DOGUM VE OLUM SURECLERININ TEK KANAL DURUMU*

YYU.Fen Bilimleri Enstitust 1(2),(1992),1-9

DOGUM VE OLUM SURECLERININ TEK KANAL DURUMU*

Inan CINAR Husnu. BARUTOGLU

OZET

Dogum ve 61lUm surecleri bir poisson stirecidir. Yani bu slurecler durum uzayi kesikti ve parametresi stirekli olan markov silrecidir.

Bu caiismada iik olarak dogum ve Gliim = stireclerinin tanimi verilerek doZum ve Glum denklemleri ele alinmistir.

Bu denklemlerde Bn=0 ise denkiemler kendilerinin poinson dagilimina esit olurlar. Eger Mn=A ve Pn=H ise denklemler bir tek kanaliay kuyrugu olustururlar.

Iste burada tek kanalli kuyruk durumu ve buniarin cézlmleri ete alinarak incelenmistir,

SUMMARY

Birth and Death procesess aré a poisson procesess, that is these procesesses are a markov processes Whose state spaces is discontinuous and parameters are cantinugse in this study

first, identifying the Birth and Death procesesses the

In this equations if pa=0 the equations equal to their own poisson distributions if wn=A and un= the equations

cause a singie channel queue.

In this study considering the single channeled queue state, its solutions are studied.

GIRIS

Dogum ve 6lum stlrecleri bir poisson silrecidir. Poisson slreci, durum ugayi. kesikil ve parametresi stirekli olan bir markov stirecidir.

Bir kente baska bir kentten gelen telefon konusmalari, darabalarin bir benzin istasyonuna gelmeleri Poisson stireci

* TII., Ulusail Matematik Sempozyumunda bildiri olarak sunulmustur.

t

icin bir Ornektir. Bu olaylara dikkat edildifinde bazi sonuclar ortaya cikar. Bunlar,

I?) Verilen bir zaman araliginda ortaya ¢ikan olaylarin sayis1 yalnizca zaman araliginin uzunluguna baglidir.

2°) Olaylarin ortaya cikisi birbirinden bagimsizdir.

Verilen bir zaman aralifinda ortaya cikan olaylar, bu aralikta ortak noktasi olmayan baska bir aralikta cikan olaylari etkilemezler.

37} Cok kick bir At zaman-araliginda iki yada daha cok olayin ortaya cikmasi olasiiigi, tek olayin ortaya cikmasi olasilizindan cok daha kiictikttir.

Bu varsayimlar aitinda {Xt, t20} stokastik stireci, poisson sureci olarak tanimlanir. [1]

Dogum—Olum Stirecleri:

Durum uzayi {0,1,3,...} olan pir {Xe,t20} Morkov zineirini #6z Ontine alalim. Xt nin bir evrenin t zamanindaki buyuklugunil gésterdigi bu zincirde gecis olasilig1

Pij(t)=P(Xs+t=i/Ns=i)

olsun ve Pij(t), asagidaki tzellikieri sagiasin.

Ll?) Pier (At)SAi tto(At) i20 icin

27) Pir-1 (At)= pi t+0 (at) izl icin

3*) Piz (At}=i-(aispa) t+0 (At) i20 icin

4°) Piz (&t)=0(At) jei-i,i,iti

Burada O(At), her durumda i'ye baglidir. Ai: dogum pi;

Slum oranini goéstermektedir. Yukaridaki varsayimlar1 saglayan {Xt.t20} markov zineiri bir dogum-6liim sttreci adini alir. {2}

Dogum-OUlum Denklemieri

Tleri dogru dogum-éltim denklemleri.

; dPin(t) ‘

Pin (t)s————_ => (A4u) Pin(t)#An-1 Pi,n~1(t)

dt

+HPi,nei (t) t20, n20, i=0,1,2,...

n=0 i=l.2,... icin — (i)

dPio(t) :

Pio(t) #——_—-=- APio(t)+yPi,1 (t)

dt

ile verilir. Bu denklemler.

