Ali Sinan Sertöz

Çok de§i³kenli rasyonel fonksiyonlarn süreklili§i

Ali Sinan Sertöz

Çok de§i³kenli rasyonel bir fonksiyonun tekillik noktas etrafndaki davran³

çok çe³itlilik gösterir. ncelenmesi en kolay olan durumda paydann sadece orijinde sfr vardr. De§i³ken says iki oldu§u durumda bu rasyonel fonksiyon uzayda bir yüzey tanmlar ve bu yüzey orijinde z-eksenini ya bir tek noktada keser, ya da z-eksenine sarlr ki bu ikinci durumda fonksiyonun orijinde limiti yoktur deriz. Ne zaman ne olaca§na karar vermek ço§u zaman srad³ teknikler kullanmay gerektirir. Bu nedenle ders kitaplarnda bu konuyla ilgili fazla örnek bulunmaz. Örnek olarak, a³a§daki limitlere bakalm.

lim

(x,y,z)→(0,0,0)

x³y²z

x⁴+ y¹²+ z¹⁴ =? lim

(x,y,z)→(0,0,0)

x³y²z²

x⁴+ y¹²+ z¹⁴ =?

Bu rasyonel fonksiyonlarn paydalar yalnzca orijinde sfrdr. Orijine yakla³r- ken limitin ne olaca§ kesinlikle de§i³kenlerin kuvvetlerinde kodlanm³ olmal.

Demek ki yaplacak i³ bu kodlar çözmektir. A³a§daki teorem bu sorunun çözümünü vermektedir.

Teorem: N > 1 olmak üzere, a1, . . . , a_N ≥ 0 negatif olmayan tamsaylar, m1, . . . , mN > 0 pozitif tam saylar, ve c1, . . . , cN > 0 pozitif reel saylar olsun.

Bu durumda lim

(x1,...,xN)→(0,...,0)

x^a₁¹· · · x^a_N^N

c₁x^2m₁ ¹ + · · · + c_Nx^2m_N ^N limiti, ancak ve ancak

N

X

i=1

a_i

2m_i > 1 ise vardr.

Ve e§er bu limit varsa sfrdr.

Not: Teoremin kantna ba³lamadan önce birkaç noktay açkl§a kavu³tura- lm..

•Hemen görülebilece§i üzere ci de§erlerini 1 kabul etmekte bir saknca yoktur;

β_i > 0 ve βi^2mi = c_i olacak ³ekilde seçilmi³ βi saylarn kullanarak Xi = β_ix_i koordinat dönü³ümünü tanmlayabiliriz. Bu yeni koordinatlarda incelemek istedi§imiz limit

(β₁^a1· · · β_N^aN) lim

(X1,...,XN)→(0,...,0)

X₁^a1· · · X_N^aN X₁^2m1 + · · · + X_N^2mN

³eklini alr. (β1^a1· · · β_N^aN) 6= 0oldu§undan, limitin var olup olmad§n anlamak yine ayn a1, . . . , a_N, m₁, . . . , m_N saylarn incelemeyi gerektirir. Yani problem de§i³mez. Bu nedenle kant içinde tüm ci leri 1 kabul edece§iz.

• Açkca görülece§i gibi ai saylarnn tek görevi payn sfra gitme hzn be- lirlemektir. Bu durumda e§er tüm xi leri pozitif seçme ³artn koyarsak ai leri pozitif tamsay yerine pozitif reel saylar olarak almak mümkündür. E§er ai

tamsay de§ilse ve xi < 0 ise x^aiⁱ de§eri exp(ailn x_i) ³eklinde hesaplanr. Bu- nun için de negatif saylarn logaritmasnn tanml oldu§u kompleks saylar teorisine geçmek gerekir ki burada bunu yapmayaca§z. Bu yüzden biz ai > 0 ve tamsay olarak alaca§z.

