BİR PARAMETRELİ LORENTZİYAN HAREKET ÜZERİNE

ON 1-PARAMETER MOTION IN LORENTZ SPACE E

₁³

Bahaddin BÜKCÜ*

*Gaziosmanpaşa Üniversitesi Matematik Bölümü, 60250 Taşlıçiftlik – Tokat, TÜRKİYE, e-mail: bbukcu@yahoo.com

ABSTRACT

In this study, using Cayley Formula [1], A matrix-positive semi-orthogonal- is obtained from Darboux matrix [2] of α time-like curve. Taking c=αand by the equality

c Ax

x= ₀+ , an one parameter H/H^’ Lorentzian motion is specified. It is derived Darboux vectors of this motion. And then the relation between Darboux matrices and curvature matrix is given. Moreover, it is shown α time-like curve must be a general helix on condition that components of Darboux vectors (matrices) are equal.

Keywords: Cayley formula, Curvature matrix, Darboux vectors, General helix.

BİR PARAMETRELİ LORENTZİYAN HAREKET ÜZERİNE

ÖZET

Bu çalışmada, bir α time-like eğrisinin Darboux [2] vektöründen, Cayley formülü [1]

yardımıyla, pozitif semi ortogonal, A matrisi elde edildi. c=α alınarak c

Ax

x= ₀+ denklemiyle bir parametreli H/H′Lorentziyan hareketi tanımlandı. Bu hareketin, Darboux vektörleri (matrisleri) bulundu. Daha sonra Darboux vektörü ile eğrilikler matrisi arasındaki bağıntı verildi. Ayrıca, Darboux vektörlerinin (matrislerinin) bileşenlerinin eşit olması durumunda,α time-like eğrisinin, bir genel helis olması gerektiği gösterildi.

Anahtar Kelimeler: Cayley formülü, Eğrilikler matrisi, Darboux vektörleri, Genel helis.

1. TEMEL KAVRAMLAR

Tanım 1.1. x=( , , )x x x_{1 2 3} ve y=( , , )y y y_{1 2 3} ∈E³olsun.

3 3

1 1 2 2 3 3

, :

( , ) ,

E E R

x y x y x y x y x y

× ⎯⎯→

⎯⎯→ = − + +

metrik tensörüne sahip olan E uzayına, Minkowski 3-uzayı denir ve ³ E ile gösterilir [3]. ₁³

) ( )

) , (

: ^{3 3 3}

y x y x y x y x y

x

E xE

E

L L

∧

=

∧

=

∧

=

∧

⎯→

⎯

⎯→

⎯

∧

ε ε ε

şeklinde tanımlanan bir vektörel çarpım işlemine E₁³ uzayında vektörel çarpım işlemi denir. x vektörüne karşılık gelen matris X ise her ∀y∈E₁³için, X.y=x∧_Ly dir. Burada

) 1 , 1 , (−1

= dia

ε şeklinde bir köşegen matris ve “∧” notasyonu, 3-boyutlu Öklid uzayındaki standart vektörel çarpım işlemidir.

Tanım 1.3. E₁³ Lorentz uzayında A⁻¹=εA^Tε eşitliğini sağlayan A matrisine semi- ortogonal matris denir. Burada ε= dia(−1,1,1)şeklinde bir köşegen matristir.

Ayrıca, S^T =−εSε eşitliğini sağlayan S matrisine de Lorentz anlamında anti-simetrik matris veya semi-skew matris denir. Ayrıca n=3 ve S↔s ise S.s=0 dır [2].

Teorem 1.1. α , Lorentz manifoldunda bir time-like (zamansı) eğri ve n=3 olsun. α ’nın Frenet vektör alanları; V₁, zamansı vektör alanı V₂ve V₃ uzaysı vektör alanları için, Frenet denklemlerini aşağıdaki gibi yazabiliriz [3].

2 2 3 2 2 1 1 2 2 1

1 1 1

1V kV , D V kV kV , D V kV

D_V = _V = + _V =− .

2. BİR PARAMETRELİ LORENZİYAN HAREKET

Teorem 2.1. H hareketli, H ′, sabit uzaylar ve x₀, H da sabit bir vektör olsun.

x=Ax₀+c (2.1)

denklemiyle tanımlanan, H/H′ bir parametreli Lorentziyan harekette; Ω=A&A⁻¹eşitliği ile tanımlanan matris, bir semi-anti-simetrik matristir.