- do ro 0 0

A= Hy CA tH1) Po 0 —~(2)

° hz —(AgtpH2) A2

6 M3 —(Aa4H) Agee

2

matrisi ile P gecis olasiliklari matrisinin carpilmasindan

0 ifn

Pin (0)=din = —— (3)

] i=n

olduguna dikkat etmek gerekir.

Bu teori. kuyruk teorisine uygulandiZinda verilen bir zaman sistemi icinde n tane birim varsa sistem En durumundadir denir.(t, t+At} zaman araliginda En durum uzavindan En+: durum uzayina bir gecis olasiliéi An(At)+ O(At)

lie verilir. Ayni aralikta En, durum uzayindan En-, durum uzayina gecis olasiligzi ise, pn At+O(At) seklinde verilir.

Bu denkiemlerden Hn=0 ise denkiemler kendilerinin poisson GaZilimina esit olur. Eger An=A., un=p ise denklemler bir tek kanalli kuyrugu olusturur.

Tieri dogZru denklemler iie geri dozru denklemlerin birlestirilmesi.

dPin(t)

Pin(t) = — ee BH (AitWi) Pin(tjtAi Pier, n€t)+uiPi-1.n(t)

dt n>g +20

Pon(t)=- Ao Pon (t) tuo Pi,n (t) __ (4)

ile verilir. Tleri dogru denklemlerinin bir cézumti geri dogru denklemlerinide sagilar.

Tek Kanal Durumu ve Cézilmu

Yukaridaki doZum ve dllim denklemlerinde notasyonu basitlestirmek icin i indisi Vazilmayip n= ve Un=p deZerleri konarak asaZidaki basit tek kanal poisson girisi elde edilir. t zamaninda sistemdeki n tane parcanin olma Clasiligini veren tstel zaman denkiemleri, t=0 zgamaninda sistem icindeki i tane parcayida verir [4].

dP.(t)

——— = -fAtu) Pa(t) +APn-1(t)+pPaet(t) n21

dt dPo(t)

——— = —-APo(t) +uP(t) (5)

dt

Pa(t) nin olasilik ¢cikardan fonksiyonu |z|=! birim cemberde

P(z,t)= 2 Pn(t) 28

ile tanimlanir.

Bunu

P(z,t)=2- Pat) 2tt

=o

Pa(t) Zot! ifadesini acalim.

Patt} zatizz Po (Ct) +z? P,(t)t+...¢29t1 Pa (t}

=z [Po(t)t+z Pi(t)+...+2"Pn(t)]

=F p,tz,t

elde edilir. Turevini alirsak.

Ze

oP az (Po(t)+z Pa(t)+...+2" Pa (t)]

dt ‘

=z[- APo(t}+tuPi(t)+z[-(Aty) Pi (t)

+ Po(t)+uP2(t))+z2 (-Atu)Pa(t)+aAPi (t)+HP3(t)) +...

=zPo(t) (-AtZA) #Pi (t) (p-zA-zutz2A) tP2(t) (uz—-z2@Atz2ytz3A)+...)

2z{Po (t) (-At2A+P: (£) [w(1-z)-zA(1-z)]

+P2(t) (uz-z2Atz? ptz3A}+...}

=[(1-z) (-zAPo(t)+z (u-zA)Pi(t)+z(uz-Az?)P2 (tt...

—uPo(t)+pPo(t)

=(1-z) [(u-zA) [Po(t)+2(u-zr) Pi(t) +z? (u-Az)Pa(t)+

=(1-z) [(y-zA)P(z,t)-uPo(t) ___. (6) elde edilir.

we

P(z,0)= Z, Pa(O}z"=Pi (0) ziz=zi

-ae ]pPo (t)

Pi(Oj}=1 oldugundan n=l. durumu haric Pna(O)=0 alacagindan baslangic sartz P(z,0)=zi seklinde olur.

Elde ediien birinci mertebeden lineer kismi diferansiyel denkleme Laplance déntistinu uyguliyalim.