• N = 1 durumu hem çok kolay hem de biraz farkldr. Bu durumda limitin var olmas için gerek ve yeter ³art, açkça görülece§i üzere, a1

2m₁ ≥ 1 ³artdr.

Bu durumda e§er e³itlik varsa limit 1, mutlak e³itsizlik varsa limit 0 olur.

• Kant sürecinde notasyonda kolaylk olmas bakmndan a³a§daki tanmlar

kullanaca§z:

~x = (x₁, . . . , x_N)

f (~x) = QN

i=1x^a_iⁱ PN

i=1x^2m_i ⁱ

p =

N

Y

i=1

m_i,

p = p/m, i = 1, . . . , N.

Kantn ana kri: Bu teorem için iki kant verece§iz. Birinci kantta, limitini anlamak istedi§imiz f(~x) fonksiyonunu x1-eksenine paralel bir do§ru üzerine kstlayp, bu do§ru üzerinde alaca§ uç de§erleri bulaca§z. Bu do§ruyu x1- eksenine do§ru indirdi§imizde bu uç de§erlerin hangi ³artlarda sfra gitti§ini görece§iz. Bu durumda limit de sfr olacak.

Bir di§er kant da Murad Özaydn'n önerisi üzerine Lagrange çarpanlar tek- ni§ini kullanacak. x1^a1· · · x^a_N^N fonksiyonunu x1^2m1 + · · · + x^2m_N ^N = R > 0 hiper- yüzeyi üzerine kstlayp yine uç de§erlerini bulaca§z. R sfra giderken bu uç de§erlerin hangi ³artlarda sfra gitti§ini ara³traca§z.

Teoremin Kant:

lk olarak limitin var oldu§unu kabul edelim. Bu durumda orijine giden her yol boyunca limitin var olaca§ ve ayn de§eri verece§i a³ikardr. Her bir λ_i > 0 olacak ³ekilde bir λ = (λ1, . . . , λ_N) sabit vektörü seçelim. f fonksiyo- nunu

~

xλ(t) = (λ1t^p1, . . . , λNt^pN), yoluna kstlad§mzda

f ( ~x_λ(t)) =

QN i=1λ^a_iⁱ PN

i=1λ^2m_i ⁱ

!

t^{(a1p1+···+aNpN)−2p}

buluruz. Bu ifadenin t → 0 durumunda bir limitinin olmas ve bu limitin λ dan ba§msz olmas için t nin kuvvetinin sfrdan büyük olmas gerekir. Bu da bize

a1p1+ · · · aNpN − 2p > 0 e³itsizli§ini, ya da p ve pi de§erlerini yerine yazarsak

a1

2m₁ + · · · + aN

2m_N > 1, (*)

e³itsizli§ini verir ki bu da aradmz gerek ³arttr.

“imdi de (*) e³itsizli§ini kabul edelim. Kantn bu bölümünde lim

~

x→0|f (~x)| = 0 oldu§unu gösterece§iz.

Bunun için N üzerinden tüme varm yapaca§z. N = 1 durumu için kantlana- cak fazla bir ³ey olmad§ açktr. Bu durumda f(x1) = x^a₁^1−2m1 oldu§undan (*) e³itsizli§i bize aranan limitin var oldu§unu ve sfr oldu§unu hemen verir.

“imdi N > 1 kabul edelim. Stratejimiz |f(~x)| fonksiyonunu x1 koordinat ek- senine paralel bir do§ruya kstlayp incelemektir. Fonksiyonun bu do§ru bo- yunca maximum de§erini hesaplayaca§z ve bu do§ru orijine do§ru indikçe bu maksimum de§erin sfra gitti§ini görece§iz.

lk önce baz a³ikar indirgemeler yapaca§z. E§er herhangi bir j için a_j 2m_j ≥ 1 ise

|f (~x)| = |x^a₁¹· · · x_j^aj−2mj· · · x^a_N^N| x^2m_j ^j PN

i=1x^2m_i ⁱ ≤ |x^a₁¹· · · x_j^aj−2mj· · · x^a_N^N| olacaktr. Öte yandan (*) e³itsizli§ine göre ya aj − 2m_j > 0 olacaktr ya da j den farkl ba³ka bir i için ai > 0 olacaktr. Her iki durumda da Sk³trma Teoreminden dolay lim

~

x→0|f (~x)| = 0 elde edece§iz.

