Stra Bekleme Sistemlerinde SİMULASYON TEKNİĞİ

Stra Bekleme Sistemlerinde SİMULASYON

TEKNİĞİ

f l n n flr H a l i l Ç a r ı a c l a n

ANKARA ÜNİVERSİTESİ SİYASAL BİLGİLER FAKÜLTESİ YAYINLARI: 557

Sıra

Bekleme

Sistemlerinde SİMULASYON

(BENZETİMİ TEKNİĞİ

Doç. Dr. Halil Sarıaslan

A.ü.Siyasal Bilgiler Fakültesi İşletme Bölümü

Ankara, 1986

X

© Copyright: Siyasal Bilgiler Fakültesi, 1986

A.Ü.S.B.F. ve BASIN-YAYIN YÜKSEKOKULU BASİMEVt, ANKARA -1986

Emine, Hülya, Figen ve Sinan'a..

Ö N S Ö Z

Günümüzde toplumsal bilimlerde yeni bir çığır açan, özellikle iktisat ve işlet- mecilik alanlarında fen bilimlerindeki laboratuvar deneylerine benzer deneyler yapma olanağı sağlayan benzetim (simulasyon) tekniğini konu alan bu çalışma- nın temelini, 1983 yılında 1750 sayılı üniversiteler yasasına göre İstanbul Teknik Üniversitesi İşletme Mühendisliği Fakültesinde savunulan ve oybirliği ile kabul edilen "İşletmelerde Sıra Bekleme Sistemlerinin incelenmesi ve Düzenlenmesi - Bir Benzetim Modeli Uygulaması" başlıklı doçentlik tezim oluşturmaktadır. Daha sonra tezin bazı bölümleri çıkarılmış ve yeni bazı bölümler de eklenerek özel tez çalışması genel bir ders kitabı biçimine dönüştürülerek "Sıra Bekleme Sis- temlerinde - Benzetim (Simulasyon) Tekniği adı altında yayına hazırlanmıştır.

İlk başlandığından bu yana bu çalışmanın hazırlanmasında pek çok kişi ve kuruluşun katkıları olmuştur, özellikle çalışmanın ilk aşamalarında el yazılı müsvetteleri okuma özverisini en sıkışık zamanında bile esirgemeyerek eleştiri ve yorumları ile bu çalışmanın daha iyi bir biçimde gerçekleşmesinde çok de- ğerli katkılarda bulunan Prof.Dr. özdemir Akmut'a ve ayrıca Doç.Dr. Tamer Müftüoğlu'na teşekkürlerimi arz etmek isterim.

ö t e yandan, bu konudaki çalışmamın yoğunlaştığı ilk yılda Stockholm Üni- versitesindeki akademik görevim sırasında bu üniversitenin bilgisayar merkezi

ve daha sonra Orta Doğu Teknik Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Fakültesi ile Siyasal Bilgiler Fakültesinin birlikte bu konuda sağladıkları bilgisayar olanak- larının yanı sıra Ankara Belediyesi EGO Otobüs Daire Başkanlığının sağladığı uygulama olanaklarını da minnetle anmak isterim.

Hiç kuşkusuz, gerek tez gerekse kitap olarak hazırlama aşamalarında hoşgörü ve desteği ile gerekli çalışma ortamını yaratan eşim Emine Sarıaslan'a her zaman minnettarım. Ayrıca bu kitabın bazılmasında gerekli özeni gösteren SBF-BYYO matbaası çalışanlarının emeklerini saygıyla anmak isterim.

Ankara, Eylül 1986 Halil Sanaslan

V

İ Ç İ N D E K İ L E R

I. G 1 R1 Ş ¹

II. SERA BEKLEME SİSTEMLERİNE YAKLAŞIMLAR 5

2.1. Kuyruk Teorisi Modelleri 5 2.1.1. Kuyruk Teorisinin Temelleri 7 2 . 1 2 . Kuyruk Teorisi Modellerinin Karşılaştırılması 12

1. Üstel Servis Zaman Dağılımlı Modeller 12 2. Sabit Servis Zaman Dağılımlı Modeller 31 3. Gamma Servis Zaman Dağılımlı Modeller 32 4. Genel Servis Zaman Dağılımlı Modeller 33

5. Yığınsal Modeller 35 2.2. Benzetim Modelleri 36

2.2.1. Benzetim Tekniğinin Kapsamı ve özellikleri 37 2.2.2. Benzetim Tekniğinin Sıra Bekleme Sistemlerine

Uygulanışı - Monte Carlo Yaklaşımı 4 0 2.3. Yaklaşımların Genel Değerlendirmesi 4 1

10. BENZETİM MODELİNİN GELİŞTİRİLMESİ 44

3.1. Sistemin İncelenmesi 47 3.1.1. Atelye İşleyişinin incelenmesi ve

Bir Benzetim Modeli Geliştirme Gereği 49 3.1.2. Verilerin Toplanması ve Veri Kaynakları 5 2 3 . 1 3 . Parametrelerin Tahmini, Dağılımların

Belirlenmesi ve Test Edilmesi 56

1 . X2 Testi 58

2. Kolmogorov - Smirnov Testi 67

VII

3.2. Modelin Belirlenmesi (Formülasyonu) 70 3.2.1. Modelin Kapsamı ve özellikleri 70 3.2.2. Zaman Akış Yönteminin Saptanması 71 3.2.3. Rassal Sayı ve Rassal Değişken Değerlerinin Üretimi 74

3.2.4. Model Değişkenlerinin Saptanması 81

3.2.5. Modelin Temel Yapısı 83 3.2.6. Modelin Formüle Edilmesi ve Akış Şeması . 9 0

3.2.7. Model Mantığının Doğrulanması 101

IV. MODELİN ÖRNEK UYGULAMASI

Benzetim Deneylerinin Hazırlanması 104

4.1. Başlangıç Değerlerinin Belirlenmesi -

Geçiş Dönemi Etkilerinin Kaldırılması 104 4.2. Örnek (Deneme) Sayısının Belirlenmesi 107

4 3 . Örnek Seçimi 111 4.4. Modelin Sisteme Uygunluğunun Test Edilmesi 114

4.5. Karar Seçeneklerinin Değerlendirilmesi 118

4.5.1. Seçeneklerin Belirlenmesi 118 4.5.2. Maliyetlerin Saptanması 120 4 . 5 3 . Deneylerin Planlanması 124

4 . 5 3 . 1 . Benzetim Deneylerinin Genel Planı 125 4 . 5 3 . 2 . Modelin Deney Planı ve Deney Sonuçları 129 4.5.4. Sonuçların Değerlendirilmesi ve Karar 135

V. GENEL DEĞERLENDİRME VE SONUÇ 140

K A Y N A K L A R 146

EK 1 : Modelin Bilgisayar Programı 150

EK 2 : X² Dağılımı Kritik Değerleri 155

EK 3 : Kolmogorov - Smirnov Testi D Kritik Değerleri 156

EK 4 : t Dağılımı Değerleri 157

GİRİŞ

nsanlann toplum halinde birlikte yaşamalarının pek çok neden- leri vardır. Ancak insanlar hoşgörülü olmayı, özellikle başkalarım beklemeyi, öğrenmeselerdi belki böyle bir toplumsal olgu ortaya çıkmayacaktı. Eğer insan her istediğini hiç beklemeden anında elde etmeyi ilke edinmiş olsaydı, kendi gücünü ekonomik olmayan bir bi- çimde harcayacak ve sonunda da bunun mümkün olamayacağım anla- yacaktı. Böylece insan, başkalarının hizmetinin kendi varlığını sürdür- mesi için vazgeçilmez bir faktör olduğunu, hoşgörülü davranıp başka- larını beklemesi gerektiğini öğrendi. Sonunda da beklemek her insanın istemese de günlük yaşantısının bir parçası olmuştur.

