Seminormlu Uzaylarda Modulus Fonksiyon Dizileri Yardımıyla Tanımlanmış Yeni Bir Dizi Uzayı 1

Seminormlu Uzaylarda Modulus Fonksiyon Dizileri Yardımıyla Tanımlanmış Yeni Bir Dizi Uzayı ¹

Kamil Akbayır^2*, Tunay Bilgin²

2Eğitim Fakültesi, Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Bölümü, Van Yüzüncü Yıl Üniversitesi, 65080, Van,

* kamilakbayir@yyu.edu.tr

Özet: Bu çalışmada ^{F }

 

^f_k bir modulus fonksiyon dizisi, ^p

 

^p_k pozitif terimli bir dizi ve

 

mk

A a pozitif terimli sonsuz bir matris olmak üzere yeni bir



^{p F q s, , ,}



dizi uzayı tanımlanarak, bu uzayın bazı Topolojik özellikleri ve uzayla ilgili bazı kapsama bağıntıları verilecektir.

Anahtar kelimeler: Modulus fonksiyonu, Dizi uzayları, Topoloji.

A New Sequence Space On The Spaces With Seminorm Defined By The Modulus Function Sequences

Abstract: In this work we introduce a new



^{p F q s, , ,}



sequence space that consists of ^{F }

 

^f_{k a}

modulus function, p

 

pk

a sequence with positive terms and A

 

amk

a matrix with positive terms, and study some topological properties of this space and some inclusion relations related to this space.

Key words: Modulus function, Sequence spaces, Topologi.

Giriş

(Nakano, 1953) tarafından ortaya atılan modulus fonksiyonu fikri dizi uzayları çalışmasına yeni bir boyut kazandırdı. Maddox (1986), kuvvetli Cesàro toplanabilme tanımının genelleştirmesi olan, moduluse göre kuvvetli Cesàro toplanabilen dizilerin sınıfını, w f olarak tanımladı. (Connor,

 

1989), (Maddox, 1986)’nın tanımını Cesàro matrisi yerine herhangi negatif olmayan regüler matris alarak ^{w A f}



^,



toplanabilme metoduna genelleştirdi.

(Bilgin, 1992) tarafından yarınormlu uzay üzerinde; f bir modulus fonksiyon, p

 

pk pozitif terimli bir dizi ve A

 

amk pozitif terimli sonsuz

bir matris olmak üzere

 

, _p, ( ), ( , )p I p s ve L f dizi uzaylarının bir genelleştirmesi olan



p f q s dizi uzayı ve ^{, , ,}



  

C I, , C I p w A w A p w f ve w A f, ,

      

, , , ,



,



toplanabilme metotlarının bir genelleştirmesi olan w A p f q s



^{, , , ,}



toplanabilme metodunu tanımladı, ayrıca f bir modulus fonksiyon iken vIN için f nin modulus fonksiyon olduğunu ^v göstererek



^{p f, v, ,q s}



dizi uzayı ve



^{, , v, ,}



w A p f q s toplanabilme metoduna genelleştirildi.

(Şahiner, 2002) tarafından f bir modulus fonksiyon, p

 

pk pozitif terimli bir dizi olmak üzere Bg



p f q s ^{, , ,}



dizi uzayını, (Esi, 1999b) tarafından f bir modulus fonksiyon, p

 

pk pozitif terimli bir dizi ve A

 

amk pozitif terimli sonsuz bir matris olmak üzere



^{, , ,}



w A p f s dizi uzayını, (Başarır, 2001) tarafından f bir modulus

fonksiyon, p

 

pk pozitif terimli bir dizi olmak üzere w f p

 

, dizi uzayını, (Bilgin, 2003) tarafından f bir modulus fonksiyon ve A

 

amk pozitif terimli sonsuz bir matris olmak üzere



^{A V, , , f}



dizi uzayını ve



^{, A}



^-

istatistiksel yakınsaklık tanımını, (Bhardwaj ve Singh, 2001) tarafından f bir modulus fonksiyon, r

 

rk pozitif terimli bir dizi olmak üzere

     

__ __ __

, ,

p p p

N r N f ve N f r dizi

uzayları tanımlandı.

