İnşaat Fakültesi Akışkanlar Mekaniği İnşaat Mühendisliği Bölümü

İnşaat Fakültesi Akışkanlar Mekaniği İnşaat Mühendisliği Bölümü

Uygulama –VI

Akışkanların Kinematiği

Soru 1 : Bir akım alanı ⃗ V =−x . ⃗i+2 y . ⃗j+(5−z ) . ⃗k şeklinde verilmektedir. Akım çizgisinin x-y, y-z, x-z düzlemleri üzerindeki izdüşüm denklemlerini bulunuz; x, y ve z doğrultularındaki ivme bileşenlerini hesaplayınız.

Çözüm 1 :

⃗ V =−x . ⃗i+2 y . ⃗j+(5−z) . ⃗k

Akım çizgisi denklemi: dx

u ( x , y , z ,t ₁ ) ⁼

dy

v ( x , y , z , t ₁ ) ⁼

dz w ( x , y , z , t ₁ )

x-y düzlemi üzerindeki izdüşüm denklemi:

∫ ₋ ^dx _x ⁼ ∫ _{2 y} ^dy ⇒−2 lnx=lny+lnc ⇒−2 lnx−lny=lnc ⇒ ln 1

x ² y =lnc ⇒c= 1 x ² y

y-z düzlemi üzerindeki izdüşüm denklemi:

∫ ₋ ^dy _x ⁼ ∫ _5−z ^{dz ⇒lny(5−z) 2 = lnc⇒ y= c}

(5−z ) ²

x-z düzlemi üzerindeki izdüşüm denklemi:

∫ ₋ ^dx _x ⁼ ∫ ^dz

(5−z ) ⇒ln [ ^{1 x . (5−z)} ] ^{= lnc⇒ c=5−z x}

x doğrultusundaki ivme bileşeni :

a _x = du dt =u ∂ u

∂ x + v ∂ u

∂ y +w ∂ u

∂ z + ∂ u

∂t =−x . (−1 )+2 y .0+(5−z) .0=x =−u

y doğrultusundaki ivme bileşeni :

a _y = dv dt =u ∂ v

∂ x + v ∂ v

∂ y + w ∂ v

∂ z + ∂ v

∂ t =−x .0+2 y .2+(5−z) .0+0=4 y=2 v

z doğrultusundaki ivme bileşeni :

a _z = dw

dt = u ∂ w

∂ x + v ∂ w

∂ y +w ∂ w

∂ z + ∂ w

∂ t =−x . (−1)+2 y .0+(5−z).0=−(5−z)=−w

Soru 2 : Bir hız alanı u=V.cos, v=V.sin, w=0 hız bileşenleri ile veriliyor. Burada V ve θ sabit olduğuna göre, akım çizgisinin ifadesini elde ediniz.

Çözüm 2 :

Akım çizgisi denklemi: dx

u ( x , y , z ,t ₁ ) ⁼

dy

v ( x , y , z , t ₁ ) ⁼

dz w ( x , y , z , t ₁ )

dx u = dy

v ⇒ dx

V . cos θ = dy

V .sin θ ⇒ ∫ _{cos θ} ^{sinθ dx=} ∫ ^dy ⇒ tan θ . x+c ₁ = y +c ₂ ⇒ y=x . tan θ+c

Soru 3 : İki boyutlu permanan bir akımın hız bileşenleri u=x

-y

, v=-2xy şeklinde verildiğine göre, akım çizgisinin ifadesini elde ediniz.

Çözüm 3 :

Akım çizgisi denklemi: dx

u ( x , y , z ,t ₁ ) ⁼

dy

v ( x , y , z , t ₁ ) ⁼

dz w ( x , y , z , t ₁ )

www.altunkaynak.net 1

İnşaat Fakültesi Akışkanlar Mekaniği İnşaat Mühendisliği Bölümü

Uygulama –VI

Akışkanların Kinematiği

dx u = dy

v ⇒ dx

x ² − y ² = dy

−2 xy ⇒−2 xydx= ( x ² − y ² ) dy

∫ ^{df =} ∫ ^{2 xydx+} ∫ ^{( x 2 − y 2 ) dy} ⇒ f (x , y)= 2 x ² y 2 − y ³

3 + x ² y +c

⇒ f ( x , y )=2 x ² y− y ³

3 + c ⇒2 x ² y− y ³ 3 =c

Soru 4: Şekildeki manometreler aynı basınç değerini gösterdiğine göre enerji kayıplarını ihmal ederek B borusunun çapını (d) belirleyiniz. (Borunun düşeyde olduğu göz önüne alınmalıdır.)