Birlikte yaşamak için insanların oluşturduktan topluluklar karma- şık toplumlara dönüştükçe, bu toplumlarda insanların ihtiyaç duyduğu mal ve hizmetleri üretmek için örgütlenmiş bulunan işletmeler de büyü- mekte ve karmaşıklaşmaktadırlar. Gittikçe karmaşıklaşan ve yaşam koşullarının her geçen gün değiştiği toplumlarda, işletmelerinin var- lığını sürdürmek görevini üstlenmiş olan yöneticilerin vermek zorunda olduğu kararlar da aynı ölçüde zorlaşmaktadır. Çünkü bugünün hızla değişen toplumunda yönetici, karar verme sürecinde bir belirsizlik durumu ile karşı karşıyadır. Başka bir anlatımla yönetici kendisine açık olan karar seçeneklerinin sonuçlarını açıklıkla bilememektedir.

İşletme yöneticisinin belirsizlik kavramı ile karşdaştığı bir karar verme konusu da hizmet sunan işletme ya da işletme birimlerinin op-

timal bir biçimde düzenlenmesidir. Çünkü bu işletmelerde istemin niceliği ya da büyüklüğü belirli bir biçim göstermemektedir. Bu işlet- melerde, hizmet isteminde bulunan bireyler, ya da genel olarak müşte- riler, hizmet sunulan birime geldiklerinde kendilerinden önce kimse

1

yoksa hemen hizmet edilmektedirler. Fakat kendilerinden önce başka- ları varsa hoşgörülü davranıp bir sıra (kuyruk) oluşturmakta ve önce- den belirlenmiş işletme kurallarına göre de kendilerine servis yapıl- maktadır. öte yandan, eğer sırada uzun bir süre beklemek gereki- yorsa (hoşgörü sınırını aşma) müşteri kuyruktan ayrılır (müşteri kaybı).

Kimi zamanda bu işletmelerde bunun tam tersi bir durum söz konu- sudur. Yani hizmet isteminde bulunan hiçbir müşteri olmadığı için hizmet birimi boş beklemektedir.

Hemen görüleceği gibi hizmet isteminin belirsizliği bir birine karşıt iki durum ortaya çıkarmaktadır: müşterilerin beklemesi ya da bekleme nedeni ile müşteri kaybı ve hizmet biriminin boş beklemesi. Bu durum- lara çözüm oldukça dikkatli bir inceleme gerektirir. Çünkü bekleme zamanmı azaltmak ve müşteri kaybını önlemek amacı ile istemi amnda karşılamak için hizmet kapasitesini artırmak, hizmet biriminin boş kalıp müşteri beklemesi durumunda işletmeye çok pahalıya mal ola- caktır. Bu nedenle denilebilir ki istemin belirsiz olduğu durumlarda müşterilerin beklemesi ekonomik zorunluluklardan kaynaklanmakta ve bekleme optimal hizmet sunmanın bir mekanizması olarak kullanıl- maktadır. Ancak diğer yandan hizmet biriminin boş beklemesinden kaynaklanan maliyeti düşürmek için hizmet kapasitesinin sınırlı tutul- ması, müşterilerin sırada uzun zaman beklemesine ve bu beklemeden doğan bir alternatif maliyete ya da müşteri kaybına yol açacaktır.

Böyle olunca belirsizlik koşullan altında, ya müşterinin sırada bekle- mesi ya da hizmet biriminin boş beklemesi biçiminde bir bekleme sorunu olacaktır, işte bu bir birine karşıt iki bekleme biçimi arasında optimal bir bekleme zamanı bulmak tipik bir işletmecilik sorunu olarak karşımıza çıkmaktadır.

Yukarıda belirtilen özelliklere sahip işletme ya da işletme birim- lerine literatürde sıra bekleme sistemleri (waiting line systems) adı verilmektedir. Bu sistemlerin analiz ve düzenlenmesinde (dizaynında) amaç ise; sıra bekleme sisteminin işleyişi ile ilgili toplam maliyeti, ilgili maliyet kalemleri ve istemin niceliği ışığı altında, en az düzeye indirebilecek bir hizmet kapasitesi belirlemektedir.¹

1 Fabrycky W.J.and Torgersen, P.E., Operations Economy: İndustrial Applica- tions of Operations Research (Englewood Cliffs, NJ.: Prentice-Hall, Inc., 1966), S.317.

insanların, malzemelerin ya da araçların hizmet için sıra bekledik- leri sistemler işletmecilik alanında pek çoktur. Örneğin, hava meydan- larında uçakların iniş ve kalkış için, limanlarda gemilerin yükleme ve boşaltma için, otomobillerin kara yollarındaki köprü ve tünel giriş- lerinde sıra beklemeleri ulaşım sistemlerinde sık sık görülen problem- lerdir. iletişim sistemlerinde posta, telgraf, telefon vb. hizmetler için sıra bekleme hergün görülen olaylardır. Aynı şekilde, endüstriyel üretim alanında faaliyette bulunan işletmelerde birleştirme bantlarmda mon- taj için sıra bekleyen parçalar, stok için bekletilen mamül mallar, tamir ve bakım için sırada bekleyen makina ve araçlar yöneticileri rahatsız eden sorunlar yaratmaktadır. Bu örnekleri sağlık kurumlarında sıra bekleyen hastalardan, dolmuşa ya da otobüse binmek için kuyruk- ta bekleyen yolcuya kadar çağdaş toplumun her kesimine uzatmak mümkündür.

Bu örneklerden de anlaşılacağı gibi, beklemek yalnızca insan yaşamında değil işletmelerinde faaliyetlerinde devamlı olarak kar- şılaştıkları bir sorundur. Başka bir anlatunla, beklemek tüm toplumları her yönüyle bir bütün olarak etkileyen önemli bir sorundur. O halde bu sorunun bilimsel olarak araştırılması ve sıra bekleme sistemlerinin de bu araştırmalar ışığı altında düzenlenmesi gerekir.

Bu gerekliliğe inanılarak hazırlanan bu çalışmada sıra bekleme sistemlerinin incelenmesinde baş vurulan model ve yöntemler, kuyruk teorisi ve benzetim (simulasyon) tekniği adı altında iki ayrı yaklaşım biçiminde tartışılacak ve karşılaştırmalı olarak değerlendirilecektir.

Böylece bir yandan bu yaklaşımların birbirlerine olan üstünlükleri ya da kendi içindeki sınırlılıkları belirtilirken diğer yandan da bunların dayandığı temel varsayımlar nedeni ile hangi durumlarda uygulama ola- nağı bulabileceği ortaya konulmaya çalışılacaktır.

Öte yandan, belirli varsayımların geçerli olduğu durumlarda güçlü olan kuyruk teorisi modellerinin karmaşık sistemleri incelemede yeter- sizliği sonucu önerilen benzetim tekniği kapsamlı olarak açıklanmakta ve bu tekniğin uygulanmasında göz önünde bulundurulması gereken noktalar vurgulanmaktadır.

Daha sonra benzetim tekniği uygulanmasına örnek olmak amacı ile Ankara Belediyesi EGO otobüs tamir-bakım atelyelerinde sıra bekleme sisteminin incelenmesi ve düzenlenmesi için Kaporta atelyesi örnek alınarak bir benzetim modeli geliştirilmiş ve uygulanmıştır.

Kaporta atelyesinde optimal servis (hizmet) kapasitesini, bekleme zamanı ile servis olanaklarının toplam maliyetini en küçükleyerek (minimize ederek) belirlemeyi amaçlayan benzetim modelinin geliş- tirilmesinde ve uygulanmasında izlenen aşamalar ayrı ayrı açıklanmıştır.

Ayrıca özde deneysel nitelikli tüm benzetim modellerinde olduğu gibi geliştirilen model aracılığı ile belli bir anlamlılık düzeyinde doğru tahminler yapabilmek için göz önünde bulundurulması gereken noktalar ve bu amaçla kullanılabilecek istatistiksel yöntemler de benzetim modeli ile ilişkileri çerçevesinde incelenmiştir.

D . SIRA BEKLEME SİSTEMLERİNE YAKLAŞIMLAR

nsanlar ve işletmeler açısından bekleme sorununun önemliliği, araştırmacıların büyük ilgisini çekmiş ve sıra bekleme sistemle- . rinin incelenmesi için çeşitli modeller geliştirilmiştir. Bu model- ler genel olarak iki ana guruba ayrılırlar:1

1. özellikleri bilinen Standard istatistiksel dağılımlara dayalı olarak geliştirilmiş olan ve literatürde Kuyruk Teorisi (Queuing Theory) genel adı ile bilinen matematiksel çözümü mümkün olan analitik model- ler. Belirli varsayımların geçerliliği durumunda uygulama olanağı olan bu modeller ayrıca sıra bekleme modelleri (waiting üne models) ya da bekleme hattı modelleri olarak da adlandırılırlar.

