Kontrol Sistemleri Tasarımı

Kontrol Sistemleri Tasarımı

Prof. Dr. Bülent E. Platin

Sistem Dinamiği ve Kontrol Çalıştayı 31 Ağustos – 02 Eylül 2016

Frekans Yanıtı

Tanım

Kararlı bir sistemin sinüs girdisine sürekli rejim yanıtı Bu tanımda 3 temel boyut bulunmaktadır:

1. Kararlı bir sistem 2. Sinüs girdisi

3. Sürekli rejim

Doğrusal, sabit katsayılı ve kararlı sistemlerin sinüs girdisine yanıtı sürekli rejimde girdi ile aynı frekanslı ancak farklı genlik ve fazlı bir başka sinüs olacaktır.

x(t) = X sinωt → y(t) = Y sin(ωt + Φ)

Burada Y = Y(ω) ve Φ = Φ(ω) olup, transfer fonksiyonu G(s) olan bir sistem için çıktı genliği: Y = |G(jω)|X → genlik oranı: M(ω) = Y/X = |G(jω)|

faz açısı: Φ(ω) = Arg[G(jω)]

girdi frekansı ω’nın birer fonksiyonu olarak bulunur.

Buradaki karmaşık frekans yanıtı G(jω) aşağıdaki gibi elde edilir.

G(jω) = G(s)| = |G(jω)| e^jΦ(ω)

Frekans Yanıtı

Sistem

Çıktı Y(s) Girdi

X(s)

Tanım

Kararlı bir sistemin sinüs girdisine sürekli rejim yanıtı Bu tanımda 3 temel boyut bulunmaktadır:

1. Kararlı bir sistem 2. Sinüs girdisi

3. Sürekli rejim

Doğrusal, sabit katsayılı ve kararlı sistemlerin sinüs girdisine yanıtı sürekli rejimde girdi ile aynı frekanslı ancak farklı genlik ve fazlı bir başka sinüs olacaktır.

x(t) = X sinωt → y(t) = Y sin(ωt + Φ)

Frekans Yanıtı

- 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1

0 2 4 6 8 1 0

- 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8

girdi 1

çıktı Faz Gecikmesi (Φ < 0)

girdi

çıktı Faz İlerlemesi (Φ > 0)

Sistem

Çıktı Y(s) Girdi

X(s)

Yeni Tanım

M(ω) ve Φ(ω)’nın çeşitli girdi frekansı ω için bulunması Transfer Fonksiyonunun Pay ve Payda Çokterimlilerinin Kullanılması:

N(jω) ve D(jω) karmaşık çokterimlileri gerçek ve sanal kısımlarına ayrılmış şekilde yazılırsa

N(jω) = N_g(jω) + jN_s(jω) ve D(jω) = D_g(jω) + jD_s(jω) Genlik oranı:

Faz açısı:

Φ(jω) = Arg[G(jω)] = Arg[N(jω)/D(jω)] = Arg[N(jω)] – Arg[D(jω)]

Φ(jω) = Arg[N_g(jω)+jN_s(jω)] – Arg[D_g(jω)+jD_s(jω)]

Frekans Yanıtı

D(s) G(s) = N(s)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

D

jω N

jω N

D jω D jω

N jω N jω

jω D

jω N jω

D jω jω N

ω G

M ₂

s 2

g

2 s 2

g 2

s 2

g

2 s 2

g

+

= + +

= +

=

=

=

( ) ( )

( )

G =

s=j

Kutup-Sıfır Yapısı ve Frekans Yanıtı

Transfer fonksiyonu

Burada

Z_k∠ψ_k ve P_i∠θ_i

z_k sıfırından ve p_i kutubundan s = jω noktasına çizilen jω – z_k ve jω – p_i

karmaşık vektörlerinin genlik ve açılarını göstermektedir.

Dolayısıyla, herhangi bir ω değeri için G(jω)’nın genliği K kazancı ve bu

vektörlerin Z_k ve P_i genlikleri

tarafından, açısı da bu vektörlerin

ψ_k ve θ_i açıları tarafından belirlenmektedir.

Frekans Yanıtı

∏

∏

=

= _n=

1 i

i m

1 k

k

) p - (s

) z - (s K

G(s) 



 



 −

∠

















=

∑ ∑

∏

∏

=

=

=

= n

1 i

i m

1 k n k

1 i

i m

1 k

k

θ ψ

P Z K

G(jω)

→

s=p_i

s=jω

х

s=z

o

Re Im

s-düzlemi

θ_i

ψ_k

jω – pⁱ

jω–z^k

Karmaşık frekans fonksiyonu

Bode Diyagramı

İki grafikten oluşmaktadır:

1. 20log|G(jω)| vs logω 2. Arg[G(jω)] vs logω

20log|G(jω)|’nın birimi desibel [dB]’dir.

logω için 10’un ve 1/10’un tamsayı katları (onluk, İng. decade) kullanılır.

Her iki grafik için ortak frekans ekseni kullanılır.

