Bu bölümde, araştırmada gerçekleştirilen mülakatlar ile elde edilen verilerin tablolar yoluyla analizleri sonucunda, elde edilen bulgulara ve bu bulgulara ilişkin yorumlara yer verilmiştir. Mülakata katılan beş öğrenciden Mehmet rumuzuyla anılacak olan bir numaralı öğrenciye ait veriler tablolar aracılığıyla yorumlanarak ayrıntılı olarak değerlendirilmiştir. Diğer öğrencilere ait veriler ise tablolarda görülmektedir.
Gerçekleştirilen mülakatlarda öğrencilere ilk olarak denklem denildiğinde ne anladıkları sorulmuştur. Öğrencilerin mülakatlar sırasında verdikleri yanıtlar, Tablo 4.4 ‘de görülmektedir.
Tablo 4.4 genel anlamda incelendiğinde, konu işlenilmeden gerçekleştirilen birinci mülakata göre öğrencilerin denklem kavramı ile ilgili görüşlerinin oldukça sınırlı olduğu görülür. Öğrenciler, denklem kavramından çok denklemde bilinmeyen sayı yerine geçen harf ve bu harfin değerini bulma düşüncesine odaklanmışlardır.
Tablo 4.4. 1. Soruya Verilen Cevapların Analizia
SORU 1: Denklem nedir?
1. Mülakat 2. Mülakat 3. Mülakat
Kastedilen İfade edilen Kastedilen İfade edilen Kastedilen İfade edilen Sayı yerine harf
yazmak (1, 2) • Denklem bir sayıyı vermeyip de onun yerine x, y koyarak yani harf vererek yazmak, bu şekilde harf verdiği zaman denklem olur. (1) • Mesela soru çözerken sayılar veriyorlar x, y
falan onlar. (2) Eşitlik (1, 4) • Denklem denildiğinde benim aklımaeşitlik geliyor. (1) • Denklem demek eşitlik demektir. (4) Bilinmeyen ve
eşitlik (3, 4) • İçinde x, y, z gibi bilinmeyen bulunan sorulara denir. Ayrıca bir eşitlik söz konusu olmalıdır.(3)
• Denklem için eşittir olması lazım ve bilinmeyen bir sayı olduğunda denklem olur. (4)
Matematiksel
İşaretler (2) • Harfler haricinde matematiksel işaretler de olması lazım mesela büyüklük, küçüklük, eşitlik işaretleri. Böyle olursa, denklem oluyor. (2)
Bilinmeyen
(1, 5) • Denklem deyince benim aklıma x veya y gelir yani bilinmeyen aklıma gelir.(1) • İçerisinde x, y, z gibi harflerin bulunduğu soruya denklem denir. (5) Sayılar, bilinmeyen ve eşitlik (1) • İçinde sayılar, bilinmeyen herhangi x olabilir m, a böyle harfler yani sayının yerine geçen harfler bilinmeyen bulunan bir de eşittir olmasına denklem denir.(1) Denk olma
(1, 4, 5) • Denklem, birbirine denk demektir.(1) • Denklem birbirine denk olan, yani birbirine benzeyen birbiriyle uyumlu olan (4) • Mesela bir kümede 3 eleman varsa diğer
kümede de 3 eleman varsa ilk küme diğerine denktir. Öyle herhalde denklem dediğinde kümelerin denkliği olabilir. (5)
Bilinmeyen
ve işlem (2) • Denklem içinde bilinmeyen bulunan işlem sırasıdır. (2)
Bilinmeyen ve
işlem (5) • İçerisinde x, y, z, a bulunan işlemlere denklem denir. (5) Verilmeyeni
bulma (2, 3) • Mesela a – 1 gibi. Orada a sayısı verilmiyor. 1 veriliyor, bu a’nın ne olduğunu bulmak.(2) • Bence denklem sayılar yoluyla bilinmeyen bir
rakamı yani herhangi bir şeyi problem içinde sayılara dökerek o sayıyı bulmadır.(3)
Bilinmeyen içeren eşitsizlik (3)
• Herhangi bir soru içinde bilinmeyen ve eşitsizlik olduğu zaman denklem oluyor. (3) Bilinmeyen, derece, işlem ve eşitlik (2) • İçinde bilinmeyen bulunan işlemdir. Bir de derece Bulunmalıdır ve bir de eşitlik olmalıdır. (2) a
69
Tablo 4.4’de bir numaralı öğrenci olarak görülen Mehmet’in denklemin tanımına ilişkin düşüncesi aşağıdaki gibi olmuştur:
“Denklem bir sayıyı vermeyip de onun yerine x, y koyarak yani harf vererek yazmak, bu şekilde harf verdiği zaman denklem olur. Bu harf bir sayıya denktir. Ben denklem deyince x’li sayıları anlıyorum. Soruda x, y gibi harfler olduğu sürece ben onu denklem diye algılıyorum.”