2. Sıra bekleme sistemlerini benzetim (simulasyon) tekniği aracılığı ile inceleyen benzetim modelleri.

Sıra bekleme sistemlerinin analiz ve düzenlenmesi görevini üstlenen bir araştırmacıya kullanım için açık olan bu modellerin nasıl ve neler olduğunu, ayrıca bölüm IU'de geliştirilecek olan modele temel oluş- turmak ve geliştirilme nedenini açıklamada kolaylık sağlamak amacı ile bu yaklaşım ve modeller aşağıda değerlendirilecektir.

Kuyruk teorisi modelleri ya da diğer adı ile sıra bekleme modelleri belirsizlik koşullan altında stokastik faaliyet2 gösteren sıra bekleme

1 Panico, Joseph A., Çueuing Theory (Englewood Cliffs, N J . : Prentice-Hall, Inc., 1969), S.4-5

2 Belirsizlik koşulu bir faaliyetin sonucunun önceden bilinemediği durumlarda söz konusudur ve iki düzeyde ele alınabilir. Birinci durumda faaliyetin sonucu belirli bir olasılıkla kestirilebilir. Buna "risk" durumu denir. İkinci durumda

2.1. KUYRUK TEORİSİ MODELLERİ

sistemlerini incelemeyi hedef alırlar. Böylece bu modellerin tümünü kapsayan kuyruk teorisi de rassal (tesadüfi) olarak ortaya çıkan isteme hizmet sunmak için çalışan bir sistemin davranışını tahmin etmek ama- cı ile bir model kurmak için geliştirilmiştir.³

Günümüzde Yöneylem Araştırması ve Sistem Analizi disiplinlerinin en önemli yöntemlerinden biri olan bu teorinin ortaya çıkış tarihi her iki disiplinden çok daha öncelere gider. Kuyruk teorisi ile ilgili ilk önemli çalışmanın Danimarkalı mühendis Kari Erlang'a atfedil- mesine rağmen bu alanda yayınlanan ilk eser Johannsen'in 1907'de yazdığı "Bekleme Zamanlan ve Telefon Etme Sayısı (VVaiting Times and Number of Calls)" başlığını taşıyan makalesidir.4 Ancak Erlang'ın 1909'da başlayan bir dizi makaleleri kuyruk teorisi alanındaki çahş- malan hızlandıran ve etkileyen ilk eserlerdir. Daha sonraları C.MoIina'- nın 1927'de ve C. Fry'ın 1928 de yayınlanan eserleri bu alanda ilk görülen önemli çahşmalardır. Fakat bu dönemdeki çalışmalar Erlang'ın telefon sistemlerindeki sıra bekleme sorununu inceleyen araştırmaları- nın bir değerlendirmesi niteliğindeydi.⁵

1930 ve 1950 arasındaki dönemde Crommelin, Pollaczek, Khint- chine, Kolomogorovv ve Palm gibi bilim adamları kuyruk teorisinin gelişimine önemli katkılarda bulunmuşlardır. Crommelin telefon sistemlerinde bekletilen telefonlarla ilgili olarak olasüık formülleri geliştirdi. Pollaczek ve Khintchine poisson gelişli, değişen ve sabit zaman servisli tek kanaüı sıra bekleme sistemleri için Pollaczek-Khint- chine formülünü geliştirdiler. Palm değişen trafik yoğunluklarının etkilerini ve bekleme zamanlarının momentlerini inceledi.6 Yine Pollac- zek 1960'larda çok kanallı sıra bekleme sistemleri için genel geliş ve

ise faaliyetin sonucu hakkında herhangi bir ön bilgi söz konusu değildir.

Eğer belirsizlik koşullan altında bir faaliyetin sonuçları bir parametreye bağlı olarak rassal değerler alıyorsa bu faaliyete "stokastik faaliyet" denilir. Chance, William A., Statistical Methods for Decision making (Homewood, Illinois:

Richard D.Irwing, Inc.,1969), S.3. Karayalçın, İlhamı 1., Harekat Araştırması Dersleri (istanbul: Teknik Üniversite Matbaası, 1968), S.328.

3 Saaty, Thomas L., Mathematical Methods of Operations Research (New York:

McGraw-Hill Book Co., Inc., 1959), S.332.

4 Giffin, Walter C., Çueueing: Basic Theory and Applications (Columbus, Ohio:

Grid Inc., 1978), S.3.

5 Saaty, Thomas L., Elements of Çueueing Theory Vfith Applications (New York:McGraw-Hill Book Company, Inc., 1961), S.21.

6 a.g.e.

servis zamanlarım analitik olarak inceledi ve modeller geliştirdi.7

Telefon sistemlerinde sıra bekleme sorununu inceleyen 1930'lardan önceki çalışmalara karşdık, yukarıda adı geçen ve genellikle teorisyen olan bilim adamları bir çok karmaşık stokastik faaliyetleri kapsayacak genel modeller geliştirmeyi amaçladılar.

Sıra bekleme sistemleri ile ilgili stokastik faaliyetleri analitik olarak araştırma ve inceleme eğilimi günümüzde de hızlı bir biçimde artmış ve literatürde bu alanda yer alan eserler burada saydamayacak kadar çoktur. Ülkemizde de kuyruk teorisi ile ilgili eserler her geçen gün hız kazanmaktadır.⁸ Ancak genellikle üniversitelerimiz tarafından başlatılan bu çalışmaların işletmelerimizde de devam ettiği ne yazık ki söylenemez. Kuşkusuz kuyruk teorisi ile ilgili literatürün hızla zen- ginleşmesi kuyruk ya da sıra bekleme sorununun genelde işletmelerin özelde ise bireylerin günlük yaşamının hemen her kesiminde görülme- sinden kaynaklanmaktadır.

2.1.1. Kuyruk Teorisinin Temelleri

Şimdiye kadar yapılan açıklamaların da dolaylı olarak ifade ede- bileceği gibi, kuyruk teorisinin uygulama alanını oluşturan ve stokastik faaliyetlerin görüldüğü sıra bekleme sistemlerinin dört temel özelliği vardır. Açıklamalarımızda kavram karmaşıklığı yaratmamak için bunlar aşağıdaki gibi özetlenebilir.

1. Girdi Süreci: Hizmet isteminde bulunan "müşterilerin" sisteme geliş akışını belirtir. Burada, müşteri sözcüğü kuyruk teorisinin genel bir terimi olup sisteme hizmet için gelen birimleri kapsar. Böylece, müşteri bir insan olabileceği gibi tamir için gelen bir araç ya da makina, piste iniş için bekleyen bir uçak, işlem için gelen bir sipariş de olabilir.

7 Pollaczek, F., "Concerning an Analitic Method for the Treatment of (Jueueing Problems", Proceedings of the Symposium on Congestion Theory, University of North Carolina, Chapel ffill, (1964) 1-42.

8 Bu konuda bkz. Karayalçın, îlhami, a.g.e., S.327-363; Kobu, Bülent, Üretim Yönetimi (İstanbul: Fatih Matbaası, 1977); Halaç, Osman, Kantitatif Karar Verme Teknikleri (İstanbul: Arpaz Matbaacılık, 1978), S.293-358; Özkan, Şule, "Stokastik ö n Zamanlı Stok Kontrol Problemi ve Bir Uygulama", Atatürk Üniversitesi, yayımlanmamış Doktora Tezi, Erzurum, 1981, S.25-46;

Koksal, Mustafa, "Kuyruk Teorisi", t.ü.lşletme Fakültesi Dergisi C.9.S.1, (Nisan 1980), S.178.

