ALES KONU ANLATIMLI SAYISAL YETENEK

(1)

(2)

Kenan Osmanoğlu Kerem Köker Savaş Doğan ALES KONU ANLATIMLI SAYISAL YETENEK 978-605-364-364-7 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı, mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.

Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz

.

6. Baskı Yayın-Proje Yönetmeni: Şermin Yılmaz Dizgi-Grafik Tasarım: Selcan Arslan Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Tuna Matbaacılık A.Ş.

(Ankara-0312-2783484)

Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 16102 İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 E-ileti: pegem@pegem.net

“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR' ın her

hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi,

fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı

izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”

(3)

iv

MATEMATİK

1. BÖLÜM

SAYILAR ...3

Sayı Kümeleri ...4

Doğal Sayılar ...5

Tam Sayılar...8

Tek ve Çift Tam Sayılar ...9

Pozitif ve Negatif Sayılar ...11

Ardışık Sayılar ...13

Asal Sayı ...18

Aralarında Asal Sayılar...18

Basamak Analizi...19

Çözümleme...24

Faktöriyel ...26

Sayma Sistemleri ...29

Çıkmış Sorular...36

Çözümlü Test – 1 ...41

2. BÖLÜM BÖLME – BÖLÜNEBİLME KURALLARI ...86

Bölme ...87

Bölünebilme Kuralları...91

2 ile Bölünebilme ...91

Çözümlü Test - 1 ...99

Çözümlü Test - 2 ...104

3. BÖLÜM ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK... 109

Asal Çarpanlara Ayırma ... 110

Bir Tam Sayının Bölenleri ... 111

Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı ... 113

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ... 114

En Küçük Ortak Kat (EKOK) ... 117

Çıkmış Sorular... 122

Çözümlü Test - 1 ... 124

Çözümlü Test - 2 ... 129

4. BÖLÜM BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER... 134

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler.... 135

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler... 138

Denklem Sistemi ... 138

Yok Etme Metodu... 138

Yerine Koyma Metodu ... 139

Özel Denklemler ... 140

Çözümlü Test... 147

5. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR ... 152

Kesir ve Kesir Türleri... 153

Kesir ... 153

Basit Kesir ... 153

Bileşik Kesir... 153

Tam Sayılı Kesir ... 154

Sabit Kesir ... 155

Denk Kesir ... 156

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ... 157

Toplama İşlemi ... 157

Çıkarma İşlemi... 157

Çarpma İşlemi... 157

Bölme İşlemi ... 157

Kuvvet Alma ... 157

İşlem Önceliği... 158

Ondalık Kesirler... 161

Ondalık Sayılarda Dört İşlem ... 162

Devirli Ondalık Açılımlar... 164

Rasyonel Sayılarda Sıralama ... 165

İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma... 167

Çözümlü Test - 1 ... 171

Çözümlü Test - 2 ... 176

İÇİNDEKİLER

(4)

