KAZANIMLAR. Kombinasyon kavramı n elemanlı bir kümenin, 0 elemanlı alt kümelerinin sayısı

(1)

KOMBİNASYON

(2)

KAZANIMLAR

– Kombinasyon kavramı

– n elemanlı bir kümenin, n elemanlı alt kümelerinin sayısı

– n elemanlı bir kümenin, 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı

– n elemanlı bir kümenin, 0 elemanlı alt kümelerinin sayısı

(3)

191 1. Aşağıda verilen kombinasyon hesaplamalarını yapınız ve doğru cevaplar ile eşleştiriniz.

C(5,3) 1

C(10,10) 15

C(90,89) 90

C(7,3) 15

C(6,2) 35

C(15,1) 10

2. A = {, , , , #} kümesi veriliyor. Buna göre, aşağıdaki soruları cevaplandırınız.

A kümesinin 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?

A kümesinin 3 elemanlı kaç alt kümesi vardır?

A kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinde  bulunur ama  bulunmaz?

a.

b.

c.

ETKİNLİKLER KOMBİNASYON

(4)

192

3. “Burak, Kerem, Sena, Meltem ve Yasemin’in bulunduğu 5 kişilik bir gruptan 3 kişi seçilecektir.” Bu bilgiye göre, aşağıdaki soruları cevaplandırınız.

a. Kaç farklı seçim yapılır?

b. Seçilen kişilerden biri Meltem olmak üzere kaç farklı seçim yapılır?

c. Yasemin’i seçmemek şartıyla kaç farklı seçim yapılır?

4. Şekilde verilen doğrular üzerindeki noktalar ile kaç tane üçgen çizilebileceğini bulunuz.

a. ^A ^B ^C ^D

E F G

b. ^A ^B ^C

D

c. ^A ^B

C D E

d. ^A ^B ^C ^D

H

E F G

E F

G H I ‹ J K L

ETKİNLİKLER

KOMBİNASYON

(5)

Palme Yayıncılık

193

TEST 1

KOMBİNASYON

4. ÜNİTE Matematikte Yolculuk

B İ L G İ

KOMBİNASYON

n elemanlı bir kümenin elemanları ile oluşturulacak r elemanlı farklı grupla- rın sayısı n nin r li kombinasyonu ola- rak adlandırılır.

n nin r li kombinasyonu C(n,r) ile gös- terilir.

( , )

( – )! !( , )! !

C n r n

r

n r rrn P n r

=

= c m

dir.

ÖRNEK C(7,3) 7

3 (7 – 3)!.3!7!

4!.3!7!

4!.1.2.3 4!.5.6.7

35

=

= c m

bulunur.

) Sıralanış permütasyonda önem- lidir ama kombinasyonda önemli değildir.

1. C(8,3) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisi ile bulunabilir?

A) !!

38 B) ! !! 5 58 C) ! !!

3 58 D) !58 3! · !

2. Aşağıdaki kombinasyon hesaplarından hangisi yanlış hesaplanmıştır?

A) C 4 3( , )=34!! B) C 5 2( , )= 23!! C) C 6 1( , )=56!! D) C 7 6( , )= 67!!

3. Aşağıdaki permütasyon hesaplarından hangisi yanlış verilmiştir?

A) P(3,2) = 3! B) P(4,3) = 4!

C) P 5 2( , )=35!! D) P 6 3( , )= 26!!

4. 15 kişilik bir gruptan rastgele iki kişi kaç farklı şekilde seçilir?

A) 85 B) 95 C) 105 D) 115

5. 10 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?

A) 45 B) 44 C) 40 D) 35

6. 7 öğretmen, 4 öğrenci arasından 5 kişi kaç farklı şekilde seçilir?

A) 318 B) 354 C) 422 D) 462

7. 10 kişilik bir sınıftan 6 kişi, bir tiyatro göste- risine gitmek için rastgele seçilecektir.

Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

A) 210 B) 208 C) 204 D) 200

8. 6 matematik, 5 tarih kitabı arasından 2 matematik, 3 tarih kitabı kaç farklı şekil- de seçilir?

A) 120 B) 130 C) 140 D) 150

(6)

194

B İ L G İ

9 mavi, 5 kırmızı kalemden 2 mavi, 3 kırmızı kalemin kaç farklı şekilde seçi- lebileceğini bulalım.

9 mavi kalemden 2 tanesi 92^{c m} farklı şekilde

5 kırmızı kalemden 3 tanesi 53^{c m} farklı şekilde seçilir.

O halde, 92

8.9 ·2 4.52 360 . 53 7!.2!9! ·2!.3!5!

=

= c mc m=

bulunur.

9., 10., ve 11. soruları aşağıdaki bilgiye göre cevaplandırınız.

“5 horoz, 7 tavuk olan bir kümesten 3 hayvan seçilecektir.”

9. Bu seçim kaç değişik şekilde yapılır?

A) 75 B) 175 C) 198 D) 220

10. İkisi tavuk olmak şartıyla kaç değişik şe- kilde seçilebilir?

A) 122 B) 105 C) 92 D) 85

11. En az birinin horoz olması şartıyla kaç değişik şekilde seçilebilir?

A) 183 B) 184 C) 185 D) 186

12. A = {■, ▲, ●, 5, )}

kümesi için aşağıda verilenlerden han- gisi yanlıştır?

A) 2 elemanlı alt küme sayısı 10 dur.

B) 3 elemanlı alt küme sayısı 10 dur.

C) 4 elemanlı alt küme sayısı ile 1 eleman- lı alt küme sayısı eşittir.

D) 5 elemanlı alt küme sayısı, 2 elemanlı alt küme sayısının 5 fazlasına eşittir.

13. Zeynep, kalemliğindeki 30 tane kalem- den 5 tanesini kaç farklı şekilde seçebi- lir?

A) P( , )!

30 55 B) !! 305 C) ( , )!

P 30 530 D) !! 2530

14. 9 pilot, 7 hostesin bulunduğu bir grup- tan 2 pilot ve 6 hostes kaç farklı şekilde seçilebilir?

A) 61 B) 101 C) 198 D) 252

15. 5 roman, 3 şiir kitabı arasından 3 kitap se- çilecektir.

En az ikisi şiir kitabı olmak üzere kaç farklı şekilde seçilebilir?

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17

16.

Efe bir tabaktaki eriklerden ikisini 105 farklı şekilde alabileceğine göre, bu ta- bakta kaç tane erik vardır?

A) 15 B) 14 C) 13 D) 12

(7)

195

KOMBİNASYON

TEST 2

B İ L G İ

) C(n,r) = C(n, (n – r)) dir.

) C(n,n) = 1 dir.

C(n,n) (n – n)! n!n!

0! n!n! 1

=

= =

) C(n,0) = 1 dir.

C(n,0) (n – 0)! 0!n!

n!n! 1

= = =

) C(n,1) = n dir.

C(n,1) (n –1)! 1!n!

(n – 1)!

(n – 1)!n n

=

= 1. Doğrudaş olmayan 7 adet noktanın her-

hangi ikisinden kaç farklı doğru çizilebi- lir?

A) 15 B) 17 C) 19 D) 21

2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

kümesinin elemanları ile 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

A) 175 B) 186 C) 210 D) 222

3. Bir bilgi yarışması için, 10 kişilik bir sınıf- tan 4 yarışmacı ve 4 yarışmacı arasından 1 sözcü seçilecektir.

Bu seçim kaç farklı şekilde yapılır?

A) 840 B) 712 C) 684 D) 622

4.