Sistemin girdi sürecinin belirlenmesi için gelişlerin zaman aralık- larının, sayısının ve kaynağının bilinmesi gerekir. Gelişlerin zaman aralıklarının dağılımı sistemden sisteme göre değişmekle beraber ya bilinen standard istatistiksel dağılımlara uyar ya da sistemin kendisine özgü özel bir ampirik dağılımdır. Gelişlerin sayısıda sisteme göre deği- şir. Müşteriler ya tek tek gelir ya da guruplar halinde yığınsal olarak gelirler. Belli bir zaman birimi içinde sisteme gelen ortalama müşteri sayısına "geliş oram'.' (arrival rate) denir. Aynı şekilde, girdi sürecini belirleyen geliş kaynağı, yani müşterilerin geldiği ana kütle, ise iki biçimde sınıflandırılır. Eğer ana kütlenin sayısı küçükse (genellikle 30 ya da 50 den küçük) girdi süreci "sonlu kaynaklı", eğer daha büyük ise "sonsuz kaynaklı" diye adlandırılır. Ancak geliş kaynağının kesin olarak belirlenmesinde ölçü, geliş oranının ana kütleye olan oranına göre belirlenmelidir. Eğer bu oran çok küçükse ya da ana kütleden ayrılan müşteriler gelişlerin olasılığını önemli derecede etkilemiyorsa geliş kaynağı sonsuz aksi durumda sonlu olarak tanımlanmalıdır.9

2. Servis Mekanizması : Sisteme gelen müşterilerin istedikleri faaliyetleri belirtir. Faaliyetlerin niteliği sisteme göre değişir. Ser- vis mekanizmasının belirlenmesi için müşterilere servis sunulan nokta- ların ve yerlerin, aym anda servis edilen müşteri sayısının, sunulan servis zaman aralıklarının (sürelerinin) ve belli bir zaman biriminde hizmet edilen ortalama müşteri sayısının (servis oranı) bilinmesi ge- rekir.

Müşterilere hizmetin sunulduğu nokta ya da yerlere "servis kanalı"

denilir. Bir kanalın bulunduğu sistemler "tek kanallı" birden fazla kanalın bulunduğu sistemler ise "çok kanallı" sistemler olarak adlan- dırılır. Çok kanallı sistemlerde kanal düzeni, aynı hizmeti sunan "pa- ralel kanallar" ya da bir birini tamamlayan ve farklı hizmet sunan

"seri kanallar" biçiminde olabilir. Seri kanal düzenli sistemlere" istas- yondan istasyona" ya da çok aşamalı sistemler adı da verilir. Şekil

l 'de kanal biçimine göre çeşitli sistemler gösterilmiştir.

3. Sıra Bekleme (Kuyruk) : Herhangi bir sıra bekleme sisteminde hizmet istemi hizmet kapasitesinden büyük ise sistemde müşterilerin beklediği bir sıra ya da kuyruk oluşur. Oluşan kuyruklar kanal düze- nine göre değişiklik gösterir. Eğer servis kanalı tek ise bir tek kuyruk söz konusudur. Böyle sistemlere "tek sırah-tek kanallı" sistemler de

9 Fabrycky and Torgersen, a.g.e., S.318-319

Girdi X X X X X X Çıktı

Şekil la :

Gelen Müşteriler Servis (Sıra ya da kuyruk) Kanalı

Tek Kanallı (Tek Sıralı) Bekleme Sistemi.

X X X X X X

Şekil l^b : Paralel Düzenli Çok Kanallı (Tek Sıralı) Bekleme Sistemi.

Şekil Karışık Düzenli Çok Kanallı (Çok Sıralı) Bekleme Sistemi.

denir. Çok kanal bulunma durumunda ise, eğer kanallar seri olarak düzenlenmişse aynı şekilde tek kuyruk oluşur. Aksi durumda, yani kanallar paralel olarak düzenlenmiş ise, oluşacak kuyruk sayısı müşteri- lerin servise alınma durumuna göre değişir. Eğer müşteriler doğrudan hizmet sunan kanallara geliyorsa her kanal önünde bir kuyruk oluşur.

Böyle sistemlere "çok sırah-çok kanallı" sistemler de denir. Fakat müşteriler paralel kanallara bir tek noktadan alınıyorsa bu durumda tek kuyruk söz konusudur ve bu sistemlere de "tek sırah-çok kanallı"

sistemler adı verilir.

Öte yandan kanal önlerinde meydana gelecek şuranın uzunluğu ve sırada bekleme zamanı sistemin trafik yoğunluk oranına bağlıdır.

'Trafik yoğunluk oranı" geliş oranının servis oranına olan oranıdır.

Yani, trafik yoğunluk oranı=geliş oranı/servis oranıdır. Kuramsal olarak trafik yoğunluk oranının 1 'den büyük olma durumunda sıranın sınırsız biçimde uzayacağı düşünülür. Ancak gerçekte böyle bir durum söz konusu değildir. Çünkü gittikçe uzayan bir sıraya müşteri girmek istemeyebilir ve kendi isteği ile ayrılacaktır. Örneğin, başka yere git- mek ya da başka zaman gelmek gibi ya da müşteri şurada bekledikten sonra zaman sınırlılığı nedeni ile servis edilmeden geliş kaynağına döner ki buna "geri alma (reneging)" denir. Müşteri kendisi sıradan ayrıla- bileceği gibi hizmet ünitesi de müşteriyi sıradan ayırabilir. Yani, belli bir sayıdan fazla sıradaki müşterilere hizmet sunamayacağını bildirir.

Bu hizmet biriminin belli bir anda sistemde tutabileceği müşteri sayısına göre değişir. Sıranın böylece fazla uzamadan durdurulmasına "sıranın kesilmesi (truncation)" denir.

4. Servis Disiplini : Müşterilerin hizmet birimine hangi kurallara göre alınacağını belirtir. Sıra bekleme sistemlerinde müşterilere nasıl servis yapılacağını belirleyen kurallar çeşitli olup en çok bilinenler:

tik giren ilk çıkar-FIFO (ilk gelen müşteriye önce hizmet edilir), Rassal biçiminde servis-SIRO (hangi müşteri rast gelirse ona hizmet edilir), son gelen ilk çıkar-LIFO (en son gelen müşteriye önce hizmet edilir) ve öncelikli servis disiplinidir. Öncelikli servis disiplini iki biçimde uygulanır. Birincide, öncelikli bir müşteri gelir ve kanalda hizmet sunulan bir müşteri varsa kanaldaki müşteri çıkarılır yerine gelen müşte- ri alınır. Buna "tam öncelikli servis" (preemptive service priority order-PSPO) disiplini adı verilir. Eğer kanaldaki müşterinin hizmeti bitirilir ve öncelikli müşteri sırada bekleyenlerden önce alınırsa buna

da "tam öncelikli olmayan service" (non-preemptive priority service- NPPS) disiplini denilir.10

Servis disiplini çeşitli biçimlerde uygulanmasına rağmen sistemin genel işleyişini etkilemez. Çünkü sistemde olması beklenen ortalama müşteri sayısı, sırada bekleyen ortalama müşteri sayısı ve bekleme zamanı gibi sistem göstergeleri disipline bakılmaksızın aynıdır.11

Ancak servis disiplininin farklılığı bekleme olasılıklarının dağılımım etkiler. Dağılım varyansı LIFO disiplininde FIFO disiplindekinden daha büyüktür. Fakat ortalamalar aynıdır.12

Görüldüğü gibi yukarıda dört temel madde içinde belirtilen sıra bekleme sistemlerinin özellikleri çok farkh biçimler almaktadır. Bu özelliklere dayah olarak bu sistemleri sınıflandırmak oldukça güçtür.

Çünkü çoğu sistemler bu özelliklerin çoğuna aynı anda sahip olmak- tadırlar. Sıra bekleme sistemlerini birbirinden ayırdetmek için, önce Kendall tarafından geliştirilen daha sonra da Lee ve Taha tarafından genişletilen aşağıdaki simgeleme biçimi sık sık kullanılmaktadır.13

A/B/'c : (d,e/f) Burada;

A : Gelişler ya da gelişler arası zaman dağılımını, B : Servis zamanı dağılımını,

c : Sistemdeki servis kanallarının sayısını, d : Servis disiplinini,

e : Sisteme alınabilecek er. fazla müşteri sayısı ve f : Geliş kaynağının büyüklüğünü ifade etmektedir.