Şunu belirtelim ki, modulus fonksiyon yardımıyla bir çok uzay oluşturulmuştur (Banerji and Galiz, 2000;

Soomer, 1999, 2000; Esi, 2000; Kolk, 1990, 1993, 1997, 2013; Bilgin, 1994, 1996, 2004; Bilgin ve Altun, 2007; Raj and Sharma, 2011; Karakaya ve Şimşek, 2004; Bhardwaj and Bala, 2009 ve diğerleri).

Yöntem

Biz bu çalışmamızda (Bilgin, 1992) tarafından çalışılmış ^{( , , , )p f q s} dizi uzayını, F (f_k)

modulus fonksiyon dizisi yardımıyla genelleştirilerek ( , , , )p F q s dizi uzayını inşa edip bazı özelliklerini vereceğiz.

Önce kullanılacak temel tanım, teoremler ve eşitsizlikler verilecektir.

Tanım 1 (Yarı Norm) ,

X Kcismi üzerinde bir lineer uzay olsun. Eğer q:XR fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlıyorsa, q’ya bir yarı norm,



X q ya da yarı normlu uzay denir ^,



(Maddox, 1970).

i) (q x)  q x( ), ii) q x( y)q x( )q y( ).

Tanım 2. (Paranormlu Uzay) ,

X K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. Eğer g : X R

fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa g’ye bir paranorm ve



^{X g ,}



ikilisine de paranormlu uzay denir (Maddox, 1970). Her K ve x y, X için

i) g( ) 0 ii) ^{g x( ) g( x)}

iii) ^{g x( y)g x( )g y( )}

iv) λλ₀ ve g(x - x )₀ 0 iken

λx-λ₀x₀0

g .

Tanım 3

1 2

q ve q , X üzerinde iki yarınorm olsun. q kuvvetli ₁ q olması için ₂  u X alındığında, q u₂( )Mq u₁( ) olacak şekilde M sabitinin var olmasıdır (Wilansky, 1964).

Tanım 4

X boş olmayan bir cümle olsun.

Eğer, d:XxX IR fonksiyonu aşağıdaki özellikleri

sağlıyorsa, d ’ye bir yarımetrik ve



X d ye de yarımetrik uzay denir ^,



(Maddox, 1970). x y z, , X için, i) ^{d x x( , )0}

ii) ^{d x y( , )d y x( , )}

iii) ^{d x z( , )d x y( , )d y z( , )} Tanım 5 (Modulus Fonksiyonu)



0,^^



0,^

:

f olsun. Aşağıdaki

özellikleri sağlayan f fonksiyonuna bir modulus fonksiyonu denir (Nakano, 1953).

i) ^f(x)0  ^x0

ii) Her ^x,y0 için ^{f(xy) f(x)f(y)}, iii) ^f , artan,

iv) ^f , 0 da sağdan süreklidir.

f , modulus fonksiyonu sınırlı ve sınırsız olabilir. (ii) den f(x)f(y) f(xy) ve (iv) den f nin [0,) üzerinde her yerde sürekli olduğu görülür.

 

k

F  f modulus fonksiyonların dizisi olsun. Aşağıda vereceğimiz şartlar ileride kullanılacaktır.

(M1) sup _k( ) , 0 ;

k

f t    t için (M2)

0

lim _k( ) 0,

t f t

  ( k1 için düzgün) (Kolk, 1990).

Tanım 6 (Tam Paranormlu Uzay) Bir



X g paranormlu uzayında ^,



alınan her Cauchy dizisi bu uzayın bir noktasına yakınsıyorsa,



X g uzayına ^,



tam paranormlu uzay denir.

Eşitsizlikler Her k için,

0 sup

k k

k

p  ve H  p olmak üzere

k

k b

a , olsun. Bu taktirde,

a)^{akbk pk C a}



^{k pk bk pk}



^{, Cmax(1, 2H1)}

dir.

b) ^{pk max 1,}



^H



( , , , )p F q s Dizi Uzayı ve Bazı Özellikleri

Bu kısımda, ilk olarak, F (f_k) modulus fonksiyonlarının bir dizisi olmak üzere ( , , , )p F q s dizi uzayı tanımlanarak, (X,q)’nun tam olması durumunda, tam paranormlu uzay olduğu gösterilecek, ikinci olarak dual uzayı ve çarpım uzayı ile ilgili birer teorem verilecek. Son olarak da bazı kapsama bağıntıları verilecektir.