v

6. BÖLÜM

ÜSLÜ SAYILAR ...181

Özellikleri ...182

Üslü Sayılarda Dört İşlem ...185

Toplama – Çıkarma...185

Çarpma...186

Bölme ...188

Çözümlü Test ...193

7. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR ...198

Köklü Sayıların Özellikleri...199

Köklü Sayılarda Dört İşlem ...203

Toplama-Çıkarma...203

Çarpma...204

Bölme ...205

Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması...207

Eşlenik (Paydayı Kökten Kurtarma)...208

İç İçe Sonlu Kökler...210

İç İçe Sonsuz Kökler...211

A 2 B∓ ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması...213

Köklü Sayılarda Sıralama...215

Köklü Sayılarda Denklem Çözme...216

8. BÖLÜM ÇARPANLARA AYIRMA ...224

Ortak Parantez Yöntemi ...225

Gruplandırma Yöntemi ...225

ax²+bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması ...226

Özdeşlikler...228

İki Kare Farkı ...228

Tam Kare İfadeler...230

III. Dereceden Özdeşlikler ...233

9. BÖLÜM EŞİTSİZLİK – MUTLAK DEĞER ...243

Eşitsizlikler ...244

Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları...247

Kapalı Aralık ...247

Yarı Açık Aralık ...247

Açık Aralık ...248

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler....248

Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi...249

Mutlak Değer ...251

10. BÖLÜM ORAN – ORANTI ... 272

Oran... 273

Orantı... 273

Orantının Özellikleri ... 273

Orantı Türleri ... 275

Doğru Orantı ... 275

Ters Orantılı Çokluklar ... 277

Bileşik Orantı ... 278

Ortalamalar ... 279

Aritmetik Ortalama... 279

Geometrik Ortalama... 280

Çözümlü Test - 1 ... 285

Çözümlü Test - 2 ... 290

11. BÖLÜM PROBLEMLER ... 295

Denklem Kurma Problemleri... 296

Yaş Problemleri ... 302

Yüzde Problemleri... 305

Faiz Problemleri ... 307

Kâr – Zarar Problemleri ... 308

Karışım Problemleri ... 311

İşçi Problemleri ... 314

Havuz Problemleri... 316

Hareket Problemleri ... 317

Çözümlü Test - 1 ... 339

Çözümlü Test - 2 ... 344

Çözümlü Test - 3 ... 350

Çözümlü Test - 4 ... 355

Çözümlü Test - 5 ... 361

Çözümlü Test - 6 ... 366

Çözümlü Test - 7 ... 373

Çözümlü Test - 8 ... 379

Çözümlü Test - 9 ... 386

Çözümlü Test - 10 ... 392

12. BÖLÜM KÜMELER... 398

Küme ... 399

Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı ... 399

Kümelerin Gösterimi... 399

Küme Çeşitleri ... 400

Kümelerde İşlemler... 401

Alt Küme ... 404

Küme Problemleri ... 406

(5)

vi

13. BÖLÜM

İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK...415

İşlem...416

İşlem Tabloları...419

İşlemin Özellikleri ...419

Modüler Aritmetik ...422

Modüler Aritmetiğin Özellikleri...423

Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü...427

14. BÖLÜM PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK ...438

Saymanın Temel Kuralları...439

Toplama Kuralı...439

Çarpma Yolu ile Sayma ...439

Saymanın Temel İlkesi ...439

Permütasyon (Sıralama)...441

Tekrarlı Permütasyon ...442

Dairesel Permütasyon ...443

Kombinasyon (Gruplama) ...444

Olasılık ...449

Olasılık Fonksiyonu ...449

Olasılık Hesabı ...450

Koşullu Olasılık...454

Bağımsız ve Bağımlı Olasılık ...455

15. BÖLÜM TABLO VE GRAFİKLER...473

Tablo ve Yorumlama...474

Grafik ve Yorumlama...478

Çizgi Grafik ...478

Sütun Grafiği ...480

Daire Grafiği ...480

16. BÖLÜM SAYISAL YETENEK PROBLEMLERİ...501

Sayısal Mantık Soruları ...502

Sayı Dizileri...506

Şifreli Sorular ...506

Görsel Yetenek...510

Cevaplı Test-1...535

GEOMETRİ

1. BÖLÜM GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR ... 552

Geometrik Kavramlar... 553

Tanımsız Kavramlar ... 553

Açılar ... 553

Açının Ölçüsü ... 553

Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler ... 553

Açı Ölçü Birimleri... 553

Açı Çeşitleri ... 554

Dar Açı... 554

Dik Açı ... 554

Geniş Açı... 554

Doğru Açı ... 554

Tam Açı ... 554

Komşu Açılar ... 554

Açıortay ... 554

Tümler Açılar ... 555

Bütünler Açılar ... 555

Ters Açılar... 556

Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar ... 556

Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen İle Meydana Getirdiği Açılar... 556

Kenarları Paralel Açılar... 558

Kenarları Dik Açılar ... 558

Üçgenler... 561

Üçgen Çeşitleri ... 561

Açılarına Göre Üçgenler ... 561

Kenarlarına Göre Üçgenler ... 561

Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar... 562

Yükseklik... 562

Açıortay... 562

Kenarortay ... 562

Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler... 563

Dik Üçgen... 567

Pisagor Teoremi... 567

Öklid Bağıntıları... 568

Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler ... 569

Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler... 570

Üçgende Açıortay Teoremleri ... 572

İç Açıortay Teoremi... 573

Dış Açıortay Teoremi ... 574

Üçgende Kenarortay Teoremleri ... 576

Ağırlık Merkezi... 576

Kenarortay Bağıntıları ... 577

İkizkenar Üçgen... 580

Eşkenar Üçgen ... 582

Üçgende Alan ... 586

Üçgende Benzerlik ... 591

Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı... 591

Tales Teoremi ... 593

Temel Orantı Teoremi ... 593

(6)