Örneğin,

M/E^k/3 : (FIFO/40/oo)

simgeleri : rassal gelişli (genellikle poisson dağılımlı), Erlang (gamma) servis zaman dağılımlı, üç kanallı, ilk giren-ilk çıkar servis disiplinli, en fazla 40 müşterinin sisteme alınabileceği, sonsuz kaynaklı bir sıra bekleme sistemini temsil etmektedir.

10 Lee, Alec M., Applied Çueueing Theory (London: Macmillan aııd Company Ltd., 1966), S.20.

11 Morse, Philip M., Çueues, Inventories and Maintenance (New York: John Wiley and Sons, Inc., 1963), S.116

12 Giffin,a.;.e., S.244.

13 Lee, a.g.e., S.9-10 Halaç, a.g.e., S.299

Yukarıda belirtildiği gibi çok çeşitli özellikler gösteren sıra bekleme sistemleri gibi bu sistemleri incelemeyi amaçlayan kuyruk teorisi modelleri de doğal olarak aynı derecede farklı özellikler gösterecek- lerdir. Bu modellerin karşılaştırmalı bir değerlendirmesi aşağıda veril- mektedir.

2.1.2 Kuyruk Teorisi Modellerinin Karşılaştırılması

Kuyruk teorisi çatısı altında toplanan analitik sıra bekleme model- lerini tek tek karşılaştırmak yerine, belli bir çerçeveye göre sınıflan- dırıp değerlendirmek çok daha anlamlı olacaktır. Ancak karşılaştırmak amacı ile de olsa, böyle bir sınıflandırma son derece güçtür. Çünkü modeller incelemeyi amaçladıkları sistemlere göre değişiklik göster- mektedir. Başka bir anlatımla modeller yöneldikleri sisteme göre özel- lik taşımaktadırlar. Bu nedenle modelleri bir birinden ayırdetmek için sistemlerde olduğu gibi Kendall simgesinin kullanılmasına rağmen, sınıflandırılması için literatürde yerleşmiş bir biçim söz konusu değil- dir. Bu nedenle kimi yazarlar modelleri geliş kaynağına göre sonlu ve sonsuz geliş kaynaklı modeller diye ilk aşamada ikiye ayırırken, kimi- leri de servis kanallarının sayısına göre tek kanallı ve çok kanallı model- ler diye ikiye ayırırlar. Kimi zamanda ya yukarıdaki sınıflandırmanın bir karışımı (örneğin, sonlu geliş kaynaklı-çok kanallı modeller) ya da geliş ve servis zamanlarının dağılımına göre bir sınıflandırılmaya gidilir.

Bu çalışmada da modellerin ilk aşamada geliş kaynağına göre sınıflandırılmasına bağh kalınacak ve bu modellerden sonsuz geliş kaynaklı ve sistemde sıra kesilmesinin olmadığı modeller değerlendiril- meye çalışılacaktır.14 Bu modeller de servis zaman dağılımlarına göre aşağıdaki maddelerde verilen bir alt sınıflandırma biçiminde ele alınacaktır.

1. Üstel Servis Zamanlı Modeller : Üstel ya da diğer adı ile negatif üstel zamanlı modellerin en basiti "tek servis kanallı" modeldir. Bu model şu varsayımlara dayalı olarak geliştirilmiştir:

a) Sisteme gelişler rassal ve Poisson dağılımlıdır.

b) Hizmet sürelerinin dağılımı üstel dağıhm gösterir. Poisson ve üstel dağıbmlann özellikleri, bölüm 3.1.3'de incelediğimiz sistemin

14 Sonlu geliş kaynaklı modeller ile sıra kesilmesinin (truncation) olduğu modeller

geliş ve servis dağılımlarının bu dağılımlara uyup uymadığı test edilir- ken açıklandığı için bu bölümde ayrıca belirtilmemiştir.

c) Sistem tek kanallıdır.

d) Sistemde trafik yoğunluk oram 1'den küçüktür.¹⁵ e) Müşteriler tek tek gelir ve tek tek servis edilirler.

f) Servis disiplini FIFO dur. Ancak daha öncede belirtildiği gibi servis disiplini sistemin genel işleyişini etkilemez. Dolayısıyla bu model diğer servis disiplinleri için de geçerlidir. Bu nedenle aşağıdaki satırlarda FIFO, LIFO ve SIRO disiplinlerini temsil eden genel servis disiplini anlamında kullanılan GD (General Discipline) simgesi kullanı- lacaktır.

g) Sistem denge durumundadır.16 Kuyruk teorisi bir sistemin davranışını zaman boyunca inceler. Eğer incelenen sistemin davranışı zamana bağlı olarak değişmiyorsa yani zamandan bağımsız ise o sistem denge durumundadır (steady state) denilir. Fakat sistemin davranışı zamana bağh olarak değişiyorsa sistem geçiş durumundadır (transient state) denilir.17

Yukarıda belirtilen varsayımlar altınad Kendall simgesi ile M/M/l:

(GD) biçiminde gösterilen bu modele göre:18

Sistemde olması beklenen (sırada + serviste) müşteri sayısı (L),

1 - P A i - A

15 Poisson dağılımının özelliğinden kaynaklanan bu koşul sağlanmak zorunlu- luğundadır. Çünkü aksi durumda (t) zamanında sistemde (n) sayıda müşteri bulunma olasılığı Pn( t ) , (t) den bağımsız değildir. Poisson ve üstel dağılımların özellikleri için ayrıca, bkz. Sasaki, Kyohei., Statistics for Modern Business Decision Making, (Belmont, California: Wads-Worth Publishing Company,

1968), S.100-121.

16 Bu bölümde incelenen tüm modeller denge durumunu varsaydıkları için bundan sonraki sayfalarda aksi belirtilmedikçe denge durumu varsayılmalıdır. Geçiş durumu modelleri için, bkz. Giffın,a.g.e., S.131-147

17 Taha, Hamdy A., Operations Research, Second Edition, (New York: Mac- millan Publishing Co., Inc., 1976), S.454455.

18 Konumuz gereği burada yalnızca sonsuz geliş kaynaklı ve sıra kesilmesinin olmadığı modeller incelendiğinden Kendall simgesinde, yinelemelerden sakın- mak için, bu iki özellik gösterilmemiştir, fakat varsayılmalıdır.

ve kuyrukta olması beklenen müşteri sayısı (Lq), L ^

M— x )

olarak formüle edilmiştir.19

Burada X ortalama geliş oranını, p. ortalama servis oranını ve p trafik yoğunluk oranını ( p = ) belirtmektedir.

Zaman göstergeleri ise, Little'in formülü ile, müşteri başına sistemde geçen ortalama zaman (W) ve sırada geçen zaman :

W = q

M— X

x

biçiminde formüle edilir.

Çok sınırlı varsayımlara dayanan bu modelin kullanımı çok yaygın- dır. Çünkü çeşitli araştırmalar gerçek uygulamada bu varsayımları pek çok sıra bekleme sisteminin karşıladığuıı ortaya koymuştur.20

Tek kanal varsayımı uygulama alanını sınırlandırmasına karşın, doğru- dan müşteri alan paralel kanallara sahip sistemler için bağlayıcı değil- dir. Çünkü bu tür sistemlerde her kanal bir tek sistem gibi düşünülerek bu model uygulanabilir. Böyle olunca, bu modelin kullanımı da yuka- rıdaki formüllere dayalı olarak son derece kolay olacaktır.

Örneğin, tek kanalh bir sisteme her 6 dakikada 1 müşteri hizmet istemi ile gelmektedir. Sistemde müşteri başına ortalama servis zamanı da 5 dakika olduğuna göre belirtilen varsayımların geçerliliği duru- munda:

19 Formüllerin elde ediliş yöntemi için, bkz., Panico, a.g.e., S.73-88;

Giffin, a.g.e., S.97-131; Karayalçın, a.g.e., S.331-351

20 Tierauf, Robert J. and Klekamp, R.C., Decision Making Through Operations Research (New York: John Wiley, 1975) S.427

1. Sistemde olması beklenen müşteri sayısı (L) :

X = —-— * 0.1666 dakikada geliş oranı 6 ya da

X = 60 = 1 0 saatte müşteri geliş oranı.

