1988 yılı için 40 farklı ABD kentindeki toplu ta¸sıma hizmeti talebine ili¸skin a¸sa˘gıdaki çoklu ba˘glanım modelini ele alalım:

Ö˘gr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA

Ad, Soyad:

Açıklama ve uyarılar: Bu sınav toplam 100 puan de˘gerinde 6 sorudan olu¸smaktadır. Sınav süresi 90 dakikadır ve tüm soruların yanıtlanması gereklidir. Soruları yanıtlamada kullanılacak F çizelgesi sorulara ek olarak verilmi¸stir. Tüm i¸slemler bu sınav ka˘gıdı üzerinde yapılacak- tır. Temel i¸slemler için basit bir hesap makinesinden yararlanılabilir. Programlanabilir hesap makineleri, cep telefonları ve bir hesap makinesinin birden fazla ö˘grenci tarafından ortak kul- lanılması yasaktır. Kopya çekme ve çektirme giri¸siminde bulunanlar hakkında üniversitenin disiplin kuralları çerçevesinde i¸slem yapılacaktır. Sınav süresince sınav içeri˘gi ile ilgili soru sormak yasaktır.

Sorular

1988 yılı için 40 farklı ABD kentindeki toplu ta¸sıma hizmeti talebine ili¸skin a¸sa˘gıdaki çoklu ba˘glanım modelini ele alalım:

Y

_i

= β

₀

+ β

₁

X

_1i

+ β

₂

X

_2i

+ β

₃

X

_3i

+ β

₄

X

_4i

+ u

_i

Burada:

Y kamu toplu ta¸sıma hizmetine olan talebi (1000 yolcu), X

₁

toplu ta¸sıt bilet fiyatlarını (dolar),

X

₂

ki¸si ba¸sına ortalama geliri (dolar), X

₃

kentin nüfusunu (1000 ki¸si),

X

₄

kentin alan büyüklü˘günü (mil kare)

göstermektedir. SEK yöntemi ile elde edilen ba˘glanım bulguları a¸sa˘gıdaki gibidir:

1. (a) (20 puan) Ba˘glanım sonuçlarını (1) katsayı tahminleri ve (2) verilerin modele ya- kı¸sma derecesi temelinde dikkatlice yorumlayınız.

Yanıt: 3332 büyüklü˘gündeki ˆ β

0

, toplu ta¸sıma hizmetine olan talepte etkili an- cak modelde yer almayan tüm di˘ger etmenlerin ortalama etkisini göstermektedir.

β ˆ

₁

de˘gi¸stirge tahmini istatistik bakımından anlamlı olmadı˘gı için, bilet fiyatları- nın toplu ta¸sıma talebi üzerinde bir etkisi oldu˘gunu söyleyemeyiz. Di˘ger taraftan, -0,154 olarak tahmin edilen ˆ β

₂

’ya göre ki¸si ba¸sına ortalama gelir e˘ger 1 dolar ar- tarsa, hizmete olan talebin de yakla¸sık ortalama 150 ki¸si azalması beklenmektedir.

Di˘ger katsayıların yorumu da benzer ¸sekilde olup, istatistiksel olarak anlamlı ve kuramsal beklentiler ile uyumludur. R

²

= 0,91 de˘geri, modelde yer alan de˘gi¸s- kenlerin toplu olarak talepteki de˘gi¸simin yüzde 91’ini açıklayabildiklerini göster- mektedir. Buna göre verilerin modele çok iyi derecede yakı¸stıkları söylenebilir.

(b) (15 puan) H

0

: β

₃

= 2 sıfır önsavını anlamlılık sınaması yakla¸sımı ile ve 2t kuralını uygulayarak sınayınız. Buldu˘gunuz sonucu tek bir tümce ile açıklayınız.