Yukarıdaki çember üzerinde bulunan 15 nokta ile kaç adet doğru çizilebilir?

A) 100 B) 105 C) 110 D) 115

Efe, Şevval, Seda, Fatma, Yavuz ve Zeynep’ten oluşan 6 kişilik bir gruptan 3 kişi seçilecektir.

5., 6. ve 7. soruları yukarıdaki bilgiye göre cevaplandırınız.

5. Kaç farklı şekilde seçim yapılabilir?

A) 18 B) 20 C) 22 D) 24

6. Seçilen kişilerden biri Şevval olmak ko- şuluyla kaç farklı seçim yapılabilir?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11

7. Seda’yı seçmemek şartıyla kaç farklı se- çim yapılabilir?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16

8. 10 kişi kendi aralarında kaç farklı şekilde tokalaşır?

A) 35 B) 40 C) 45 D) 50

(8)

196

B İ L G İ

ÖRNEK

10 elemanlı bir kümenin 6 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu bulalım.

İstenilen, 10 elemanlı bir kümenin 6 elemanlı kombinasyonları olduğun- dan,

C(10,6) 10 6 (10 – 6)!.6!10!

4!.6!10!

6!.1.2.3.4 6!.7.8.9.10

210

=

= c m

olur.

9. 12 elemanlı bir kümenin 8 elemanlı kaç alt kümesi vardır?

A) 375 B) 395 C) 475 D) 495

10. 18 farklı doğru en çok kaç üçgen oluştu- rur?

A) !!

1518 B) !! 183 C) 8! 3!15! D) ! !!

15 318

11.

Yukarıdaki çember üzerindeki 9 nok- ta ile köşeleri bu noktalar olan kaç tane dörtgen çizilebilir?

A) 128 B) 126 C) 114 D) 106

12. Ayşe ve arkadaşları 10 farklı film CD si için- den 2 tanesini seçeceklerdir.

A) !!

10 2 B) 10!12! 2!

C) P( , )!

10 22 D) P( , )! 10 28

13.

₁

₂

₃

₄ d₁ d₂ d₃ d₄ d₅ d₆ d₇

Yukarıdaki şekilde ,₁ // ,₂ // ,₃ // ,₄ ve d₁ // d₂ // d₃ // d₄ // d₅ // d₆ // d₇ doğru- larıyla kaç tane paralelkenar oluşturula- bilir?

A) 60 B) 84 C) 104 D) 126

14. n en küçük asal sayı olmak üzere aşağı- da verilenlerden kaç tanesi doğrudur?

I. C(5n,1) = 10 II. P(4n + 1,5) = 9009 III. C(3n – 1,5) = 1 IV. P(8n,0) = 1

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1

15. 12 kişilik bir sınıftan 5 kişi bir konferansa katılmak için seçilecektir.

A) 674 B) 792 C) 842 D) 873

(9)

197

KOMBİNASYON

TEST 3

B İ L G İ

ÖRNEK

Aslı’nın 8 farklı çikolatadan 2 sini kaç farklı şekilde seçeceğini hesaplaya- lım.

8 çikolatadan 2 si C(8,2) farklı şekilde seçilebilir.

C(8,2) (8 – 2)! 2!8!

6! 2!8!

6! . 2 6! 7 . 8

28

= =

=

= olur.

1. Bir topluluktaki kişilerin tamamı toka- laştığında 210 tokalaşma gerçekleştiği- ne göre, bu toplulukta kaç kişi vardır?

A) 18 B) 21 C) 22 D) 25

2. 7 farklı doğru en çok kaç noktada kesi- şir?

A) 23 B) 22 C) 21 D) 20

3. _d

1

d₂

Yukarıdaki d₁ ve d₂ doğruları paraleldir. d₁ doğrusu üzerinde 8 nokta, d₂ doğrusu üze- rinde 4 nokta vardır.

Bu noktaların birleştirilmesiyle kaç fark- lı üçgen oluşturulur?

A) 160 B) 220 C) 240 D) 250

4. 5 kız, 6 erkek öğrenci arasından 3 ü kız, 4 ü erkek olmak üzere 7 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir?

A) 110 B) 120 C) 130 D) 150

5. Doğrusal olmayan 7 nokta kaç üçgen belirtir?

A) 33 B) 34 C) 35 D) 36

6. Ali okula giderken yanında 3 farklı renkte kalem götürecektir.

Ali 165 farklı seçim yapabildiğine göre, Ali’nin kaç farklı renk kalemi vardır?

A) 12 B) 11 C) 10 D) 9

7. K

M L

Yukarıdaki şekilde K noktasından hareke- te başlayan bir karınca sağa veya aşağı ha- reket ederek L noktasından geçmek koşu- luyla, M noktasına çizgiler üzerinden kaç farklı yolla gidebilir?

A) 350 B) 335 C) 315 D) 300

(10)

198

B İ L G İ

ÖRNEK

5 mavi ve 4 kırmızı balon arasından, 3 mavi ve 3 kırmızı balonun kaç farklı şekilde seçilebildiğini bulalım.

5 mavi balon içinden 3 mavi balon;

C(5,3) (5 – 3)! 3!5!

2! 3!5!

3! 2 3! 4 . 5 10

= =

farklı şekilde seçilir.

4 kırmızı balon içinden 3 kırmızı ba- lon;

C(4,3) (4 – 3)! 3!4!

1! 3!4!

3!

3! 4 4

= =

farklı şekilde seçilir.

O halde 10 . 4 = 40 farklı şekilde se- çim yapılır.

8. n ! N ve C(n,2) = 55

olduğuna göre, C(2n – 7, 15) kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 127 D) 237

9. x kişilik bir sınıftan 10 kişilik bir grup 66 farklı şekilde seçilebildiğine göre, 12 kişi- lik bir grup kaç farklı şekilde seçilir?

A) (x – 11)(x – 10)2 B) (x – 12)(x – 10)10!

C) 10! (x – 11)(x – 12) D) 12! (x – 12)(x – 11)

10. Birbirine paralel olmayan 9 doğru en fazla kaç noktada kesişir?

A) 32 B) 34 C) 36 D) 38

11. n ! N ve P(2n,2) = 12

olduğuna göre, C(3n,6) kaçtır?

A) 12 B) 8 C) 4 D) 1

12. C(n,4) = C(n,1)

olduğuna göre, C(n,5) kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 10 D) 25

13. A = {2, 3, 5, 7, 11}

kümesinin 3 elemanlı kaç alt kümesi vardır?

A) 13 B) 12 C) 11 D) 10

14. _d

Şekildeki çember üzerinde 9 nokta, doğru üzerinde ise 11 nokta vardır.

Köşelerinden en az biri d doğrusu üze- rinde olmak koşulu ile kaç farklı üçgen çizilebilir?

A) 396 B) 495 C) 789 D) 891

15. Doğrusal olmayan 20 nokta kullanılarak kaç tane üçgen çizilebilir?

A) 3!20! B) 20!23! 3!

C) 17! 3!20! D) 17!20!

(11)

199

KOMBİNASYON

TEST 4

B İ L G İ

ÖRNEK

10 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin ken- di aralarında kaç farklı şekilde toka- laştıklarını hesaplayalım.

Bir tokalaşma iki kişi arasında gerçek- leştiğinden C(10,2) farklı tokalaşma gerçekleşir.

C(10,2) (10 – 2)! 2!10!

8! 2!10!

8! . 2 8! . 9 .10

45

=

farklı tokalaşma gerçekleşir.

) na n

= b c m c m ise n = a + b veya a = b dir.