6 1

jj = = 0.2 dakikada servis oranı ya da

1 60 = 12 saatte servis oram. Yani bir saatte servis sunulan müşteri sayısı.

Buna göre,

L = H — X 0.1666

L = 0 . 2 - 0 . 1 6 6 6 = 5 M ü Ş t C r i o l a c a k t ı r-

Aynı biçimde,

. _ 1 0

~ 12 — 10 = ^ Müşteri bulunur.

2. Sırada (Kuyrukta) olması beklenen müşteri sayısı (L^q) :

L„ -q M(M-X)

ı o2

L = = 4 müşteri bulunur.

q 1 2 ( 1 2 - 1 0 )

3. Müşteri başına sistemde geçen ortalama zaman (W):

W = M - X n

•W = — — — — = 0-5 saat yani 30 dakikadır.

Ya da

W = î = 30 dakika olacaktır.

0.2 - 0.1666

4. Müşteri başına sırada (kuyrukta) geçen ortalama zaman (Wq), yani hizmet edilmeden önce kuyrukta beklediği zaman:

_ X

Wq " ju(m-\) 10

Wq ⁼ 1 2 ( 1 2 - 1 0 ) = 0 4 1 6 6 s a a t' y^{3 1}» 0.1666

W„ — = 25 dakika olacaktır.

<1 0.2(0.2 - 0 . 1 6 6 6 )

Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi M/M/l: (GD) modelinin kullanımı gerekli veriler sağlanırsa oldukça kolay olmaktadır. Şimdi bu modelin formüllerinin nasıl bulunduğunu açıklayahm.

M/M/l: (GD) Modeli Formüllerinin Elde Edilişi:

Yukarıda özellikleri belirtilen bir sıra bekleme sistemini bir (t) zaman amnda gözlediğimizi varsayalım. Bu sistemin işleyişini anlaya- bilmek için şöyle bir soru sorulabilir: "(t) zaman anmda bu sistemde n sayıda (n > 0) müşteri bulunma olasıhğı Pn(t) nedir?"

Çünkü eğer Pn(t) ve hesaplanma biçimi (formülü) bilinirse, sistemde olması beklenen müşteri sayısı hesaplanabilir. Pn(t) değerini hesaplamak için (t) zaman anından sonra zaman biriminin çok küçük bir kısmı olan (A t) anını yani (t + A t) anını düşünelim. Varsayalım ki, (A t) zaman arahğı o kadar küçük bir zaman aralığıdır ki sisteme bir tek

\

müşteri gelişi veya bir tek müşterinin (hizmeti bittikten sonra) o anda çıkışı olasıdır, fakat birden fazla müşteri gelişi ya da çıkışı olası değil- dir. Şimdi (t + A t) zaman anında sistemde n sayıda (n > 0) müşteri bulunma olasılığı Pn(t 4- A t) nedir? sorusuna yanıt arayahm.

Sistemde (t + A t) amnda n sayıda müşteri birbirinden tamamen ayrı (mutually exclusive) ve tüm olasılıkları kapsayan (collectively exhaustive) dört farklı biçimde bulunur. Yani sistemde (t + At) anında n müşteri için aşağıdaki durumlardan biri mutlaka gözlenecektir.

1. Sistemde (t) anında n kadar müşteri ve (A t) zaman aralığında hiç bir geliş ve çıkış olmayabilir, yani 0 geliş ve 0 çıkış olabilir, (t) anındaki n müşteri bulunma olasılığını Pn(t) ile gösterelim. Sistemin geliş oranını X ve servis oranını da m ile belirtirsek (At) zaman ara- lığında 0 müşteri geliş olasılığı (1 - XAt) dir. Çünkü sistemde (At) zaman aralığında ya 1 ya da 0 müşteri gelecektir (1 müşteriden fazla gelmeyeceği varsayılmıştır). 1 müşteri geliş olasılığı XAt olacaktır.

1 ve 0 müşteri olasılıkları toplamı 1 olduğuna göre, 0 müşteri gelme olasılığı:

(1 — XAt) olacaktır.

Öte yandan, (At) zaman aralağında da (eğer l'den fazla müşte- rinin servisten sonra çıkışının olası olmadığı varsayımı aııımsanırsa) 0 müşteri çıkış olasılığı (1 — //At) dir. Çünkü bu zaman aralığında sistemden ya 1 ya da 0 müşteri çıkacaktır. 1 müşteri çıkış olasılığı AiAt olacağına göre, 0 müşteri çıkış olasılığı:

(1 - aiAt) olacaktır.

Böylece sistemde (t) anında n müşteri bulunma olasılığı ve (At) zaman aralığında 0 geliş ve 0 müşteri çıkışı olasılığı, yani bu birinci durumun olasılığı:

Pn(t)(l - \At)( 1 — juAt) olacaktır.

2. İkinci durumda sistemde (t) anında n—1 müşteri ve (At) zaman aralağında 1 geliş ve 0 çıkış olabilir. Görüldüğü gibi bu durumda da (t + At) anında yine n sayıda müşteri bulunacaktır. Yani, (n—l) + l - 0 = n olacaktır. Buna göre, (t) anında n—1 müşteri olasıhğı

Pn_,(t) öte yandan 1 geliş olasıhğı (X At) ve 0 çıkış olasılığıda (1-AiAt) olacaktır.

Böylece bu ikinci durumun gözlenme olasılığı:

Pn.,(t) (X A t) (1—AiAt) olacaktır.

3. Sistemde (t) anında n+1 müşteri ve ( A t ) zaman aralığında 0 geliş ve 1 çıkış biçiminde (t+ A t) anında sistemde (n+ l ) + 0 - l = n müşteri bulunabilir. Bu durumda (t) anında n+1 müşteri olasılığı Pn + 1( t ) ve 0 geliş olasılığı ( l - X A t ) iken 1 müşteri çıkışı olasılığı ise (yAt) olacaktır. Buna göre bu üçüncü durumun olasılığı:

Pn + 1( t ) ( l - AAt)(#At) olacaktır.

4. Sistemde (t) anında n müşteri ve (At) zaman aralığında 1 geliş ve 1 çıkış biçiminde (t + At) anında sistemde n + 1—l=n müşteri bulunabilir. Dolayısıyla, (t) anında n müşteri olasüığı Pn(t) ve 1 geliş olasdığı (XAt) ve 1 çıkış olasılığıda (juAt) olacaktır.

Böylece bu son durumun olasılığı ise:

Pn(t)(XAt)(pAt) olacaktır.

Bu dört durumu aşağıdaki gibi tablo biçiminde özetleyebiliriz.

Durura

(t)anmda müşteri sayısı

(t)anında müşteri olasılığı

(t)zaman aralığında

geliş

(t) zaman aralığında

çıkış

Sistemde ( t + A t ) anında

müşteri sayısı

1 n P„(t) 0 0 n

2 n - l 1 0 ( n - l ) + l = i ı

3 n + 1 0 1 ( n + l ) - l = n

4 n P„(t) 1 1 n+1—1 = n

Böylece bir sistemde (t +At) anında n sayıda (n > 0) müşteri yukarıda belirtilen durumlardan birisi biçiminde mutlaka bulunacaktır.

Dolayısiyle, (t + At) amnda sistemde n sayıda müşteri bulunma ola- sdığı Pn( t +At) yukarıdaki dört ayrı durumun olasılıkları toplamı olacaktır. Yani:

Pn( t + A t ) = Pn(t)(l - XAt)( 1 - /uAt) + Pn n(t)(XAt) (1 -mAt) + Pn + ı( t ) ( l - XAt)(/iAt) +

Pn(t)(XAt)(AiAt) olacaktır.

Gerekli çarpma işlemleri yapdırsa buradan da, Pn(t+At) = Pn(t)(l — nAt - XAt + XAt2ju) +

Pn.ı(t)(XAt-XAt2^) +

P^{n + ı} (t)(^MAt - XAt^2M) + Pⁿ(t)(X At² n) bulunur.

