Özel Dörtgenler ÖZEL DÖRTGENLER Basit Tanımlar 1. Yamuk En az iki kenarı birbirine .................................................................

Özel Dörtgenler Özel Dörtgenler Simedy an A kademi Özel Dörtgenler ÖZEL DÖRTGENLER Basit Tanımlar 1. Yamuk

Özel Dörtgenler Özel Dörtgenler Simedy an A kademi 2. Paralelkenar

Karşılıklı kenarları ... ve ... bir yamuktur.

b

a

a b

Özel Dörtgenler Özel Dörtgenler Simedy an A kademi 3. Eşkenar dörtgen

Tüm kenar uzunlukları birbirine ... bir paralelkenardır.

a

a

a

Özel Dörtgenler Özel Dörtgenler Simedy an A kademi 4. Dikdörtgen a a b b

Özel Dörtgenler Özel Dörtgenler Simedy an A kademi 5. Kare a a a a

Özel Dörtgenler Özel Dörtgenler Simedy an A kademi 6. Deltoid

Özel Dörtgenler Yamuk Simedy an A kademi YAMUK

En az ... kenarı birbirine ... olan dörtgene ... denir.

[AB] ... [CD] α + β = ... x + y = ... D C B A x y  

YAMUK

Yamuk

Simedy

an A

kademi

Verilen iç açı ölçülerine göre, α – β farkı kaç derecedir?

Örnek 1 A B  80° 110°  D C ABCD yamuk [AB] // [DC]

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 2

ABCD bir yamuk,[DC] // [AB] ve [CE] // [DA] [CE] açıortay, m(CéBA)= 80o, m(AéDC)=a

olduğuna göre , a kaç derecedir?

80o a A _B C D E

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi SORU TİPİ – YÖNTEM D _C E A B c a

Bir yamukta özel açılar verilmezse, [AD] ya da [CB] ye ... doğru parçası çekmek gerekebilir.

Bu durumda, AECD ... ve c = |DC| = ...

YAMUK

Yamuk

Simedy

an A

kademi

ABCD yamuk, [AB] // [CD]

Verilen kenar uzunlukları ve iç açı ölçülerine göre, m(DéCB)= a kaç derecedir?

Örnek 3 70° A _{11 cm} 7 cm B 4 cm D C 

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 4

ABCD bir yamuk, [AB] // [CD] m(DéAB)=65o ve m(CéBA)=50o

|DC|= 4 cm, |BC|= 6 cm ve |AB|= x cm,

olduğuna göre, x kaç cm dir?

50o 65o 6 B C D 4 A

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 5

ABCD yamuk, [AB] // [DC], m(ëA)+m(ëB)=90º |DE| = |EC| = 2 cm, |AF| = |FB| = 7 cm

olduğuna göre, |EF| = x kaç cm dir?

F 7 B

7 A

D 2 E 2 C

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi SORU TİPİ – YÖNTEM D C B F E A |DE| ... |CF| [DE] ... [AB] [CF] ... [AB]

Bir yamukta verilen herhangi bir iç ya da dış açı özel bir açı (..., ..., ... gibi) ise o açıyı

içeren bir ... indirilir.

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi SORU TİPİ – YÖNTEM 60° 30° a ... ... a ... ... 45° 45° ... A H B 75° 15° C 30° - 60° - 90° üçgeni 45° - 45° - 90° üçgeni 15° - 75° - 90° üçgeni 188828883 ...

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 6 A 14 4 D C B 15° 75°

ABCD yamuk, [AB] // [DC], m(ëA)= 75º, m(ëB)= 15º |DC| = 4 cm, |AB| = 14 cm

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 7 A B C D 4 cm _x 45º 60º ABCD yamuk [AB] // [DC] |AD|= 4 cm

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 8

ABCD bir yamuk, [AB] // [CD] ,m(DéAB)=30o |DC|= 3ñ3 cm, |BC|= ò43 cm, |AD|= 8 cm |AB|= x cm olduğuna göre, x kaç cm dir?

A 30 o ò43 8 x B C D 3ñ3

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi KURAL D C E A B

ABCD yamuk , [AB] // [DC], [DE] ve [AE] açıortay olduğunda; m(DéEA)= ... olur.

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi İSPATLAYALIM _D     A E B C

ABCD bir yamuk olduğundan [AB] // [DC] ve m(CéDA) + m(DéAB) = ...

2_a+2_b= ... Ş _a+_b= ... O halde, ADE üçgeninde;

m(ëE)+a+b=... Ş m(ëE)= ... bulunur. 123 123 123 2a 2b ...

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 9 D C E 6 10 A B ABCD yamuk [AB] // [DC] [ED] ve [AE] birer açıortay |DE| = 6 cm |AD| = 10 cm

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi HATIRLATMA- SİNSİ KURALI B D C A

Açıortay doğrusu üzerinde alınan bir noktanın, açının kollarına olan ... uzaklıkları birbirine eşittir.

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 10 C 2 K 8 B A _E x F D ABCD yamuk [AB] // [CD] [CF] ve [BF] açıortaylar [FK] ⊥ [BC] [DE] ⊥ [AB] |CK| = 2 cm |KB| = 8 cm

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 11 D A E 5 12 C B ABCD yamuk [AB] // [DC] [CE] ve [EB] birer açıortay |EC| = 5 cm |EB| = 12 cm

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi ORTA TABAN D c a A E C B F [AB] // [DC] |AB| = a |DC| = c

|DE| = ... ve |BF| = ... eşitliklerinin her ikisi birden sağlandığında [AB] ... [EF] ... [DC] olur.