vii

Çapraz Tales Teoremi...594

Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı ...595

Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı...596

Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları ...599

Üçgen Eşitsizliği ...599

Cevaplı Test - 1 ...604

Cevaplı Test - 10 ...622

Cevaplı Test - 11 ...624

Cevaplı Test - 12 ...626

Cevaplı Test - 13 ...628

2. BÖLÜM ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER...630

Çokgenler ...631

Dışbükey ve İçbükey Çokgenler...631

Düzgün Çokgen ...632

Dörtgenler...637

Dörtgenin Özellikleri...637

Dörtgenlerde Alan...638

Paralelkenar...640

Paralelkenarda Alan ...641

Paralelkenarın Alan Özellikleri ...641

Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler...643

Eşkenar Dörtgen ...644

Dikdörtgen ...645

Kare ...647

Yamuk ...649

İkizkenar Yamuk...652

Dik Yamuk...654

Deltoid...654

3. BÖLÜM ÇEMBER VE DAİRE ...665

Çemberde Açı...666

Çemberde Yardımcı Elemanlar...666

Çemberde Yay ve Açı Özellikleri ...667

Merkez Açı ...667

Çevre Açı ...668

Teğet Kiriş Açı...669

İç Açı ...669

Dış Açı...669

Çemberde Kiriş Yay Özellikleri...671

Kirişler Dörtgen...671

Çemberde Uzunluk ...672

Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti... 672

Kuvvet Ekseni... 674

İki Çemberin Ortak Teğetleri ... 675

İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ... 677

Üçgen Çemberleri ... 677

Üçgenin İç Teğet Çemberi... 677

Üçgenin Dış Teğet Çemberi ... 678

Teğetler Dörtgeni ... 678

Dairede Alan ... 679

Dairenin Alanı ve Çevresi... 679

Daire Diliminin Alanı ... 679

Çember Yayının Uzunluğu ... 679

Daire Kesmesinin Alanı ... 679

Daire Halkasının Alanı ... 680

Çemberde Benzerlik ... 681

Cevaplı Test - 1 ... 683

Cevaplı Test - 2 ... 685

Cevaplı Test - 3 ... 687

4. BÖLÜM ANALİTİK GEOMETRİ ... 689

Noktanın Analitik İncelenmesi ... 690

Analitik Düzlem ... 690

İki Nokta Arasındaki Uzaklık ... 691

Doğrusal Noktalar ... 692

Doğrusal Olmayan Noktalar... 694

Doğrunun Analitik İncelenmesi ... 697

Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi... 697

Doğrunun Grafiğinin Çizimi ... 697

Doğrunun Denklemleri ... 698

Özel Doğrular... 702

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ... 702

Doğru Demeti... 702

Simetriler... 707

Noktanın Simetriği ... 707

Doğrunun Simetriği ... 710

Eşitsizlikler ... 712

Cevaplı Test ... 714

5. BÖLÜM KATI CİSİMLER... 716

Prizma... 717

Dikdörtgenler Prizması... 718

Küp ... 720

Silindir ... 720

Dönel Silindir ... 721

Piramit ... 723

Düzgün Piramit... 723

Kesik Piramit ... 724

Küre ... 726

Cevaplı Testler - 1 ... 727

Cevaplı Testler - 2 ... 729

(7)