Demek ki artk 0 ≤ ai < 2m_i, i = 1, . . . , N durumunu incelememiz yeterli olacaktr. Bu durumda da yine (*) e³itsizli§inden en az bir ai nin pozitif olmas

gerekti§ini görürüz. Biz notasyonda kolaylk açsndan 0 < a1 < 2m₁ kabul edelim.

“imdi artk tümevarm hipotezimizi söyleyebiliriz:

d₂

2m₂ + · · · + d_N

2m_N > 1,ise lim

(x2,...,xN)→(0,...,0)

QN i=2|x_i|^di PN

i=2x^2m_i ⁱ = 0 olur;

Burada d2, . . . , dN negatif olmayan tamsaylar, ve m2, . . . , mN pozitif tamsa- ylardr.

Kantn bundan sonras için herhangi bir ~x = (x1, . . . , x_N)vektörü için π(~x) = (|x2|, . . . , |xN|)gösterimini kullanalm.

Bir sabit ~x seçelim ve π(~x) 6= (0, . . . , 0) durumunu ele alalm.

“imdi f(~x) fonksiyonunu

t 7→ (t, |x₂|, . . . , |x_N|), t ∈ [0, ∞)

yoluna kstlayalm. f nin bu kstlanm³ halini φπ(~x) ile gösterelim;

φ_π(~x)(t) = f (t, |x₂|, . . . , |x_N|) =

N

Y|x_i|^ai

! t^a1

 _N

2m , t ∈ [0, ∞).

Tanm kümesi üzerinde φπ(~x)(t) ≥ 0 oldu§u a³ikardr. Ayrca φπ(~x)(0) = 0 ve

t→∞lim φ_π(~x)(t) = 0 oldu§unu göz önüne alrsak φπ(~x)(t) foksiyonunun maksimum de§erine tπ(~x)∈ [0, ∞) gibi bir noktada eri³ece§ini anlarz. Bu durumda

0 ≤ |f (~x)| = φπ(~x)(|x1|) ≤ φπ(~x)(tπ(~x)), ∀|x1| ∈ [0, ∞) oldu§unu görürüz. Artk lim

π(~x)→0φ_π(~x)(t_π(~x)) = 0 oldu§unu göstermektan ba³ka bir i³imiz kalmad.

“imdi do§rudan bir türev hesabyla φπ(~x)(t) fonksiyonunun maksimum de§eri- nin

tπ(~x) =

 a₁ 2m₁− a₁

_2m1^{1 N} X

i=2

x^2m_i ⁱ

!_2m1¹

noktasnda elde edildi§ini ve o noktada φπ(~x)(t)fonksiyonunun de§erinin φ_π(~x)(t_π(~x)) = K g(π(~x))^{(1−2m1a1 )}

oldu§unu buluruz; burada K bir sabittir ve g(π(~x)) fonksiyonu di = ai

1 −_2m^a1

1

, i = 2, . . . , N olacak ³ekilde

g(π(~x)) = QN

i=2|x_i|^di PN

i=2x^2m_i ⁱ

olurak ifade edilir. (Bunu tümevarm hipotezimizle kyaslayn.)

“imdi (*) e³itsizli§inden d₂

2m₂ + · · · + d_N

2m_N = 1

1 −_2m^a1

1

! a₂

2m₂ + · · · + a_N 2m_N



> 1

buluruz ve bu da tümevarm hipotezimiz aracl§yla lim

π(~x)→0φπ(~x)(tπ(~x)) = 0

sonucunu do§urur. Bu da kantmz tamamlar. 