Çözüm 4:

v _A =3 m/s ,d _A =0.3 m , d _B =?

Süreklilik denkleminden;

Q=v _A . A _A =v _B A _B ⇒ 3 x π ( 0.3 ) ²

4 = v _B π d _B ²

4 ⇒ v _B = 0.27 d _B ²

A-B arasında Bernaulli denklemi yazılırsa,

Z _A + P _A γ + v _A ²

2 g =Z _B + P _B γ + v _B ²

2 g v _A ²

2 g + ( ^z A − z _B ) ^{= v B}

2

2 g → (3 ) ²

19.62 +1= v _B ²

19.62 → v _B =5.35 m/s → d _B =0.225 m

Soru 5: İdeal akışkan halinde, şeklindeki hazne boru sisteminin debisini hesaplayınız. Rölatif enerji ve piyezometre çizgilerini çiziniz.

Çözüm 5:

A-E arası Bernoulli Denklemi yazılırsa;

www.altunkaynak.net 2

İnşaat Fakültesi Akışkanlar Mekaniği İnşaat Mühendisliği Bölümü

Uygulama –VI

Akışkanların Kinematiği

Z _A + P _A γ + v _A ²

2 g =Z _E + P _E γ + v _E ²

2 g 1+0+0=0+0+ v E 2

2 g → 1= v E 2

19.62 → v _E = 4.43 m/ s D _BC = D _DE → v _BC = v _DE =4.43 m/s → v BC 2

2 g = v DE 2

2 g =1 m Q=v _DE A _DE →Q=4.43 3.14 (0.05) ²

4 →Q=0.0087 m ³ / s 0.0087=v _CD ² π (0.1 ) ²

4 → v _CD =1.11 m/ s

Soru 6: Şekildeki hazne boru sisteminde:

a- Borulardan geçen debiyi,

b- A, B, C ve D noktalarındaki hızları ve basınçları bulunuz.

c- Sistemin mutlak ve rölatif enerji ve piyezometre çizgilerini çiziniz.

d- Suyun buharlaşma basıncı mutlak olarak 2.26 kN/m

olduğuna göre h nın en büyük değeri ne olmalıdır?

Çözüm 6:

a)

1-2 arası Bernoulli Denklemi Yazılırsa;

z ₁ + P ₁ γ + v ₁ ²

2 g =z ₂ + P ₂ γ + v ₂ ²

2 g →7= v ₂ ²

2 g +6.5 → v ₂ =3.13 m/s Q=v ₂ A ₂ →Q=3.13 x π (0.2) ²

4 =0.0984 m ³ /s Q=v _A A _A =v ₂ A ₂ Süreklilik Denklemi

www.altunkaynak.net 3

İnşaat Fakültesi Akışkanlar Mekaniği İnşaat Mühendisliği Bölümü

Uygulama –VI

Akışkanların Kinematiği

0.0984=v _A π (0.4 ) ²

4 → v _A =0.783 m/s → D _A = D _B → v _A = v _B D ₂ = D _D =D _C → v ₂ = v _D =v _C =3.13 m/s

v _A ²

2 g =0.0313 m , v ₂ ²

2 g =0.5 m

Basınçları bulmak için Bernoullin Denkleminden faydalanılır.

1-A arası

z ₁ + P 1

γ + v 1 2

2 g =z _A + P A

γ + v A 2

2 g →7+0+0= (0.783) ² 2 g + P A

γ + 3→ P A

γ =3.97 m→ P _A =38.95 kN /m ²

b) Aynı şekillerde ;

1-B arası Bernoulli yazılarak → P _B =−29.72 kN /m ²

1-C arası Bernoulli yazılarak → P _C =−34.34 kN /m ²

1-D arası Bernoulli yazılarak → P _D =63.77 kN /m ²

c)

d)

1-C arası Bernoulli yazılırsa;

z ₁ + P ₁ γ + v ₁ ²

2 g =z _C + P _C γ + v _C ²

2 g →10+0+0=0.5+0.23+z _C → z _C =9.27 m

www.altunkaynak.net 4