ÖRNEK

C(n,7) = C(n,2)

ise

n = 7 + 2

= 9

olur.

1. Paralel olmayan 6 doğru en çok kaç nok- tada kesişir?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20

2. C(n,8) = C(n,3) olduğuna göre, n kaçtır?

A) 3 B) 8 C) 10 D) 11

3. Ayşe bir akvaryumdaki 7 balıktan 3 tanesi- ni seçip alacaktır.

A) 36 B) 35 C) 34 D) 33

4. C(n,2) = 55 olduğuna göre, C( 4n – 3 ,2) kaçtır?

A) 1 B) 5 C) 11 D) 25

5. I. A = {a, b, c, d} kümesinin iki elemanlı kaç alt kümesi vardır?

II. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin rakamları kul- lanılarak üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

III. Paralel olmayan 10 doğru en çok kaç noktada kesişir?

IV. 12 kişilik bir sınıfta bir başkan ve bir baş- kan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilir?

Yukarıda verilen sorulardan hangileri kombinasyon ile çözülür?

A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) II ve IV

6. _A

Yukarıdaki çember üzerinde 11 nokta işa- retlenmiştir.

Köşelerinden biri A noktası olmak üzere kaç farklı üçgen çizilebilir?

A) 10 B) 27 C) 37 D) 45

7. n!N olmak üzere, P(n,5) = 720 olduğuna göre, C(n – 3,3) kaçtır?

A) 360 B) 180 C) 144 D) 1

(12)

200

B İ L G İ

ÖRNEK

Bir özel hastaneye 2 tane hasta bakıcı alınacaktır. Yapılan başvurulara göre 435 farklı seçim yapılabildiğine göre, kaç kişinin başvuru yaptığını bulalım.

n kişi başvuru yapmış olsun.

C(n,2) 435

(n – 2)! . 2!n! 435

(n – 2)! 2

(n – 2)! (n – 1).n 435 (n – 1) . n 870

=

= eşitliğinden n = 30 bulunur.

8. Bir sınıftaki öğrenciler, 30 soruluk bir sınav- dan istedikleri 20 soruyu cevaplandıracak- lardır.

İlk 5 soruyu cevaplamak olduğuna göre, bu sınava giren Deniz cevaplaması gere- ken diğer soruları kaç farklı şekilde se- çebilir?

A) 20!5!30! B) 15!5!30!

C) 15!10!25! D) 15!5!25!

9. İçinde kadayıfın da olduğu 8 çeşit tatlı ara- sından 3 çeşit tatlı seçilecektir.

Seçilen tatlılardan biri kadayıf olmamak üzere kaç farklı seçim yapılabilir?

A) 40 B) 35 C) 30 D) 25

10. A = {a, b, c, d, e, f}

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinde a bulunur, e bulunmaz?

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5

11. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) C(7,7) = 1 B) C(8,0) = 1 C) P(9,9) = 1 D) P(10,1) = 10

12. Kendisine ve eşine araba alacak olan Serdar Bey, galerideki arabalar arasın- dan 300 farklı seçim yapabildiğine göre, bu galeride kaç araba vardır?

A) 25 B) 24 C) 23 D) 22

13.

Yukarıdaki eş karelerden oluşmuş şekil- de kaç tane dikdörtgen vardır?

A) 534 B) 642 C) 756 D) 824

14. Bir çember üzerinde bulunan 12 farklı nokta ile kaç dörtgen çizilebilir?

A) 500 B) 495 C) 490 D) 485

15. 20 kişilik bir sınıftan 6 kişilik bir tiyatro klubü ve bu tiyatro kulübünden de 2 kişi kostüm görevlisi olarak seçilecektir.

A) C(20,6) + C(6,2) B) C(20,6) . C(6,2) C) C(20,6) . P(6,2) D) P(20,2) + C(6,2)

(13)

DENKLEM SİSTEMLERİ

(14)

KAZANIMLAR

– Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kavramı

– Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin çözüm kümesi – Doğrusal denklem kavramı

– Doğrusal denklem sistemi

– Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözüm yöntemleri

(15)

203 1. Aşağıdaki ifadelere karşılık gelen denklemleri yazınız.

a. Bir sayının 3 fazlası ...

b. Bir sayının 5 eksiği ...

c. Bir sayının yarısının 10 fazlası ...

d. Bir sayının yarısının 2 eksiği ...

e. Bir sayının 2 katının 5 fazlasının yarısı ...

f. Bir sayının 10 eksiğinin 31 i ...

g. Bir sayının toplamaya göre tersi ile çarpmaya göre tersinin toplamı ...

h. Bir sayının karesi ile 2 katının 7 eksiğinin toplamının yarısı ...

2. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

a.

b.

c.

d.

e.

2x – 3 = 5

x2 x

4 + = +3 2 5

– x – 8 = 3x

x2+ =1 10

3x 2 – =5 1

ETKİNLİKLER DENKLEM SİSTEMLERİ

(16)

204

3. Aşağıdaki denklemlerden hangilerinin çözüm kümesi 2x – 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi ile aynıdır?

a. – 3x + 6 = 0 f. x 3– =1 5

b. 5x = – 10 g. x3 1– =–31

c. x 3+ = 1 1 h. 5x + 1 = 9

d. – 8x = 16 ı. 10x – 2 = 18

e. x2 3 1+ = i. – x – 7 = – 9

4. Aşağıda verilen denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.

a. e.

b. f.

c. g.

d.

4a + 2b = 10 2a + 3b = 13

a + b = 15 a – 2b = 0

b a1 1

61 – = a b1 1

65 + = a + b = 5

2a + b = 7

a + 2b = 6 2a – b = 2

a + b = 30 3a + 5b = 100

2a – 3b = 2 3a + 4b = 20

ETKİNLİKLER

DENKLEM SİSTEMLERİ

(17)

205

TEST 1

DENKLEM SİSTEMLERİ

B İ L G İ

a ve b reel sayı ve a ≠ 0 olmak üzere;

ax + b = 0

şeklindeki denklemlere birinci derece- den bir bilinmeyenli denklem denir.

Denklemi sağlayan x sayısına denkle- min kökü, bu köklerin oluşturduğu kü- meye denklemin çözüm kümesi denir.

ax + b = 0 denklemin çözüm kümesi Ç=$– ab.^dır.

3x – 5 = 4 denklemin çözüm küme- sini bulalım.

3x – 5 = 4 3x = 4 + 5 3x = 9

x = 3 Ç = {3} olur.

1. 51 i ile 31 inin toplamı 8 olan sayı aşağı- dakilerden hangisidir?

A) 5 B) 6 C) 15 D) 30

2. 6 katının 4 fazlası ile 4 katının farkı 10 olan sayı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3

3. 2x 1 –1x 2 x 21

++ = +

denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

4. 3x 1x – 2 27 + =

A) 3 B) 6 C) 9 D) 16

5. 5x – 9 2x =

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12

6. 23 (2x –1) – (1– 2x)= 152

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

7. x – 1x 3

x – 1 2x – 3

23

+ = +

denkleminin çözüm kümesi aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) {3} B) {5} C) {7} D) {9}

8. 5x23 – x 1x 51 + =

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

(18)

206

B İ L G İ

) Bir denklemin çözümünde bilin- meyen harfli ifade eşitliğin her iki tarafında da kalmazsa denklemin çözüm kümesi boş küme olur.

3x 23+ =x – 1 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

3x 2 3x – 3 2 ≠ –3 Ç Ø olur.

3x 2 x –13 + =

= + =

) Bir rasyonel denklemde paydayı sıfır yapan değerler denklemin çö- züm kümesi olamaz.