Mehmet, birinci mülakatta soruyu denklemde bulunan bilinmeyenden bahsederek açıklamıştır. Konunun işlenmeye başlanmasından bir buçuk hafta sonra aynı sorular ikinci kez öğrencilere yöneltilerek öğrencilerle ikinci mülakat yapılmıştır. Mehmet, birinci mülakatta olduğu gibi ikinci mülakatta da denklemde bulunan bilinmeyen üzerinde durarak düşüncesini aşağıdaki gibi ifade etmiştir:
“Denklem deyince benim aklıma x veya y gelir, yani bilinmeyen aklıma gelir.”
İkinci mülakatta Mehmet’te, denklem denildiğinde bilinmeyen kavramıyla birlikte denklemde bulunması gereken eşitlik kavramı da oluşmaya başlamıştır. Mehmet’in denklemde eşitlik olması ile ilgili görüşlerini aşağıdaki gibi ifade etmiştir:
“Denklemde bir yer bir yere aynı terazi kefeleri gibi eşit olursa o denklemdir. Denk, yani terazi kefeleri gibi birbirine denk, yani iki sayının birbirine denk olmasına eşit olmasına denklem denir.”
Mehmet’in “iki sayının birbirine denk olmasına, eşit olmasına denklem denir” cümlesinden yola çıkarak kendisine aşağıdaki soru yöneltilmiştir:
İki sayının birbirine eşit olmasının denklem olduğunu düşündün, o halde 3=3 bir denklem midir?
Mehmet bu soru karşısında biraz düşündükten sonra düşüncelerini aşağıdaki gibi ifade etmiştir:
“Kendine eşittir. Eşit olduğu için de denklemdir. Ama her zaman denklemde x veya y olur. O yüzden 3x, denklem deyince benim aklıma x veya y gelir yani bilinmeyen aklıma gelir. Ama 3=3 birbirine eşit olduğunu söylüyor. Denklem olması için 3x=3x olmalı, içinde bilinmeyen bir harf olmalı.”
Mehmet’in yukarıdaki açıklaması, denklemde bilinmeyen sayıların yerine geçen harflerin ve eşitliğin bulunması gerektiğini bildiğini, ancak bilgisinin sınırlı olduğunu göstermektedir. Mehmet için denklem, denklem kavramının içinde bulunan bilinmeyen harf ve eşitlik ile özdeşleşmiştir.
Konunun bitiminde gerçekleştirilen üçüncü mülakatta Mehmet, denklemi tanımlarken bilinmeyenin yanı sıra bilinen sayıların da olması gerektiğine dikkat çekerek görüşlerini aşağıdaki gibi dile getirmiştir:
“İçinde bildiğimiz sayılar, bilinmeyen herhangi x olabilir m, a böyle harfler yani sayının yerine geçen harfler bulunan bir de eşittir olmasına denklem denir.”
Mehmet’in yukarıdaki tanımı yapması üzerine, kendisine 4x3y6 = 10 ifadesinin bir denklem olup olmadığı sorulmuştur. Mehmet düşüncelerini aşağıdaki gibi açıklamıştır:
“Aralarında toplama işareti yok ımmm. Bence değildir. Eşittir işareti var ama arasındaki şeyler yok, toplama çıkarma gibi. Kuralsız yazılmış, x bir sayıyı ifade ediyor, yani bir x ama diğerleriyle arasında toplama işareti yok, çıkarma işareti de yok o yüzden denklem değil bence.”