Bu durumda, [EF] yamuğun ... dır. |EF| = ... formülü ile bulunur. |EF| = ... |EF|= ... formülü ile bulunur.

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi İSPATAYALIM A _{K B} F T E D c C a

[EF] yi kestiği nokta T,

[AB] yi kestiği nokta K olsun.

• [CK] nin

123

• Önce [AD] ... [CK] olacak şekilde [CK] yi çizelim.

• Bu durumda,

ETCD, AKTE ve AKCD paralelkenar olur. O halde c = |DC| = ... = ...

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi İSPATAYALIM • |KB| = |AB| ... |AK| |KB| = ... • |CF| = |FB| ⇒ KCB üçgeninde |CT| = ..., [TF] ... ve |TF|= ... olur. • |EF| = |ET| + ... |EF|= ... bulunur.

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi ABCD yamuk [AB] // [DC] |DE| = |EA| |CF| = |FB| |AB| = 7 cm |DC| = 3 cm D _{3 C} F B 7 x E A Örnek 12

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 13 D 6 E 2 _C F B 6 A ABCD yamuk [AB] // [EF] // [DC] [ED] ve [EA] birer açıortay |DC| = 2 cm |AD| = |AB| = 6 cm

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 14 D 4 C 6 x A E F B ABCD yamuk [AB] // [EF] // [DC] 3.|DE| = 2.|AE| |DC| = 4 cm |EF| = 6 cm

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 15 D A _E F 3 _C B

ABCD yamuk, [AC] ve [DE] açıortaylar, [AB] // [DC] |DC| = 3 cm, |AB| = 8 cm

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 16 C D 3 x b 4 y a B A ABCD yamuk [AB] // [CD]

Verilen kenar uzunluklarına göre, a-x

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi KURAL D c C P K E T A _a B F |AB|= a |DC|= c |EK| = ... |TF| = ... |KT| = ...

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi İSPATLAYALIM D c C P T F B a A E K • _{BÿDC nin ... [TF] dir.} Bu yüzden, |TF| = ... olur.

• _{AÿDC nin ... [EK] dir.}

Bu yüzden, |EK| = ... olur.

|AB|=a

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi İSPATLAYALIM

• ABCD yamuğunun ... [EF] dir. Bu yüzden, |EF| = ... dir.

|EF| = |EK| + |TF| + |KT|

... = ... + ... + |KT|

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 17 A B F T K 10 E R 6 D C ABCD yamuk [AB] // [EF] // [DC] [AC] ve [BD] köşegen E ve F orta noktalar |DC| = 6 cm |AB| = 10 cm E, K, T, F doğrusal olduğuna göre, |KT| kaç cm dir?

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi A B F H G E K D C Örnek 18 ABCD yamuk [AB] // [DC] [DB] ve [AC] köşegen

[EF] yamuğun orta tabanı |GH|

|EF| = 13

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi KURAL A _a B F D c C K E

ABCD yamuğunda, [AC] ve [BD] köşegenler [AB] // [EF] // [DC] olduğunda

|AB|= a

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi İSPATLAYALIM

• _{DÿEK ~...(Temel Benzerlik Teoremi)}

|EK|

|AB| =... Ş

|EK|

|AB| = |DK|...

Buradan, |EK|= ... bulunur.

• Aynı işlemler [KF] için yapılırsa, |KF| = ... bulunur.

O halde;

|EF| = ... + ... ⇒ |EF|= ... olur.

A _a B F D c C K E • K¿DC ~... (Kelebek Benzerliği) Dolayısıyla, |DK|_|KB| = ... (kÎ_R)

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 19 A ₆ B F D 3 C G E ABCD yamuk [AB] // [EF] // [DC] [AC] ∩ [DB] = {G} |DC| = 3 cm |AB| = 6 cm

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 20

ABCD bir yamuk, [AB] // [CD], [AF] açıortay

3.|CF|= 2.|FB|, |DC|= 4 cm, |AB|= 15 cm ve |AD|= x cm

olduğuna göre, x kaç cm dir?

A x F B 15 C D 4 ..

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 21 B A _F E D C ABCD yamuk [AB] // [DC] [AC] ⊥ [BD] [DF] ⊥ [AB] |AC| = 20 cm |BD| = 15 cm olduğuna göre, |DF| kaç cm dir?

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 22 D C K B A ABCD yamuk [AB] // [DC] [BD] ∩ [AC] = {K} |AC| = 12 cm |BD| = 16 cm

YAMUK Yamuk Simedy an A kademi Örnek 23 D 10 12 C E B A

ABCD yamuk, [AB] // [DC], [AD] ⊥ [DE] |CE| = |EB|, |DE| = 12 cm, |AD| = 10 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 1. C y 100° 85° x A B D ABCD yamuk [AB] // [CD

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 2. 70° B E D C  A ABCD yamuk [AB] // [DC] [DE] // [BC]

[DE] bir açıortay m(DéAE) = 70° m(DéCB) = α

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 3. 4 C x 65° A 10 B 6 D ABCD yamuk [AB] // [CD]

Verilen kenar uzunlukları ve iç açı ölçülerine göre, m(AéDC) = x kaç derecedir?