Yanıt: H

₀

: β

₃

= 2, H

₁

: β

₃

̸= 2 t =

β ˆ

₃

− β

3^∗

öh( ˆ β

₃

) = 2,11164 − 2

0,122363 = 0,912

2t kuralına göre, serbestlik derecesi > 30 için hesaplanan t istatisti˘gi e˘ger mutlak olarak 2’den küçükse (burada oldu˘gu gibi), H

₀

önsavı %95 güvenle reddedilmez.

(c) (20 puan) Belirleme katsayısı R

²

’nin tanımı ve F =

ⁿ_k^−k₋₁^BKT_KKT

e¸sitli˘ginden yararlana- rak bir çoklu ba˘glanımın bütününün anlamlılı˘gını sınayan F istatisti˘gini yalnızca n, k ve R

²

de˘gerleri ile gösteren formülü türetiniz. Bu formülü ve ba˘glanım çıktılarını ekte verili olan F çizelgesi ile birlikte kullanarak eldeki ba˘glanımın bütününün anlamlılı-

˘gını sınayınız. Son olarak, buldu˘gunuz sonucu tek bir tümce ile yorumlayınız.

(Not: F formülünde yer alan n gözlem sayısını, k ise sabit terim ile birlikte tahmin edilen toplam anakütle sayısını göstermektedir.)

Yanıt: R

²

=

_KKT^BKT

tanımından yararlanarak a¸sa˘gıdaki türetmeyi yapabiliriz:

F = n − k k − 1

BKT

KKT = n − k k − 1

BKT

TKT − BKT = n − k k − 1

BKT/TKT 1 − (BKT/TKT)

= n − k k − 1

R

²

1 − R

²

Ba˘glanım çıktılarından ¸sunu hesaplayabiliriz:

F = 40 − 5 5 − 1

0,911281

1 − 0,911281 = 89,88

F çizelgesinden F

4,30

= 2,69 ve F

4,40

= 2,61 oldu˘gu görülmektedir. Hesaplamı¸s oldu˘gumuz istatistik çizelgeden elde edilen F de˘gerinden büyük oldu˘gu için, H

₀

: β

₁

= β

₂

= β

₃

= β

₄

= 0 sıfır önsavı %95 güvenle reddedilir.

Sayfa 2 \ 5 Sonraki sayfaya geçiniz. . .

¸Simdi elimizdeki modele X

5

= akaryakıt fiyatları (dolar) de˘gi¸skenini ekleyelim. ˙Ikinci modele ait ba˘glanım sonuçları a¸sa˘gıdaki gibidir:

(d) (20 puan) Toplam kareleri toplamı 230624271’dir. Eklenen X

₅

açıklayıcı de˘gi¸skeni- nin BKT’yi anlamlı biçimde artırıp artırmadı˘gını ölçebilmek için eski ve yeni ba˘gla- nımlara ait birer VARÇÖZ çizelgesi düzenleyiniz. Daha sonra, X

5

’in marjinal katkı- sının istatistiksel olarak anlamlı olup olmadı˘gını sınayan F de˘gerini hesaplayınız ve (ekteki F çizelgesine de ba¸svurarak) sınama sonucunu tek bir tümce ile açıklayınız.

Yanıt: TKT=230624271, KKT

_eski

=20460786, ve KKT

_yeni

=20321096 verilidir.

Bu bilgilerden yararlanarak öncelikle BKT

_eski

= TKT − KKT

eski

= 210163485 ve BKT

yeni

= TKT − KKT

yeni

= 210303175 de˘gerlerini hesaplayalım.