OP(z,t)

Z ———— =(1-2) ((p-zA)P(z,t)-b Po({t)]

dt ap(z,t)

Z >. +(l=z)p Po(t) = (1-2) (u-Az) P(z,t)

z— + u(l-z)Po(t) aP

at

P(z,tj=

(1-2) (u-Az)

aP

z—— + u(l-z) Pe(t)

% dt

P*(z,t)= Senst at

a (1-z) (y-Az)

Zz « dP #C1-2)

P¥(z,t)= ———-_— _ J est —~ at + —————__ et Po(t)at

(1-2) (w= Az)d dt (1-2) (u-Az)

Zz «

P*(z,t)= —————._ (-zitsp*)+ Po (8)

(1-2) (u-Az) Az

-zitiltzsp* «

P*(z,t)= + Pa(s)

(1-z) (H-Az) — (w-Az)

ZS ziti-yp(z-1)}Poe (s)

P*(z,t) [—-—_ _——_ - 1] =

(1-z) (H-Az) (1-z) (u-Az}

git4—u(z,1) Pots)

P*(z,t}= (7}

zs-(1-z) (w-Az)

dp

a dt

zest Pp | +5 j e7st p dt = - zi + sp*

# oO 0 st

f*(s) = (erst f(t) dt dir.

Q

P*(z,t), Re(s)>0 birim cemberinin Ustunu ve icini Orttugu icin (7) denkleminin [zj=l cemberi uzgerinde ve icindeki

siniflarin cézlimu sayisal coézume karsilik gelecek sekilde secilmelidir. Fakat sinifin Ax (5) coztimi, sifira esit kiimelerden elde edilir.

z i¢inde quadratik bir céztim

AtHtst [(Atpts)?- 4 p]% — (8)

K(s)s K=1, 2,19

2A

seklindedir. Burada karekitkun pozitif reel kisimii deégeri alinmistir.

Yani o¢n(s) Re(s)>0 ‘a sahiptir. o4(s) nin karekékten

inceki dezeri pozitif isarete’ sahiptir.

F(a)=(rtuts) .z g(z)=-(Az? +p)

| f(z) ]=|Atuts | > aty|

|e (z) [=jAty/

olur.

Ayrica |zj=1 Uzerinde |g(z)|[<|f(z)jolur. Béylece hem f(z) ve hem de g(z), |z|=l Uzerinde ve icinde analitik ve f(z} 2(z) ayni cdziime sahip olur. Bu cézUm C2(s) olmala boylece |[“%z(s)|<|&i(s)| dir. Ve |z|=i tzerinde cozum yoktur.

AtW+ES ie

Oy 4X. = —_~ 1.%2 = x! s=-A(1—"%1) (1-%2) olmaktadir.

zZ=Q81(s) icin (7) denkleminin © payi sifir olmalidir. Ve bu dezerler icin P*(z,t)} mevcut olmalidir.

RY (s)aOgitisy (1-2) olarak tanimlandigindan bu ifade yerine konursa

zitt— [y(l-z)ogitt/p (1-%2)]

P*(z,tj=

—— (9)

—AC 1%) (1%) 2-1-2) (% i 2-dz)

zitl (L~of2)—(1-2)oX2i+1/(1-™2)

~AZTAZHK, FAZH2—V Mp HK Z—M KPA +AztzX eK, = 22)

Zitl—zitlAzpzitiz—K, itl /({-%) (zitleayitl)—zo%y (zi-mi)/s1-%

~AC MIR a+ 22-21 -2%7) ~AL ZU Z- 2) -O% (2-02) }

‘ it i+

(27%) [zitzintole +... th2] 202 (2-2) [zi-l4 2b -2Oo4. +2] +m Q—m

—d(z-H%1) (2-%2) (1-%2)

. t a itt . [2itzi-tode+...te2 J-oa[zit+zir-lodat.. 42% 2] 4%. -Kitl

AM (1-%1) (1-%2)

t it {

[zit+zi- ihe... +2] -% [zitzi-ieat.. +2%2+0%, ]toz2irl

%.(i- —)

(1-e

AK, (1 x, (1-&2)

i it!