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 4. C 6_{ñ2 cm} 45° 30° A 10 B x D ABCD yamuk [AB] // [DC] m(DéAB)= 30º m(CéBA)=45º

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 5. C A B 10 6 E D ABCD yamuk [AB] // [CD]

[EC] ve [BE] açıortay |EC| = 6 cm

|BC| = 10 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 6. C 4_ñ2 A B x 45° 15° D

ABCD yamuk, [AB] // [CD],

m(DéBC) = 45°, m(DéBA) = 15°, |BC| = 4ñ2 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 7. 3 E 3 C A 8 F 8 B x D ABCD yamuk [AB] // [DC] m(ëA) + m(ëB) = 90° |DE| = |EC| = 3cm |AF| = |FB| = 8 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 8. D C 60° 30° A 22 B 6 ABCD yamuk [AB] // [DC] m(ëA) = 30° m(ëB) = 60° |DC| = 6 cm |AB| = 22 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 9. 5 C 60° A 12 B x 6 D ABCD yamuk [AB] // [DC] m(CéBA) = 60° |AB| = 12 br |BC| = 6 br |DC| = 5 br

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 10. C A G B x E 4 F 9 D ABCD yamuk [AB] // [CD]

[DE] ve [AE] açıortaylar [EF] ⊥ [AD], [CG] ⊥ [AB] |DF| = 4 cm, |AF| = 9 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 11. C F E A 10 B x D 4 ABCD yamuk [AB] // [DC] |DE| = |EA| |CF| = |FB| |AB| = 10 cm |DC| = 4 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 12. 4 C A B 8 x F E 8 D ABCD yamuk [AB] // [EF] // [DC] [CF] ve [BF] açıortay |DC| = 4 cm |AB| = |BC| = 8 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 13. C E F A x B 8 D 3 ABCD yamuk [AB] // [EF] // [DC] 2. |DF| = 5. |AF| |DC| = 3 cm |FE| = 8 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 14. B E A D 4 C F y x ABCD yamuk, [AB] // [DC]

[AC] ve [DE] birer açıortay |DC| = 4 cm

|AB| = 9 cm |EB| = x

|AD| = y

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 15. C a b c 7 d 4 A B D ABCD yamuk, [AB] // [DC]

Verilen kenar uzunluklarına göre, a+d

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 16. C F E A B K L M D ABCD yamuk [AB] // [DC] [AC] ve [BD] köşegen [EF] orta taban

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 17. C F E A 13 B M K L x D 5 ABCD yamuk, [AB] // [DC] [AC] ve [BD] köşegen E ve F orta noktalar |DC| = 5 cm |AB| = 13 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 18. C F E A 8 B K D 4 ABCD yamuk [AB] // [EF] // DC] E, K, F doğrusal |DC| = 4 cm |AB| = 8 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 19. 4 C E A x B D ABCD yamuk [AB] // [DC], [DB] ⊥ [AC] [AC] ∩ [BD] = {E} |AC| = 9 cm |BD| = 12 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 20. C A H B E D ABCD yamuk [AB] // [CD] [AC] ⊥ [BD] [CH] ⊥ [AB] |AC| = 8 cm |BD| = 15 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 21. C A B E 12 9 D ABCD yamuk [AB] // [DC]

[DE] ve [AE] birer açıortay |ED| = 9 cm

|AE| = 12 cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 22. 4 C A x B D ABCD yamuk [AB] // [DC] [BD] açıortay [AD] ⊥ [BD] |DC| = 4 cm |AB| = x cm

YAMUK Çalışma Soruları-3 Simedy an A kademi 23. C 16 E A B 6 D ABCD yamuk [AB] // [DC] [EC] ⊥ [CB] |DE| = |AE| |EC| = 6 cm |BC| = 16 cm

YAMUK İkizkenar Yamuk Simedy an A kademi İKİZKENAR YAMUK D c C B F   h E A

• Paralel olmayan kenarları ... olan yamuktur.

• [AB] ... [DC]

• |AD| = ...

• |DC| = ... = c

• |DE| = ... = h

• |AB| = a olduğunda, |AE| = ... = ... olur.

• AÿED ... BÿFC olduğundan m(ëA)= ... α = ...

YAMUK İkizkenar Yamuk Simedy an A kademi İSPATLAYALIM a – c 2 ... .... .... ... B c _F E A   h c D C

ABCD ikizkenar yamuk olduğuna göre, |AD| = ...

m(ëA)= ...= a

|DE| = ... = h, |DC| = ... = c ve |AB| = a olsun. Bu durumda; m(AéDE)=...= b olur.

Çünkü; α + β = ... dir.

O halde; AÿDE @ ... ve |AE| = ... = a-c

YAMUK İkizkenar Yamuk Simedy an A kademi Örnek 24

ABCD yamuk, [AB] // [DC], |AD|=|DC| [BD] açıortay, m(BéCD)=120o, m(AéDB)=x olduğuna göre, x kaç derecedir?

.. ıı ıı x 120o A B C D

YAMUK İkizkenar Yamuk Simedy an A kademi Örnek 25 A D C B 60°

ABCD ikizkenar yamuk, [AB] // [DC]

|AD| = |BC|, m(DéAB)= 60º, |AB| – |DC| = 4 cm

YAMUK İkizkenar Yamuk Simedy an A kademi Örnek 26

ABCD ikizkenar yamuk, [AB] // [CD], |AB|=20 br, |DC|= 12 br, |AD|=|BC|= x br

olduğuna göre, x kaçtır?