Mehmet, 4x3y6 = 10 ifadesini kuralsız yazım olarak nitelendirmiştir. Sayı ve harflerin arasında toplama ya da çıkarma işaretlerinden birinin olması gerektiğini düşünmüştür. Mehmet’in bu görüşü, öğrencinin denklemde işlem işaretlerinin
71
dolayısıyla işlemlerin de bulunacağının farkında olduğunu göstermektedir. Ancak Mehmet yalnızca toplama ve çıkarma işlemlerinde bahsetmiş, çarpma ve bölme işlemlerini düşünmemiştir. Bu da Mehmet’in sadece toplama ve çıkarma işlemlerine odaklandığını göstermektedir.
Mehmet’in denklemin tanımına yönelik bilişsel gelişim süreci incelendiğinde, öğrenci konu işlenmeye başlanmadan yapılan birinci mülakatta denklemi, denklemde bulunan bilinmeyenler üzerine yoğunlaşarak açıklamaya çalışarak denklemde gerçek değerleri verilmemiş sayılar yerine harfler kullanıldığını belirtmiştir. İkinci mülakatta, düşüncesine eşitlik kavramını eklemiş denklemin bir eşitlik olduğunu savunmuştur. Üçüncü mülakatta ise ilk iki mülakattaki görüşlerini birleştirerek denklemi sayılar, bilinmeyen ve işlem içeren bir eşitlik olarak tanımlamıştır. Ancak işlem olarak yalnızca toplama ve çıkarma işlemlerini düşünmüş çarpma ve bölme işlemlerinden bahsetmemiştir.
Öğrencilere ikinci olarak “denklemin derecesi” denildiğinde ne anladıkları sorulmuştur. Mülakatlarda öğrencilerin verdikleri cevaplar Tablo 4.5’de verilmektedir.
Tablo 4.5’de görüldüğü gibi yapılan birinci mülakatta denklemin derecesi denildiğinde öğrenciler önceden bildikleri derece kavramından yola çıkarak denklemin derecesini açıklamaya çalışmışlardır.
Tablo 4.5. 2. Soruya Verilen Cevapların Analizia
SORU 2: “Denklemin derecesi” denildiğinde ne anladığını açıklar mısın?
1. Mülakat 2. Mülakat 3. Mülakat
Kastedilen İfade edilen Kastedilen İfade edilen Kastedilen İfade edilen Büyük olma (1) • 2x ve 3y. Burada 3, 2’den büyük
ve de x ve y’nin yerine bir sayı koyarsak sayılar daha da büyür. Bu şekilde 3y, 2x’den daha büyük olur. Bu 3y’nin daha dereceli bir denklem olduğunu gösterir. (1)
Denklemdeki bilinmeyen sayısı
(2)
• Mesela iki bilinmeyenli denklem, o 2. derece oluyor. Bilinmeyenler derece oluyor. Kaç, ne kadar olduğu derecedir. (2)
Bilinmeyenin
üssü (1, 2, 5) • Denklemi yazarken üssünü verir mesela 3x üssü 5 işte 5 denklemin derecesini belirtiyor. (1)
• x var y var, bunların ikisinin üssünde de 1 var o yüzden 1. derece oluyor. Denklemin derecesi bilinmeyenin üssüdür. (2)
• Denklemli sorunun, x, y, z gibi bilinmeyen harflerin üzerine konulan sayıdır. (5) Kolaylık- zorluk
seviyesi (3) • Bence derece herhangi bir sorunun kolaylık-zorluk seviyesi ya da denklemin aşaması demek olduğunu anlıyorum. (3)
Sayıların
katları (4, 5) • Derece kat gibi, mesela birinci kattan, ikinci kattan. Derece sayıların yükselişi bir katı, iki katı gibi (4)
• O bilinmeyen sayının bir katı anlamına gelir. (5)
Derece işareti (5) • Açıların derecesi var ya
denklemin de herhalde onun gibi bir derecesi var. Denklemi çözdük, cevabının üstüne yazılabilir. Mesela 8+3=11, 11’in üstüne derece işareti konulabilir. (5)
Diğer (4) • Derece deyince benim aklıma mesela termometre geliyor. Yani derece deyince ısı ölçen, sıcaklık ölçen aletteki mavi sıvının karşısına geldiği sayı. (4)
Diğer (3) • Mesela bize bir toplama işlemi veriyor. Bu toplama işlemi parantez içerisinde veriliyor sorunun devamı olarak da başka bir parantez içinde sayılar veriliyor mesela bu iki aşamalı oluyor. Bu ikinci dereceden olmuş oluyor. (3)
Bilinmeyenin üssü (1, 2, 3,
4, 5)
• Ben derece diyince bilinmeyenin üssüne yazılan sayıya bakıyorum.