(ztzi-t hoa. +02) (1-02) +02

Ae, (1-—) (1-2)

Zz oo Zz

(i-—)-! = > (—)* oldugundan

1 kro x,

1 : Zz ott! = zk

P*(z,t)=——_-(zitelz zin-t+...462) > (——) + =

AX, Keo Pm, (1-%2) z my

bulunur. |[z/eif<l dir wee (£03

B*(s),o0lasiiik cikartan fonksiyonunun Laplance dénUstimli icinde z" in katsayisidir.(10) denklemindeki 2" in katsayisinin

ofntl nti 2

2 = —%2 (1+X2+0%2 +...)

ntl ~ of: +1

dog) 1 Acs, 3

=— (u/r)™tt 2D (U/ADE LL

» kentit2 of, k

i oldugu gértilur. Burada [aK2|[<1 ve% &2= —~-

oldugu dikkate alinmistir. a

P*(z,t) nin sol tarafindaki ilk terim serisi icindeki sol carpan ile z nin uygun = kuvvetleri carpi larak ve zl in katsayilari toplanarak z" in geriye kalan kuyvetleri bulunur.

Burada nom :

l oft | oh2 4 Cu/p)™

= 2 = = — — (21)

Ax y n-i¢o AX, n-i+2m d n-+2m-1 "

Cf, om, of

seklindedir. Béylece n2i icin

i 1 L/ (HA)

P*(s) = [ — + — +...4 ———_

a» stil Ap-it3 eaxptitl

+(A/n) ett

DDE foe] | —— (12)

Kentie?d

elde edilir. Pn{(t)

Pa(t)=

est P*(s) ds

21 Cc-ie

ile verilen (12) nin ters laplance dénUsumldur. Ters déntisumu elde etmek icin tnee "f*(s),f(t) nin bir laplance doénlistmu ise f*(stt), e-4tf(t) nin bir laplance d6ntisumudur. " teoremi kullanilacaktir.

Ayni zamanda ters dénusimun P*{s) nin her bir terimi ile toplanabilir.Yani sol taraf tizerine dagatilabilir. 18 nolu denklemde %, de s ye At ilave edilmistir. Sonuc olarak (1l)deki her terimin ters diéntlstmu, fonksiyona uygulanir.

Fonksiyon icin laplance dontistmu («.)-¥ seklindedir.

(2a)¥ v(2ixn )-¥ tcl Iv(2vxut)

av(~r7u)¥ to! Iv(2ynet) — (13)

[stYs? 4Au /2a)-¥

seklindedir.

o (z/2)vt2k Iv(z)= —$—$—__——

k=o kIT (vtktl) Iv(z}=i-¥ Jv(iz)

zZv

Tv (Z)= zZ—> 0

2vv!

ez

Iv(z)= ——— (14)

“az

yazilir. Sonuc olarak.

e- (Atuit

Pa(t)= x cf yn-itl (n-d44)t-lI a ie! (20pt)

IL

tsp (Poni

(n-i+3)t7! In-tey. (2Yxpt)+...

LL

+h

| mpeciey (ntitl) t-! Tneier (24pnt)+...

= Hw

2 yet Do Gl & tet Ik(@2nty} ~ —cs)

is k=ntit2 4A

yazilir.

KAYNAKLAR .

[- Cinlar, E.(1975) : Introduction to stochostik processes, prentice- Hall, Inc.Enqlewood cliffs, New. Jercey

2- Inal,H.C.(1988) : Olasiliksal streclere giris Hacettepe Univ. yayiniari A.I.56, Ankara.

3- Karlin, S., and Taylor, H.(Ci975):A first course in stochastic processes, Academis press, inc, s. 117-166.

4- Saaty, T.L.(1961): Elevents of Quening theory. McGraw-Hill book company, Newyork.