viii

TÜRKÇE

1. BÖLÜM

SÖZCÜKTE ANLAM ...748

Sözcüğün Anlamı...748

Gerçek Anlam ...749

Mecaz Anlam...750

Terim Anlam...752

Soyut – Somut Anlam ...752

Nitel – Nicel Anlam ...753

Sözcüğün Cümleye Kattığı Anlam...753

Sözcüklerde Anlam İlişkileri ...754

Eş Anlamlı Sözcükler ...754

Yakın Anlamlı Sözcükler...755

Karşıt Anlamlı Sözcükler ...756

Eş Sesli (Sesteş) Sözcükler ...756

Genel – Özel İlişkili Sözcükler...759

Söz Sanatları ...759

Benzetme (Teşbih) ...759

Eğretileme (İstiare) ...760

Ad Aktarması (Mecaz-ı Mürsel) ...763

Değinmece (Kinaye) ...763

Dokundurma (Tariz) ...764

Mübalâğa (Abartma)...765

Dolaylama...765

Güzel Adlandırma...766

Somutlama ...766

Söz Öbekleri ...767

Deyimler ...767

Atasözleri ...768

İkilemeler ...769

Pekiştirmeler...770

Sözün Cümleye Kattığı Anlam ...770

2. BÖLÜM CÜMLEDE ANLAM ...786

Cümlenin Yorumu ...786

Cümle Vurgusu...786

Eş Anlamlı (Özdeş) / Yakın Anlamlı Cümleler ...787

Cümlenin İletisi...788

Cümle Analizi...791

Çelişen (Karşıt Anlamlı) Cümleler ...792

Kesin Yargı...794

Cümlenin Yapısı ...796

Eksiltili Cümleler ...796

Cümle Tamamlama...796

Cümle Oluşturma ...800

Cümlenin Anlamı...803

Anlamlarına Göre Cümleler...803

Anlam İlişkilerine Göre Cümleler...804

Anlatım Özelliklerine Göre Cümleler ...807

İlettiği Duygu, Düşünce ve Duruma Göre Cümleler...811

3. BÖLÜM ANLATİM BİÇİMLERİ... 833

Öyküleyici Anlatım ... 833

Betimleyici Anlatım ... 833

Açıklayıcı Anlatım... 833

Tartışmacı Anlatım ... 834

Düşünceyi Geliştirme Yolları ... 834

Benzetme... 834

Tanımlama ... 835

Karşılaştırma ... 835

Örneklendirme ... 835

Tanık Gösterme (Alıntı Yapma) ... 836

Sayısal Verilerden Yararlanma... 836

Soru Sorma ... 836

Anlatım Nitelikleri3... 837

Özgünlük ... 837

Özlülük (Yoğunluk)... 837

Yalınlık (Sadelik) ... 837

Akıcılık ... 837

Sürükleyicilik... 837

Duruluk ... 837

Açıklık ... 837

Tutarlılık... 837

4. BÖLÜM PARAGRAF... 852

ALES’te Paragraf Soruları ... 852

ALES Paragraf Sorularının Özelliği Nedir? ... 852

Paragraf Konusuna Nasıl Çalışmalı? ... 852

Paragrafın İçeriği... 853

Paragrafta Konu... 853

Paragrafta Başlık ... 856

Paragrafta Ana Düşünce... 857

Paragrafta Yardımcı Düşünceler... 866

Paragrafta Tanıtılan Kişiyle İlgili Sorular ... 866

Parçaya Dayalı Sorular... 868

Paragrafın Yapısı... 899

Paragrafın Bölümleri ... 899

Paragrafın Yapısına İlişkin Soru Tipleri ve Çözüme Yönelik Pratikler ... 900

5. BÖLÜM SÖZEL MANTIK ... 948

Mantıkla İlgili Temel Kavramlar... 948

Sözel Mantık Sorularının Kapsamı... 948

Sözel Mantık Soruları Hakkında ... 948

Soru Çözümünde Yararlanılabilecek Yöntemler... 949

Simgeler Kullanma ... 949

Tablo Oluşturma ... 950

Sıralama... 955

Sözel Mantık Soru Tipleri ve Örnek Çözümleri ... 956

Çıkarım Soruları... 956

Şifreleme Soruları... 957

Sıralama Soruları ... 957

Yer-Yön-Konum Bildiren Sorular ... 959

Eşleştirme Soruları... 961

Tablo Yorumlama Soruları... 962

Karma Sorular... 963

(8)

ALES

SAYISAL

YETENEK

(9)

LES ALES

LES 2005 Mayıs

LES 2005 Aralık

LES 2006 Mayıs

LES 2006 Aralık

LES 2007 Nisan

ALES 2007 Aralık

ALES 2008 Mayıs

ALES 2008 Kasım

ALES 2009 Mayıs

ALES 2010 Mayıs

ALES 2010 Aralık

ALES 2011 Nisan

ALES 2011 Kasım

ALES 2012 Mayıs

ALES 2012 Kasım Sayılar 17 12 8 14 16 15 19 14 17 10 16 11 7 11 18

1.Dereceden

Denklemler 1 3 4 2 2 5 5 8 3 2 3 3 3 3 4

Eşitsizlik-

Mutlak Değer 4 2 3 4 5 3 2 6 8 3 6 4 4 2 4

Üslü İfadeler-

Köklü ifadeler 2 3 1 4 1 4 3 4 2 4 4 5 6 6 4 Özdeşlikler-

Çarpanlarına

Ayırma 2 3 6 5 2 4 4 4 2 2 5 3 3 3 2

Oran ve

Orantı 1 2 4 -- 3 4 4 4 2 1 2 3 4 2 2

Problemler 16 16 14 10 18 17 13 15 16 15 20 22 14 12 8

Kümeler -- -- -- 1 -- 3 1 -- 4 -- 1 4 -- -- 1 İşlem-

Modüler

Aritmetik 5 4 4 2 -- -- 2 2 -- -- 3 -- -- 2 2 Permütasyon-

Kombinas-

yon-Olasılık 2 2 1 1 3 4 2 1 3 -- 7 3 1 2 5 Sayısall

Mantık ve Tablo Yorumlama

21 23 24 29 27 17 22 17 17 35 18 30 47 48 43

Geometri 9 9 11 8 3 3 3 5 7 8 15 12 11 9 13

SAYISAL ANALİZ

(10)

2007 2008 2009 2010 2011 2012

Nisan Kasım Mayıs Kasım Mayıs Kasım Mayıs Aralık Nisan Kasım Mayıs Kasım

3 8 5 4 4 2 3 7 7 5 8 8

İnsanlar sayılar gibidir. O insanın değeri ise o sayının içinde bulunduğu sayı ile ölçülür.

Newton

Sayılar

Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Analiz Tablosu

Sayı Kümeleri

Tam Sayılar

Pozitif ve Negatif Sayılar Ardışık Sayılar

Asal Sayı

Aralarında Asal Sayılar Basamak Analizi

Faktöriyel

Sayma Sistemleri Çıkmış Sorular Çözümlü Testler 1-9 Doğal Sayı

Çözümleme

(11)

4 ALES Mate matik

RAKAM: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir.