Eski ba˘glanıma ait VARÇÖZ çizelgesi ¸söyledir:

De˘gi¸simin Kayna˘gı KT sd OKT

Ba˘glanım 210163485 (k − 1) = (5 − 1) = 4 52540871,25 Kalıntılar 20460786 (n − k) = (40 − 5) = 35 584593,88 Toplam 230624271 (n − 1) = (40 − 1) = 39 591344,85

Yeni ba˘glanıma ait VARÇÖZ çizelgesi ise ¸söyledir:

De˘gi¸simin Kayna˘gı KT sd OKT

Ba˘glanım 210303175 (k − 1) = (6 − 1) = 5 42060635 Kalıntılar 20321096 (n − k) = (40 − 6) = 34 597679,29 Toplam 230624271 (n − 1) = (40 − 1) = 39 591344,85

Çizelgelerden yararlanarak ilgili F istatisti˘gini ¸söyle buluruz:

F = (KKT

eski

− KKT

yeni

)/m

KKT

_yeni

/(n − k) = (210303175 − 210163485)/1 20321096/(40 − 6) = 0,23

Hesaplamı¸s oldu˘gumuz F , çizelgeden elde edilen F

_1,30

= 4,17 de˘gerinden küçük

oldu˘gu için, X

₅

’in marjinal katkısının istatistiksel olarak anlamlı olmadı˘gı sıfır

önsavı reddedilmez.

(e) (5 puan) ˙Ikinci modele dayanan a¸sa˘gıdaki çizit neyi göstermektedir? Yorumlayınız.

−0,35

−0,3

−0,25

−0,2

−0,15

−0,1

−0,05 0 0,05

−1500 −1000 −500 0 500 1000 1500

X2

X1

%95 GÜVEN ELİPSİ VE %95 MARJİNAL ARALIKLARI

−191, −0,153

Yanıt: Bu ¸sekil ˆ β

₁

ve ˆ β

₂

tahminlerinin ortak %95 güven aralıklarını göstermek- tedir. β

₁

ve β

₂

de˘gi¸stirgelerinin tahminine yönelik her 100 deneyin 95’inde elde edilen de˘gerler bu güven elipsinin içinde kalacaktır. Ayrıca, (0,0) noktası elipsin içinde yer aldı˘gı için H

0

: β

₁

= β

₂

= 0 önsavı %95 güvenle reddedilmez.

(f) (20 puan) Elimizdeki (birinci) modele MWD sınamasını uygulamak istedi˘gimizi var- sayalım. ˙Ilgili sıfır önsavını ve alma¸sık önsavı yazınız ve bu sınamayı yapmak için izleyece˘giniz altı adımı dikkatlice sıralayınız. Bulunan sonuçların ne ¸sekilde de˘ger- lendirilece˘gini de vurgulamayı unutmayınız.

Yanıt: MWD sınamasına ait H

0

: Do˘grusal model ve H

₁

: Log-do˘grusal model önsavları altında izlenmesi gereken sınama adımları ¸söyledir:

1. Birinci modele ait ˆ Y

_i

= ˆ β

₀

+ ˆ β

₁

X

_1i

+ ˆ β

₂

X

_2i

+ ˆ β

₃

X

_3i

+ ˆ β

₄

X

_4i

ba˘glanımını tahmin eder ve ˆ Y ’yı buluruz.

2. ˙Ilgili d ln Y

i

= ˆ α

0

+ ˆ α

1

ln X

1i

+ ˆ α

2

ln X

2i

+ ˆ α

3

ln X

3i

+ ˆ α

4

ln X

4i

log-do˘grusal modelini tahmin eder ve d ln Y ’yı buluruz.

3. Z

1

= ln ˆ Y − d ln Y de˘gi¸skenini türetiriz.

4. Y ’nin X’lere ve Z

₁

’e göre ba˘glanımını hesaplarız. E˘ger Z

₁

’in katsayısı bi- lindik t sınaması ile istatistiksel olarak anlamlı çıkarsa, H

₀

’ı reddederiz.

5. Z

2

= exp( d ln Y ) − ˆY de˘gi¸skenini türetiriz.

6. ln Y ’nin ln X’lere ve Z

₂

’ye göre ba˘glanımını hesaplarız. E˘ger Z

₂

’nin kat- sayısını t sınaması ile anlamlı bulursak, H

1

savını reddederiz.

