Neste caso valem as propriedades:
• Infinitos estados assit´oticos s˜ao poss´ıveis, poisa†a ´e preservado;
• Os estados de n´umero s˜ao preservados.
Estes trˆes exemplos mostram como podem ser variados os comportamentos das equa¸c˜oes mestras, mesmo quando elas tomam a forma de Lindblad (4.7).
4.1.3
Evolu¸c˜ao de Subsistemas
No cap´ıtulo 1, o operador densidade foi apresentado como uma maneira de des- crever estados quˆanticos, especialmente importante quando n˜ao o conhecemos completamente. L´a foram discutidas diferentes origens para tal desconheci- mento: pode ter uma origem cl´assica (medi¸c˜oes imprecisas, processo de pre- para¸c˜ao incompleto...), ou pode ser oriundo do emaranhamento. Como vimos, uma das manifesta¸c˜oes do emaranhamento ´e como desordem local. As sec¸c˜oes 4.1.1 e 4.1.2 refletem o primeiro motivo, no contexto de evolu¸c˜ao temporal. Nesta sec¸c˜ao tratamos o segundo.
Se estamos preocupados com um sistema quˆanticoS, devemos levar em conta que ele n˜ao est´a isolado. Podemos ent˜ao passar a uma descri¸c˜ao onde, al´em do sistemaS, todo o seu entorno6E ´e tamb´em descrito usando a mecˆanica quˆantica.
Temos ent˜ao o sistema cSE, que pode ser considerado isolado7. A evolu¸c˜ao
temporal deste sistema composto ser´a ditada pelas regras usuais da mecˆanica quˆantica. Do ponto de vista acadˆemico, podemos at´e supor que conhecemos completamente o hamiltoniano do sistema. O passo essencial vem em considerar que apenas teremos acesso experimental ao sistema S (ou ainda que S inclui todos os chamados graus de liberdade relevantes do problema). Assim, mesmo que pud´essemos descrever o estado do sistema composto, as medi¸c˜oes ter˜ao seus resultados dados por ρS = TrEρ. Deste ponto de vista, interessa apenas
descrever a evolu¸c˜ao de ρS e ´e isso que as equa¸c˜oes mestras se prop˜oem a fazer.
´
E claro que no cen´ario descrito acima o sitema E deve influenciar na evolu¸c˜ao deS, e portanto deve se fazer presente na equa¸c˜ao mestra de alguma maneira. Na equa¸c˜ao (4.10) a intera¸c˜ao com o entorno se faz presente pela constante κ, e o estado deE se faz representar por ¯n. O leitor deve perceber um forte contexto termodinˆamico nesta descri¸c˜ao, onde um ´unico n´umero traz toda a informa¸c˜ao necess´aria de um sistema imenso.
O caminho at´e a equa¸c˜ao mestra desejada pode ser trilhado de diversas for- mas. Isso sempre envolve aproxima¸c˜oes, algumas com significado f´ısico direto e natural, outras nem sempre t˜ao palat´aveis. N˜ao h´a regras gerais de procedi- mentos, mas podemos sumarizar algumas caracter´ısticas usuais. Uma bastante
6
Em inglˆes o termo usual ´e environment.
7
Para evitar um processo de redu¸c˜ao ao infinito, E ´e muitas vezes referido como o restante do Universo.
natural ´e que o entorno ´e um sistema com muitos graus de liberdade, o que leva ao conceito termodinˆamico de reservat´orio. Este reservat´orio ´e normal-
mente considerado em equil´ıbrio t´ermico, portanto, uma vez modelado por um hamiltoniano HE, temos
ρE(0) =
1
Z exp{−βHE} , (4.12)
onde Z = Tr exp{−βHE} ´e a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, que aqui pode ser vista como
um fator de normaliza¸c˜ao, e β = (kBT )−1, kB a constante de Boltzman e T a
temperatura do sistema. O tratamento mais comum ´e modelar o reservat´orio por uma quantidade imensa de osciladores harmˆonicos independentes (i.e.: os modos normais de vibra¸c˜ao do reservat´orio), cada oscilador interagindo fracamente com S. Novamente, de maneira condizente com a no¸c˜ao termodinˆamica de reservat´orio, faz-se a hip´otese de o reservat´orio n˜ao ser afetado pelo sistema, o que se traduz em supor ρE(t) = ρE(0).
Outra hip´otese bastante natural ´e sobre o estado inicial. Como se considera a possibilidade de prepara¸c˜ao do estado inicial deS, ´e natural supor a fatora¸c˜ao inicial
ρ (0) = ρS(0)⊗ ρE(0) . (4.13)
´
E interessante notar que, genericamente, intera¸c˜ao entre subsistemas gera ema- ranhamento, ou, pelo menos, correla¸c˜oes. Assim, a forma (4.13) n˜ao deve per- durar. Mesmo que a equa¸c˜ao mestra obtida descreva a evolu¸c˜ao exata de ρS
e que o estado do reservat´orio seja dado por ρE(0), n˜ao devemos supor (com
raras exce¸c˜oes8) que o estado do sistema cSE seja fator´avel.
Por fim, ainda abordando aspectos bem gerais, um caminho padr˜ao de dedu¸c˜ao de equa¸c˜oes mestras passa por uma expans˜ao de Born em segunda ordem do operador densidade, escrito na representa¸c˜ao de intera¸c˜ao9:
ρ (t) = ρ (0)−i ~ Z t 0 dt′[H (t′) , ρ (0)]− 1 ~2 Z t 0 dt′ Z t′ 0 dt′′[H (t′′) , [H (t′) , ρ (0)]] ..., (4.14) onde ent˜ao s˜ao feitas as considera¸c˜oes j´a apresentadas. Por deriva¸c˜ao, (4.14) ´e levada a uma equa¸c˜ao integro-diferencial, e no termo da integral ´e feita a chamada aproxima¸c˜ao de Born-Markov.
Uma outra estrat´egia, bastante utilizada, escreve o propagador do sistema composto em termos de integrais de trajet´oria, depois, usando aproxima¸c˜oes semelhantes `as aqui discutidas, calcula o propagador do sistema de interesse (e.g.: ref. [111]).
Mais detalhes sobre como obter equa¸c˜oes mestras podem ser obtidos, por exemplo, nas refs. [43, 109, 112, 113].
Em resumo, s˜ao v´arias considera¸c˜oes f´ısicas, e outras tantas aproxima¸c˜oes, o que torna dif´ıcil imaginar que todas elas sejam v´alidas simultaneamente. Por´em, uma vez atingida a forma de Lindblad (4.7), temos uma dinˆamica bem definida para o subsistema, o que muitas vezes ´e apenas o que interessa. Talvez isso indi- que que esta dinˆamica reduzida dependa pouco da dinˆamica original, novamente
8
O exemplo principal ´e o de um oscilador harmˆonico em estado coerente, interagindo com um reservat´orio de osciladores na aproxima¸c˜ao de onda girante, com temperatura nula.
9
Embora nenhuma nota¸c˜ao espec´ıfica tenha sido adotada, a equa¸c˜ao abaixo ´e escrita na representa¸c˜ao de intera¸c˜ao.
em um processo que lembra um pouco a robustˆes da termodinˆamica com rela¸c˜ao `
a teoria microsc´opica utilizada pela mecˆanica estat´ıstica para a reobten¸c˜ao de seus resultados.