2.2.2 Key… Basamaktan · Integraller:

2.2.2 Key… Basamaktan · Integraller:

n katl¬integrasyon kavram¬n¬, n nin tamsay¬olmayan de¼ gerlerine göre geni¸ sletmek için f ^{( n)} (t) Cauchy formülü ile ba¸ slamal¬y¬z. Bu formüldeki tamsay¬n yerine reel p > 0 al¬rsak

a D _t ^p f (t) = 1 (p)

Z t

a

(t ) ^{p 1} f ( )d

elde ederiz.

Teorem: t 0 için f (t) sürekli türevlenebilir olsun. Bu durumda lim p!0a D _t ^p f (t) = f (t)

dir. Dolay¬s¬yla

a D _t ⁰ f (t) = f (t) dir

Teorem:

E¼ ger , t a için f (t) sürekli ise yukar¬da tan¬mlanan key… reel basamakl¬integrasyon

a D _t ^p ( _a D _t ^q f (t)) = _a D _t ^{p q} f (t) e¸ sitli¼ gini sa¼ glar.

Aç¬kça p ve q yer de¼ gi¸ stirebilir. Yani

a D _t ^p ( _a D _t ^q f (t)) = _a D _t ^q ( _a D _t ^p f (t)) = _a D _t ^{p q} f (t) dir.

Bu durum, tamsay¬basamaktan türevlerin ¸ su özelli¼ gi ile benzerdir:

d ^m

dt ^m ( d ⁿ f (t)

dt ⁿ ) = d ⁿ

dt ⁿ ( d ^m f (t)

dt ^m ) = d ^m+n f (t) dt ^m+n : Key… Basamaktan Türevler:

(k n) tamsay¬basamaktan türevler için olan a D _t ^p ( _a D _t ^q f (t)) gös- terimi, tamsay¬olmayan basamaktan diferensiyel kavram¬na geni¸ sletmek için bize yard¬mc¬ olur. Bu durumda k tamsay¬s¬ ve n tamsay¬ yerine reel olarak k > 0 basamaktan diferensiyel elde ederiz. Bu bize

a D _t ^k f (t) = 1 ( )

d ^k dt ^k

Z t

a

(t ) ¹ f ( )d (0 < 1)

verir. Burada k¬s¬tlama sadece içindir ve bu > 0 olmas¬d¬r. Ancak, bu k¬s¬tlama yerine genelli¼ gi bozmadan 0 < 1 durumu al¬nabilir.

16

p = k ile gösterilirse a D _t ^k f (t) ifadesini

a D _t ^p f (t) = 1 (k p)

d ^k dt ^k

Z t

a

(t ) ^{k p 1} f ( )d ; (k 1 p < k) veya

a D _t ^p f (t) = d ^k

dt ^k ( a D _t ^(k+p) f (t)); (k 1 p < k)

¸ seklinde yazabiliriz.

E¼ ger p = k 1 ise, (k 1) inci basamaktan bilinen tamsay¬basamak- tan türev elde ederiz.

a D _t ^{k 1} f (t) = d ^k

dt ^k ( _a D _t ^{(k (k 1))} f (t))

= f ^{(k 1)} (t):

Ayr¬ca _dt ^d

( ^d

_dt ^{f (t)}

) den p = k 1 ve t > a için

a D _t ^p f (t) = d ^k

dt ^k ( _a D ⁰ _t f (t)) = d ^k f (t)

dt ^k = f ^(k) (t)

oldu¼ gunu görürüz. Bu da t > a için p = k > 1 basamaktan Riemann- Liouville kesirli türevi olarak bilinen k. basamaktan türeve denk gelmek- tedir.

2.2.3 Riemann-Liouville Kesirli Türevinin Özellikleri:

1) p > 0 ve t > a için

a D ^p _t ( _a D _t ^p f (t)) = f (t)

dir. Bu da Riemann-Liouville kesirli diferansiyel operatörün ayn¬ p.

basamaktan Riemann-Liouville kesirli integral operatörünün sol tersi an- lam¬na gelmektedir.

2) k 1 p < k olmak üzere

a D _t ^p ( _a D _t ^p f (t)) = f (t) X k

j=1

a D ^{p j} _t f (t) _t=a (t a) ^{p j} (p j + 1) dir.

3) f (t) sürekli olmak üzere

a D _t ^p ( _a D _t ^q f (t)) = _a D ^{p q} _t f (t) d¬r. E¼ ger p q 0 ise a D ^{p q} _t f (t) türevi mevcuttur.

4)

a D _t ^p ( _a D _t ^q f (t)) = _a D ^{q p} _t f (t) X k

j=1

a D _t ^{q j} f (t) _t=a (t a) ^{p j} (1 + p j) dir.

17