9. 5x – (3x – 7) – 10 = 7x – (5x + 3)

A) Ø B) {–3} C) {3} D) R

10. Bir sayının 91 i ile 32 sinin toplamı 21 ol- duğuna göre, bu sayı kaçtır?

A) 9 B) 12 C) 27 D) 32

11. 18 –

x 3242+ =6

A) 2$ .1 ^{B) {1}} _{C) 2}$ .³ ^D) {2}

12. 23x – 2(x 3) 4 – (+ = 2x 2)+

A) Ø B) R C) '– 311 D) 3' 12

13. 5x

x – 2 23

+ =

A) 5 B) 4 C) –2 D) –3

14. 1 2 x61 2 + +3 =

A) – 25 B) –21 C) 1 D) 23

15. Bir sayının 31 i ile 51 inin farkının 10 ek- siği, 31 i ile 51 inin toplamına eşit oldu- ğuna göre, bu sayı kaçtır?

A) –30 B) –25 C) –20 D) –15

16. 1 2x –5 2x – 13

2x –1

+ =

A) $– 21. _{B) 2}$ .¹ C) {1} D) {2}

(19)

207

DENKLEM SİSTEMLERİ

TEST 2

B İ L G İa, b, c ! R ve a ≠ 0 olmak üzere,

ax + by + c = 0

şeklindeki denklemlere birinci dere- ceden iki bilinmeyenli denklem veya doğrusal denklem denir.

Bu denklemin çözüm kümesi (x,y) ikililerinden oluşur. Bu sıralı ikililer sonsuz çoklukta olup, birleştirildiğinde doğruyu oluştururlar.

x + y – 3 = 0 denkleminin çözümleri;

x = 0 için y = 3 (0,3) x = 1 için y = 2 (1,2) x = 2 için y = 1 (2,1) h

şeklindedir.

y

2 x 1 0 1 2 3 1. x 2–3

2x – 57 + =

A) – 151 B) –31 C) 51 D) 131

2. a2 a – 24

2 – a–6

+ =

A) {–2} B) {–1} C) {0} D) Ø

3. 1–

x – 2x – 314 21

=

A) 21 B) 23 C) 25 D) 4

4. 71 (x –1) – 31 (x 2) –5+ =

A) 22 B) 12 C) –10 D) –14

5. Bir sayının 2 fazlasının 31 i ile o sayının 152 sinin 3 eksiğinin toplamı 157 oldu- ğuna göre, bu sayı kaçtır?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4

6. Sinan Bey maaşının 31 i ile ev kirasını ödü- yor, 51 i ile alışveriş yapıyor.

Geriye 700 kaldığına göre, Sinan Bey’in maaşı kaç dir?

A) 1800 B) 1750 C) 1500 D) 1450

7. x – 109x – 2 –10 – x5x 3

10 – x 7x – 7

21

+ + =

A) –3 B) –2 C) –1 D) 1

8. Emre, yeni aldığı kitabın 31 ini okuyor. 80 sayfa daha okursa kitabın 53 ünü okumuş olacaktır.

Buna göre, Emre’nin kitabı kaç sayfa- dır?

A) 300 B) 268 C) 248 D) 230

(20)

208

B İ L G İ

) ax + by = c dx + ey = f

şeklindeki aynı değişkenlerden oluşan iki doğrusal denklem doğ- rusal denklem sistemi oluşturur.

Bu sistemin çözüm kümesi tek ele- manlı olup koordinat düzleminde nokta belirtir.

Ç = {(x,y)} dir.

Denklem sisteminin çözüm kümesi her zaman nokta belirtmez. Doğru denklemine göre, çözüm kümesi son- suz elemanlı ya da boş küme olabilir.

9. Bir kesrin değeri 94 dur. Bu kesrin payına 2 eklenir, paydasından 3 çıkarılırsa kesrin değeri 21 oluyor.

Buna göre, bu kesir aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4520 B) 5424 C) 6328 D) 7232

10. 5x + 12y = 19 x + 8y = 15

denklem sisteminde y – x farkı kaçtır?

A) –3 B) –1 C) 1 D) 3

11. x + y = 1 x – 2y –2=

denklem sistemini sağlayan (x,y) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (1,2) B) (1,–2) C) (–1,2) D) (–1,–2)

12. x – y = –8 3x + 4y = 11

denklem sistemini sağlayan (x,y) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–5,3) B) (–3,5) C) (–3,–5) D) (3,5)

13. Ayşe ile Enis’in yaşları toplamı 23, Enis ile Emin’in yaşları toplamı 27 ve Ayşe ile Emin’in yaşları toplamı 24 olduğuna göre, Ayşe, Enis ve Emin’in yaşları toplamı kaçtır?

A) 40 B) 39 C) 38 D) 37

14. Ardışık üç sayının aritmetik ortalaması 10 olduğuna göre, küçük sayı ile büyük sayının toplamı kaçtır?

A) 23 B) 20 C) 19 D) 17

15. 2x 3y 3 2x – 3y 1 + =

=

denklem sisteminde x + y toplamı kaç- tır?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4

16. 2x – 3y = –1 x + y = 7

A) (3,4) B) (4,3) C) (2,5) D) (5,2)

(21)

209

DENKLEM SİSTEMLERİ

TEST 3

B İ L G İ

) Birinci dereceden iki bilinmeyen- li denklemleri yok etme yöntemi veya yerine koyma yöntemi ile çö- zeriz.

Verilen denklemlerin katsayıları ge- nişletme veya sadeleştirme yöntemi ile eşit hale getirilir. Denklemler taraf tarafa toplanarak veya çıkarılarak bi- rinci dereceden bir bilinmeyenli denk- lem elde edilir. Bu denklemden bilin- meyenlerden birinin değeri bulunur.

Bulunan değer verilen denklemlerden birinde yerine konularak diğer bilin- meyen bulunur.

x – y = 1 3x + y = –5

denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.

x – y = 1 + 3x + y = –5 x – y + 3x + y = –4

4x = –4 & x = –1 dir.

x değerini x – y = 1 denkleminde ye- rine yazalım.

x – y = 1

–1 – y = 1 & y = –2 dir.

Ç = {–1, –2} olur.

1. 3(7x – 1) + 3x = 21

denklemini sağlayan x değeri aşağıdaki denklemlerden hangisini sağlar?

A) x – 5x 3 21

+ = B)

3 21x 3

+ =

C) x 12 x 23

+ = + D) 6x – 3x 5=

2. a4 – b3 –21 a3 – b2 –1

=

denklem sisteminde a b+ toplamı kaç-1 tır?

A) –3 B) – 25 C) –21 D) –1

3. Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 3 erli oturur- larsa 2 sıra boş kalıyor, 2 şerli otururlarsa 3 öğrenci ayakta kalıyor.

Buna göre, bu sınıfta kaç öğrenci var- dır?

A) 9 B) 15 C) 21 D) 27

4. 3x – 5y = –18 5x + 3y = 4

denklemini sağlayan (x,y) sıralı ikilileri aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–1,3) B) (1,–3) C) 3c1 ,–1m D) c–1, 31m

5. a1 b1

37 a1 –b1

35 + =

=

denklem sistemini sağlayan (a,b) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?

A) c–1, 31m B) `– 21 ,1j C) 2`1 ,3j D) `3,– 21j

6. Ahmet'in yaşı babasının yaşının 52 si ka- dardır.

İkisinin yaşları toplamı 63 olduğuna göre, Ahmet'in babasının yaşı kaçtır?

