801400805441 Kendinden Ayarlamalı Kontrol Sistemleri [1-13]

(1)

801400805441 Kendinden Ayarlamalı Kontrol Sistemleri [1-13] Minimum değişmeli kontrol stratejileri, genelleştirilmiş

minimum değişmeli kontrolör [1-13]

Kaynaklar

[1] Wellstead P. E., Zarrop M.B., 1991, Self-Tuning Systems, Control and Signal Processing, John-Wiley and Sons. [2] Coughanowr D., LeBlanc S., 2009, Process Systems Analysis and Control, McGraw-Hill

[3] Bequette B.W., 2008, Process Control Modelling; Design and Simulation, Prentice-Hall

[4] Seborg D.E., Mellichamp D. A., Edgar T.F, Doyle F.J., 2011, Process Dynamics and Control , John Wiley and Sons [5] Stephanopoulos G., 1984, Chemical Process Control : an introduction to theory and practice, Prentice-Hall [6] Hapoğlu H., 1993, Self-tuning Control of Packed Distillation Columns, The University of Wales, Ph.D. Thesia, U.K. [7] Bierman, G.J., 1976, Measurement Updating Using The U-D Factorisation, Automatica, 12, 375-382.

[8] Bierman, G.J., 1977, Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation, Academic Press, London, U.K. [9] Astrom, K.J., Wittenmark B., 1973, On Self-Tuning Regulators, Automatica 9, 185-199.

[10] Clarke, D.W., Gawthrop P.J., 1975, Self-Tuning Controller, IEE Proc. 122, 929-934

[11] Carke D.W., Mohtadi C., Tuffs P.S., 1987, Generalized Predictive Control: Parts i and ii., Automatica 23, 137-160. [12] Jacquot R. G., 1981, Modern Digital Control Systems, Dekker, New York, USA

(2)

Minimum değişmeli (Minimum Variance (MV)) kontrol:

Minimum variance strateji, Aström ve Wittenmark (1973) tarafından verilen bir girdi-çıktı doğrusal modeli için maliyet kriterini minimize ederek elde edilmiştir. Bu kriter:

Kontrol sinyali u_t , (t+k) zamanındaki sistem çıktısını etkiler. Sistem gecikmesi ayrık zaman modelinde k çarpı örnek alma zaman adımı olarak ifade edilmektedir. Bu çalışmada k=1 alınarak maliyet fonksiyonu yazılmıştır. Yani gerçek ölü zaman bir örnek

alma adımı içinde kapsanmaktadır. Sistem çıkış değişkeni y_t ile gösterilmektedir. Referans

sinyal yani set değeri r_t ile gösterilmektedir. Ξ beklenti fonksiyonunu gösterir. Ayrık

zamanda t örnek alma adım sayısını göstermektedir. Bu kriter, uygun bir u_t seçimi ile t

zaman adımında minimize edilir. Bu kontrol stratejisi sadece minimum faz sistemlere uygulanabilir.

Minimum değişmeli kontrol nonminimum faz sistemlerde kararsız olur on-line ayarlanma problemi vardır ve bilinmeyen veya değişken ölü zamanlı sistemlerde karasız ya da etkin olmayan kontrol cevabı oluşturur. Bu zayıflıklarından dolayı stratejinin geliştirilmesi

(3)

(4)

MV stratejisi zayıflıklarından dolayı bu stratejinin nonminimum faz sistemlere uygulanabilir hale getirilmiş, gelişmiş şekli şu yeni kriteri minimize etmektedir(k=1 alınmıştır):

Bu strateji genelleştirilmiş minimum değişmeli (Generalized Minimum Variance (GMV)) kontrol olarak bilinir. Bu bir basamak ileri optimum kontrol kanununu uygular (Clarke ve Gawthrop (1975)). Bu teknikte, kapalı hat kararlılığı korunurken, minimum çıktı değişimi

elde edecek şekilde  mümkün olduğunca küçük tutularak değiştirilir. Diğer bir alternatif

metot ise u_t yerine u_t kullanımı ile geliştirilmiştir. Burada u_t şu şekilde tanımlanır: u_t= u_t- u_t-k=(1-z-1_)u

t Maliyet fonksiyonu:

Bu kriter u_t t örnek alma adımında minimize edilir. Bu tip bir değişikliğe gidilmesinin

nedeni ise, maliyet fonksiyonunda u_t bulundurma durumunda ilgili kontrol stratejisinde

kontrol sonucu ofset oluşabilmesidir. Maliyet fonksiyonunda u_t kullanılarak ofset problemi

(5)

Yalancı çıktı blok diyagramı:

Genelleştirilmiş minimum değişmeli algoritmada yalancı çıktı tanımı P, Q, ve R filtre

fonksiyonları ile verilmiştir. Bu fonksiyonların farklı seçimi kontrol etkinliğinde değişiklikler sağlar.

(6)

Bu fonksiyonlara ait bir seçim örneği:

Sistem ayrık modeli yazılarak yalancı çıktı fonksiyonunda yerleştirilir:

Gelişmiş maliyet fonksiyonu yeniden yazılır:

(7)

Burada polinom tanımları:

Sistem modelinin ofset tipi sinyal içerecek şekilde yeniden tanımlanması:

Bu sistem modeli eşitliğinin E ile çarpılarak çıkarılan PC eşitliğinde yerleştirilmesi ile oluşturulan eşitlik:

(8)

Bu eşitliğin yer iki tarafına [QCu(t)-CRr(t)] terimi eklenmesi ile yapılan düzenleme:

Yalancı çıktı eşitliği:

Örnek alma zaman adımı t ve öncesi bilinenlerden oluşturulan tahmini hesaplanan yalancı çıktı:

(9)

Amaç fonksiyonunu tahmini hesaplanan yalancı çıktıyı minimize edecek şekilde yeniden

tasarladığımızda kontrol kanunu aşağıdaki eşitliği verir:

Amaç fonksiyonu minimize edilerek elde edilen eşitlik:

Burada polinom eşitlikleri:

GMV algoritmasında her örnek alma zaman adımında hesaplanan kontrolör çıktısı:

Burada F içinde yer alan Q fonksiyonu Q= şeklinde sadece ağırlık faktörü içerecek şekilde

seçilebildiği gibi Q=(1-z-1_{) (Clarke ve Gawthrop, 1979) ve daha farklı yapılarda seçilerek} kontrol etkinliği değiştirilebilmektedir.