Bağıntı ve Fonksiyon

(1)

4-1

Ders 4

Konular

(2)

4-3

Bağıntı

Bağıntı Örneği

(3)

4-5

Bağıntı Bileşkesi

Bileşke Matris Örneği

(4)

4-7

Birleşme Özelliği

Bileşke Özelliği

(5)

4-9

Bileşke Özellikleri

Evrik Bağıntı – Ters Bağıntı

(6)

4-11

Evrik Bağıntı Özellikleri

Evrik Bağıntı Teoremleri

(7)

4-13

Evrik Bağıntı Teoremleri

(8)

4-15

Bileşke Evriği

Bileşke Evriği Matrisi

(9)

4-17

Kümeiçi Bağıntı

Simetrik

Yansıyan, reflexive

Bağıntıların Özellikleri

Tanım: R, A kümesi üzerinde bir bağıntı olsun. O halde R;

i. Tüm aA için, sadece ve sadece aRa ise yansıyandır.

(reflexive).

ii. a,bA için aRb, sadece ve sadece bRa anlamına geliyorsa simetriktir (bakışlıdır).

iii. a,bA için aRb ve bRa sadece ve sadece a=b anlamına geliyorsa ters simetriktir (ters bakışlıdır).

iv. a,b,cA için aRb ve bRc sadece ve sadece aRc anlamına geliyorsa geçişlidir (transitive).

(10)

4-19

Örnek

• Örnek: A={a,b,c,d} ve

R={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(d,d)}

olsun.

• R bağıntısı yukarıdaki tanımdaki hiçbir özelliği sağlamaz.

• R yansıyan değildir çünkü cRc değildir; bu nedenle tüm xA için xRx doğru değildir.

• R simetrik değildir zira örneğin aRc’dir fakat cRa değildir.

• Rters simetrik değildir zira aRb ve bRa ‘dır fakat a=b değildir.

• R geçişli değildir çünkü aRb ve bRd ‘dir fakat aRd değildir.

UYARI

• Verilen digraphlar veya ikili matrisler ile bağıntı özelliklerinin anlaşılması mümkündür.

• Eğer bağıntı yansıyan bağıntı ise R’ nin digraphının her noktasından kendisine bir yönlü ok vardır.

• İkili matrisinde ise diyagonal elemanların hepsi 1’ dir.

• Eğer R simetrik ise digraphtaki okların tamamı iki-yönlüdür.

• Ters simetrik ise okların hiçbiri iki yönlü değildir.

• Öte yandan geçişli bağıntıların digraphlarından veya ikili matrislerinden özellik tanımlamak zordur.

(11)

4-21

Yansıma

Yansıma Örnekleri

(12)

4-23

Ters Yansıma

Bakışlılık - Simetrik

(13)

4-25

Bakışsızlık (simetrik değil)

Ters Bakışlılık (Ters Simetri)

(14)

4-27

Geçişlilik

Geçişsizlik

(15)

4-29

Ters Geçişlilik

Evrik Bağıntı

(16)

4-32

Özel Bağıntılar

(17)

4-34

Özel Bağıntılar

(18)

4-42

Eşdeğerlilik

Bölmeleme veya Eşdeğerlik Sınıfları

(19)

4-44

Fonksiyon

Birebir Fonksiyon

(20)

4-46

Örten Fonksiyon

Bijektif Fonksiyon

(21)

4-48

Altküme Görüntüsü

Fonksiyon Bileşkesi

(22)

4-50

Fonksiyon Bileşkesi Örnekleri

Fonksiyon Bileşkesi Teoremleri

(23)

4-52

Fonksiyon Bileşkesi Teoremleri

Birim Fonksiyon

(24)

4-54

Evrilebilir (Ters) Fonksiyon

Fonksiyon Evriği

(25)

4-56

Evrilebilir (Ters) Fonksiyon

Evrilebilir Fonksiyon

(26)

4-58

Permutasyonlar

Çevrimli Permutasyon

(27)

4-60

Permutasyon Bileşkesi

Çevrimli Permutasyon Bileşkesi

(28)

4-62

Transpozisyon Bileşkesi

Güvercin Deliği İlkesi

(29)

4-64

Güvercin Deliği İlkesi

Genelleştirilmiş Güvercin Deliği İlkesi

(30)

4-66

Güvercin Deliği İlkesi Örneği

(31)

4-68

Güvercin Deliği İlkesi Örneği

Her için

Buradan p nin tek olduğu ortaya çıkar.

S kümesinden 101 tane eleman seçildiğinden güvercin deliği ilkesinden dolayı olmak üzere

x S

2^r , 0 ve (2, ) 1.

x p r  obeb p 

1,3,5,...,199 100

y T  ve T 

p T

(32)

4-70

Rekürsif Fonksiyonlar

Tümevarımla Tanımlanan Fonksiyon Örnekleri

(33)

4-72

Öklid Algoritması

Fibonacci Dizisi

(34)

4-74

Fibonacci Dizisi

Ackermann Fonksiyonu