C D A x B 12 20 ıı ıı

YAMUK İkizkenar Yamuk Simedy an A kademi KURAL

Bir ikizkenar yamukta ... uzunlukları eşittir. [AC] ∩ [BD] = ...

|AD|= |BC| ve [AB] // [DC] olduğunda, |AC| = ... |AE| = ... |DE| = ... AÿED @... A B C D E

YAMUK İkizkenar Yamuk Simedy an A kademi İSPATLAYALIM D C y B A x x  D C y B A x x 

ABCD ikizkenar yamuk olduğundan m(ëA)= m(ëB)= a

|AD| = |BC| = x ve |AB|= y diyebiliriz. O halde, K.A.K eşliğinden

AÿCB ... BÿDA olur. Bu durumda;

YAMUK İkizkenar Yamuk Simedy an A kademi Örnek 27

ABCD ikizkenar yamuk, [AB] // [CD], |AE|=9 br |AD|=|BC|= 6 br D,A,E doğrusal, |BE|= x

olduğuna göre, x kaçtır?

6 8 9 E x B ıı ıı A D C

YAMUK Dik Yamuk Simedy an A kademi DİK YAMUK D A a E B C h c

İki iç açısı ... olan yamuğa dik yamuk denir. Dik yamuk bir ... ve bir

... den oluşur. [CE] ... [AB] çizilirse

AECD bir ... ve CEB bir ... dir. Bu durumda; h = |AD| = ...

c = |DC| = ... ve |EB| = ... olur.

CEB dik üçgeninde ... den |BC|2= ...+... bulunur.

YAMUK Dik Yamuk Simedy an A kademi Örnek 28 A D C B x 7 15 15

ABCD dik yamuk, [DC] // [AB], [CD] ⊥ [DA], [AD] ⊥ [AB] |AD| = |AB| = 15 cm, |DC| = 7 cm, |BC| = x cm

YAMUK Dik Yamuk Simedy an A kademi Örnek 29 12 6 E x C D B A ₁₀

ABCD dik yamuk, [AB] // [CD], [AB] ^ [AD], [DC] ^ [AD] |CE|=|EB|, |AB|=10 br, |AD|=12 br, |DC|= 6 br, |DE|= x br

YAMUK Dik Yamuk Simedy an A kademi Örnek 30 12 x 15 13

ABCD dik yamuk, [AB] // [CD], [AB] ^ [AD], [DC] ^ [AB], |AD|=12 br, |BD|=15 br, |BC|= 13 br, |DC|= x brolduğuna göre, x değeri kaçtır?

A B

C D

YAMUK Dik Yamuk Simedy an A kademi KURAL D c C E h A _a B

Köşegenleri dik kesişen dik yamukta; h.... = ... . ... dir.

YAMUK Dik Yamuk Simedy an A kademi İSPATLAYALIM C D c E a A F _B

[AC] ... [FD] olacak şekilde [FD] çizelim.

Bu durumda FACD ... olur. O halde, |DC| = ... = c ve [FD] ... [BD] olur.

FBD üçgeninde ... teoreminden; h.... _{= ... . ... bulunur.}

YAMUK

Dik Yamuk

Simedy

an A

kademi

ABCD dik yamuk, [AB] // [CD], [AB] ^ [AD], [AC] ^ [BD], |DC|=4 br, |AD|= 4ñ3 br, |AB|= x br,olduğuna göre, x değeri kaçtır?

4ñ3 4 C D E x A B Örnek 31

YAMUK Dik Yamuk Simedy an A kademi Örnek 32

ABCD dik yamuğunda [CE] ve [BE] açıortaylardır.

|EC|= 8 br ve |EB|= 6 br olduğuna göre, |AB|= a kaç br dir? E A D C B 6 8 a ..

YAMUK Çalışma Soruları-4 Simedy an A kademi 1. C x 100° A B D ABCD yamuk [AB] // [CD] [AC] açıortay |DC| = |BC| m(AéDC) = 100° m(AéCB) = x°

YAMUK Çalışma Soruları-4 Simedy an A kademi C A 10 B D 6 x

2. ABCD ikizkenar yamuk

[AB] // [DC] |AD| = |BC| |AB| = 10 br |DC| = 6 br

YAMUK Çalışma Soruları-4 Simedy an A kademi C A 14 B D 6 3. ABCD yamuk [AB] // [CD] |AD| = |BC| |DC| = 6 cm |AB| = 14 cm

YAMUK Çalışma Soruları-4 Simedy an A kademi C x 10 8 A ó233 B D

4. ABCD dik yamuk

[AB] ⊥ [DC] [AD] ⊥ [DC] |AD| = 8 br |BC| = 10 br |DB| = ó233 br |DC| = x br

YAMUK Çalışma Soruları-4 Simedy an A kademi C A B 60° D

5. ABCD ikizkenar yamuk

[AB] // [DC] |AD| = |BC|

m(DéAB) = 60°

|AB| – |DC| = 6ñ3

YAMUK Çalışma Soruları-4 Simedy an A kademi C A B 7 E x 5 D 9

6. ABCD ikizkenar yamuk,

[AB] // [DC]

|AD| = |BC| = 5 br |BD| = 9 br

|EB| = 7 br |AE| = x br

YAMUK Çalışma Soruları-4 Simedy an A kademi C 8 E x 10 A 16 B D 7.

olduğuna göre, x kaçtır?

ABCD dik yamuk [AB] // [DC] [AD] ⊥ [DC] |AB| = 16 br |AD| = 10 br |DC| = 8 br |AE| = x br

YAMUK Çalışma Soruları-4 Simedy an A kademi C E 6_ñ2 A 12 B D x 8.

olduğuna göre, x kaç br dir?

