MATEMAT˙IK II Genelles¸tirilmis¸ ˙Integraller

Ankara ¨Universitesi

10. Hafta

4.3. Birinci C¸ es¸it Genelles¸tirilmis¸ ˙Integraller ˙Ic¸in Yakınsaklık Testleri

Teorem 4.3.1. (Kars¸ılas¸tırma Testi)

f , g :[a,+∞) → [0,+∞)

fonksiyonları[a,+∞)aralı ˘gında s ¨urekli vex∈ [a,+∞)ic¸in 0≤f(x) ≤g(x)

olsun. Bu durumda

(i)

Z+∞ a g

(x)dx integrali yakınsak ise

Z+∞ a f

(x)dx integrali de yakınsaktır.

(ii)

Z+∞

a f(x)dx integrali ıraksak ise

Z+∞

¨

Ornek 4.3.2.

As¸a ˘gıdaki integrallerin yakınsaklık durumlarını inceleyiniz.

4.3. Birinci C¸ es¸it Genelles¸tirilmis¸ ˙Integraller ˙Ic¸in Yakınsaklık Testleri

Teorem 4.3.3. (Kars¸ılas¸tırma Testinin Limit Formu)

f :[a,+∞) → [0,+∞)

¨

Ornek 4.3.4.

As¸a ˘gıdaki integrallerin yakınsaklık durumlarını inceleyiniz.

4.3. Birinci C¸ es¸it Genelles¸tirilmis¸ ˙Integraller ˙Ic¸in Yakınsaklık Testleri

Not 4.3.5.

Z a

−∞f(x)dx (4.6)

s¸eklindeki bir integralin yakınsaklık durumunu incelerken ilk olarakx= −t de ˘gis¸ken de ˘gis¸tirmesi yapılır ve

Z +∞

−a f

(−t)dt (4.7)

¨

Ornek 4.3.6.

Z 0

−∞x 5_e−x_dx

integralinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz.

4.4. ˙Ikinci C¸ es¸it Genelles¸tirilmis¸ ˙Integraller ˙Ic¸in Yakınsaklık Testleri Teorem 4.4.1.

f , g :[a, B) → [0,+∞)

fonksiyonları her[a, b] ⊂ [a, B)aralı ˘gında s ¨urekli, lim x→B−f(x) = +∞ ve herx∈ [a, B)ic¸in 0≤f(x) ≤g(x) olsun. Bu durumda (i) ZB

a g(x)dx integrali yakınsak ise

ZB

a f(x)dx integrali de yakınsaktır.

(ii)

ZB a f

(x)dx integrali ıraksak ise

ZB a g

Not 4.4.2.

f fonksiyonunun sing ¨uler noktasının aralı ˘gın sol uc¸ noktası veya aralı ˘gın bir ic¸ noktası olması durumunda da benzer test

verilebilir. ¨ Ornek 4.4.3. Z 2 1 dx √ x3₋₁

integralinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz.

4.4. ˙Ikinci C¸ es¸it Genelles¸tirilmis¸ ˙Integraller ˙Ic¸in Yakınsaklık Testleri

Teorem 4.4.4. (Kars¸ılas¸tırma Testinin Limit Formu)

f :[a, B) → [0,+∞)

fonksiyonu her[a, b] ⊂ [a, B)aralı ˘gında s ¨urekli, lim x→B−f(x) = +∞ ve lim x→B−(B−x) p f(x) =L olsun. Bu durumda

(i) 0≤L< +∞ ve p<1 iseR_aBf(x)dx integrali yakınsaktır. (ii) 0<L≤ +∞ ve p≥1 iseRB

f :(A, b] → [0,+∞)

fonksiyonu her[a, b] ⊂ (A, b]aralı ˘gında s ¨urekli ve lim x→A+f(x) = +∞ olması durumunda lim x→A+(x−A) p f(x) =L ifadesini dikkate alarak benzer test verilebilir.

4.4. ˙Ikinci C¸ es¸it Genelles¸tirilmis¸ ˙Integraller ˙Ic¸in Yakınsaklık Testleri

¨

Ornek 4.4.6.

As¸a ˘gıdaki integrallerin yakınsaklık durumunu inceleyiniz.