Bu teoremi kullanarak bu çe³it rasyonel fonksiyonlarn diferansiyellenebilir olup olmadklarn da söyleyebiliriz.

Eksonuç: N > 1 alalm. a1, . . . , aN, m1, . . . , mN pozitif tamsaylar, ve c1, . . . , cN

pozitif reel saylar olsun. E§er

N

X

i=1

a_i

2m_i > 1 + max

1≤j≤N{ 1 2m_j} ise,

f (~x) = QN

i=1x^a_iⁱ PN

i=1c_ix^2m_i ⁱ fonksiyonu orijinde C¹ dir.

Kant: f fonksiyonunun j inci ksmi türevini hesaplayarak 

∂f

∂x_j    

≤ |x_j|^aj−1 QN

i=1,i6=j|x_i|^ai PN

i=1c_ix^2m_i ⁱ (a_j+ 2m_j)

oldu§unu görürüz. “imdi teoremi uygulayarak ksmi türevlerin orijindeki sü-

reklili§ini gösterebiliriz. 

Not: Teoremin kant srasnda (λ1t^p1, . . . , λ_Nt^pN) yolunun çok özel oldu§unu gözlemledik. Fonksiyonun limitinin olup olmamas fonksiyonun bu yola kst- lanm³ halinin limiti olup olmamasna ba§lyd. Acaba her limit problemi için buna benzer bir kral yolu var mdr?

Lagrange çarpanlar yöntemiyle ba³ka bir kant: Bu teoremin ayn za- manda Lagrange Çarpanlar yöntemiyle de kantlanabilece§i krini Murad Özay- dn'dan aldm. Bu kri kullanarak a³a§daki kant sunuyorum..

Yukardaki kantta oldu§u gibi genelli§i kaybetmeden 0 ≤ ai < 2m_i, i = 1, . . . , N ve a1 > 0oldu§unu kabul edebiliriz. Ayrca biliyoruz ki e§er ~x vektörü x₁ = 0 ³artn sa§layan bir yol boyunca orijine inerse, o yol boyunca f(~x) in limiti sfr olur. Bu nedenle e§er lim

~

x→(0,...,0)f (~x)var ise bu limit sfr olmal.

“imdi iki fonksiyon tanmlayalm.

F (~x) = x^a₁¹· · · x^a_N^N, ve G(~x) = x^2m1 ¹ + · · · + x^2m_N ^N.

R > 0 pozitif bir reel say olsun ve ³u soruyu soralm: F (~x) fonksiyonunu G(~x) = R hiperyüzeyi üzerine snrlad§mzda elde edece§i en küçük ve en büyük de§erler nelerdir? Her R > 0 için hesaplayaca§mz bu uç de§erlerin R sfra giderkenki limitinin, P^N_i=12m^ai_i > 1 ³art altnda, sfr oldu§unu göstere- ce§iz ve bu da teoremin bir ba³ka kant olacak.

Bu probleme Lagrange Çarpanlar yöntemini uygulayarak a³a§daki e³itlikleri elde ederiz.

a_ix^a₁¹· · · x^a_iⁱ⁻¹· · · x^a_N^N = 2λm_ix^2m_i ⁱ⁻¹, i = 1, . . . , N.

