lim 1 = 1 ve 1 6= 2 oldu˘gu i¸cin Dizi kriterinden, limx→2f (x) (sonlu veya sonsuz olarak) var olamaz

MT 242 ANAL˙IZ 4 ARA SINAV (2017) C¸ ¨OZ ¨UMLER

1. Hem Q hem de Q^∗, R de yo˘gun oldu˘gu i¸cin ∀n ∈ N i¸cin xn ∈ Q, xn 6= 2 ve lim x_n = 2 ve ∀n ∈ N i¸cin yn ∈ Q^∗, y_n 6= 2 ve lim y_n = 2 olacak ¸sekilde (x_n) ve (y_n) dizileri vardır ( ¨Orne˘gin x_n = 2 + _n¹, y_n = 2 +

√2

n ). lim f (x_n) = lim x_n = 2 ve lim f (y_n) = lim 1 = 1 ve 1 6= 2 oldu˘gu i¸cin Dizi kriterinden, lim_x→2f (x) (sonlu veya sonsuz olarak) var olamaz.

(C¸ ¨unki lim_x→2f (x) = L olsaydı, dizi kriterinden, 2 = lim f (x_n) = L = lim f (y_n) = 1 olurdu.)

2. M ∈ R verilsin. limx→cf (x) = +∞ oldu˘gu i¸cin, 0 < |x − c| < δ iken f (x) > M olacak

¸sekilde bir δ > 0 sayısı vardır. Aynı δ sayısı i¸cin, 0 < |x − c| < δ iken g(x) > f (x) > M olur. Bu da, lim_x→cg(x) = +∞ oldu˘gunu g¨osterir.

3. Bir ε > 0 sayısı verilsin. δ ≤ 1 oldu˘gunu varsayalım. |x − 3| < δ olsun. Bu durumda

|x + 2| ≤ |x − 3| + 5 < 6 olur ve

|f (x) − f (3)| = |x² − x + 2 − 8| = |x − 3||x + 2| < 6|x − 3| < 6δ

olur. δ sayısını, δ ≤ 1 ve 6δ ≤ ε olacak ¸sekilde se¸cebilirsek, f nin c = 3 de s¨urekli oldu˘gu g¨osterilmi¸s olacaktır. δ = min{1,^ε₆} se¸cti˘gimizde her iki ko¸sul da sa˘glanır. ¨Oyleyse, f nin c = 3 de s¨urekli oldu˘gu g¨osterilmi¸stir.

4. f, [a, b] aralı˘gında s¨urekli oldu˘gundan, |f | de [a, b] aralı˘gında s¨ureklidir. Maksimum- Minimum Teoreminden, |f | bir c ∈ [a, b] sayısında [a, b] aralı˘gındaki minimum de˘gerine ula¸sır. Kabulum¨uzden, bir z ∈ [a, b] sayısı i¸cin |f (z)| ≤ ¹₂|f (c)| olur. |f |, c de [a, b]

aralı˘gındaki minimum de˘gerine ula¸stı˘gı i¸cin |f (c)| ≤ |f (z)| olur.

Bu ikisinden, |f (c)| ≤ ¹₂|f (c)| elde edilir. (MT 241 dersinde g¨osterildi˘gi gibi) bu ancak

|f (c)| = 0 iken do˘gru olur. |f (c)| = 0 olması da f (c) = 0 olmasına e¸sde˘gerdir.

5. f nin I = [a, b] aralı˘gında sabit olmadı˘gını varsayalım. S¨urekli fonksiyonların aralıkları koruma ¨ozelli˘ginden, f (I) da bir aralık olur. Q, R de yo˘gun oldu˘gu i¸cin f (I) aralı˘gında en az bir rasyonel sayı vardır. Ama kabul¨um¨uzden, f nin rasyonel de˘gerler almadı˘gını biliyoruz. C¸ eli¸ski. ¨Oyleyse f, I = [a, b] aralı˘gında sabit olmalıdır.

6. Bir ε > 0 sayısı verilsin. x, y ∈ [−¹₂, +∞) oldu˘gunda |x + 1| ≥ ¹₂ ve |y + 1| ≥ ¹₂ olur ve (|x − y| < δ ve x, y ∈ [−¹₂, +∞) oldu˘gu zaman)

|f (x)−f (y)| =    

x

x + 1 − y y + 1

=    

x − y (x + 1)(y + 1)

= |x − y|

|x + 1||y + 1| ≤ |x − y|

1

2 · ¹₂ = 4|x−y| < 4δ olur. δ = ^ε₄ se¸cti˘gimizde

|x − y| < δ ve x, y ∈ [−¹₂, +∞) oldu˘gunda |f (x) − (y)| < ε oldu˘gu yukarıda g¨osterilmi¸stir.

1

7. Bir ε > 0 sayısı verilsin.

f, A da d¨uzg¨un s¨urekli oldu˘gu i¸cin,

|x − y| < δ₁ ve x, y ∈ A oldu˘gunda |f (x) − f (y)| < ε 2 olacak ¸sekilde bir δ₁ > 0 sayısı vardır.

g, A da d¨uzg¨un s¨urekli oldu˘gu i¸cin,

|x − y| < δ2 ve x, y ∈ A oldu˘gunda |g(x) − g(y)| < ε 2 olacak ¸sekilde bir δ₂ > 0 sayısı vardır.

δ = min{δ₁, δ₂} olsun. δ > 0 ve δ ≤ δ₁ ve δ ≤ δ₂ olur.

|x − y| < δ ve x, y ∈ A ise |x − y| < δ₁ ve |x − y| < δ₂ olur ve bunun sonucunda

|(f +g)(x)−(f +g)(y)| = |(f (x)−f (y))+(g(x)−g(y))| ≤ |f (x)−f (y)|+|g(x)−g(y)| < ε 2+ε

2 = ε olur. Bu da f + g nin A k¨umesinde d¨uzg¨un s¨urekli oldu˘gunu g¨osterir.

2