Hermite · Interpolasyonu

NÜMER· IK ANAL· IZ

Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

Nuri ÖZALP

FONKS·IYONLARA YAKLA¸SIM

Hermite · Interpolasyonu

Hermite interpolasyonu terimi, bir fonksiyonun ve türevlerinin bir nod setindeki interpolasyonunu kasteder. Bu tipten bir interpolasyon ile basit tipten (türevlerin interpole edilmedi¼gi) bir interpolasyon aras¬nda bir ay¬r¬m yap¬ld¬¼g¬nda, basit tipten olan s¬kl¬kla Lagrange interpolasyonu olarak adland¬r¬l¬r.

Hermite interpolasyonunun ö¼gretici ve kullan¬¸sl¬bir örne¼gi ¸su ¸sekildedir: ·Iki farkl¬nokta, x₁ ve x₂ de bir f fonksiyonu ve f⁰ türevini interpole eden en küçük dereceden bir polinom ar¬yoruz. Bu polinom ¸su dört ko¸sulu

sa¼glayacakt¬r:

p(xi) =f(xi) p⁰(xi) =f⁰(xi) (i =0, 1)

Dört ko¸sul oldu¼gu için, çözümü, en fazla 3. dereceden polinomlar¬n lineer uzay¬olan Π3 de aramak akla yatk¬n olur.

Polinomu

p(x) =a+b(x x₀) +c(x x₀)²+d(x x₀)²(x x₁)

¸seklinde yazal¬m. Bu durumda

p⁰(x) =b+2c(x x₀) +2d(x x₀)(x x₁) +d(x x₀)² olur. p üzerindeki dört ko¸sul, böylece

f(x0) = a f⁰(x0) = b

f(x₁) = a+bh+ch² (h =x₁ x₀) f⁰(x₁) = b+2ch+dh²

olur ki buradan f(x_i)ve f⁰(x_i) nin de¼gerleri ne olursa olsun, problem çözülebilirdir.

Genel olarak, bir f fonksiyonunun ve baz¬türevlerinin de¼gerleri interpole edilmekte ise, bu durumda (polinomdaki katsay¬lar¬

hesaplamay¬umut etti¼gimiz ) lineer denklem sistemi tekil

olabilece¼ginden dolay¬baz¬zorluklarla kar¸s¬la¸sabiliriz. Bu durumu basit bir örnekle görebiliriz.

Örnek

p(0) =0, p(1) =1, p⁰(¹₂) =2de¼gerlerine sahip olan birp polinomu bulunuz.

Çözüm

Üç ko¸sul verildi¼gi için,

p(x) =a+bx+cx²

kuadratik polinomunu deneyelim. p(0) =0ko¸sulua=0verir. Di¼ger iki ko¸sul ise 1 = p(1) =b+c

2 = p⁰(¹₂) =b+c

verir. O halde, problem kuadratik çözüme sahip de¼gildir. Dikkat edilirse, katsay¬lar matrisi tekildir.

Çözüm (Devam)

¸

Simdi, ayn¬problem için bir

p(x) = a+bx+cx²+dx³

kübik polinomu denersek, bu durumda bir çözümün var oldu¼gunu fakat tek olmad¬¼g¬n¬görürüz. Dikkat edilirse, önce oldu¼gu gibi a=0olup, geriye kalan ko¸sullar ise

1 = b+c+d 2 = b+c+ ³₄d olur. Bu sistemin çözümü d = 4veb+c =5dir.

3 Hermite ·Interpolasyonu

Bu tipten genel bir problem, aç¬k olarak kendi yap¬s¬yla ili¸skili bir çok ilgi çekici zorluklara sahiptir. Bu konu Birkho¤ interpolasyonu olarak bilinmektedir ve son zamanlarda oldukça fazla miktarda ara¸st¬rma bu konuya ayr¬lm¬¸st¬r.

s¬n¬f¬n¬tart¬¸saca¼g¬z. Bu k¬s¬tlanm¬¸s s¬n¬ftaki problemler genellikle Hermite interpolasyonu olarak bilinir.

Bu tipten genel bir problem, aç¬k olarak kendi yap¬s¬yla ili¸skili bir çok ilgi çekici zorluklara sahiptir. Bu konu Birkho¤ interpolasyonu olarak bilinmektedir ve son zamanlarda oldukça fazla miktarda ara¸st¬rma bu konuya ayr¬lm¬¸st¬r.

¸

Simdi interpolasyon polinomlar¬n¬n tek bir çözüme sahip olan geni¸s bir s¬n¬f¬n¬tart¬¸saca¼g¬z. Bu k¬s¬tlanm¬¸s s¬n¬ftaki problemler genellikle Hermite interpolasyonu olarak bilinir.

Bir Hermite probleminde; bir p^(j)(x_i)türevinin (bir x_i nodunda) verildi¼gi her zaman, p^{(j 1)}(xi), p^{(j 2)}(xi), ..., p⁰(xi)ve p(xi) nin de verildi¼gini kabul ediyoruz. Gösterimimizi, x_i nodunda k_i tane interpolasyon ko¸sulu belirlenmi¸s ¸sekilde seçiyoruz. Dikkat edilirse k_i de¼geri i ye göre de¼gi¸sebilir. Nodlar x0, x1, ..., xn olsun ve xi nodunda

p^(j)(x_i) =c_ij (0 j k_i 1, 0 i n) (1)

interpolasyon ko¸sullar¬verilsin. p üzerindeki toplam ko¸sul say¬s¬m+1 ile gösterilir ki böylece

m+1=k₀+k₁+ +k_n (2)

dir.

Teorem (Hermite ·Interpolasyonu) Πm de

p^(j)(xi) =cij (0 j ki 1, 0 i n)

e¸sitli¼gi ile verilen Hermite interpolasyon ko¸sullar¬n¬sa¼glayan tek bir p polinomu vard¬r.