A) 44 B) 45 C) 46 D) 47

7. x – y = 2 2x + y = 22

denklem sistemini sağlayan (x,y) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (4,1) B) (5,2) C) (7,5) D) (8,6)

8. 60 yolcunun bulunduğu bir otobüsteki erkek yolcuların sayısı bayan yolcuların sayısının

53 ünden 4 fazladır.

Bu otobüsteki bayan yolcuların sayısı kaçtır?

A) 35 B) 32 C) 27 D) 25

(22)

210

B İ L G İ

2. Yerine koyma yöntemi: İki bilin- meyenli denklem sisteminde verilen denklemlerden birinden, bilinmeyen- lerden herhangi birisi diğeri cinsinden yazılır ve diğer denklemde yerine ko- nularak çözüm kümesi bulunur.

ÖRNEK x – y = 2 x – 5y = –2

denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım

x – y = 2 – x – 5y = –2

(x – y) – (x – 5y) = 2 – (–2) x – y – x + 5y = 2 + 2 4y = 4 & y = 1 dir.

y değerini x – y = 2 denkleminde ye- rine yazalım.

x – y = 2

x – 1 = 2 & x = 3 olur.

Ç = {3, 1} bulunur.

9. Ayşe ile Murat'ın yaşları farkı Zeynep'in ya- şına eşittir.

Zeynep ile Murat'ın yaşları toplamı 30 ol- duğuna göre, Ayşe, Murat ve Zeynep'in yaşları toplamı kaçtır?

A) 45 B) 57 C) 60 D) 62

10. Bir top kumaşın önce 52 si, sonra kalanın 31 i satılıyor.

Geriye 52 metre kumaş kaldığına göre, başlangıçta kaç metre kumaş vardır?

A) 144 B) 130 C) 126 D) 120

11. x – 2y5

3x – y4 3x 3y 8

=

+ =

A) c– 31 ,11m B) `–1, 111 j C) 3c11 , –31m D) c–1, 311m

12. 3x 5y 3 5x

3y 1559 + = + =

denklem sisteminde x – y farkı kaçtır?

A) –13 B) –7 C) 7 D) 13

13. 1 kg elma ile 1 kg portakalın fiyatları top- lamı 5 , 2 kg elma ile 1 kg portakalın fiyatları toplamı 7 olduğuna göre, 2 kg elma ile 4 kg portakalın fiyatları toplamı kaç dir?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 16

14. A B

C D

y–1

3x–2

x+y E

F 3x G

y+1

Yukarıdaki ABCD dikdörtgeninin çevresi 16 cm, EFG üçgeninin çevresi 21 cm ol- duğuna göre, x – y farkı kaçtır?

A) –7 B) –5 C) 7 D) 9

15. Ardışık 4 çift sayının toplamı 92 olduğu- na göre, bu sayılardan en büyüğü kaç- tır?

A) 26 B) 24 C) 22 D) 20

16. 23x – 2y –133 3x

2y 1

= + =

denklem sisteminde x + y toplamı kaç- tır?

A) 0 B) 1 C) 17 D) 21

(23)

211

DENKLEM SİSTEMLERİ

TEST 4

B İ L G İ

a1 b2

31 a3 – b4

41 + =

=

olduğuna göre, (a, b) ikilisini bulalım.

Yok etme metodu ile;

2/ a1 b2

31 a3 – b4

41 + =

=

2a b4

32 a3 – b4

41 + =

= +

2a 3a

32 41 5a

1211 a 1160

&

+ = +

=

değerini 1. denklemde yerine yazalım;

6011 b2

31 b2

31 – 6011 b2 – 16933

b – 16966 (a,b) 1160 ,– 16966

&

+ =

=

=c m

bulunur.

1. Bir kumbarada 50 kr ve 1 lerden oluşan toplam 30 tane madeni vardır.

Kumbaradaki toplam para 102 olduğu- na göre, kumbarada kaç tane 50 kr var- dır?

A) 20 B) 18 C) 14 D) 12

2. x – y 63 2x y 122

= + =

denklem sisteminin çözüm kümesi aşa- ğıdakilerden hangisidir?

A) {–3, 12} B) {–3, 14}

C) {14, –4} D) {–4, 12}

3. 5x – 7 42 =

Aşağıdakilerden hangisi yukarıdaki denkleme uygun bir problemdir?

A) Hangi sayının 5 katının yarısının 7 eksi- ği 4 eder?

B) Bir sayının 5 katının 7 fazlası 8 ediyor- sa, bu sayı kaçtır?

C) Ali'nin bilyelerinin sayısının 5 katının 7 eksiği 4 olduğuna göre, Ali'nin kaç bil- yesi vardır?

D) Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının 5 katının 7 eksiğinin yarısı erkek öğrenci- lerinin sayısına eşittir. Bu sınıfta 4 erkek öğrenci olduğuna göre, kaç tane kız öğ- renci vardır?

4. Bir çiftlikte tavşan ve kazlardan oluşan top- lam 92 hayvan vardır.

Bu hayvanların ayakları toplamı 264 ol- duğuna göre, bu çiftlikte kaç tane kaz vardır?

A) 38 B) 40 C) 47 D) 52

5. Merve'nin yaşı, Sena'nın yaşının 32 katıdır.

Merve ve Sena'nın yaşları toplamı 30 ol- duğuna göre, Sena kaç yaşındadır?

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20

6. a + b = 15 3a + 5b = 50

denklem sisteminde ab oranı kaçtır?

A) 51 B) 1 C) 5 D) 25

7. x = 3y – 5 y = 5x – 3

denklem sisteminde x.y çarpımı kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

(24)

212

B İ L G İ

ÖRNEK

4x + 2 = 0 denkleminin kökü aynı za- manda 2x 3a 1+ = denkleminde kökü olduğuna göre, a değerini bulalım.

4x 2 0 4x – 2 x – 42 x – 21

&

+ = =

=

x – 2= 1 için; 2–12 3a 1 – 41 3a 1

3a 1 41 3a 45

a 125

+ =

= +

=

= bulunur.

8. x – ax 3 51 + =

denkleminin kökü –2 olduğuna göre, a değeri kaçtır?

A) –11 B) –7 C) 9 D) 10

9. 7x – 3 = 4

denkleminin kökü aynı zamanda 2x – 3m 4= 3

denkleminin de kökü olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisidir?

A) 61 B) 65 C) 125 D) 127

10. Bir araç gideceği yolun önce 51 ini, sonra kalan yolun 32 sini gidiyor.

Geriye gidilecek 24 km yol kaldığına göre, yolun tamamı kaç km dir?

A) 90 B) 85 C) 80 D) 75

11. 2(a + 1) – 3(b – 2) = –5 2(b + 3) – (a – 1) = 14

denklem sisteminde a + b toplamı kaç- tır?

A) 4 B) 2 C) –2 D) –4

12. x m –2 x – 610 21

+ =

denkleminin kökü 1 olduğuna göre, m değeri kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1

13. "Bir m sayısı 7 ile bölündüğünde, bölüm 5, kalan ise m nin 3 eksiğinin yarısına eşittir.

Buna göre, bu sayı kaçtır?"

Aşağıdakilerden hangisi yukarıdaki problemin çözümünü veren denklem- dir?

A) m 7.5+ = m – 32 B) m – 2m – 3 7.5= C) m= m – 3 – 7.52 D) m = 3m – 2 + 7.5

14. Bir demir çubuğun ucundan 112 si kesilirse çubuğun orta noktası 7 cm kayıyor.

Buna göre, demir çubuğun uzunluğu ke- silmeden önce kaç cm dir?