X,  sıfır elemanlı kompleks (veya reel) lineer uzay ve X= (X,q), q yarınormu ile yarınormlu bir uzay olsun.

X-değerli dizilerin uzayını S(X) ile gösterelim. S(X); x(x_k),y (y_k) ve 

bir skaler olmak üzere, xy(x_k y_k) ve x(x_k) şeklinde tanımlanan işlemler altında bir lineer uzaydır.

( _k)

F  f modulus fonksiyonunun bir dizisi ve p(p_k) pozitif terimli reel bir

dizi olmak üzere X

 

( , , , ) ( ) : ^s _k ( )_k ^pk , 0

k

p F q s  x S X



k^ f q x    s  uzayını tanımlayalım. ( )X ile  dan farklı terimleri sonlu olan X-değerli dizilerin uzayını gösterirsek,

( )X ( , , , )p F q s

  olduğunu görmek

zor değildir. O halde tanımladığımız ( , , , )p F q s uzayının bir anlamı vardır.

Çalışma boyunca p(p_k) dizisini her k için 0 _k sup _k

k

p p H

   olarak alacağız.

Burada k için f_k  f seçilirse uzayımız,

 

( , , , ) ( ) : ^s ( )_k ^pk , 0

k

p f q s  x S X



k^ f q x    s  dizi uzayına dönüşür (Bilgin, 1992).

( , , , )p f q s de



X q yerine ^,

 

^C,



alınır ve p f s, , den biri veya birkaçı özel seçilirse (Maddox, 1970) tarafından tanımlanmış , _pve ( )p , (Bulut ve Çakar, 1979) tarafından tanımlanmış ( , )p s ve (Ruckle, 1973) tarafından tanımlanmış ( )f dizi uzaylarını özel hal olarak elde ederiz.

Bulgular

Önce kullanacağımız bir eşitsizlik verilecektir.

Lemma 1

Herhangi bir k sabiti için F (f_k) modulus fonksiyonunun bir dizisi ve 01 olsun. Bu taktirde









 0,

,k IN ve t

v için,

 

1 2 (1) 1

( ) ( ) ( )

v v k v

k k k

f t  ise f t f f t



   

olur. Burada

0

fk I özdeşlik dönüşümüdür.

İspat:

01, vIN ve t



0,



için

1( )

v

fk^ t  olsun. 01 olduğundan,

1 1

1 ( ) ( )

( ) 1

v v

v k k

k

f t f t

f t

 

 

  

    

  olur. Bu eşitsizliğe f^k

modulüsünü uygularsak,

 

 

1 1

1 1 1

1

( ) 1 ( )

( ) ( ) ( ) 2 (1)

( ) 1 (1) (1) ( )

v

v k

k k k

v v v

v k k k k v

k k k k

f t

f f t f

f t f t f t f

f t f f f t



   

 

  



  

   

 

 

    

 

       

    

 

elde edilir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Şimdi tanımladığımız ( , , , )p F q s uzayının lineer uzay olduğunu gösterelim.

Lemma 2

( , , , )p F q s lineer uzaydır.

İspat:

S(X) lineer uzay ve

( , , , )p F q s S(X) olduğundan x,y ( , , , )p F q s ve , skalerleri için

x+y ( , , , )p F q s olduğunu

göstermemiz yeterlidir. p, f dizileri ile q _k fonksiyonlarının özellikleri dikkate alınırsa ,  skalerleri ve kIN ve

X y

x_k, _k için,

 

 

       

   

 

   

 

^k

k

k k

p k k

k k

p k k k k

p k k

k p k k k

y q f x q f

y q f x q f

y q x q f y

x q f

) ( )

(

) ( )

(

( )





































   



Tf q xk ^{( )}k Kf q yk ^{( )}k



^pk

 

(1) olur. Burada T, K;  T ve  K olacak şekilde pozitif tamsayılardır.

Ayrıca Eşitsizlik (a) göz önüne alınırsa,

   



^{Tf q xk ( )k Kf q yk ( )k}



^{pkC Tf q x}



^{ k}

 

^{( )k   pk Kf q yk}

 

^{( )k pk}





^{( )}



^pk



^{( )}



^pk

H H

k k k k

CT f q x CK f q y

     

olacaktır.