SAYI: Rakamların tek başlarına veya bir çokluk

oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.

ÖRNEK

7 bir rakam aynı zamanda bir sayıdır.

36 iki rakamdan oluşan bir sayıdır.

712 üç rakamdan oluşan bir sayıdır.

−5391dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır.

SAYI KÜMELERİ

1) Sayma Sayıları Kümesi

{

1, 2, 3,...

}

kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir.

Sayma sayıları kümesi "`⁺" sembolü ile gösterilir.

2) Doğal Sayılar Kümesi

{

0, 1, 2, 3,...

}

kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi " "` sembolü ile gösterilir.

3) Tam sayılar Kümesi

{

..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...− − −

}

kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi " "] sembolü ile gösterilir.

Tam sayılar kümesi üçe ayrılır.

a) Negatif Tam sayılar Kümesi

Sıfırdan küçük (sıfırın solunda olan) sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi bu kümenin her bir elemanına negatif tam sayı denir.

Negatif tam sayılar kümesi "]⁻" sembolü ile gösterilir.

{

..., 3, 2, 1

}

−= − − −

] dir.

Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler.

Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı " 1"− dir.

b) Pozitif Tam sayılar Kümesi

Sıfırdan büyük (sıfırın sağında olan) sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi bu kümenin her bir elemanına pozitif tam sayı denir. Pozitif tam sayılar kümesi "]⁺"sembolü ile gösterilir.

{

1, 2, 3,...

}

+=

] dir.

Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler.

Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı "1" dir.

c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir.

4) Rasyonel Sayılar Kümesi a ve b birer tam sayı ve b 0≠ olsun. a

bşeklinde yazılabilen sayıların oluşturduğu kümeye rasyonel sayılar kümesi bu kümenin her bir elemanına bir rasyonel sayı denir.

Rasyonel sayılar kümesi “Q” sembolü ile gösterilir.

Q a: a, b Z ve b 0 dir.

b

⎧ ⎫

=⎨ ≠ ⎬

⎩

∈

⎭

ÖRNEK 3 12

, , 4, 25...

8 −17 − birer rasyonel sayıdır.

5) İrrasyonel Sayılar Kümesi

Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayıların kümesine irrasyonel sayılar kümesi bu kümenin her bir elemanına bir irrasyonel sayı denir.

İrrasyonel sayılar kümesi “Q ” sembolü ile gösterilir. ^I

ÖRNEK

3 13

10, 7, ,...

− 5 birer irrasyonel sayıdır.

6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine reel sayılar kümesi bu kümenin her bir elemanına bir reel sayı denir.

Reel sayılar kümesi " "\ sembolü ile gösterilir.

\ = ∪Q Q^ı şeklinde ifade edilir.

Örnek:

a ve b birer rakam olmak üzere, 3a 4b+ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 65 B) 63 C) 60 D) 57 E) 54

Çözüm:

İfadede kullanılacak rakamların farklı olup olmadığına dikkat edilmelidir. a ve b birbirinden farklı rakamlar denilmediğinde 3a 4b+ ifadesinde en büyük değeri elde etmek için a 9= ve b 9= seçilmelidir. Böylece

3a 4b 3 9 4 9 27 36 63+ = ⋅ + ⋅ = + = bulunur.

(12)

5 Sayılar

Örnek:

a, b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, 5a 6b 3c+ + ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 115 B) 110 C) 105 D) 100 E) 95

Çözüm:

Verilen ifadede rakamların farklı olması istendiğinden ve en büyük değer sorulduğundan seçilebilecek en büyük üç rakam 7, 8 ve 9 kullanılmalıdır.

Büyük değer elde etmek için bu değerler bilinmeyenlerin katsayılarının büyüklük sırasına göre verilmelidir.

O halde a 8, b 9, c 7= = = seçilirse 5a 6b 3c 5 8 6 9 3 7

40 54 21 115 bulunur.

+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅

= + +

=

Örnek:

x, y, z birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, 4x 2y 7z+ + ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

Çözüm:

Verilen ifadede rakamların farklı olması istendiğinden ve en küçük değer sorulduğundan en küçük üç rakam 0,1 ve 2 kullanılmalıdır.

Küçük değer elde etmek için bu değerler katsayılarının büyüklük sırası ile ters olacak şekilde seçilmelidir.

Yani x 1, y 2, z 0= = = seçilirse

4x 2y 7 z 4 1 2 2 7 0 4 4 0 8 bulunur.

+ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

= + +

=

Örnek:

x, y ve z birbirinden farklı rakamlardır.