ABCD dik yamuk [AB] ⊥ [BC] [BD] ⊥ [AC] [DC] ⊥ [BC] |AB| = 12 br |BC| = 6ñ2 br |DC| = x br

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi D c C h h a A B YAMUĞUN ALANI

Bir yamuğun alanı bulunurken; ... ile ... toplanır. Bulunan değer ... ile çarpılıp ... bölünür.

Ya da yamuğun ... ile ... çarpılarak bulunur. Alan (ABCD)= ...

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi HATIRLATMA a h A B C

Hatırlatma: Üçgenin alanı

Alan(AÿBC)=... S₁ S₂ D c C E h B a A

• Önce [AC] yi çizelim. |AB| = a ve |DC| = c olsun.

• [BE] ... [DC] olacak şekilde [BE] yi çizelim. |BE| = h olsun.

Alan(ABCD) = S₁ + S₂ = ... Ya da yamuğun orta tabanı ... ile bulunduğundan

Alan(ABCD) = ... = ... ile de bulunabilir.

Alan(AÿDC)=S₁=... Alan(AÿBC)=S₂=... +

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi Örnek 33 60° 2_ñ3 D 4 C A ₈ B ABCD yamuk [AB] // [DC] m(DéAB)= 60º |DC| = 4 cm |AB| = 8 cm |AD| = 2_ñ3cm

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi Örnek 34

ABCD yamuk [AB] // [DC] // [EF], |AE|=|ED|, |AB|= 10 br, |DC|= 6 br, |EH|= 4 br, olduğuna göre, A(ABCD) kaç br2 dir?

ıı ıı A B C 6 D E F 4 H.

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi KURAL A B S₂ S₁ D C E A B

ABCD bir yamuk

[AC] ve [BD] yamuğun ... ve [DC] ... [AB] olduğunda,

S₁=...

...=... olur.

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi İSPATLAYALIM A B S₂ S₁ D c C a E A B K h

Ayrıca tüm dörtgenlerde olduğu gibi çizilen iki köşegenle oluşan alanlar için;

... = ... dir. O halde,

... = ... bulunur.

|AB| = a, |DC| = c ve yamuğun yüksekliği olan |KB| = h olsun.

Alan(AÿDC)= S₁+A=... Alan(BÿDC)= S₂+A=... olduğundan, ... olur.

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi Örnek 34 3 E C D A B

ABCD yamuk, [AB] // [DC], [AC] ve [BD] köşegenler 2.|DC| = |AB| ve Alan(DÿEC)= 3 cm2

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi 6 8 D E F C K T G A B Örnek 35

ABCD yamuk, [AB] // [DC], [DG] ∩ [AE] = {K} [GC] ∩ [FB] = {T}, 4.|AG| = 3.|GB|, |DE| = |EF|

7.|EF| = 2.|AB|, Alan(AÿDK)= 6 cm2 ,Alan(BÿTC)= 8 cm2

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi KURAL D C E B S₂ S₃ S₁ A

ABCD yamuk, [AB] ... [DC] ve |EC| ... |EB| olduğunda, ... + ... = ... olur.

Bunun dışında alanlar hakkında başka bir yorum yapabilmek için [DC] ve ... kenarları hakkında başka bilgiler de verilmelidir.

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi İSPATLAYALIM S₁ S₂ S₃ E C D A _B F

|EC| ... |EB| olduğundan [DE] ve [AB] uzatılırsa |DE| = ... ve |DC| = ... olur. Bu durumda Alan(DEC)= Alan(...) S₁ = ... |DE|= ... olduğundan, Alan(ADE)=Alan(...) S₃ = ... O halde, ...+...= ... bulunur. 123 123 123 123

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi Örnek 36 D C E 4 60° 6 B A ABCD yamuk [AB] // [DC] m(DéEA)= 60º |DE| = 4 cm |AE| = 6 cm

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi Örnek 37 D C 2_ñ3 3_ñ3 A E B ABCD yamuk [DC] // [AB] [AD] ⊥ [DE] 2.|DC| = |AB| |CE| = |EB| |AD| = 3ñ3 cm |DE| = 2ñ3 cm

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi Örnek 38 A B C D 10 10 8 20

ABCD yamuk, [AB] // [DC], |AD| = |BC| = 10 cm |DC| = 8 cm, |AB| = 20 cm

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi KURAL E h A _x B C D L Kuralı

ABCD ikizkenar yamuk, [DE] ... [AB] olduğunda Alan(ABCD) = ...

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi Örnek 39 E A D C B 10 8

ABCD ikizkenar yamuk, |AD| = |BC|, [AB] // [DC] [DE] ⊥ [AB], |DE| = 8 cm, |EB| = 10 cm

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi Örnek 40 D C 45° F B 7 A 6_ñ2

ABCD ikizkenar yamuk, [AB] // [DC], |AD| = |BC| m(CéFB)= 45º, |AF| = 7 cm, |FC| = 6ñ2 cm

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi Örnek 41 D C A ₉ E 4 B

ABCD dik yamuk, m(ëA)=m(ëD)= 90º,

[CE] ve [BE] açıortay, |DC| = 4 cm, |AB| = 9 cm

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi Örnek 42

ABCD dik yamuk, [AB] // [CD], [AC] // [BC], |AD|=6 br, |DC|= 4 br

olduğuna göre, A(ABCD) kaç br2 dir?