İspat. Hareketin dönme kısmı olan x=Ax₀ eşitliğinden x₀ =A⁻¹x çekilir. Sonra eşitliğin türevi alınır ve Ω=A&A⁻¹ denilirse, x&= Ωx bulunur. A semi-ortogonal bir matris ise

1 T

A⁻ =εA ε dir. Basit bir hesaplama ile,

^{ε =}

( )

^{ATε A} (2.2) bulunur. (2.2) eşitliğinin diferansiyeli alınır ve ε ile çarpılırsa, A

A&^T = − A^T

ε

A&A⁻¹

ε

elde edilir. Doğrudan bir hesaplama ile,

−1

= Ω A&A

T T T =(A⁻¹) A&

Ω

( ) ( )

ε ε ε ε

ε ε Ω

−

=

−

= ^{− −}

) (

1 1

T T T

A A

A A A

A &

ε ε

ε ε

ε ε ε ε

Ω

−

=

Ω

−

=

Ω

−

=

−1

) ( AA

A A ^T

elde edilir. Son eşitlik bize Ω matrisinin Lorentz anlamında anti-simetrik olduğunu gösterir.

Teorem 2.2. E₁³ Lorentz uzayında H=Sp

{

α(s);T,N,B

}

veH′=Sp

{

O; e₁,e₂,e₃

}

sırası ile hareketli ve sabit uzayları göstersinler. (2.1) ile belirlenen Lorentziyen hareketin semi- ortogonal matrisi A=

[

T N B

]

ve c ötelemesi de c=α(s) ile gösterilsin.

x(s)=A(s)x₀(s)+c(s) (2.3) denklemiyle α eğrisi boyunca bir katı cismin bir parametreli bir Lorentziyen hareketi verilmiş olsun. (2.3) deki hareketin sabit ve hareketli uzaylara göre Darboux vektörleri sırası ile,

( ) (

2 1 2 1 2 1

)

2 1 2 2

1 , ,

1

2 −k +k −k& k&k −kk& k&

= ⁻

ω ve

( ) (

2 1 2 1 2 1

)

2 1 2 2

1 , ,

1

2 k k k kk kk k

w= − + ⁻ −& & − & &

dır.

İspat. s space-like vektörüne (eksenine) karşılık gelen, semi anti-simetrik matris S ise bu durumda E₁³, Lorentziyen uzayındaki Cayley formülünden

( )

2 2

1 2 1 1 2

2 2 1 2 2

1 2 1 1 2 2

2 2

1 2 2 1 2

1 2 2

2 1 2 1 2

2 2 1

k k k k k

A k k k k k k

k k k k k

−

⎡ + + ⎤

⎢ ⎥

= − + ⎢ + − ⎥

⎢ − − − − ⎥

⎣ ⎦

semi-ortogonal matrisi elde edilir [1]. Ayrıca α eğrisinin Frenet vektörleri,

2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2

(1 , 2 , 2 ), (2 , 1 , 2 ), (2 , 2 , 1 )

T = +k +k k − k k N= k +k −k − k B= k k k −k −k

dır. Uzun ve doğrudan bir hesaplama ile,

[ ]

( )

[ ]

^⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− +

−

−

−

−

+

−

−

+

−

− +

= ⁻

2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2

1 2 1

2 1 1 2 2

2 1 1 2

2 1 1

2 1 2 1 2

2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2

2 2

2 2

2

2 2

2

k k k k k k k k k k k n k n

k k m k k

k k k n k k

k k k k

k k m k

n k k m k k k

k k m k k k k k k k k A

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

& δ

(2.4)

türev matrisi bulunur, burada

22 12

1−k +k

δ =

,

m=1+k₁²+k₂²

,

m=1−k₁²+k₂²

dır. Ω=A&A⁻¹ olsun

.

Ω semi-skew matrisine, A’ ya karşılık gelen hareketin sabit uzaya (yani H ′ ye ) göre Darboux matrisi denir. Şimdi H/H′hareketinin Darboux matrislerini hesaplayalım:

1 T

AA⁻ A Aε ε Ω = & = &

eşitliğinin sağ tarafı

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

= Ω

0 )

(

0

) (

0

2 2 1 2 1

2 1

2 1 2 1 1

k k k k k

k k

k k k k k

&

&

&

&

&

&

&

&

(2.5)

şeklinde bulunur. (2.3) ile belli olan semi anti-simetrik matrisine karşılık tutulan vektör, sabit uzayın

( ) (

2 1 2 1 2 1

)

2 1 2 2

1 , ,

1

2 −k +k −k^& k^&k −kk^& k^&

= ⁻

ω (2.6)

Darboux vektörüdür. H hareketli uzayındaki H =Sp

{

α(s),T,N,B

}

çatısına göre Darboux vektörü,

ω

−1

w= A eşitliğinden

( ) (

2 1 2 1 2 1

)

2 1 2 2

1 , ,

1

2 k k k k k k k k

w = − + ⁻ − & & − & &

olarak bulunur.