Bu eşitlikte At2 değerleri At sıfıra yaklaştıkça, yani At zaman arabğı çok küçük alınırsa, çok küçülür ve sıfıra yaklaşır. Dolayısiyle, At2 değeri ile çarpılacak olan ifadelerde sıfıra yaklaşacaktır. Yani, At²->- 0 olarak alınabilir ve bu nedenle çarpımları da yukarıdaki eşit- likten çıkarılabilir. Böylece,

Pⁿ(t + At) = Pⁿ(t)( 1 - / i A t - XAt) + Pⁿ_ ^t (t)XAt +

P

(t)/xAt

yazılabilir. Burada Pⁿ(t) çarpıma alınırsa,

Pⁿ(t + At) = P„(t) - Pⁿ(t) nAt - Pⁿ(t)XAt + Pⁿ.¹(t)XAt+P^{n + 1}(t)MAt

bulunur.

Şimdi Pn(t) değerini eşitliğin sağ tarafına geçirir ve At ortak terimi de parantez dışına alır sonrada eşitliğin her iki tarafım At ile bölersek

P„(t + At) - P„(t) _ At[-Pⁿ(t)M-Pⁿ(t)X+P„.¹ ( t ) X + P^{m ı} (tfr]

At At Pⁿ( t + At) - Pⁿ(t)

! L _ = —(n + X)Pn(t) + XP„_1 (t) +MPn + 1 (t) yazılabilir.

At sıfıra yaklaştıkça (At 0), türev kavramının tanımana göre, Pn teriminin t'ye göre türevi:

dPn^) _ U m W + A t> - V4)

dt - t ^ O Ât

biçiminde yazılabilir. Böylece At sıfıra yaklaşırken yukarıdaki eşitlik, dPn(t)

- J j — = - (m + x)P

(t) + xp

.

(t) +

p

(t)

Anımsanacağı gibi, yukarıdaki differansiyel denklem n > 0 değer- leri için geliştirilmiştir. Eğer, n=0 olursa sistemde n—1 müşteri bulunma olasılığı 0(sıfır)dır. Çünkü 0 - 1 = - 1 negatif sayıda müşterinin sistemde bulunması olası değildir.

Böylece, Pⁿ (t) = O olarak alınır ve n yerine de 0 konulursa yukarıdaki differansiyel denklem,

d PQ( t ) = -İH + X ) P0( t ) +MP0 + 1( t ) dt

yazılabilir. Sağdaki ilk ifade açılırsa,

- î ! ^ - = -MP0( t ) PQ(t) +v?At)

olur.

Bu eşitlikte sağdaki ilk ifade (—juPQ(t) ) sistemde hizmet (servis) sunulup ayrılacak olan müşteri sayısını belirtmektedir. Yukarıda belir- tildiği gibi eğer n=0 ise sistemde hiç müşteri yok demektir. Böyle olunca sistemden çıkış olası değildir. Dolayısiyle, —/nPQ(t) ifadesi yukarıdaki denklemden çıkarılabilir.

Bu durumda n=0 için differansiyel denklem:

dP0(t)

dt = -XPQ(t) +//P!(t) biçiminde yazılabilir.

Bu denklem ile daha önce belirlenen

T = -to+\)Pn<t) + x PI M< t ) + n Pm ı( t )

biçimindeki differansiyel denklemi (türev kavramı tanımına göre) şunu ifade etmektedir: Sistemde sıfır, n, n—1 ve n+1 sayıda müşteri bulunma olasılığı zamanın bir fonksiyonudur, ve zamana bağlı olarak değişir. Çünkü her iki denklemde de soldaki ifade türev biçiminde yazılmıştır.

Bir an için Pn(t) değerinin zamandan bağımsız olduğunu varsa- yalım. Çünkü bir zamana bağlı olarak olasılıkların ne olacağını değil sistemin yerleşik denge durumunu (steady state) öğrenmek istiyoruz.

Dolayısiyle,

dP

(t) - o

d p0( l ) , 0 dt

biçiminde yazdabilir. Çünkü zamansal değişmeye bağlı olarak olasılık- larda bir değişme varsayılmamakta ve sistem denge durumunda kabul edilmektedir. Böyle olunca da denklemlerdeki t değişkeni yok kabul edilebilir ve

0 = -Oz + X)P„ + XPn.t + MPnhl

yazılabilir. Buradan da,

(M+X)Pⁿ= XPⁿ.1 + M P n f i

eşitliği bulunur.

Bu eşitlikten de,

(1)

P _ (X + M)Pn - APp.j M

ya da

Pn+. = ^ 7 L > P n - ^ n - ı (2) eşitlikleri ifade edilebilir.

Aym biçimde, ^o*** = 0 = -XPQ + MP , ifadesinden de,

0 = - X P0

*p 0 = Ppı (3)

eşitliği bulunur. Buradan da,

pı = ( — )p0

Yukarıdaki (2) nolu eşitlikte n=l alınırsa / X + LL\ ,

p - ⁼ ( — ) ^{P ı} -

(4)

Yani

- ^ p - - e p °

olacaktır. Eğer (4) nolu eşitlikte P, değeri yerine konulursa:

- e l - ^p °

r* \

p 2 =

f e )

o

(T) 1 P °

Aynı biçimde (2) nolu eşitlikte n=2 alınırsa:

X \3

M "o bulunur.

Benzer biçimde,

• w - ) ^p °

ifadesi yazılabilir.

Burada n negatif olmayan her hangi bir sayıdır. Yani n = °°

olabilir.

Olasılık kuramından biliyoruz ki, n hangi değeri alırsa alsın bütün olasılıkların toplamı 1 'e eşittir. Yani,

P0 + Pı + P2 + P3 +- + Pn+ = 1

olacaktır.

Bu eşitlikte Pt, P2, P3, Pnolasılık değerleri yerine konulursa,

p o ⁺ ( - 7 ) ^p » •

PQ ortak parantez dışına alınırsa,

A \ / A \2 / A \3 / A \ n

Po

•* a • a • f ^ * • e r

=

- e ⁺ e - ) ⁺ ( - f ) ⁺ * £ ) • • •

biçiminde (5) nolu eşitlik bulunur.

Bu eşitliğin paydası görüldüğü gibi sonsuza doğru sınırsız bir biçimde artmayacaktır. Çünkü kuyruk teorisinde "trafik yoğunluk"

oram p = ^ < 1 olduğu varsayılmıştır. Çünkü aksi durumda sistemde sıra bekleme (kuyruk) kuramsal olarak sonsuza doğru arta- caktır.

Böyle olunca yukarıdaki eşitlikt^ paydanın toplamı a,ar,ar², ar³, V ¹ biçiminde birleşen sonsuz bir geometrik dizi biçimini almaktadır. Bu dizide a = l ve r= —— olmaktadır.

A

r= P = < 1 M olan sonsuz bir geometrik dizinin toplamı da:

oo ı — r formülü ile bulunur.

Bu geometrik dizide a birinci terim ve r= —;— de genel artış X M

olduğuna göre biraz önce yukarıda verilen (5) nolu eşitlik,

1 Po = - = 3 —

l-

W

biçiminde yazdabilir. Buradan da:

P⁰ = 1 - (-7-) bulunur. (6)

Daha önce belirtildiği gibi, /X \ n

( — ) P»

olduğundan, burada P^Q değeri yerine konulursa, X \n / X

•

(tT

olacaktır.

Yukandaki (7) nolu eşitlik tek kanallı denge durumundaki bir sıra bekleme sisteminde n müşteri (n > 0) bulunmanın olasılığım belirten genel bir modeldir. Böylece başlangıçta sormuş olduğumuz soruya zamandan bağımsız olarak yanıt verilmiş olmaktadır.

Bu genel ifadeye dayalı olarak sistemde olması beklenen (sırada + serviste) müşteri sayısı (L),

00

L = P0n0+ P ,n ı+ P2n2 + P3n3 + = Pn(n) 'dir.