Buna göre, 4x 3y 8z+ − ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 72− B) 69− C) 68− D) 7 E) 10

Çözüm:

Soruda rakamların farklı olması istendiğinden ve en küçük değer sorulduğundan katsayısı pozitif olan bilinmeyenlere küçük, katsayısı negatif olan

bilinmeyenlere büyük değer verilmelidir Yani, x 0,y 1= = ve z 9= seçilmelidir.

4x 3y 8z 4 0 3 1 8 9 3 72+ − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = − = −69 bulunur.

DOĞAL SAYILAR {

0,1,2,3...

}

=

` kümesine doğal sayılar kümesi denir.

En küçük doğal sayı “0” dır.

{

1,2,3...

}

+=

` kümesine pozitif doğal sayılar kümesi denir.

En küçük pozitif doğal sayı veya sayma sayısı “1” dir.

x,y∈ ` ifadesi x ve y doğal sayı, x,y∈ ` ifadesi x ve ⁺ y pozitif doğal sayı veya sayma sayısı şeklinde okunur.

Örnek:

a, b, c, birbirinden farklı doğal sayılar olmak üzere, a 4b 2c+ + ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 0 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

Çözüm:

a 4b 2c+ + ifadesinin alabileceği en küçük değer bulunurken, denklemde verilen bilinmeyenlere kat- sayılarının büyüklüğü ile ters olacak şekilde küçük doğal sayı değerleri verilir.

En büyük katsayı “b” nin olduğu için b 0= , sonra en büyük katsayı “c” nin olduğu için c 1= ve son olarak a 2= seçilir. Böylece; a 4b 2c+ + = 2 4 0 2 1 4+ ⋅ + ⋅ = bulunur.

Örnek:

x,y,z∈ ` olmak üzere, 3x 2y 4z⁺ + + ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 0 B) 7 C) 9 D) 13 E) 16

Çözüm:

x, y, z pozitif tam sayılarının birbirinden farklı olduğu belirtilmediğinden ifadede aynı değer bütün bilinmeyenlere verilebilir. Burada kat sayılarının büyüklüğünün bir önemi yoktur.

Böylece x 1,y 1= = ve z 1= seçilirse 3x 2y 4z+ + = 3 1 2 1 4 1 9⋅ + ⋅ + ⋅ = bulunur.

Örnek:

a ve b doğal sayılar a b 19+ = ise a nın alabileceği kaç değer vardır?

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 NOT

(13)

6 ALES Mate matik

Çözüm:

Toplamları sabit olduğundan bilinmeyenlerin birisine değer verilip diğer bilinmeyenin değeri bulunur.

Yani a b 19+ = ⇒ =a 0, b 19= ⇒ = b 18a 1, = ⇒ = b 17a 2, = # #

⇒ =a 19, b 0= bulunur.

Dolayısıyla a nın alabileceği 20 değer vardır.

Örnek:

x ve y sayma sayısı,

x y 23+ = olduğuna göre, y nin alabileceği kaç değer vardır?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

Çözüm:

Toplamları sabit olduğundan bilinmeyenlerin birisine değer verilip diğer bilinmeyenin değeri bulunur.

Yani x y 23+ = ⇒ = , y 22x 1 = ⇒ =x 2, y 21= # # ⇒ =x 22, y 1= Dolayısıyla y nin alabileceği 22 değer vardır.

Örnek:

a ve b pozitif doğal sayılardır.

a b 20+ = olduğuna göre, a b⋅ çarpımının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?

A) 119 B)115 C) 109 D) 107 E) 100

Çözüm:

Toplamları sabit olan iki pozitif doğal sayının çarpımının en büyük ve en küçük değeri bulunurken birbirine yakın (duruma göre eşit seçilebilir) değerler ile birbirinden uzak değerler seçilmelidir.

a b 20+ = ⇒ a 10, b 10= = seçilirse a b 100⋅ = ⇒ a 1,= b 19= seçilirse a b 19⋅ = olur.

Dolayısıyla a b⋅ nin en büyük değeri 100, en küçük değeri 19 olur. Buradan a b⋅ nin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı 100 19 119+ = bulunur.

Örnek:

x ve y doğal sayı

x y 27+ = olduğuna göre, x y⋅ çarpımının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?

A) 208 B) 201 C) 198 D) 186 E) 182

Çözüm:

Toplamları sabit olduğundan x ve y nin birbirine yakın ve birbirinden uzak değerlerine bakılacak olursa,

x y 27+ = ⇒ x 13= y 14= seçersek x y 182⋅ = ⇒ =x 0 y 27= seçersek x y 0⋅ = olur.

Dolayısıyla x y⋅ nin alabileceği en büyük değer 182 ve en küçük değer 0 olur. Bu değerlerin toplamı ise 182 0 182+ = bulunur.

