Soft Örtü Tabanlı Rough Kümeler

Bu kesimde, soft örtü kümeleri kullanarak soft örtü yaklaşım uzayını ve soft örtü yaklaşımlar olarak adlandırılan yapıları tanımladık. Soft örtü yaklaşımlar aracığıyla, soft örtü yaklaşım uzayında rough kümeleri ve çeşitlerini inceledik. Soft rough kümelerin genelleştirilmesi olan soft örtü tabanlı rough kümelerin temel özelliklerini yani Pawlak (1982) tarafından incelenen klasik rough kümelerin hangi özelliklerinin sağlanıp sağlanmadığını ve topolojik özelliklerini araştırdık. Sağlanmayan özellikler için karşıt örnekler verdik.

5.2.1.Tanım. (Feng ve ark., 2010) evren küme ve tüm

soft küme olsun. Eğer her için ise soft kümesine bir soft örtü küme denir.

Bundan sonra, soft örtü kümeyi ile göstereceğiz.

5.2.2.Tanım. evren küme ve soft örtü küme olsun.

ikilisine, soft örtü yaklaşım uzayı denir.

5.2.3.Tanım. bir soft örtü yaklaşım uzayı ve olsun.

ailesi, soft örtüsüne göre, noktasının soft minimal tasviri olarak adlandırılır.

5.2.1.Uyarı. Bir nesneyi ifade etmek için, bu nesneyle ilgili tüm karakteristikler

yerine, yalnızca temel karakteristiklere ihtiyaç duyarız. Minimal tasvir kavramının amacı budur.

5.2.4.Tanım. bir soft örtü yaklaşım uzayı olsun. alt kümesi

,

.

Keyfi bir alt kümesinin soft örtü pozitif, soft örtü negatif ve soft örtü sınır bölgeleri sırasıyla aşağıdaki şekildedir:

, ,

Herhangi bir alt kümesinin soft örtü sınırı, ise alt kümesine, soft örtü yaklaşım uzayında 1.tipe göre soft örtü tabanlı tanımlanabilir küme; ise alt kümesine, soft örtü yaklaşım uzayında 1.tipe göre soft örtü tabanlı rough küme denir.

5.2.1.Örnek. evren küme,

parametreler kümesi ve , , , , ,

olmak üzere üzerinde soft örtü kümesi verilsin. Bu durumda ikilisi bir soft örtü yaklaşım uzayıdır.

alt kümesini ele alalım.

ve

olup olduğundan kümesi, soft örtü yaklaşım uzayında 1.tipe göre soft örtü tabanlı tanımlanabilir kümedir.

alt kümesini ele alalım.

ve

olup olduğundan kümesi, soft örtü yaklaşım uzayında 1.tipe göre soft örtü tabanlı rough kümedir.

5.2.5.Tanım. bir soft örtü yaklaşım uzayı olsun. alt kümesi

için 2.tip soft örtü alt ve üst yaklaşımları aşağıdaki gibi tanımlanır:

,

.

Keyfi bir alt kümesinin soft örtü pozitif, soft örtü negatif ve soft örtü sınır bölgeleri sırasıyla aşağıdaki şekildedir:

, ,

Herhangi bir alt kümesinin soft örtü sınırı, ise alt kümesine, soft örtü yaklaşım uzayında 2.tipe göre soft örtü tabanlı tanımlanabilir küme; ise alt kümesine, soft örtü yaklaşım uzayında 2.tipe göre soft örtü tabanlı rough küme denir.

5.2.1.Teorem. evren kümesi üzerinde soft örtü kümesi ve

soft örtü yaklaşım uzayı verilsin. Her alt kümesi için

sağlanır.

İspat. ise 5.2.5.Tanım gereği

elde edilir. ise ifadesi

ifadesine eşittir. Bu durumda yalnızca

olduğunu göstermemiz yeterlidir. 5.2.3.Tanım gereği her ve her için

olup bu durumda

elde edilir. Her ve her için olduğundan

olur. Böylece ifadesi sağlanır.

5.2.2.Örnek. evren küme,

parametreler kümesi olmak üzere 5.2.1.Örnekteki soft örtü yaklaşım uzayı verilsin.

alt kümesini ele alalım.

ve

olup olduğundan alt kümesi, soft örtü yaklaşım uzayında 2.tipe göre soft örtü tabanlı tanımlanabilir kümedir.

alt kümesini ele alalım.

ve

olup olduğundan alt kümesi, soft örtü yaklaşım uzayında 2.tipe göre soft örtü tabanlı rough kümedir.

5.2.2.Uyarı. Soft yaklaşım uzayında “rough küme” bir soft kümeye bağlı olarak

ifade edilirken, soft örtü yaklaşım uzayında bir “rough küme” bir soft örtü kümeye bağlı olarak ifade edilir. Aslında Feng ve ark. (2010) tarafından verilen soft rough küme, bir soft örtü yaklaşım uzayında ele alındığında soft örtü tabanlı rough kümelerin yeni bir tipi olarak düşünülebilir. 1.tip ve 2.tip soft örtü alt yaklaşım operatörleri ile bir soft örtü yaklaşım uzayında verilen -soft alt yaklaşım operatörünün (Feng ve ark., 2010) aynı olduğunu görmek, 5.2.4.Tanım, 5.2.5.Tanım ve 5.1.1.Önerme gereği kolaydır.