Bu ve (1) eşitsizliğinden,

 



f q xk ⁽ kyk⁾



^pk CT^Hf q xk

 

^{( )}k ^pk CK^Hf q yk



^{( )}k



^pk olur. Böylece k için k^s 0 olduğundan , skalerleri ve kIN ve

X y

x_k, _k için,

 



^{( )}



^pk



^{( )}



^pk

s s H

k k k k k

k^ f q x y k CT^ f q x  



^{( )}



^pk

s H

k k

k CK^ f q y  (2) eşitsizliği elde edilir. CT^H ve CK^H

ifadeleri sabit ve

( _k), ( _k)

x x y y  ( , , , )p F q s

olduğundan (2) eşitsizliğinde k=1 den

’a toplam alınırsa

x+y ( , , , )p F q s olduğu görülür.

Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 1

( , , , )p F q s ,

 

¹

( ) ( ) ^k

M s p

k k

k

g x  k^ f q x  







ile bir paranormlu uzaydır.(M=max(1,H))

Teorem 2



^{X q,}



_{tam ise (} ( , , , )p F q s ,g) tam paranormu uzaydır.

İspat:

Bunun için ( , , , )p F q s de bir (xⁿ) Cauchy dizisi alalım. ( )xⁿ Cauchy dizisi olduğundan,

0için n_o m n, n_o

      için,

 

¹

( ) ( ) ^k

M

n m s n m p

k k k

k

g x x 



k^ f q x x    ⁽³⁾ dır. Ayrıca her k sabiti için,

 



^{ksf q xk ( knxmk) pk}



^{1M }_

^

_k ^{ksf q xk}

^

^{( knxkm)}

^

^{pk}_^1M

olacağından ,m nn_o için,

 



^{ksfk q x( knxkm) pk}



^{1M  ve fk}

modulus fonksiyonu olduğundan, her bir k sabiti için,

 

 

¹

 

¹

, ,

lim ( ) lim ( )

k k

p M p M

s n m s n m

k k k k k k

n m k^ f q x x k^ f n m q x x

 

   

     

     

eşitliği,

,

lim ( _kⁿ _k^m) 0

n m q x x

   olmasını

gerektirir. O halde sabit her k için (x_kⁿ), ( , )X q da bir Cauchy dizisidir.

( , )X q tam olduğundan her bir k için, ( _kⁿ _k) 0 ( )

q x y  n  (4) olacak şekilde X de bir y (y_k) dizisi vardır. Şimdi biz y ( , , , )p F q s olduğunu gösterelim. ( , , , )p F q s lineer yarımetrik uzay ve ( )xⁿ Cauchy dizisi olduğundan g x( ⁿ) K olacak şekilde pozitif K sabiti vardır. Dolayısıyla herhangi bir t için,

 

¹

1

( ) ^k

t p M

s n

k k

k

k^ f q x K



    

   





 ^olur.

( _kⁿ) ( _k) ( _kⁿ _k)

q x q y q x y olduğundan, (4) ve f nın sürekliliğinden _k

 

 

 

1

1

1

1

1

1

lim ( )

lim ( )

( )

k

k

k

t p M

s n

k k

n k

t p M

s n

k k

k n t M

s p

k k

k

k f q x K

k f q x K

k f q y K



 



 





    

   

 

    

   

 

    

   

 







elde edilir. Burada, t  için limit alınırsa,



^{( )}



^{pk 1M}

s

k k

k

k^ f q y K

    

   





 olur. Bu

da y ( , , , )p F q s olduğunu gösterir.

Şimdi de, g x( ⁿ y)0 (n ) olduğunu gösterelim. (3) den dolayı

herhangi bir t için m n, n_o olduğundan,

 

¹

1

( ^k

t p M

s n m

k k k

k

k^ f q x x 



     

   





 ^olur.

Ayrıca,

( _kⁿ _k^m) ( _kⁿ _k) ( _k^m _k) q x x q x  y q x y

eşitsizliği ve (4) den,

( _kⁿ _k^m) ( _kⁿ _k) ( ) q x x q x y m  olacağından,

 

 

1

1

1

1

lim ( )

lim ( )

k

k

t p M

s n m

k k k

m k

t p M

s n m

k k k

k m

k f q x x

k f q x x







 



 

     

   

 

     

   

 





ol

urBurada t  için limit alırsak nn_o için,



^{( )}



^{pk 1M}

s n

k k k

k

k^ f q x y 

     

   





 ^elde

ederiz. Bu da, g x( ⁿ y)0 (n ) demektir. Böylece ( , , , )p F q s nin tam paranormlu (veya tam lineer yarımetrik) uzay olduğunu göstermiş oluruz.