Örnek:

Toplamları 18 olan farklı iki doğal sayının çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 77 B) 78 C) 79 D) 80 E) 81

Çözüm:

Toplamları 18 olan iki sayı x ve y seçilirse x ile y birbirinden farklı doğal sayılar olduğundan x 10= ve

y 8= seçilir. Böylece x y 80⋅ = olur.

Örnek:

a ve b doğal sayı

a b 64⋅ = ise a b+ toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?

A) 82 B) 81 C) 80 D) 79 E) 78

Çözüm:

Çarpımları sabit olan iki doğal sayının toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerler bulunurken sayılar birbirine yakın veya birbirinden uzak seçilmelidir.

Yani a b 64⋅ = ⇒ =a 8, b 8= seçilirse a b 16+ = ⇒ =a 1, b 64= seçilirse a b 65+ = olur.

Dolayısıyla a b+ nin alabileceği en büyük değer 65, en küçük değer 16 olur. Bu değerlerin toplamı ise

65 16 81+ = bulunur.

Örnek:

Çarpımları 48 olan iki doğal sayının toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?

A) 63 B) 62 C) 61 D) 60 E) 59

(14)

2007 2008 2009 2010 2011 2012 Nisan Kasım Mayıs Kasım Mayıs Kasım Mayıs Aralık Nisan Kasım Mayıs Kasım

3 6 3 7 6 10 10 15 12 11 9 13

ALES GEOMETRİ

Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Analiz Tablosu

(15)

“... evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz.

Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır.”

Galileo

Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar

Geometrik Kavramlar Doğruda Açılar

Üçgenler

Üçgen Çeşitleri

Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar Üçgende Açılar

Üçgende Açıortay Teoremleri Üçgende Kenarortay Teoremleri Üçgende Alan

Üçgende Benzerlik

Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları Dik Üçgenler

Cevaplı Testler 1-13

(16)

553 Geometrik Ka vramlar ve Ölçüler

GEOMETRİK KAVRAMLAR

Tanımsız Kavramlar

Nokta, doğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız kavramlardır.

Nokta

Kalem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya izdir.

Noktanın belli bir alanı, hacmi veya boyutu yoktur. Nokta büyük harfle gösterilir.

Örneğin;

A A noktası B

B noktası Doğru

İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir.

A B

d

Doğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d doğrusu veya AB diye sembolize edilebilir.

Doğru Parçası

iki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birleşim kümesine doğru parçası denir.

A B

doğru parçası

[ ]

^AB sembolü ile gösterilir.

[ ]

^CD ^→^CDdoğru parçası

CD →CD doğru parçasının uzunluğu olarak gösterilir.

Işın

Bir ucu başlangıç noktası olup diğer ucu sonsuza giden noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir.

A B

d

[

^AB→ AB ışını diye okunur.

Yarı Doğru

[

^AB ışınından başlangıç noktası yani A noktasının çıkartılması ile elde edilen noktaların kümesine AB yarı doğrusu denir.

A B

d

]

^AB^→^AB yarıdoğrusu diye okunur.

Düzlem

Bir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların

oluşturduğu kümeye düzlem denir.

AÇILAR

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine “Açı”

denir.

Yani;

[

AB ve AC

⎡⎣ ışınların

ın birleşimi ile oluşan açı BAC ya da CAB açısıdır.

BAC açısı nBACya da nCAB açısı ile gösterilir.

Açının Ölçüsü

[

^{AB ve AC}

[

ışınları arasında kalan bölgeye lA ’nın ölçüsü denir. Her lA’na 0 ile 180 arasında bir tek reel sayı karşılık gelir. Bu reel sayıya BAC açısının (ya da CAB açısının) ölçüsü denir.

Yani BAC açısının ölçüsü α dır.

ve m (BAC) m(A)n = l = α veya

n l

s (BAC) s(A)= = α ile gösterilir.

Eş Açılar:Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.

Yani; m (A) m(B)l = ⇒A ile B açılarıeş açılardır.

Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler

Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır. Bu bölgeler

I. Açının kendisi II. Açının iç bölgesi III. Açının dış

bölgesi

Açı Ölçü Birimleri

Derece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde ölçü birimi olarak derece kullanılır. 20 ,40 , ...^o ^o şeklinde gösterilir.

Bu üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle verebiliriz,

D: Derece G: Grad

R: Radyan olmak üzere

D G R

180=200=

π bağıntısı vardır.

A

B

C

[

^AB^∪

[

^{AC A}⁼^l

A

B

C α

A

B

C

α II.

I.

III.

(17)

554 ALES Geome tri

Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur

döndürülmesi ile oluşan açı 360^o, 400 Grad ve 2π Radyandır.

Derecenin Alt Birimleri 1 Bir derece 1 60 1 Bir dakika 1 60

1 3600 dır.