Teorem 2.3. H’ nın H ′ ye hareketini veren B matrisi ile, hareketin Ω Darboux matrisi arasında

(

^{−k +k}

) (

^BB&−B&B+B&

)

=

Ω 21 ₁² ₂^{2 −1} ve ⁼

(

^−k2^+k2²

)

⁻¹

(

^{b∧b& +b&}

)

1 1

ω 2

bağıntıları vardır. Burada b ve b& sırası ile B ve B& anti-simetrik matrislerinin üçer elemanından meydana gelen vektörlerdir.

İspat. Doğrudan bir hesaplama ile,

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

2 2 2

1

2 2 1 1

2 1 1

1

2 2 1

1

2 2 1

1

0

0 0

0

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

k k k

k

k k k k

k k k

k k

k k

k k

k k

k B

B

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

bulunur. Benzer şekilde,

( )

( )

^⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

= +

−

0 0

0

2 2 1 2 1

2 1

2 1 2 1 1

k k k k k

k k

k k k k k B

B B B B

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

(2.7)

bulunur. (2.7) eşitliği ile

(

2 2²

)

^{1 2}

1 2

1

2 −k +k ⁻ = δ⁻ ile çarpılırsa,

( ) ( )

( )

^⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

= +

− ⁻

−

0 0

0 2

2

2 2 1 2 1

2 1

2 1 2 1 1 2

2

k k k k k

k k

k k k k k B

B B B B

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

& δ

δ

(2.8)

elde edilir. (2.8) eşitliğinin sağ tarafı (2.5) eşitliğinde Ω olarak bulunmuştu. Böylece

(

−k +k

) (

BB&−B&B+B&

)

=

Ω 21 ₁² ₂^{2 −1}

şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde

( )

(

1 2 1 2

) (

2 1

)

2 1 2 1

, 0 , 0 , ,

0

0 , ,

0

k k k

k k k b b b

k k k k b b

&

&

&

&

&

&

&

&

&

− +

−

= +

∧

−

=

∧

2δ⁻2

(

b∧b&+b&

)

=2δ⁻2

(

−k&2,k&1k2−k1k&2,k&1

)

elde edilir. Buradan (2.9) eşitliğinin sağ tarafındaki vektörün eşlendiği matris (2.8) eşitliğinin sağ tarafındaki matristir. Bu nedenle,

(

^{−k +k}

) (

^BB&−B&B+B&

)

=

Ω 21 ₁² ₂^{2 −1}

dır.

ω ve w vektörleri arasındaki ilişki aşağıdaki teoremle verilmiştir.

Teorem 2.4. H/H′hareketinin sabit ve hareketli uzaylara göre Darboux vektörleri sırasıyla ω ve w olsunlar. ω=w ise α eğrisi bir eğilim çizgisi (helis) dir.

İspat. Her s∈I⊂R

,

k₁(s) ve k₂(s) eğrilikleri sabit olmayan ve yay parametresine göre

(

−k&2,k&1k2−k1k&2,k&1

) (

= −k&2,k1k&2−k&1k2,k&1

)

⇔k&1k2−k1k&2 =k1k&2−k&1k2

⇔k&₁k₂−k₁k&₂ =0

0

2 1⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⇔ ⎛ k k ds

d

⇔ =

2 1

k

k sabit (2.9)

bulunur. (2.9) eşitliği, α time-like eğrisinin bir eğilim çizgisi olduğunu gösterir.

KAYNAKLAR

[1] Bükcü, B., Lorentz Uzayında Cayley Formülü ve Uygulamaları, Doktora Tezi, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, (2003).

[2] Uğurlu, H.H., “On the Geometry Of Timelike Surfaces”, Communications, Ankara University, Faculty Of Sciences Dept. Of Math. Seeries A1,Vol.46 pp.211-223 (1997).

[3] O’Neill, B.,” Semi-Riemannian Geometry with Application to Relativity”, Academic Press, New York, 278-292 (1983).

[4] Ekmekçi, N. & İlarslan,” K. Higher Curvatures in Lorentzian Space”, Jour. of Math.

and Comp. Sci. (Math. Ser.) Vol.11, No.2; (1998), 97-102.