Teorem 3 ( _k)

F  f dizisi düzgün sınırlı ve s1 olsun. Bu durumda x ( , , , )p F q s olduğunda,

k k k



a x ^{yakınsak(ak)dir} İspat:

Yeter şart: x ( , , , )p F q s olsun.

(a_k) iken _{k k}

k



a x sonlu toplama dönüşeceğinden yakınsaktır.

Gerek şart: Kabul edelim ki, x ( , , , )p F q s için _{k k}

k



a x ^yakınsak, fakat (a_k) dir. Bu durumda pozitif tamsayıların artan bir (m_k) alt dizisi vardır, öyle ki, 0

mk

a  , k=1,2,... dır.

Şimdi q(u)0 olacak şekilde uX sabit vektörü için ( )y_k dizisini,

( ) , ,

k

k k m

k

u k m

q u a y

k m



 

 

 



(5) olarak tanımlayalım. F (f_k) dizisi düzgün sınırlı olduğundan t



0,



ve

IN k

 için f_k(t)Kolacak şekilde K1 sabiti bulunabilir.

 

( ) 0,

k k

k ve x X için q x

   

olacağından, k ve x_k X için,



^{( )}



k k

f q x K (6) ve dolayısıyla (5) deki dizi içinde,



^{( )}



^pk

 

^pk

s s H s

k k

k k k

k^ f q y   k^ K K k^  

  

olacağından x ( , , , )p F q s dir. Fakat

 

1 _k : 1, 2,...

I  m k  dersek,

1 1

( ) ( ) 1

k k

k k m

k k I m k I

u u

a y a

a q u q u

 

 

  

olacağından _{k k}

k



a y ıraksaktır. Çünkü

 

2 _k : _k

I  m m n dersek,

2

( ) 1

n

k I

s u

q u _





olup, dolayısıyla,

2 2 1

lim ( ) lim ( ) 1 lim 1 1

n ( )

n n n

k I k I k I

q s q u

 q u    







 

  

olacaktır. Bu da kabulümüzle çelişir. O halde (a_k) dir.

Teorem 4



^{( , , , )}



^{( , , )}

M p F q s p F s

  

dir.

İspat:

( _k)

a a  _ olsun. Bu durumda

k için a_k  K olacak şekilde K pozitif tamsayısı bulunabilir. Böylece

 x ( , , , )p F q s için,



^{( )}



^pk



^{( )}



^pk

s s

k k k k k k

k k

k^ f q a x   k^ f a q x 

 

 

 

( ) ( )

k

k

s p

k k

k

H s p

k k

k

k f Kq x

K k f q x





  

    





olur. Bu da a^M



^{( , , , )p F q s}



demektir. Şimdi kabul edelim ki, a^M



^{( , , , )}p F q s olsun. Bu taktirde,



 x ( , , , )p F q s için ax ( , , , )p F q s dir. q(u)0 olacak şekilde uX sabit vektörü için rIN olmak üzere,

, ,..., ,...

( )

r u

x _{ }^  q u ^_

  dizisini göz önüne

alalım. Buna göre,



^{( )}



^pk



⁽¹⁾



^pr

s r s

k k r

k

k^ f q x   r^ f



^olup,

IN r

 için bu seri yakınsak

olacağından, rIN için axr  ( , , , )p F q s olmalıdır. Buna göre

IN r

 için,



^{( )}



^pk



^{( )}



^pk

s s

k k k k k k

k k

k^ f q a x   k^ f a q x 

 

 

^pr

s

r r

r^ f a

    

olur. Bu da a _( , , )p F s demektir.