(1)
• Mesela x’in üssü 1 o zaman denklemin derecesi 1 oluyor. Mesela x üssü 2 oluyor. Bu da 2. derece oluyor. (2)
• Denklemin üssüdür. Bilinmeyenin üssüne yazılan sayı demektir. (3) • Problemde verilen
denklemdeki bilinmeyenin derecesi yani bilinmeyen x’in derecesi, kaçıncı dereceden olduğu. Bilinmeyenin üstündeki sayıdır. (4)
• Bilinmeyenin üstündeki işaret derecedir, örneğin x2+2=8 buradaki 2
denklemin derecesidir.(5)
a
73
Mehmet adlı öğrencinin birinci mülakattaki açıklamasına bakıldığında iki sayıyı alıp sayı değerlerini büyüklük küçüklük bakımından karşılaştırdığı ve büyük olan sayının daha dereceli olduğunu aşağıdaki gibi ifade ettiği görülmüştür:
“Mesela 2 sayısı 1 sayısından büyük, yani 2 sayısı 1 sayısından daha dereceli.”
Mehmet’in bu açıklaması üzerine öğrenciye aşağıdaki soru yöneltilmiştir:
Sayıların derecesini böyle düşündün, peki denklemin derecesi denildiğinde ne düşünüyorsun?
Mehmet denklemin derecesi için de benzer bir yanıt vermiş ve aşağıdaki açıklamayı yapmıştır:
“2x ve 3y. Burada 3, 2’den büyük ve de x ve y’nin yerine bir sayı koyarsak sayılar daha da büyür. Bu şekilde 3y, 2x’den daha büyük olur. Bu 3y’nin daha dereceli bir denklem olduğunu gösterir.”
Mehmet’in bu açıklamalarından anlaşılacağı gibi öğrenci dereceyi sayı değeri olarak büyük olma şeklinde değerlendirmekte ve bu düşüncesini iki sayıyı büyüklük küçüklük bakımından mukayese ederek ifade etmektedir. Mehmet’in büyük olan sayıya daha derecelidir demesi, denklemin derecesi hakkında yanlış bir fikre sahibi olduğunu gösterir.
Ayrıca, Mehmet’in yukarıdaki açıklamasında görüldüğü gibi denklem ve bilinmeyen kavramlarını bilmiyor olmasından kaynaklanan yanılgıları da bulunmaktadır. Bilinmeyen sayı yerine konulan harfin bir tane olmasından dolayı bir rakamı temsil ettiğini düşünmektedir, yani iki basamaklı bir sayı için yan yana iki harfin yazılması gerektiğini savunmaktadır. Bunun yanı sıra içinde bilinmeyen bulunan her ifadeye denklem demekte ve birinci mülakatta denklemin bir eşitlik olduğunu bilmemektedir.
İkinci mülakatta ise Mehmet, denklemin derecesi denildiğinde denklemde bulunan bilinmeyenin üssüne baktığını ve bilinmeyenin üssünün denklemin derecesini belirttiğini aşağıdaki sözleriyle ifade etmiştir:
“Denklemi yazarken üssünü verir, mesela 3x üssü 5 işte 5 denklemin derecesini belirtiyor.”