1 Bir saniye

→ ⎫ = ′

′ → ⎪⎬ ′= ′′

⎪ ′′

′′ → ⎭ =

° °

°

AÇI ÇEŞİTLERİ

Dar Açı

Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir.

Yani;

0 < < 90° α ° ⇔ αdar açıdır.

Dik Açı

Ölçüsü 90° olan açıya dik açı denir.

Yani; 90α = ° ⇔ αdik açıdır.

Geniş Açı

Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açılara geniş açı denir.

Yani;

90 < < 180° α ° ⇔ αgeniş açıdır.

Doğru Açı

Ölçüsü 180° olan açıya doğru açı denir.

Yani;

180 doğru açıdır.

α = ° ⇔ α

Tam Açı

Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.

Yani;

360 tam açıdır.

α = ° ⇔ α

Örnek:

A, O, B noktaları doğrusal, m(DOB) 2 ,n = α

m(COD) 7n = α ve m(AOC) 3n = α

Yukarıdaki verilenlere göre α kaç derecedir?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

Çözüm:

A, O, B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı gereği 180° lik açı meydana getirirler.

Yani; 3α + α + α =7 2 180° dir.

12 180 15 bulunur.

⇒ α =

°

Komşu Açılar

Köşeleri ve birer kenarı ortak olan iç bölgelerinin kesişimleri boş küme olan açılara komşu açılar denir.

Yani; nCOB ile nBOA komşu iki açıdır.

AÇIORTAY

Açıyı iki eşit açıya ayıran ışına açıortay denir.

Yani; m(COB) m(BOA)n = n dır.

[

^OB^{ye n}^COAnın açıortayı denir.

[

^OC^ile

[

^OAye açıortayın kolları (kenarları) denir.

Örnek:

A, O, B noktaları doğrusal

[

^OC^ile

[

^OF

açıortay m(DOE) 80n = °

Yukarıdaki verilenlere göre m(COF)n kaç derecedir?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 NOT

A

B

C α

A B

C α

A B

C α

α =180°

C A B

α =360° A

B

A B C

O

A O B

C 80°

D E

F A C B

O

A O B

C D

3α 7α 2α

(18)

555 Geometrik Ka vramlar ve Ölçüler

Çözüm:

A, O, B noktaları doğrusal olduğundan meydana gelen açıların ölçüleri toplamı

180° dir.

n n

m(AOC) m(COD)= = α ,

n n

m(EOF) m(FOB)= = β dersek

2α + β +2 80°=180°⇒ α + β =2 2 100°⇒ α + β =50°

n n

m(COF)= α + β +80°⇒m(COF) =130° bulunur.

Örnek:

Komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54° dir.

Buna göre bu iki açının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

A) 100 B) 104 C) 106 D) 108 E) 110

Çözüm:

BOCn ile nCOA komşu iki açıdır.

[

^OD^ile

[

^OE

açıortaydır. m(DOE) 54n = ° verilmiş

n n

m(BOD) m(DOC)= = α ,

n n

m(COE) m(EOA)= = β dersek m(DOE)n = α + β =54° dir.

Buradan m(BOC) m(COA) 2n + n = α + β 2

54

2( ) 108

⇒ α + β =

°

° bulunur.

Açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktanın, açının kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir.

[

^OD açıortay,

[

^OB^ile

[

^OA açıortayın kolları olmak üzere

[ ] [

^CK ^⊥ ^OB,

[ ] [

^DL ^⊥ ^OB,

[

^CE^⊥

[

^OA^ve

[ ] [

^DF ^⊥ ^OA

çizilirse

CK CE , DL DF ve KO EO , LO FO dur.

= =

TÜMLER AÇILAR

Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler iki açı denir.

Yani α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

α + β =90°⇔ α ile β tümler iki açıdır.

′

α nın tümleri 90 − α° β nın tümleri 90 − β′ ° dır.

BÜTÜNLER AÇILAR

Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.

Yani; α ile β bulundukları açıların ölçüleri olmak üzere

α + β =180°⇔ α ile β bütünler iki açıdır.

α nın bütünleri 180 − α′ ° β nın bütünleri 180 − β′ ° dır.

Örnek:

Bir açının 4 katının 5° fazlası aynı açının tümlerine eşit olduğuna göre açının bütünleri kaç derecedir?

A) 157 B) 159 C) 161 D) 163 E) 165

Çözüm:

Açı Tümleri α 90°− α dır.

Denklem kurulursa;

4 5 90 dır.

5 85 17 bulunur.

α + = − α

α = ⇒ α =

° °

O halde açının bütünleri

180°− α =180°−17°=163° bulunur.

Örnek:

Bütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4, kalan 10° dir.

Buna göre küçük açı kaç derecedir?

A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40 NOT

A O B

C 80°

D E

α F

α β

β

A B

C

O D

α αβ E β

A B

α β C

O

A O B

β α

C

O

C D B

E F A L

K