Teorem 5 Her hangi

( _k), ( _k) ( _k) F f G g ve H  h

modulus fonksiyonları ile ^{q q ve q, 1 2} yarınorm fonksiyonları ve s s s, ,^{1 2} 0

ve (M1), (M2) şartları sağlansın. Buna göre,

i) ^{s1ise ( , , , )p G q s  ( ,p FoG q s, , )} ii) ^{( , , , )p G q s ( ,p H q s, , ) ( ,p GH q s, , )} iii) ( , , , )p F q s¹ ( , , , )p F q s²  ( , ,p F q¹q s², ) iv) q¹

kuvvetli q ise² ( , , , )p F q s¹  ( , , , )p F q s²

v)

sup ( ) , 0

( )

k

k k

g t t

h t    

ise ( ,p H q s, , ) ( , , , )p G q s

vi) s¹ s² ise ( , , , )p F q s¹  ( , , , )p F q s² olur.

İspat:

i) ^{k için fk} lar sıfırda sağdan sürekli olduğundan (M2) den

0 için 01 olacak şekilde  0  0t iken f t_k( )

dur.

 



 



 : ( )

1 k IN gk q xk

I

 



 



 : ( )

2 k IN gk q xk

I dersek

Lemma 1’in ispatındaki metod kullanılırsa (M1) den,



^{( )}

  

^{( )}

  ^

^{2 (1) /}

^{ }

^{( )}

^

k k k k k k k k

g q x iken f g q x  f  g q x elde edilir. Böylece ^{x ( , , , )p G q s} ve s 1 için,

   

1

( ) ^pk ( ) ^pk

s s

k k k k k k

k k I

k^ f og q x k^ f og q x





   

   

 

 

2

( ) ^pk

s

k k k

k I

k^ f og q x







 

     

 

1 2

1 2 1 2

2 (1) ( )

max( , ) max( , ) ( )

k k

k

p p

s s

k k k

k I k I

s s p

k k

k k

k k f g q x

e e k d d k g q x

 

 

 

 

   

     

 

 

olur. Burada

 

^inf

 

1 inf 2 1 2

, , 2 (1) ^k, 2 (1)

k p M

p M

k k

e  e e d  f  d  f  (7)

şeklindedir. Böylece x ^{( ,p FoG q s, , )} olduğu gösterilmiş olur.

ii) ^{k ve xk X için q x( k)0} olduğundan Eşitsizlik (a) dan,

     

(g_k h_k) q x( )_k ^pk  g q x_k ( )_k h q x_k ( )_k ^pk

   

   



^{( )}



^pk



^{( )}



^pk

k k k k

C g q x C h q x

      ve

s 0 k için k^

  olduğundan,

 

( ) ( ) ^pk

s

k k k

k^  g h q x  



^{( )}



^pk



^{( )}



^pk

s s

k k k k

Ck^ g q x  Ck^ h q x  elde edilir. Burada k=1 den ’a kadar

toplam alırsak, ( _k)

x x  ( ,p g q s_k, , ) ( ,p h q s_k, , ) iken ^{x(xk) ( ,p gk h q sk, , )} olduğu görülür.

iii) Bu da (ii) dekine benzer olarak,



( 1 2)( )



^pk

s

k k

k^ f q q x  



1( )



^pk



2( )



^pk

s s

k k k k

Ck^ f q x  Ck^ f q x  eşitsizliğinden elde edilir.

iv) q¹ kuvvetli q² ise Tanım 3 den

2( ) 1( )

k k k

k ve x X için q x Kq x

  

olacak şekilde K pozitif tamsayısı bulunabilir.

Böylece, x ^{( , ,p F q s1, )}ise,

 

2( ) ^pk



1( )



^pk

 

1( ) ^pk

s s M s

k k k k k k

k k k

k^ f q x   k^ f Kq x  K k^ f q x  

  

olur ki, bu da x ( , ,p F q s², )

demektir.

v)

sup ( ) , 0

( )

k

k k

g t t

h t    

olsun. Bu

durumda ^{ t}



^0,



_için ( )^{( )}

k k

g t K

h t  olacak şekilde K1 sabiti vardır.

 

( ) 0,

k k

k ve x X için q x

   

olduğundan, ^{k ve xk X} için ( ( ))

( ( ))

k k

k k

g q x h q x K

ve

dolayısıyla,

 

 

( ( )) ( ( ))

k k k

p

k k p M

p

k k

g q x

K K

h q x

 

veya



g q xk^{( (} k⁾⁾



^pk K^M



h q xk^{( (} k⁾⁾



^pk

olur ki, buradan da ^{ks 0} olduğundan,



^{( ( ))}



^pk



^{( ( ))}



^pk

s M s

k k k k

k^ g q x K k^ h q x

elde edilir. Yine burada k=1 den ’a kadar toplam alınırsa sonuç elde edilr.

vi) s¹ s²

olsun.