A) 70 B) 73 C) 74 D) 77

(25)

213

DENKLEM SİSTEMLERİ

TEST 5

B İ L G İ

ÖRNEK

Bir kamyonet yük dolu iken ağırlığı 3 ton gelmektedir. 31 i yük ile dolu iken kamyonetin ağırlığı 1160 kg gelmek- tedir.

Buna göre kamyonet boş iken ağırlığı- nı hesaplayalım.

Kamyonetin ağırlığı : x Yükün ağırlığı : y olsun.

x + y = 3000 kg – x 3+ =y 1160 kg x y – x – 3y 3000 –1160

2y 18403 y 2760 olur.

+ =

=

x + 2760 = 3000 x = 240 bulunur.

1. 3x–a = 4 denkleminin kökü 2, 5(x+b) = –10 denkleminin kökü –2 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 0 D) –1

2. Ayça, Efe'den 5 yaş büyüktür. Ayça 3 yaş daha küçük, Efe 5 yaş daha büyük olsaydı, Efe'nin yaşı Ayça'nın yaşının 2 katı olacaktı.

Buna göre, Ayça ve Efe'nin yaşları topla- mı kaçtır?

A) 7 B) 10 C) 13 D) 16

3. m – n = 20 3m + 2n = 210

denklem sisteminde nm değeri kaçtır?

A) 31 B) 35 C) 37 D) 311

4. 3a = b 2a + b = 2c

olduğuna göre, 3a + 4b ifadesinin c tü- ründen değeri kaçtır?

A) 9c B) 8c C) 7c D) 6c

5. Sinem hergün bir önceki günün 1 21 si kadar daha fazla soru çözmektedir.

Sinem birinci gün 120 soru çözdüğüne göre, 4. gün kaç soru çözmüştür?

A) 1875 B) 1050 C) 975 D) 945

6. ax by 3 ax –by 2 + =

=

denklem sisteminin çözüm kümesi {(–1,3)} olduğuna göre, ba değeri kaçtır?

A) – 151 B) – 51 C) – 31 D) –1

7. Bir grup arkadaş bir miktar cevizi paylaşı- yor ve kişi başı 30 ceviz alıyorlar.

Bu gruba 5 kişi daha katıldığında kişi başına 20 ceviz düştüğüne göre, toplam kaç ceviz vardır?

A) 100 B) 200 C) 300 D) 400

8. Bir havuz 5 litre ve 10 litrelik kovalarla dol- durulacaktır.

420 litre su alan havuzun tamamı 67 kova ile doldurulduğuna göre, 5 litrelik kaç kova kullanılmıştır?

A) 17 B) 23 C) 39 D) 50

(26)

214

B İ L G İ

ÖRNEK 5+1 x63 6

+ =

denkleminin çözümünü bulalım.

5 + 1 = 6 olduğundan

1 x63 1

+ = olur. 66 1=

olduğundan 1 x+ = olur.3 6 1 5 6+ = olduğundan x3 5 x 53

=

= bulunur.

ÖRNEK 3m + 8n – 7 = 0 2m – 3n + 32 = 0

olduğuna göre, m + n toplamını bula- lım.

3m + 8n – 7 = 0 + 2m – 3n + 32 = 0

5m + 5n + 25 = 0 5(m + n) = –25 m + n = –5 bulunur.

9. 30 soruluk bir sınavda bazı sorular 4 puan bazıları 3 puandır.

Soruların hepsini doğru cevaplandıran Emel 100 puan aldığına göre, 3 puanlık kaç soru vardır?

A) 20 B) 18 C) 14 D) 12

10. Bir kümesteki m tane hayvanın 94 ü horoz, horozların 43 ünün 4 eksiği kadar tavuk ve tavukların sayısının 4 fazlası kadar civciv vardır.

Bu kümesteki civcivlerin sayısı m türün- den nedir?

A) 34m B) 3m 43+ C) 23m D) 3m

11. Murat ve Nuran'ın toplam 108 si vardır.

Nuran parasının 52 sini Murat'a verirse pa- raları eşit oluyor.

Buna göre, Nuran'ın kaç si vardır?

A) 90 B) 76 C) 46 D) 18

12. 2a + b + c = 4 a – 4b + 2c = 2

olduğuna göre, 3a + 2c toplamı kaçtır?

A) –5 B) 0 C) 2 D) 6

13. 3 –

1– 3x 2+x 1+ =– 6

A) 2$ .1 ^{B) {1}} _{C) 2}$ .³ ^D) {4}

14. Bir kalemin fiyatı 1,5 , bir silginin fiyatı ise 75 kuruştur.

Kalem ve silgilerden toplam 32 adet sa- tıldığında elde edilen gelir 37,5 oldu- ğuna göre, kaç adet silgi satılmıştır?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18

15. a sayısının 2 katının 7 eksiği ile b sayısının 2 katının 1 fazlasının 31 i eşittir. b sayısının 1 fazlasının yarısı ile a sayısının 3 katının 5 eksiği eşittir.

Buna göre, a ve b sayılarını bulmak için aşağıdaki denklem sistemlerinden han- gisi kullanılmalıdır?

A) 7a – 2b = 33 B) 6a – 2b = 22 3a – b = 11 3a – b = 11 C) 6a – 2b = 22 D) 4a + 2b = 33 6a – b = 11 6a – b = 11

(27)

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE

BENZERLİK

(28)

KAZANIMLAR

– Eş üçgen kavramı

– Üçgenlerde eşlik şartları – Benzerlik kavramı

– Benzerlik oranı

– Üçgenlerde benzerlik şartları

(29)

217 1. Aşağıdaki eş olan üçgenleri belirleyiniz ve eşlik kurallarını yazınız.

a.

b.

c.

65°

A

B

C

4 cm 5 cm

65°

K

M

L 5 cm

Efl Üçgenler Efllik Kural›

... ...

25° 63°

A

B C

63°

K

L M

25°

A

B

C 5 cm

6 cm 7 cm

K

L

7 cm M 5 cm 6 cm

... ...

4 cm

ETKİNLİKLER ÜÇGENLERDE EŞLİK VE

BENZERLİK

(30)

218

2. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların yanına “D”, yanlış olanların yanına “Y” yazınız.

... a. ‹ki üçgen arasında yapılan bire bir efllemede, karflılıklı açılar ve karflılıklı kenarlar efl ise bu üçgenler efl üçgenlerdir.

b.

... Efl üçgenlerin benzerlik oran› 1 dir.

c.

... Benzer iki üçgenin karfl›l›kl› yükseklikleri oran› benzerlik oran›n›n karesine eflittir.

d.

... Benzer iki üçgenin çevrelerinin oran› benzerlik oran›na eflittir.

e.

... Benzer iki üçgenin alanlar›n›n oran› benzerlik oran›na eflittir.

f.

... Benzer iki üçgenin aç›ortaylar› oran› benzerlik oran›na eflittir.

ETKİNLİKLER

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE

BENZERLİK

(31)

219 3. Aşağıdaki benzer olan üçgenleri belirleyiniz ve benzerlik kurallarını yazınız.

a.

b.

c.

A

B

C 4 cm

5 cm

P

S

R

Benzer Üçgenler Benzerlik Kural›

... ...

7 cm 5 cm

... ...

8 cm 10 cm

12 cm 6 cm

P

R S

80°

55° 45°

A

B C

80°

55°

45°

67°

10 cm 14 cm

67°

A

B

C

R

S P

ETKİNLİKLER ÜÇGENLERDE EŞLİK VE

BENZERLİK

(32)

220

4. Aşağıda verilen şekillerdeki benzer üçgenleri belirleyiniz.

a.

c.

e.

b.

d.

f.