4 6

A B

C D

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi Örnek 43 F A E C D B ABCD yamuk [AB] // [DC] 3.|EB| = |CE| 7.|DC| = 3.|AB| |DF| = |FA|

olduğuna göre, Alan(DÿFE)

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi B 45° 60° A G 6_ñ3 K _F C D E Örnek 44

ABCD yamuk, [DC] // [EF] // [AB], [KG] ⊥ [AB] m(DéAB)= 60º, m(AéBC)= 45º, 3.|DE| = 2.|AE| |KG| = 6_{ñ3 cm, |EF| = (12+4ñ3) cm}

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi KURAL D c C E    B  a A

Köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamukta, α = ... = ...

Yamuğun yüksekliği = h olduğunda; h= ...

... ve

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi İSPATLAYALIM  = 45°  45° K T E D C B A a c Kuralda;

α = 45° ve |AE| = |EB| idi.

Yamuğun yüksekliğini belirten [KT] çizilirse;

AEB, AET ve ETB ... olur. O halde, |AT| = ... = ... = ... Aynı mantıkla; |DK| = ... = ... = ... |KT| = |KE| + |ET| = ..., Alan(ABCD) = ... ... .h= ... bulunur.

YAMUK Yamuğun Alanı Simedy an A kademi Örnek 45

ABCD yamuk, |AD|=|BC|, |AE|= 8ñ2 br, |CE|=3ñ2 br

olduğuna göre, A(ABCD) kaç br2 dir?

8ñ2 3ñ2 E 45o B A C D

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 1. 5 C 45° 3_ñ2 A 9 B D ABCD yamuk [AB] // [CD] m(CéBA) = 45° |BC| = 3ñ2 cm |DC| = 5 cm |AB| = 9 cm

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 2. C F 5 E A 16 B H 9 D 8 ABCD yamuk [AB] // [DC] // [EF] [CH] ^ [EF] |AB| = 16 br |DC| = 8 br |EH| = 9 br |CF| = |FB| = 5 br

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 3. C 4 E A B D ABCD yamuk [AB] // [DC] [AC] ve [BD] köşegenler Alan(D¿CE) = 4 br2 3. |DC| = 2. |AB|

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 4. C K L E F A G B D 3 6 ABCD yamuk [AB] // [DC] [DG] ∩ [AE] = {K} [GC] ∩ [FB] = {T} 3. |AG| = 5. |GB| |DE| = |EF| 8. |DE| = 3. |AB| Alan(D¿EK) = 3 cm2 ve Alan(BÿLC)= 6 cm2 olduğuna göre,A(EKGLF) kaç cm2 dir?

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 5. C E A B 5 8 D ABCD yamuk [AB] // [DC] [CE] ^ [EB] |ED| = |EA| m(CéEB) = 90° |EC| = 5 cm |EB| = 8 cm

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 6. C E A B 4 6 D ABCD yamuk [DC] // [AB] |DE| = |AE|, |AB| = 2. |DC| |EC| = 4 cm |BC| = 6 cm

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 7. C A 15 B 13 13 D 5 ABCD ikizkenar yamuk [AB] // [DC] |AD| = |BC| = 13 cm |AB| = 15 cm |DC| = 5 cm

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 8. C 6 A 7 H B

D ABCD ikizkenar yamuk

[AB] // [DC] |AD| = |BC| [CH] ⊥ [AB] |CH| = 6 cm |AH| = 7 cm

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 9. 60° B 6 E D 4 C A

ABCD ikizkenar yamuk [AB] // [DC]

|AD| = |BC|

m(DéEA) = 60° |DE| = 4 cm |EB| = 6 cm

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 10. C 6_ñ3 A B D

.

[AC] ⊥ [BC] |AD| = |BC|

m(DéAC) = m(CéAB) |AC| = 6ñ3 cm

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 11. 4 C x 12 A 13 B

D ABCD dik yamuk

[DC] // [AB] [AD] ⊥ [AB] |DC| = 4 cm |AB| = 13 cm |AD| = 12 cm |BC| = x cm

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 12. 6 B E D 8 C

A ABCD dik yamuk

m(ëA) = m(ëD) = 90° [CE] ve [BE] açıortay |AB| = 6 cm

|DC| = 8 cm

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 13. C F E A L B 30° _60° 2_ñ3 K D ABCD yamuk [AB] // [EF] // [CD] [KL] ⊥ [AB] m(FéBA) = 60° m(EéAB) = 30° |KL| = 2ñ3 br |EF| = |AB|_{2 ve 3. |FB| = 4. |FC|}

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi C A B 45° E 6ñ2 2_ñ2 D

14. ABCD ikizkenar yamuk

|AD| = |BC| |BE| = 6ñ2 br |DE| = 2ñ2 br m(AéBE) = 45°

YAMUK Çalışma Soruları-5 Simedy an A kademi 15. B 12 D 3 C A

ABCD dik yamuk [AB] // [BC]

[AD] ⊥ [DB] |AB| = 12 br |DC| = 3 br

YAMUK Test-1 Simedy an A kademi 1. F 80° 70°  B E D C A ABCD yamuk [AB] // [DC] [DF] ve [CE] açıortay m(DéAB) = 80° m(CéBA) = 70°

m(DéFC) = α olduğuna göre, α kaç derecedir?

YAMUK Test-1 Simedy an A kademi 2. A x 70° 100° B C D ABCD yamuk [AB] // [DC] |DC| = |BC| m(DéCB) = 100° m(AéDB) = 70°

Yukarıdaki verilere göre, m(DéAB) = x kaç derecedir?