0 1 1

k için k^

  

olduğundan, ^{k için ks2ks1} olur.

Böylece ^{k ve xkX} için,

   

2 ( ) ^pk 1 ( ) ^pk

s s

k k k k

k^ f q x  k^ f q x  elde edilir. Buradan da k=1 den ’a kadar toplam alınırsa sonuç elde edilir.

Teorem 6

(M1) ve (M2) şartları sağlansın.

Buna göre,

i) ^{s1ise ( , , )p q s  ( , , , )p F q s} , ii) q¹ q ise² ( , , , )p F q s¹  ( , ,p F q s², )

, iii) ^{( , , )p F q  ( , , , )p F q s} ,

iv) ^{( , )F q  ( , , )F q s} . İspat:

i) Teorem 5 (i) de g t_k( )t alınırsa, ^{s1iken ( , , )p q s  ( , , , )p F q s} olduğu görülür.

ii) q¹q ise u²  X için T¹q u q u¹( ) ²( )T² olacak şekilde ^{T ve T1 2} pozitif sayılar vardır. Buradan da Teorem 5 (iv) den sonuç elde edilir.

iii) Teorem 5 (vi) de ^{s1 0, s2 s} alınırsa, ^{( , , )p F q  ( , , , )p F q s} olduğu görülür.

iv) Teorem 5 (vi) de ^{s1 0, s2 s} ve k için p_k 1 alınrsa, ^{( , )F q  ( , , )F q s} elde edilir.

Teorem 7

s1 ve (M1) sağlansın. Bu durumda,

i) ^{( )q  ( , , , )p F q s} , ii) ^{( , , , )p F q s S X( )},

iii) ^q sınırlı ise

( , , )p q s  ( , , , )p F q s S X( ) dir.

İspat:

i) x _( )q

olsun. Bu taktirde ( _k)

k için q x K

 

olacak şekilde pozitif K sabiti vardır. (M1) den ve k için f^k artan olduğundan



^{( )}



^{( )}

k k k

k için f q x f K T

  

olacak şekilde ^{T 1} sabiti bulunabilir. Böylece, s1için,



^{( )}



^pk

 

^pk

s s M s

k k

k k k

k^ f q x   k^ T T k^  

  

olacağından ^{x ( , , , )p F q s} elde edilir.

ii) (M1) sağlanmış olsun. Bu durumda (6) dan herhangi ^{x(xk)S X( )} için s1 olduğundan,



^{( )}



^pk

 

^pk

s s M s

k k

k k k

k^ f q x   k^ K K k^  

  

elde edilir ki, bu da ^{x ( , , , )p F q s} demektir. O halde ^{S X( ) ( , , , )p F q s} dir. ^{S X( ) ( , , , )p F q s} olduğu zaten açıktır. Bu ikisinden de

( , , , )p F q s S X( ) elde edilir.

iii) ^q sınırlı olsun. Bu durumda k ve xk X

  için,

( _k) q x T

(8) olacak şekilde ^T1 sabiti bulunabilir. O halde herhangi ^{x(xk)S X( )} için s1 olduğunda,



^{( )}



^pk

 

^pk

s s M s

k

k k k

k^ q x  k^ T T k^  

  

elde edilir ki, bu da ^{x ( , , )p q s} demektir. Böylece ^{S X( ) ( , , )p q s} olur.

( ) ( , , )

S X  p q s olduğu açıktır. Bu ikisinden de ^{( , , )p q s S X( )} elde edilir.

Yine (8) ve (M1) den k için f^k lar

artan olduğundan,



^{( )}



k k k

k ve x X için f q x K

  

olacak şekilde ^K1 sabiti vardır. Böylece herhangi ^{x(xk)S X( )} için s1 olduğunda (ii) de olduğu gibi

( , , , )

x p F q s elde edilir ki, bu da ( ) ( , , , )

S X  p F q s demektir.

( ) ( , , , )

S X  p F q s olduğundan ( , , , )p F q s S X( ) elde edilir. Buradan