Burada e§er baz i ler için ai < 1 ise, biz de xi 6= 0 almak zorunda kalrz ki bu bizi genellikten uzakla³trmaz çünkü ai > 0ve xi = 0ise F (~x) = 0 olur. Bu da limitin sfr olaca§ beklentisiyle uyu³ur. Netice olarak ai lerin büyüklü§üne bakmadan yukardaki e³itliklerin her iki taraarn xi ile çarpalm.

a_iF (~x) = 2λm_ix^2m_i ⁱ, i = 1, . . . , N

elde ederiz. Az önce gözlemledi§imiz gibi baz xi lerin sfr olmas F (~x) = 0 verece§i için ve bu de§erin de arad§mz en küçük ve en büyük de§erlerden biri olmad§n gördü§ümüze göre her i için xi 6= 0 kabul edebiliriz. O zaman bu yeni e³itliklerin her birini 2mix^2m_i ⁱ ile bölüp λ dan kurtularak

a_i 2mi

F (~x) x^2m_i ⁱ = a₁

2m1

F (~x)

x^2m₁ ¹ i = 2, . . . , N

yazabiliriz. F (~x) in sfrdan farkl oldu§u durumlar inceledi§imiz için her iki taraftan F (~x) leri götürerek

x^2m_i ⁱ = a_im₁

a₁m_i x^2m₁ ¹, i = 2, . . . , N (**) elde ederiz. Bu denklemleri taraf tarafa toplayarak ve G(~x) = R oldu§unu hatrlayarak

x^2m₁ ¹ 1 + m1

a₁

N

X

i=2

ai

m_i

!

= R

elde ederiz. Parantez içindeki ifadenin sfrdan farkl bir sabit oldu§unu göz- lemleyerek

α = 1 + m₁ a₁

N

X

i=2

a_i m_i

!⁻¹

diyelim. Bu durumda önce

x^2m₁ ¹ = αR, ve sonra da (**) e³itli§ini kullanarak

x^2m_i ⁱ = a_im₁

a₁m_i αR, i = 2, . . . , N elde ederiz.

Lagrange Çarpanlar yöntemine göre F (~x) fonksiyonunun G(~x) = R hiperyü- zeyi üzerindeki kritik noktalarn artk ³öyle yazabiliriz:

x₁ = ±α^2m11 R^2m11 and xi = ± a_im₁ a₁m_i α

 ¹

2mi R^2mi1 , i = 2, . . . , N.

Ksa bir incelemeyle bu kritik noktalarn hepsinin |F (~x)| fonksiyonunun en bü- yük de§erlerini verdi§ini görebiliriz. Bu en büyük de§erlerin hepsinin birbirine e³it oldu§unu ve

|F (~x)| = |x^a₁¹· · · x^a_N^N| = AR^{2m1a1 +···+2mNaN} ,

³eklinde yazlabildi§ini de görebiliriz. Burada

A = A₁· · · A_N, ve A1 = |α^2m11 |, A_i = | a_im₁ a₁m_i α

 ¹

2mi |, i = 2, . . . , N

olarak alnm³tr.

“imdi tekrar kendi f(~x) fonksiyonumuza dönersek, |f(~x)| fonksiyonunun G(~x) = R hiperyüzeyi üzerinde alaca§ en büyük de§ere de MR dersek,

MR= |F (~x)|

G(~x) = AR^{2m1a1 +···+2mNaN −1} oldu§unu görürüz.

Artk de§i³kenlerin kuvvetlerinin limit üzerindeki etkisini inceleyebiliriz. E§er PN

i=1 ai

2mi = 1ise, MRde§eri, sfrdan fakl olan A sabitine e³it olacak ve R sfra giderkenki limiti A olacak. Oysa ba³ka yollardan bu limitin sfr olabildi§ini görmü³tük. ki farkl yoldan iki farkl limit buldu§umuza göre bu durumda limit yoktur.

Bu son durumu da inceledikten sonra artk R sfra giderken limitin var olabil- mesi için gerek ve yeter ³artn P^N_i=12m^ai_i > 1 oldu§unu ve o durumda da limitin

sfr oldu§unu rahatca görürüz. 

Bu da teoreme ilginç bir alternatif kant olarak aklda tutulabilir.

Biraz da mizah için bu ba§lantya bakabilirsiniz. ¨^

Ali Sinan Sertöz

Bilkent Üniversitesi, Matematik Bölümü, 06800 Ankara sertoz@bilkent.edu.tr