YAMUK Test-1 Simedy an A kademi 3. 80°

m(AéDC) = α olduğuna göre, α kaç derecedir?

YAMUK Test-1 Simedy an A kademi 4. B F E D C 130° 110° x A ABCD yamuk [AB] // [DC] [DE] açıortay m(DéEF) = 110° m(EéFA) = 130°

olduğuna göre, m(DéAF) = x kaç derecedir?

YAMUK Test-1 Simedy an A kademi 5.

D

x

80°

B

E

C

A

ABCD bir yamuk [DC] // [AB]

[DA] // [CE] m(CéBA) = 80° m(AéDC) = x

olduğuna göre, x kaç derecedir?

A) 130° B) 125° C) 120°

YAMUK Test-1 Simedy an A kademi 6. D x 8 3 65° B 9 y 6 C A

ABCD bir yamuk [AB] // [DC] m(CéBA) = 65° m(BéCD) = x m(DéAB) = y |DC| = 3 cm, |BC| = 8 cm |AB| = 9 cm, |AD| = 6 cm

olduğuna göre, x – y kaç derecedir?

A) 60° B) 65° C) 85°

YAMUK Test-1 Simedy an A kademi 7. D x 6 45° B 60° C A ABCD yamuk [DC] // [AB] m(DéAB) = 60° m(CéBA) = 45° |AD| = 6 cm |BC| = x cm

olduğuna göre, x kaçtır?

A) ñ3 B) 3ñ6 C) 4ñ6

YAMUK Test-1 Simedy an A kademi 8. D F B 17 x _E 12 C 5 5 A ABCD yamuk [DC] // [AB] // [EF]

[CE] ve [BE] birer açıortay |DC| = 5 cm

|AB| = 17 cm |FE| = x cm

|CE| = 5 cm ve |EB| = 12 cm

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 8 B) 7

YAMUK Test-1 Simedy an A kademi 9. C x E A 15 B D 6 ABCD yamuk [DC] // [AB] [BE] açıortay 3. |DE| = 2. |AE| |AB| = 15 cm |DC| = 6 cm |BC| = x cm

olduğuna göre, x kaçtır?

YAMUK Test-1 Simedy an A kademi 10. C x E F A 10 B D 6 ABCD yamuk [AB] // [EF] // [DC] |EA| = 3. |DE| |DC| = 6 cm |AB| = 10 cm |EF| = x cm

olduğuna göre, x kaç cm dir?

YAMUK Test-1 Simedy an A kademi 11. C A 4 12 B x E D 6 ABCD yamuk [AB] // [DC] [DE] ⊥ [AB] |AE| = 4 cm |EB| = 12 cm |DC| = 6 cm 2. m(AéDE) = m(AéBC) |AD| = x cm

olduğuna göre, x kaçtır?

YAMUK Test-1 Simedy an A kademi 12. x C 17 A B D ABCD yamuk [AB] // [DC] |AC| = 10 cm |BD| = 24 cm |AB| = 17 cm |DC| = x cm

olduğuna göre, x kaç cm dir?

YAMUK Test-2 Simedy an A kademi 1. C F E K A 12 B 3 4 D x ABCD yamuk [AB] // [DC] |AE| = |ED|, |FC| = |BF| |AK| = 4 cm |KF| = 3 cm |AB| = 12 cm

|DC| = x olduğuna göre, x kaç cm dir?

YAMUK Test-2 Simedy an A kademi 2. C F x E A 16 B D 12 ABCD yamuk [AB] // [EF] // [DC] |AB| = 16 cm |DC| = 12 cm |FE| = x cm

olduğuna göre, x kaçtır?

YAMUK Test-2 Simedy an A kademi 3. C A B D ABCD yamuk [AB] // [DC] [AC] ⊥ [BD] |AC| = 6 cm |BD| = 8 cm

olduğuna göre, |AB| + |DC| kaç cm dir?

YAMUK Test-2 Simedy an A kademi 4. C F E x _M A 10 B y N R K L D 4 ABCD yamuk [AB] // [DC]

[EF] orta taban [EF] // [LM] |AE| = |ED| |CF| = |FB| |DK| = |RM| |AB| = 10 cm, |DC| = 4 cm, |NR| = y cm ve |LM| = x cm olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?

YAMUK Test-2 Simedy an A kademi 5. C F A 100° _60° x B

D ABCD ikizkenar yamuk

[AB] // [CD]

|AD| = |BC| = |BF| m(DéAB) = 100° m(FéBA) = 60°

olduğuna göre, m(FéCD) = x kaç derecedir?

YAMUK Test-2 Simedy an A kademi 6. 7 C A x B 25 15 15 D ABCD yamuk [AB] // [CD] |AD| = |BC| = 15 cm |AB| = 25 cm |DC| = 7 cm

|BD| = x olduğuna göre, x kaçtır?

YAMUK Test-2 Simedy an A kademi 7. 60° B 9 E x D 5 12 C A

ABCD ikizkenar yamuk [AB] // [DC]

|EB| = 9 cm |DC| = 5 cm |AD| = 12 cm

|AE| = x olduğuna göre x kaçtır?

YAMUK Test-2 Simedy an A kademi 8. C E x A 16 B 12 D ABCD yamuk [AB] // [DC] [AE] ⊥ [BC] |AD| = 12 cm |AB| = 16 cm

|DC| = x olduğuna göre, x kaçtır?