Üçüncü mülakatta tüm öğrenciler denklemin derecesi denildiğinde, denklemde bulunan bilinmeyenin üssüne baktıklarını ve bilinmeyenin üssünde bulunan sayının denklemin derecesini belirttiğini ifade etmişlerdir. Konunun işlenişinin bitiminde tüm öğrencilerde denklemin derecesi ile ilgili ortak bir kanının oluştuğu söylenebilir. Mehmet düşüncesini aşağıdaki sözleriyle ifade etmiştir:
“Ben derece diyince bilinmeyenin üssüne yazılan sayıya bakıyorum.”
Gerçekleştirilen üç mülakat sonucunda Mehmet’in denklemin derecesi hakkındaki görüşleri incelendiğinde öğrencinin birinci mülakatta dereceyi sayı değeri olarak büyük olma şeklinde değerlendirdiği görülmektedir. Öğrencinin bu görüşü denklemin derecesi hakkında yanlış bir fikre sahip olduğunu göstermektedir. İkinci mülakatta ise derecenin bilinmeyenin üssünde bulunan sayı olduğu fikri oluşmuş, öğrenme gerçekleşmiştir. Üçüncü mülakatta da öğrenci denklemin derecesi hakkında bilinmeyenin üssüne bakarak karar verdiğini söylemiştir.
Tablo 4.6’da görüldüğü gibi üçüncü soruda öğrencilerden, “birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem” denildiğinde ne anladıklarını açıklamaları istenmiştir. Birinci mülakatta tüm öğrenciler, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemde geçen bir bilinmeyenli ifadesi üzerinde ortak bir düşünceye sahip olarak denklemde bir tane bilinmeyen sayı olduğu üzerinde durmuşlardır. Ancak birinci dereceden ifadesini her öğrenci farklı değerlendirmiş ve farklı açıklamalarda bulunmuştur.
75
Tablo 4.6. 3. Soruya Verilen Cevapların Analizia
SORU 3: “Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem” denildiğinde ne anladığını açıklar mısın?
1. Mülakat 2. Mülakat 3. Mülakat
Kastedilen İfade edilen Kastedilen İfade edilen Kastedilen İfade edilen Yüksek
dereceli denklem
(1)
• Derecesi yüksek yani en iyi derecesi olan ve de bir sayısı bilinmeyen denklem (1) Bilinmeye -nin kuvveti 1 olan denklem (1, 2, 3)
• Eğer denklemdeki bilinmeyen harfin üssü 1 ise o denklem birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir. (1) • x bilinmiyor ve onun üssünde kuvveti
1. Bu birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. İçinde tek bilinmeyen olması lazım, kuvvetinin 1 olması lazım (2)
• Mesela x’in üstüne 2 yazdık soru içinde de bir tane bilinmeyen x var. Bu 2. dereceden bir bilinmeyenli denklem oluyor. 1. derecedense x’in üstünde 1 vardır. (3)
Kolay denklem
(4)
• Denklemin içinde bir bilinmeyen var ve sadece bir bilinmeyen olduğu için daha kolay oluyor. O yüzden birinci
dereceden. (4) Kolay denklem (2, 5) • En kolay denklem çeşidi bir de denklemde 1 tane bilinmeyen sayı var
(2)
• Mesela, 3 + x =11 ise orada x, 8’dir. O bir bilinmeyenli denklem olabilir. Birinci dereceden derken daha da kolay olabilir yani ikinci dereceye göre. (5) Bir sayısı Bilin- meyen (1, 2, 3, 4, 5) Diğer • Denklemin içerisinde sadece bir bilinmeyen sayının olmasıdır. Birinci dereceden, onu bilmiyorum.(3) • Verilmeyen sayı ilk
başta ve bir tane verilmeyen sayı geliyor aklıma. (4) Bir sayısı Bilin- meyen (1, 2, 3, 4, 5)
Diğer (5) • Denklemli sorunun içinde bir tane bilinmeyen olduğunu anlıyorum, sadece bir tane x var. x’in üzerindeki sayıya derece demiştik. Aynı soruda iki bilinmeyen varsa küçük olan birinci, büyük olan ikinci derecedendir. Mesela x2y5 bunlarda büyük olan ikinci
dereceden, küçük olan birinci derecedendir mesela burada x2 birinci dereceden olur. (5) Bir bilinme- yen içeren ve bu bilinme- yenin kuvveti 1 olan denklem (1, 2, 3, 4, 5) • Bilinmeyenin üstünde 1 olup içinde bir sayının yerine bir harf bulunduran denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. (1) • x’in üssü bir ve yapılan işlemde tek bilinmeyen var. (2) • Bir bilinmeyeni olan ve bunun üssü de 1 olan denklem demektir. (3) • İçinde sadece bir
tane bilinmeyen olan mesela x ve bu x’in üzerinde 1 varsa o birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. (4) • Üssü 1 olan bir tane bilinmeyen içeren denklem(5)
Mehmet birinci mülakatta, bir sayısı bilinmeyen yüksek dereceli denklem olarak nitelendirdiği birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem hakkında ki düşüncelerini aşağıdaki gibi ifade etmiştir:
“Derecesi yüksek, en iyi derecesi olan yani en iyi dereceden denklem ve de bir sayısı bilinmeyen denklem.”