Eksenlerde log kullanımının 2 nedeni vardır:

1. Birbirine göre farklı mertebedeki değerler aynı grafikte görülebilir.

2. Faktörlerin genliklerini grafiksel olarak toplamak mümkündür.

Her transfer fonksiyonu 4 ana faktör türünden yazılabilir:

Frekans Yanıtı

• Kazanç, 1 adet - payda

• Serbest s, 1 adet - payda/paydada

• 1. mertebe (çoklu - payda ve/veya paydada)

• 2. mertebe (çoklu - payda ve/veya paydada)

Sabit Kazanç K

G(s) = K G(jω) = K

Frekans Yanıtı

→ 20log|G(jω)| = 20log|K| & Arg[G(jω)] = 0º ya da ±180º

|K | > 1

|K | < 1

K > 0

K < 0

Frekans Yanıtı

İntegral Faktör

G(jω) = 1/jω = –j(1/ω) 20logM(ω) = –20logω Φ(ω) = –90°

Eğer

20logM(ω) = –20nlogω Φ(ω) = –90n°

eğim = –20 dB/onluk

s G(s) = 1

sn

G(s) = 1

Frekans Yanıtı

Türevsel Faktör

G(jω) = jω

20logM(ω) = +20logω Φ(ω) = +90°

Eğer

20logM(ω) = +20nlogω Φ(ω) = +90n°

Grafikler, integral faktör grafiklerinin 0 dB ve 0º ye göre simetriğidir.

s

G(s) =

eğim=+20 dB/onluk

s

G(s)

Frekans Yanıtı

1. Mertebe Payda Faktörü

Eğer

1 Ts G(s) 1

= +

( )

G = +

( )

^{20log 1}

^T

20logM

( )

tan

−

= Φ(ω)

1)

(Ts G(s) 1

= +

( )

^{20nlog 1}

^T

20logM

( )

ntan⁻¹

−

= Φ(ω)

Frekans Yanıtı

1. Mertebe Payda Faktörü

Kırık çizgi yaklaşımı:

Alçak frekanslarda (ω << 1/T) 20logM(ω) ≈ 0 dB

Φ(ω) ≈ 0º

Yüksek frekanslarda (ω >> 1/T) 20logM(ω) ≈ –20log(ωT)

≈ –20(logω + logT) Φ(ω) ≈ –90º

Köşe frekansında (ω_c = 1/T)

20logM(ω) = –3.02 dB maks hata Φ(ω) = –45º

Maks açı hatası 5.71º (ω = 1/10T ve 10/T’de)

1 Ts G(s) 1

= +

3 dB

eğim = –20 dB/onluk

eğim = –45 º/onluk 5.71º

5.71º 5.29º

5.29º

maks eğim = –66 º/onluk

Frekans Yanıtı

1. Mertebe Pay Faktörü

Eğer

Grafikler, integral faktör

grafiklerinin 0 dB ve göre 0º ye göre simetriğidir.

Payda faktörüne benzer kırık çizgi yaklaşımı kullanılır.

1 Ts G(s) = +

( )

G = +

( )

^{20log 1}

^T

20logM

( )

tan

= Φ(ω)

1)

(Ts G(s) = +

( )

^{20nlog 1}

^T

20logM

( )

ntan⁻¹ +

= Φ(ω)

-40 -20 0 20 40

Magnitude (dB)

10^-1 10⁰ 10¹

-180 -135 -90 -45 0

Phase (deg)

Bode Diagram

data1 data2 data3 data4 data5 data6 data7 0.01 0.05 0.1 0.2 0.5 0.7 1.0

ζ

Frekans Yanıtı

2. Mertebe Payda Faktörü

Burada

frekans oranı’dır.

Φ(Ω) = –Arg[(1–Ω

)+j2 ζ Ω]

1 Ts 2

s T

1 ω

ω s 2 s

G(s) ω

n n

2

2 n

+ ζ

= + +

ζ

= +

( ) ^jω ( ^{1 Ω} ) ^{1 j ( 2 Ω )}

G

ζ +

= −

( )

2 2

2

) (2 Ω)

Ω (1 20log

Ω 20logM

ζ +

−

−

=

ωT ω/ω

Ω =

=

Bode Diyagramı

Faz [derece]Genlik [dB]

Frekans Yanıtı

2. Mertebe Payda Faktörü

Kırık çizgi yaklaşımı:

Alçak frekanslarda (Ω << 1) 20logM(Ω) ≈ 0 dB

Φ(Ω) ≈ 0º

Yüksek frekanslarda (Ω >> 1) 20logM(Ω) ≈ –20log(Ω²)

≈ –40logΩ Φ(Ω) ≈ –180º

Köşe frekansında (Ω = 1) M(Ω) = 1/2ζ maks hata Φ(Ω) = –90º

Maks açı hatası 11.4º (Ω = 10^–ζ ve 10^+ζ ’da)

20log(1/2ζ)

eğim = –40 dB/onluk

eğim = –90/ζ º/onluk 11.4º maks eğim = –132/ζ º/onluk

1 Ts 2

s T

1 ω

ω s 2 s

G(s) ω

n n

2

2 n

+ ζ

= + +

ζ

= +

ζ ζ

Faz [derece]Genlik [dB]

Frekans Yanıtı

2. Mertebe Payda Faktörü

Rezonans:

Genliğin tepe değerine ulaştığı yer olarak tanımlanır.

Bu konuma karşın gelen rezonans frekansı Ω_r, dM/dΩ = 0 koşulu kullanılarak

→ rezonans için ζ < 0.707 bu frekanstaki genliğin tepe değeri de

→ küçük ζ için M_r ≈ 1/2ζ olarak bulunur.

Yukarıdaki ifadeler yardımıyla M_r ile Ω_r arasında aşağıdaki bağıntı bulunabilir.

Rezonans noktalarının M_r-Ω_r düzleminde ζ ile değişimi yandaki şekilde gösterilmiştir.

2

r 1 2

Ω = − ζ

2

r 1 2 1

M = ζ −ζ

4 r

r 1 1 Ω

M = −

Ω_r

1 0

ζ→0

ζ = 0.707

M_r

0.707 1.15

ζ = 0.5

0.96 2.55

ζ = 0.2 5.03

ζ = 0.1

0.99

1 Ts 2

s T

1 ω

ω s 2 s

G(s) ω

n n

2

2 n

+ ζ

= + +

ζ

= +

Sorularınız