YAMUK Test-2 Simedy an A kademi 9. C x 5 6 A 13 B

D ABCD dik yamuk

[AB] // [DC] [AD] ⊥ [DC] [AD] ⊥ [AB] |DC| = 5 cm |AD| = 6 cm, |AB| = 13 cm

|BC| = x cm olduğuna göre, x kaç cm dir?

YAMUK Test-2 Simedy an A kademi 10. C x 3 A 15 B

D ABCD dik yamuk

[AB] // [CD] [CD] ^ [DA] [DA] ^ [AB] [AC] ^ [CB] |AB| = 15 cm |DC| = 3 cm

|AC| = x olduğuna göre, x kaçtır?

A) 3ñ2 B) 4 C) 3ñ3

YAMUK Test-2 Simedy an A kademi 11. C E 8 B A 20

D x ABCD dik yamuk

[AB] // [CD] |AD| = 20 cm |EC| = 8 cm |DC| = x

[DE] ve [AE] birer açıortay olduğuna göre, x kaçtır?

YAMUK Test-2 Simedy an A kademi 12. D x C 6 A E B 3 10

ABCD bir dik yamuk [AB] // [DC] [AB] ^ [EC] [AB] açıortay |AD| = 6cm |BC| = 3 cm |AE| = 10 cm

|DC| = x olduğuna göre x kaçtır?

A) 2 B) 2ñ2 C) 2ñ3

YAMUK Test-3 Simedy an A kademi 1. 4 C 6 A H B D ABCD yamuk [AB] // [DC] [AB] ⊥ [DH] |AB| = 8 cm |DC| = 4 cm |DH| = 6 cm

olduğuna göre Alan(ABCD) kaç cm2 dir?

YAMUK Test-3 Simedy an A kademi 2. 2 C E A 8 B

D ABCD ikizkenar yamuk

[AB] // [DC] [AC] ⊥ [BD] |AD| = |BC| |AB| = 8 cm |DC| = 2 cm

olduğuna göre, Alan(ABCD) kaçtır?

YAMUK Test-3 Simedy an A kademi 3. C A B 14 E 6 D ABCD yamuk,

BEC eşkenar üçgen [AB] // [DC],

|AD| = |ED| |AE| = 6 br |BC| = 14 br

A, E, B doğrusal olduğuna göre, ABCD yamuğunun alanı kaç birimkaredir?

A) 75ñ3 B) 80ñ3 C) 85ñ3

YAMUK Test-3 Simedy an A kademi 4. C 3 E 8 F A H B D ABCD yamuk, [AB] // [DC]

[EF] orta taban [EH] ⊥ [AB]

|EF| = 8 br |EH| = 3 br

olduğuna göre, Alan(ABCD) kaçtır?

YAMUK Test-3 Simedy an A kademi 5. 3 C 6 A 60° B

D ABCD dik yamuk

[AB] // [BC] [DC] ⊥ [CB] [CB] ⊥ [BA] |AD| = 6 br, |DC| = 3 br m(DéAB) = 60°

olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç br2 dir?

A) 9ñ3 B) 12 C) 18

D) 27ñ3

YAMUK Test-3 Simedy an A kademi 6. 4 B 8 D C

A ABCD dik yamuk,

[AB] // [DC] [BA] ⊥ [AD] [AD] ⊥ [DC] |DC| = |BC| |AB| = 4 br |AD| = 8 br

olduğuna göre, ABCD yamuğunun alanı kaç br2 dir?

YAMUK Test-3 Simedy an A kademi 7. 9 C A 15 B

D ABCD ikizkenar yamuk

[AB] // [DC], [AD] ⊥ [BD] |AD| = |BC| |AB| = 15 br |DC| = 9 br

olduğuna göre, ABCD yamuğunun alanı kaç br2 dir?

YAMUK Test-3 Simedy an A kademi 8. C H 6 E A B

D ABCD dik yamuk

[AB] ⊥ [DC] |BC| = 10 br |EH| = 6 br

olduğuna göre, ABCD yamuğunun alanı kaç br2 dir?

YAMUK Test-3 Simedy an A kademi 9. 3 C A 9 B 4 E x D ABCD yamuk [AB] // [DC]

Alan(A¿BE) = Alan (BECD) |AB| = 9 br,

|DC| = 3 br |AE| = 4 br |ED| = x br

olduğuna göre, |EC| = x kaç br dir?

YAMUK Test-3 Simedy an A kademi 10. 8 C E F A 12 B D ABCD yamuk [AB] // [EF] // [DC] |AB| = 12 br |DC| = 8 br

Alan(ABCD) = 125 br2 ise Alan(E¿FB) kaç br2 dir?

YAMUK Test-3 Simedy an A kademi 11. C F 4_ñ3 A E B 18 D

ABCD ikizkenar yamuk [AF] açıortay [DC] // [AB] [FC] ⊥ [FE] |AD| = |BC| |FE| = 4ñ3 br |AB| = 18 br

olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç br2 dir?

A) 62ñ3

2 B) 75₄ñ3 C) 1654ñ3

D) 180ñ3

YAMUK Test-3 Simedy an A kademi 12. E C F A 12 B

D ABCD dik yamuk,

ABC eşkenar üçgen [AB] // [DC]

|AF| = 3 . |FC| |AB| = 12 br

olduğuna göre, ABED dik yamuğunun alanı kaç br2 dir?

A) 54ñ3 B) 48ñ3 C) 42ñ3