Mehmet’in bu ifadesi üzerine öğrenciden en iyi dereceden denklem derken neyi kastettiğini açıklaması istendiğinde öğrencinin yanıtı aşağıdaki gibi olmuştur:
“Yani diğer sayıların hepsinden yüksek olan, büyük olan sayıdır. Mesela 9x, 3x den büyük çünkü x’in önündeki sayı ilkinde 9x’de daha büyük ve bu ne kadar büyükse denklem daha derecelidir, yani büyük olduğu için birinci derecedendir.”
Mehmet, denklemin birinci dereceden olmasına bilinmeyenin katsayısına bakarak karar vermektedir. Mehmet’e göre denklemdeki bilinmeyenin katsayısı, sayı değeri bakımından büyükse denklem birinci dereceden olmaktadır. Mehmet’in bu düşüncesi henüz derece kavramını bilmediğini göstermektedir.
İlk mülakatta öğrencilerde gözlenen birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin bir tane bilinmeyen sayı içerdiğini bilmeleridir, ancak derece kavramını henüz bilmediklerinden denklemin birinci dereceden olması ile ilgili kendilerine mantıklı gelen çeşitli açıklamalar yapmaya çalışmışlardır.
İkinci mülakatta aynı soru Mehmet’e yöneltildiğinde öğrencinin açıklaması aşağıdaki gibi olmuştur:
“Eğer denklemdeki bilinmeyen harfin üssü 1 ise o denklem birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir.”
Üçüncü mülakatta tüm öğrenciler birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi, bir bilinmeyen içeren ve bu bilinmeyenin kuvveti bir olan denklem olarak
77
tanımlamışlardır. Mehmet, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemle ilgili olarak aşağıdakileri söylemiştir:
“Bilinmeyenin üstünde 1 olup içinde bir sayının yerine bir harf bulunduran denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.”
İlk mülakatta Mehmet’in birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin tanımına ilişkin görüşleri en iyi dereceden ve bir sayısı bilinmeyen denklem şeklinde olmuştur. Öğrenci en iyi dereceden denklem demekle, bilinmeyenin katsayısının sayı değeri olarak büyük olmasını kastetmiştir. Mehmet’in bu düşüncesi, öğrencinin konuya geçilmeden önce denklemin derecesini bilinmeyenin katsayısı ile özdeşleştirme şeklinde bir yanılgıya sahip olduğunu göstermektedir. Öğrenci ikinci mülakatta denklemde bulunan bilinmeyenin üssü bir olduğunda, denklemin birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduğunu söylemiştir. Öğrencinin açıklaması ilk mülakattaki yanılgısının ortadan kalktığını göstermektedir. Üçüncü mülakatta da öğrenci, ikinci mülakatta vermiş olduğu yanıta benzer bir açıklama yapmıştır.
Öğrencilere 4. soru olarak “birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem” de geçen “bilinmeyen” ifadesinden ne anladıkları sorulmuştur. Öğrencilerin verdikleri cevaplar Tablo 4.7’de verilmektedir.