B E C

D

A A

B E C

D

A

B D C

D C

E

A B

C

E D

A

E D

B C

ETKİNLİKLER

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE

BENZERLİK

(33)

221

TEST 1

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

B İ L G İ

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

Tanım: İki üçgenin karşılıklı açılarının ve karşılıklı kenarlarının ölçüleri eşit ise bu iki üçgen "eş üçgen"dir denir.

A

C B

K

M L

s(A) s(K )W = X |AB| = |KL|

s(B ) s(L)X = V |BC| = |LM|

s(C ) s(M )X = Y |AC| = |KM|

olduğundan ABC ile KLM& & üçgenleri eştir.

ABC KLM& b & dir.

•

Üçgenlerde eşlik şartları sırasıyla;

1. Kenar – Açı – Kenar (KAK) 2. Açı – Kenar – Açı (AKA) 3. Kenar – Kenar – Kenar (KKK) 4. Kenar – Açı – Açı (KAA)

şeklindedir.

1. ABC&

ile SRP&

eş üçgenlerdir.

s(A) s(S) 47° ve s(B) 51°W = W = W =

olduğuna göre, s(C) s(R)X + X toplamı kaç derecedir?

A) 98 B) 129 C) 133 D) 139

2. A

C B

D

F E

43°

84°

5 cm 10 cm

53°

84° 7 cm

10 cm Yukarıdaki iki üçgen eş üçgen olduğuna

göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Ç(ABC) 22 cm& = B) ABC EFD& b &

dir.

C) |DE| = 5 cm dir.

D) |AC| = 7 cm dir.

3. A

C B

6 cm

D E

6 cm 4 cm

ABC ve ADE birer üçgendir.

[DE] // [BC]

Yukarıda verilenlere göre, |AE| kaç cm dir?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12

4. KLM ile RST& & eş üçgenlerdir.

s(L) s(T) 112°V + W = olduğuna göre, s(R)X kaç derecedir?

A) 54 B) 68 C) 74 D) 78

5. A

C B

4 6

8

K M

L a

6 b

Yukarıdaki şekilde ABC KLM& + & dir.

Verilenlere göre, a + b toplamı aşağıda- kilerden hangisidir?

A) 9 B) 12 C) 18 D) 21

6.

72° 72°

A

C

E

B

D 15 6

10

Yukarıdaki şekilde, s(A) s(E) 72°,W = W =

|AB| = 15 cm, |ED| = 6 cm ve |EC| = 10 cm olduğuna göre, |AC| kaç cm dir?

A) 25 B) 20 C) 15 D) 10

(34)

222

B İ L G İ

1. Kenar – Açı – Kenar (KAK) Eşlik Şartı:

İki üçgende, iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasında kalan açının ölçüsü eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir.

2. Açı – Kenar – Açı (AKA) Eşlik Şartı:

iki üçgenin, iki açısının ölçüsü ile bu açılar arasında kalan kenar uzunluğu eşit ise bu iki üçgen eş üçgenlerdir.

7. A

C B

4 D

12 24

E 10

Yukarıdaki şekilde, |AB| = 24 cm,

|AD| = 4 cm, |DE| = 12 cm ve |EC| = 10 cm olduğuna göre, |DC| + |BE| toplamı kaç- tır?

A) 38 B) 36 C) 34 D) 32

8. ABC ve KLM& & eş üçgenlerdir.

|BC| = 4a – 7

|LM| = 2a + 5

olduğuna göre, a değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4

9. _A

C B

D

F E

77° 77°

20 cm 18 cm 16 cm

10 cm

9 cm

Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, |EF|

kaçtır?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7

10.

A

12

B 4 C

16

E

D 16 y

x Yukarıdaki şekilde, [BE] // [CD], |AB| = 12 cm, |BC| = 4 cm ve

|BE| = |AE| = 16 cm olduğuna göre, xy ora- nı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

11. ABC DEF, |DF ||AC | 31

+ =

& & ve |DE| = 12 cm olduğuna göre, |AB| kaç cm dir?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 12

12. _{7 cm}

3 cm B A

D 21 cm E

C

Yukarıdaki şekilde [AB] // [DE] dir.

Verilenlere göre, |DC| kaç cm dir?

A) 12 B) 10 C) 9 D) 8

(35)

223

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

TEST 2

B İ L G İ

3. Kenar – Kenar – Kenar (KKK) Eşlik Şartı:

İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit ise bu üçgenler eş üç- genlerdir.

4. Kenar – Açı – Açı (KAA) Eşlik Şartı:

İki üçgende iki açının ölçüsü eşit ve bunların karşısındaki kenarlardan bi- rinin uzunluğu eşit olan üçgenler eş üçgenlerdir.

1. D

F E

A

B 5 cm C

2 cm 3 cm 8 cm 20 cm

12 cm Yukarıdaki üçgenlerde benzerlik oranı

kaçtır?

A) 31 B) 41 C) 43 D) 51

2. Aşağıda verilen bilgilerden kaç tanesi doğrudur?

I. İki üçgen arasında yapılan birebir eşle- mede karşılıklı ikişer açılar eş ise bu üç- genler eş üçgenlerdir.

II. Karşılıklı açıların ölçüleri eş ve kenar uzunlukları orantılı olan üçgenler benzer üçgenlerdir.

III. Eş üçgenler aynı zamanda benzer üç- genlerdir.

IV. Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

3. _A

E C

B

D

Yukarıdaki şekilde, ACE BCD& + & dir.

Bu üçgenlerin benzerlik oranı 31 olduğuna göre, |CE ||A |C oranı kaçtır?

A) 32 B) 21 C) 31 D) 41

4. _A

E C

x+1

x+1 x+3

E x D

Şekilde, [DE] // [BC], |AD| = x + 3,

|AE| = x + 1, |EC| = x ve |DB| = x + 1 olduğuna göre, x kaçtır?

A) 712 B) 1 C) 75 D) 71

5. _D

B E A

C

Yukarıdaki şekilde, s(BAC) s(CDE)% = % dir.

|AB| = 1,58 m, |AC| = 1,2 m ve |CD| = 3 m ol- duğuna göre, ağacın boyu kaç metredir?

A) 3,75 B) 3,95 C) 4,24 D) 4,32

6. _A

15 cm x cm

E 5 cm

B 4 cm C y cm D

Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, yx oranı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 73 B) 75 C) 57 D) 37

(36)

224

B İ L G İ

Üçgenlerde Benzerlik:

Karşılıklı açılarının ölçüleri eş ve ke- nar uzunlukları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

ABC ve DEF& & benzer üçgenler ise,

|DE |

|AB |

|EF |

|BC |

|DF |

|AC | k

= = = dır.

k sayısına benzerlik oranı denir.

•

k = 1 ise bu üçgenler hem benzer hem de eş üçgenlerdir.

•

Üçgenlerde benzerlik şartları sıra- sıyla;

1. Açı – Açı (A – A)

2. Kenar – Kenar – Kenar (K – K – K) 3. Kenar – Açı – Kenar (K – A – K)

şeklindedir.

7. _A

D C

B

Yukarıdaki şekilde s(ACD) s(BD )% = %A oldu- ğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğ- rudur?

A) ADB ADC& + &

B) ADB ACD& + &

C) ABD ACD& + & D) ABD CBD& + &

8. _A

D C

B

E 5

7 6

4

Yukarıdaki şekilde |AB| = 6 cm, |BC| = 4 cm,

|AE| = 5 cm ve |ED| = 7 cm dir.