Sayfa 4 \ 5 Sonraki sayfaya geçiniz. . .

F Ç

˙ IZELGES

˙ I (α = 0 ,05 )

sdpay sdpayda1234567891012152024304060120∞ 1161,4199,5215,7224,6230,2234,0236,8238,9240,5241,9243,9245,9248,0249,1250,1251,1252,2253,3254,3 218,5119,0019,1619,2519,3019,3319,3519,3719,3819,4019,4119,4319,4519,4519,4619,4719,4819,4919,50 310,139,559,289,129,018,948,898,858,818,798,748,708,668,648,628,598,578,558,53 47,716,946,596,396,266,166,096,046,005,965,915,865,805,775,755,725,695,665,63 56,615,795,415,195,054,954,884,824,774,744,684,624,564,534,504,464,434,404,36 65,995,144,764,534,394,284,214,154,104,064,003,943,873,843,813,773,743,703,67 75,594,744,354,123,973,873,793,733,683,643,573,513,443,413,383,343,303,273,23 85,324,464,073,843,693,583,503,443,393,353,283,223,153,123,083,043,012,972,93 95,124,263,863,633,483,373,293,233,183,143,073,012,942,902,862,832,792,752,71 104,964,103,713,483,333,223,143,073,022,982,912,852,772,742,702,662,622,582,54 114,843,983,593,363,203,093,012,952,902,852,792,722,652,612,572,532,492,452,40 124,753,893,493,263,113,002,912,852,802,752,692,622,542,512,472,432,382,342,30 134,673,813,413,183,032,922,832,772,712,672,602,532,462,422,382,342,302,252,21 144,603,743,343,112,962,852,762,702,652,602,532,462,392,352,312,272,222,182,13 154,543,683,293,062,902,792,712,642,592,542,482,402,332,292,252,202,162,112,07 164,493,633,243,012,852,742,662,592,542,492,422,352,282,242,192,152,112,062,01 174,453,593,202,962,812,702,612,552,492,452,382,312,232,192,152,102,062,011,96 184,413,553,162,932,772,662,582,512,462,412,342,272,192,152,112,062,021,971,92 194,383,523,132,902,742,632,542,482,422,382,312,232,162,112,072,031,981,931,88 204,353,493,102,872,712,602,512,452,392,352,282,202,122,082,041,991,951,901,84 214,323,473,072,842,682,572,492,422,372,322,252,182,102,052,011,961,921,871,81 224,303,443,052,822,662,552,462,402,342,302,232,152,072,031,981,941,891,841,78 234,283,423,032,802,642,532,442,372,322,272,202,132,052,011,961,911,861,811,76 244,263,403,012,782,622,512,422,362,302,252,182,112,031,981,941,891,841,791,73 254,243,392,992,762,602,492,402,342,282,242,162,092,011,961,921,871,821,771,71 264,233,372,982,742,592,472,392,322,272,222,152,071,991,951,901,851,801,751,69 274,213,352,962,732,572,462,372,312,252,202,132,061,971,931,881,841,791,731,67 284,203,342,952,712,562,452,362,292,242,192,122,041,961,911,871,821,771,711,65 294,183,332,932,702,552,432,352,282,222,182,102,031,941,901,851,811,751,701,64 304,173,322,922,692,532,422,332,272,212,162,092,011,931,891,841,791,741,681,62 404,083,232,842,612,452,342,252,182,122,082,001,921,841,791,741,691,641,581,51 604,003,152,762,532,372,252,172,102,041,991,921,841,751,701,651,591,531,471,39 1203,923,072,682,452,292,172,092,021,961,911,831,751,661,611,551,501,431,351,25 ∞3,843,002,602,372,212,102,011,941,881,831,751,671,571,521,461,391,321,221,00 Not:Çizelgedeverilende˘gerlersa˘gkuyrukyüzdelerinigöstermektedir(%161,4=1,614).