5.2.1.Sonuç. , evreni üzerinde bir soft örtü küme, soft

örtü yaklaşım uzayı ve olsun. -soft alt ve -soft üst yaklaşım operatörleri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

, , için , , , , ,

, , , , , için , için .

İspat. 5.1.1.Teorem ve 5.1.2.Teoremin direkt sonucudur.

Şimdi 1.tip ve 2.tip soft örtü üst yaklaşım operatörlerinin temel özelliklerini inceleyelim.

5.2.2.Teorem. , evreni üzerinde bir soft örtü küme,

soft örtü yaklaşım uzayı ve olsun. 1.tip soft örtü üst yaklaşım operatörleri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

, ,

için , , .

İspat. , ve şıklarının ispatları, 5.2.4.Tanım gereği açıktır. 5.2.4.Tanım gereği için

ve olup buradan elde edilir.

5.2.4.Tanım gereği keyfi bir alt kümesinin 1.tip soft örtü üst yaklaşımı,

ve olmak üzere için olduğundan

şeklinde ifade edilir. Açıktır ki olur. ve olduğundan olur. Buradan için olup böylece

elde edilir.

5.2.3.Teorem. , evreni üzerinde bir soft örtü küme,

soft örtü yaklaşım uzayı ve olsun. 2.tip soft örtü üst yaklaşım operatörleri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

, , için , , , , için .

İspat. , , ve şıklarının ispatları 5.2.5.Tanım gereği açıktır. 5.2.5.Tanım ve 5.2.1.Teorem gereği için

ve olup buradan elde edilir.

özelliği gereği her alt kümesi için olduğundan olur. 5.2.5.Tanım ve 5.2.1.Teorem gereği her için olur. Buradan

olacak şekilde bir vardır ve olur. O zaman olacak şekilde bir vardır. Böylece her

için olur. Bu yüzden her kümesi için olacak şekilde bir vardır. Böylece

olup elde edilir. Buradan olur. ise 5.2.1.Teorem gereğince

elde edilir. 5.2.3.Uyarı. soft örtü yaklaşım uzayında, alt kümesi için 1.tip ve 2.tip soft örtü alt yaklaşım operatörleri ile bir soft örtü yaklaşım uzayında Feng ve ark. (2010) tarafından verilen -soft alt yaklaşım operatörleri aynı olduğundan, , , ifadeleri ile gösterilecektir. 5.2.4.Teorem. , evreni üzerinde bir soft örtü küme,

soft örtü yaklaşım uzayı ve olsun. 1.tip ve 2.tip soft örtü alt ve üst yaklaşım operatörleri için aşağıdaki özellikler sağlanmaz: , , , , , , için , , , .

5.2.3.Örnek. evren kümesi ve

parametreler kümesi ,

,

,

olmak üzere üzerinde soft örtü kümesi ve soft örtü yaklaşım uzayı verilsin.

olmadığını gösterelim. ve alt kümelerini ele alalım. ve olur. ve olmak üzere olup bu durumda olduğu görülür.

olmadığını gösterelim. alt kümesini ele alalım. olduğundan ve elde edilir. Bu durumda olduğu görülür.

olmadığını gösterelim. alt kümesini ele alalım. ve olmak üzere

olup olduğu görülür. olmadığını gösterelim. alt kümesini ele alalım. ve olmak üzere

olduğu görülür.

olmadığını gösterelim. alt kümesini ele alalım. olduğundan olur. Ayrıca olup olduğu görülür.

olmadığını gösterelim. alt kümesini ele alalım. ve olmak üzere olur. Bu durumda olduğu görülür.

Her için olmadığını gösterelim. kümesini ele alalım. olup bu durumda olduğu görülür.

5.2.4.Örnek. evren kümesi ve

parametreler kümesi

, ,

olmak üzere üzerinde soft örtü kümesi ve soft örtü yaklaşım uzayı verilsin. alt kümesini ele alalım.

olmadığını gösterelim. ve olup elde edilir. Bu durumda olduğu görülür.

olmadığını gösterelim. olduğundan elde edilir. Ayrıca olup olduğu görülür.

olmadığını gösterelim. ve olmak üzere olur. Böylece olduğu görülür.

5.2.4.Uyarı. 1.tip ve 2.tip soft örtü üst yaklaşım operatörleri ile bir soft örtü

yaklaşım uzayında Feng ve ark. (2010) tarafından verilen -soft üst yaklaşım operatörleri farklıdır. Üst yaklaşım operatörlerinin tanımları ve incelenen özellikleri gereği, olur. Ancak genellikle karşıtı doğru değildir:

5.2.5.Örnek. evren küme, parametreler kümesi olmak üzere 5.2.1.Örnekteki soft örtü yaklaşım uzayı verilsin. alt kümesini ele alalım.

,

olup sonuç olarak kümesi, kümesinin alt kümesi değildir.

5.2.6.Örnek. evren kümesi ve parametreler kümesi olmak üzere 5.2.3.Örnekteki soft örtü yaklaşım uzayı verilsin. alt kümesini ele alalım.

,