Buna göre, ABE ve ACD üçgenlerinin benzer olma şartı aşağıdakilerden han- gisidir?

A) Açı – Açı – Açı B) Açı – Kenar – Açı C) Kenar – Açı – Kenar D) Kenar – Kenar – Kenar

9. _A

D B

E 4

2,4

C 1,6

8 Yukarıdaki şekilde,

|AE| = 4 cm, |ED| = 2,4 cm, |CD| = 1,6 cm

|BC| = 8 cm ve A(ECD) 2& = 1 cm²

olduğuna göre, A(ABD)& kaçtır?

A) 163 B) 4 C) 8 D) 16

10. _A

C B

E 6 cm

D 2 cm

8 cm

ABC dik üçgeninde,

|DE| 9 |AC|, |AE| = 6 cm, |ED| = 8 cm ve

|BD| = 2 cm olduğuna göre, |EC| kaç cm dir?

A) 14 B) 13 C) 12 D) 11

11. A 4 cm E

8 cm B 10 cm

C D

Şekilde, s(EAB) s(BCD)% = % , |AE| = 4 cm,

|AB| = 8 cm ve |BC| = 10 cm olduğuna göre,

|CD| kaç cm dir?

A) 6,5 B) 6 C) 5,5 D) 5

12. A

C B

8 cm 4 cm

14 cm

Şekildeki ABC üçgeni üzerinde aşağı- daki işlemlerden hangisi yapılırsa, ABC üçgenine benzer bir üçgen elde edilir?

A) Kenarları 21 oranında kısaltılırsa B) Kenarları 21 cm uzatılırsa C) Kenarları 1 er cm kısaltılırsa D) Açılardan herhangi ikisi 5° artılırsa

(37)

225

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

TEST 3

B İ L G İ

1. Açı – Açı (AA) Benzerlik Şartı:

İki açısının ölçüsü eş olan üçgenler benzer üçgenlerdir.

2. Kenar – Kenar – Kenar (KKK) Benzerlik Şartı:

Karşılıklı kenarları orantılı olan üçgen- ler benzer üçgenlerdir.

3. Kenar – Açı – Kenar (KAK) Benzerlik Şartı:

Karşılıklı iki kenarı orantılı ve bu ke- narlar arasında kalan açıları eş olan üçgenler benzer üçgenlerdir.

1. A

D B

E 4x

2 C 5x+5

Yukarıdaki şekilde,

|AE| = x cm, |ED| = 4x cm, |CD| = 2 cm,

|BC| = 5x + 5 cm ve

A(ABD) A(ECD)

91

& =

&

olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangi- sidir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

2. A

D C

B E

Şekilde, [BE] // [CD], |BE| = 4 cm,

|CD| = 12 cm, |AB| = 5 cm, |ED| = 12 cm olduğuna göre, |AC ||AD | oranı kaçtır?

A) 31 B) 52 C) 56 D) 23

3.

A

E

4 cm

B

C

D 18 cm

Şekilde, [AB] // [ED], A(ABC) 8 cm& = ²,

|AC| = 4 cm ve |CD| = 18 cm

olduğuna göre, A(CED)& kaç cm² olur?

A) 72 B) 98 C) 102 D) 162

4. A

D C

F B

10 E

a b

20

8 16 4 G

[BG] // [CD] ve [GF] // [DE] dir.

Buna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 30

5. _A

D C

B

E

Şekilde, s(AEB) s(ACD)% = %

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) ABE ACD& ` &

B) BAE CDA&` &

C) BAE CAD& ` & D) EAB CAD&` &

6. _A

D

B C

E

6 10

y 12 24

x

Yukarıdaki şekilde, s(BAD) s(ECD)% = % dir.

Verilenlere göre, x – y farkı kaçtır?

A) 10 B) 18 C) 20 D) 66

(38)

226

B İ L G İ

Not: Eş iki üçgen aynı zamanda ben- zerdir ve benzerlik oranı 1 dir.

) A

D C

B E

[BE] // [CD] ise

•

_{|BC |}^{|AB |} =_{|ED |}^{|AE |} =_{|CD |}^{|BE |}

•

_{|AC |}^{|AB |} =_{|AD |}^{|AE |} dir.

7. _A

B 32

4 E

D 3 C

|BC| = 32 cm, |CE| = 4 cm, |ED| = 3 cm olduğuna göre, |AB| kaç cm dir?

A) 20 B) 22 C) 24 D) 26

8. _A

x+6 E

x

D x+1 C x+9 B

Şekilde, [AB] // [CE], |AE| = x + 6,

|ED| = x, |CD| = x + 1 ve |BC| = x + 9 olduğuna göre, x kaçtır?

A) 31 B) 21 C) 2 D) 3

9. _A

C B

4 cm 18 cm

8 cm D x

Şekilde,

s(ABC) s(ACD)% = %

, s(CAD) s(ACB)% = % dir.

Verilenlere göre, x kaç cm dir?

A) 9 B) 10 C) 12 D) 14

10. _A

B

C

E D

Yukarıdaki şekildeki askerin boyu 168 cm, [AB] // [DE], |AC| = 5 m, |CE| = 2 m olduğu- na göre, bayrak direğinin uzunluğu kaç metredir?

A) 6,4 B) 5,6 C) 5,4 D) 4,2

11. A

C

B

D x E

8 10

14

Yukarıdaki şekilde, [AC]9[AE], [BD] 9 [CE],

|AB| = 14 cm, |CB| = 10 cm ve |CD| = 8 cm olduğuna göre, |DE| = x kaç cm dir?

A) 12 B) 16 C) 22 D) 24

12.

B A

C 8

E

12 D

6

Şekilde, s(ADE) s(ACB)% = % dir.

Yukarıda verilenlere göre, |AC| kaçtır?

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12

(39)

227

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

TEST 4

B İ L G İ

) A

B C D

E

a b

F c

[AB] // [FC] // [ED] ise

b1 a1

c1

= + dir.

1. _A

D B

45

9 E

C 12

16

Şekilde, |AE| = 16 cm, |AB| = 45 cm,

|EC| = 9 cm ve |CD| = 12 cm

olduğuna göre, |BC| + |ED| toplamı kaç- tır?

A) 48 B) 50 C) 52 D) 54

2. _A

D

B C

Şekilde, s(ABC) s(CAD),% = %

|CD| = 4 cm,

|AB| = 10 cm, |AD| = 8 cm olduğuna göre, |AC| kaç cm dir?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

3. _A

C B

E

D G

5

10

2 F 6

y z

4

x

Şekilde, [AE] // [FD], [GF] // [BC] dir.

Verilenlere göre, x + y + z toplamı kaçtır?

A) 11 B) 18 C) 24 D) 26

4. A

D C

B

4 E

6 8

10 8

Şekilde, |AB| = 6 cm, |BC| = 10 cm,

|AE| = |BE| = 8 cm ve |ED| = 4 cm olduğuna göre, |CD| kaç cm dir?

A) 20 B) 18 C) 16 D) 14

5. _A

B F

C D E

Yukarıdaki şekilde ADC ve CBE& &

dik üçgen- lerdir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yan- lıştır?

A) ABF FDE&+ &

B) ACD ECB& + &

C) ACD AFB& + & D) ACD EFD& + &

6.

x E y

C 12

A

B

4 D y+8

2x+3

Yukarıdaki şekilde, [AB] // [ED] dir.

Verilenlere göre, x + y toplamı kaçtır?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7