  

=  − +   

∂  ∂    

∑ ∫ ∫

X X

X X X .

Burada ₁_,

i i

i t t

N N

= − ’dir. Aşağıdaki eşitliği kullanarak

( )

( ) ( )

1 1

λ λ ,

i j

i i

t t

σ σ

t t

i j

t t

σ σ

t t

dσ dσ i j

E N N

dσ dσ i j

− −

  

   ≠

   

=

   



+ =

   

   

   



∫ ∫

X X

bir miktar el ile işlem yapıldıktan sonra aşağıdaki eşitlik elde edilir:

( ) ( )

( )

I I |

    

 

    =

   

 

 

X X

X F X

X X

∂ ∂

∂ ∂ .

Burada F X Eşitlik 6.2 ile ifade edilen Fisher bilgi matrisidir. Sonuçları bir araya

( )

topladığımızda aşağıdaki eşitlik elde edilmektedir:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

+ E

  

 − 

   

  

 

Λ  =  

 

 

 

X b X b X I b X

X z X z X X X

I b X F X

∑

∑∑

∑ ∂ ∂

∂ ∂

v’nin gelişi güzel seçimi için ^v^T^Λ^Λ^Λ^Λ

( )

^{X v =}^{E }__

(

^{v z X}^T

( ) )

²^{| X}^{ ≥}__ ⁰ şeklinde ifade edilir.

Bu eşitsizlik v’nin Eşitlik 6.6 ile ifade edilen seçimi için sağlanmaktadır:

( ) ( )

T -1

+ 1

 

 

 

 

 

v = b X

-F X I v

∂ ∂

. (6.6)

Burada v gelişi güzel bir değerdir. Bu seçim için aşağıdaki sonuç elde edilir: ₁

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

T T T -1

1 1 1 + + 1.

     

 

≥  +    

   

 

 

b X b X

v X v v b X b X I F X I v

X X

∂ ∂

Σ Σ Σ Σ

Bu Eşitlik 6.1’in doğruluğunu kanıtlamaktadır. Ayrıcav ’in gelişi güzel seçimi ₁ aşağıdaki eşitliğin:

( ( ) ) ^{( )} ^{( )} ^{( )} ^{( )}

T 2 T -1

1 + + I ,

E E

      

 =   − −    

   

        

* b X X

v z X | X v X X + b X I F X I | X

X X

∂ ∂

bütün X değerleri için ancak ve ancak Eşitlik 6.3 geçerli olduğunda sıfıra eşit olacağı anlamına gelmektedir. Bu teoremin ispatını tamamlar.

Belgede ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ HOMOJEN OLMAYAN POISSON SÜREÇ MODELİ KULLANARAK HEDEF TESPİTİ Alper YILDIRIM ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2007 Her hakkı saklıdır (sayfa 116-130)

{

}

( )

( )

(

)(

)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

∑ ∫ ∫

∫

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(

)

{ ( ) } ( ) ( ) ( )

∑

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

∑ ∫ ∫

( )

( ) ( )

( ) ( )

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

(

( ) )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ ( ) } ⁽ ⁾ ^{( ) (} ⁾

( ( ) ) ^{( )} ^{( )} ^{( )} ^{( )}