Mülakat yapılan öğrencilerden Mehmet’e ait veriler değerlendirildiğinde Mehmet’in, yapılan ilk mülakatta bilinmeyenin sayı yerine geçen harf veya işaret olduğunu söyleyerek düşüncesini aşağıdaki gibi ifade ettiği görülmüştür:
“Bir bilinmeyenli denklemlerde bir sayıyı vermiyor, onun yerine x, y ya da soru işareti koyuyor.”
Mehmet’ten denklemin bir bilinmeyenli olmasının ne demek olduğunu açıklaması istendiğinde ise aşağıdaki gibi bir açıklama yapmıştır:
“Bir bilinmeyen olması için sadece onluk sayılarla olmalı. Mesela 62 ise bu 6x. Burada 2’ yi vermeden x koyuyor. x burada 2’nin yerine geçiyor. Bilinmeyen bir sayının yerine geçiyor. Bir sayıyı vermiyor.”
Mehmet’in açıklamaları göz ününe alındığında, öğrencinin kullanılan harf ya da işaretlerin bilinmeyen sayıların yerine kullanıldığını bildiği ancak bu harf ya da işaretin bir sayıyı değil bir rakamı temsil ettiği fikrine sahip olduğunu göstermektedir. Öğrenci bir harf olduğu için harfin sadece bir rakamın yerini tutabileceğini düşünmüştür. Bu da bir kavram yanılgısı olarak görülmektedir. Mehmet’in bu yanılgısı, öğrencilerin denklemlerle ilgili yaptıkları hatalar ve yanılgıları konu edinen araştırmaların bulgularını destekler niteliktedir. Akkaya (2006) tarafından yapılan bir araştırmada 10 öğrenci ile görüşmeler yapılmıştır. Öğrenciler harflerin basamak değerleri olduğunu ve sadece rakam olabileceklerini düşünmüşlerdir. “2xy=240 ve x= 4 olduğunda y=?” sorusuna görüşme yapılan 10 öğrencinin tamamı y’nin 0 (sıfır) olması gerektiğini söylemişlerdir.
İkinci mülakatta da Mehmet, bir harfin bir rakamı temsil ettiği yanılgısında ısrarlı davranarak düşüncesini aşağıdaki gibi ifade etmiştir:
“Bilinmeyen mesela 2x, burada x bilinmeyen, o sayıyı bize vermemiş onun yerine x koymuş, mesela iki basamaklı bir sayı ise birinci basamağını verir ama ikinci basamağına gelince x veya y koyar, o da bilinmeyen olur. x veya y o sayının yerine konuyor ve aslında o sayıyı ifade ediyor.”
Mehmet denklemin bir bilinmeyenli olmasını ise aşağıdaki gibi ifade etmiştir:
“Denklemde x bir sayıyı belirtiyor. Bir sayının yerine geçiyor ama biz bunu bilmiyoruz. O sayı yerine herhangi bir harf koyuyor böylece bu bir bilinmeyenli oluyor. Mesela 3x +5y=10 da x Ayşe, y Fatma bu iki bilinmeyenli oluyor. 3x+5x=10 olursa Ayşe, bir bilinmeyenli oluyor.”
79
Tablo 4.7. 4. Soruya Verilen Cevapların Analizia
SORU 4:“Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem” de geçen “bilinmeyen” ifadesinden ne anladığını açıklar mısın?
1. Mülakat 2. Mülakat 3. Mülakat
Kastedilen İfade edilen Kastedilen İfade edilen Kastedilen İfade edilen Sayı yerine
geçen harf veya işaret (1, 4)
• Bir bilinmeyenli denklemlerde bir sayıyı vermiyor, onun yerine x, y ya da soru işareti koyuyor. (1)
• Bilinmeyen sayıdır, yani x’dir ya da soru işareti, boş bırakılabilir. (4) Rakam yerine
geçen harf (1) • Bir bilinmeyen olması için sadece onluk sayılarla olmalı. Mesela 62 ise bu 6x. Burada 2’yi vermeden x koyuyor. x burada 2’nin yerine geçiyor.
(1)
Bilmemek
(2) • Bir şeyi bilmememiz. Mesela konularda biz işlediğimiz