Yukarıdaki (7) nolu eşitlikten Pn değeri burada yerine konulursa,

°° / X \n / X \ / X \ 0 0 / X \ n

L ' n U ~ ) ( ' - T ) 'n ) =(,~ - ) n ? o <n ,( — ) , 8» yazdabilir. Burada

"S / X \ n 2 (n) ( )

ifadesi o,a,2a2,3a3, ,xax ,. biçiminde sonsuza giden bir dizidir. Burada a= -^-değeri trafik yoğunluk oranı olarak kuyruk teorisinde 1 'den küçük varsayıldığı için bu dizinin toplamı

a

s = ;

°° (1—a)2

formülü ile bulunur. Böylece a yerine — k o n u l u r s a , M

n=o \ /i / / j

\ *

olacaktır. Bu değer (8) nolu eşitlikde L için yerine konulursa,

X>

yazılabilir ve buradan da,

JL

/ ^n1

( ' — )

L = _M~X bulunur.

Bu formüllere dayalı olarak da sistemin diğer göstergeleri buluna- bilir. Örneğin, sırada (kuyrukta) olması beklenen müşteri sayısı (Lq) aşağıdaki gibi bulunur.

Sistemde olması beklenen müşteri sayısı (L) olduğuna göre sırada olması beklenen müşteri sayısı da Lq ise, sistemde hizmet (servis) sunulan müşteri sayısı ( L - L^q) ve bunun olasılığı ise ( 1 - P⁰) olacak- tır. P^Q sistemde hizmet sunulan sıfır müşteri (müşteri olmama) olası- lığıdır. (6) nolu eşitlikten PQ değeri yerine konulursa sistemde hizmet edilen müşteri sayısı,

L — Lq = bulunur.

Daha önce bulunan L değeri burada yerine konulursa:

Lⁿ = X X

bulunur.

Sistemde (Kuyrukta + Hizmet Sırasında) Bekleme Zamanı (W):

Bir müşterinin sistemde ortalama bekleme zamanı (W) (kuyrukta bekleme + hizmet sırasında bekleme), sistemde olması beklenen müş- teri sayısı L'nin sisteme geliş oram X ile bir müşterinin sistemde bek- lediği ortalama zaman W çarpımına eşit olacağı açıktır. Örneğin, eğer X = 6 müşteri/saat ve bir müşterinin sistemde beklediği orta- lama zaman W=2 saat ise bu bekleme süresince sistemde olması bekle- nen müşteri sayısı L= 6(2) = 12 olacaktır. Çünkü 1. bekleme saati sırasında 6 müşteri gelecek bunlar beklerken de 2. saatte 6. müşteri daha gelecektir. Böylece,

L = X W yazılabilir. Buradan da,

W =

bulunur. Burada da L'nin daha önce bulunan değeri yerine konulursa:

A

W =

W = M-X bulunur.

Sırada (kuyrukta) Ortalama Bekleme Zamanı (Wq) : Bir müşterinin sırada ortalama bekleme zamanı sistemde bir müşterinin ortalama bekleme zamanı W'dan hizmet (servis) süresince geçmesi beklenen ortalama zamamn çıkarılması ile bulunur, n servis oram bir birim zamanda hizmet sunulan müşteri sayısı ise bir müşteri

için harcanan hizmet (servis) zamanı l/n olacaktır. Örneğin, 1 saatte 12 müşteriye hizmet sunuluyorsa bir müşteri için harcanan ortalama hizmet zamanı 1/12 saat yani 60/12= 5 dakikadır.

Dolayısiyle,

/

olacaktır. Yukarıda bulunan W değeri yerine konulursa,

1

- — ve buradan da

bulunur.

m(M-A)

Böylece M/M/l : (GD) modelinin daha önce verilen formül- lerinin şimdiye kadar yapılan işlem ve açıklamalar sonucu nasıl elde edildiği açıklık kazanmış olmaktadır.

Ancak hemen belirtilmelidir ki, tek noktadan müşteri alan tek sıralı çok kanallı sistemler için bu model kullanılamaz ve bunun yerine M/M/c : (GD) modeli kullanılır.

M/M/c : (GD) Modeli:

Kanal sınırlılığı dışında tek kanallı M/M/l modeli için belirtilen sınırlayıcı varsayımlar ve yorumlar M/M/c modeli için de geçerlidir ve bu nedenle burada tekrar edilmeyecektir. Ancak c sayıdaki kanal- ların parelel yani aynı hizmeti sunan kanallar olması gerekir. Kanal- ların bir birim zamanda hizmet ettikleri ortalama müşteri sayısı /i olduğuna göre trafik yoğunluk oranı koşulu aym biçimde,

X

P = < 1 olmalıdır.

Bu varsayımlar altında M/M/c : (GD) modelinde:

X r L -

q P (t)

4 (c—1) ! ( c /u — X )2 '

L - L^{q +} ^ X

Wq = Lq A

W = Wq ⁺ ı r

biçimi almaktadır. Burada, P^Q (t),t zamanında sistemde müşteri bulun- mama olasılığı, n sistemde olması beklenen müşteri sayısı, c !,c sayıdaki kanalların faktöryeli ve diğer simgeler önceden belirtilen anlamdadırlar.

Görüldüğü gibi, M/M/c modelinin M/M/l modeline karşı olan üs- tünlüğü sadece paralel kanal sayılarında sağladığı esnekliktir. Diğer tüm kısıtlayıcı varsayımlar yine söz konusudur. O halde bu modelin uygulanması için sistemin bu varsayımlara uygunluğu gerekir. Yani gelişlerin poisson dağılımlı ve servis zaman dağılımının da negatif üstel olması gerekmektedir. Bu kadar katı koşullara rağmen bu model- lerin uygulama alam geniştir. Çünkü sıra bekleme sistemlerinde geliş- lerin genellikle poisson dağılım gösterdiğini destekleyen çok araştırma ve kanıt vardır.²¹ Ancak servis zamanlarının üstel dağılım göstermesi o kadar yaygm değildir. Bu da, poisson gelişli sistemlerde bu model- lerin uygulanmasını sınırlamaktadır.

Örnek :

Bir banka şubesinin üç veznesi bulunmaktadır. Bu banka şubesine 8 saatlik bir iş gününde ortalama olarak 160 müşteri vezneler ile ilgili işler için gelmektedirler. Öte yandan her veznenin bir müşteriye orta- lama olarak sunduğu hizmet 5 dakikadır. Müşteri geliş dağılımının

21 Tierauf, Robert J. and Klekamp, R.C., Decision Making Through Operations Research (New York: John Wiley, 1975) s.427.

poisson ve hizmet (servis) zaman dağılımının üstel olduğu varsayılırsa, bu banka şubesinde belli bir anda olması beklenen müşteri sayısı (L), vezne için sırada olması beklenen müşteri sayısı (Lq), müşteri başına bankada geçen ortalama zaman (W) ve müşteri başına sırada geçmesi beklenen ortalama zaman (Wq) nedir ?

Yukarıda belirtilen verilere göre müşteri geliş oram:

X = 160

8 20 müşteri/saatte.

Servis (hizmet) oram:

1

M = 60 = 1 2 müşteri/saatte.

Kanal sayısı:

c = 3 veznedir.

a) Sırada olması beklenen müşteri sayısı:

L = ^ P

q ( c - m ( c / ı - X )

c£ * T + t ( - ) c ( — )

n= o n ! v M / c! • \ n / \ c m - X/

î / X \c rc\x

J

Po =

ı/

1!

(-) 1

M 2 / 2!

0 ]

" l

,20 s

(

3! \ 12 ) ( ( 3 x 12)—20 )

J

« ı * / 20 \ o

v e ( 12 ) = o l d uğu n d a n>

P⁰ = ! / / 20 \ 1/ZU VI I "l / 2 0 \3 / 36 \

( ı r ) ⁺ -îfer)] ⁺ |j("îr) ( J

1/5.79

0.173 bulunur. (Bankada hiç müşteri bulunmama olasılığı)

=

U = 20(12)

İ M

( 3 - 1 ) ( (3 x 12)—20)² 0.173

240 x 4.64

Ln = 0.173

* 2(256)

Lq = 0.38 müşteri.

b) Bankada olması beklenen müşteri sayısı (L).

L = 0.38 + 20 12

L = 2 müşteri bulunacakta-.

c) Müşterinin sırada beklediği ortalama zaman (W ) : T

Wq = ^Lq /^X W^q = 0.38/20

W^q = 0.019 saat ya da 0.019x60 =1.14 dakika olacaktır.