ELEKTROMAGNETİK TEORİ

2.3.2 Potansiyelle İlgili Eleştiriler

(i) İsim. Bir kere "potansiyel" kelimesi uygunsuz bir isimlendirmedir, çünkü kaçınılmaz olarak size potansiyel enerjiyi anımsatmaktadır. Bu özellikle kafa karıştırıcıdır, çünkü Kısım 2.4'de göreceğiniz gibi

"potansiyel" ile "potansiyel enerji" arasında bir ilişki vardır.

Yapabileceğim en iyi şey son kez bir defa daha "potansiyelin" ve

"potansiyel enerjinin" tamamen farklı terimler olduğunu, böylece, farklı isimler almaları gerektiğini vurgulamaktır. Bu arada, üzerinde potansiyelin sabit olduğu bir yüzeye bir eş potansiyel adı verilir.

(ii) Potansiyel formülleştirmesinin artısı. V 'yi bilirseniz, kolaylıkla E 'yi bulabilirsiniz yalnızca gradyan alarak: E  V

. Üzerinde düşündüğünüzde bu çok olağanüstüdür, çünkü E

vektörel bir niceliktir (üç bileşenli), fakat V ise bir skalerdir (bir bileşenli). Nasıl oluyor da tek bir fonksiyon üç bağımsız fonksiyonun taşıdığı bilgiyi içerebiliyor?

Bunun yanıtı E

'nin üç bileşeninin öyle gözüktüğü kadar pek bağımsız olmadığıdır, gerçekte bu bileşenler bizim başlangıçtaki koşulumuz olan

0 E

  

koşuluna bağlıdır. Bileşenler cinsinden yazarsak,

E^x E^y , E^z E^y, E^x E^z

y z y z z x

 

   

  

     

E

çok özel bir çeşit vektördür. Potansiyel formülleştirmesinin yaptığı bir vektör problemini, bileşenlerle boğuşmaya gerek kalmadan, bir skaler problemine indirgeyerek bu özellikten azami ölçüde yararlanmaktır.

(iii) Referans noktası O . Referans noktası O 'nın seçimi keyfi olduğu için potansiyelin tanımında zorunlu bir belirsizlik vardır. Referans noktasını değiştirmek potansiyele bir K sabitinin eklenmesi anlamına gelir:

 

^{r O r}

^{ }

O O O

V r E dl E dl E dl K V r

 

          

  

  

burada K 'lar E

'nin eski referans noktası O 'dan yeni referans noktası O'ye olan çizgi integralidir. Elbette, V 'ye bir sabitin ilavesi iki nokta

arasındaki potansiyel farkını etkilemeyecektir:

^{V b}

 

^{V a}

 

^{V b}

 

^{V a}

 

Çünkü K 'lar birbirini götürür. (Gerçekte ise, zaten Denk. 2.22'den potansiyel farkının O 'dan bağımsız olduğu önceden açıktı, çünkü potansiyel farkı O 'ya başvurmaksızın a'dan b'ye E

'nin çizgi integrali şeklinde yazılabilir.) Bu belirsizlik V 'nin gradyanını da etkilemez:

V V

Çünkü bir sabitin türevi sıfırdır. O sebeple yalnızca kendi referans noktalarının seçimi yönüyle fark eden bu potansiyellerin hepsi aynı E alanına karşılık gelir.

Açıkçası böyle bir potansiyelin fiziksel bir önemi yoktur, çünkü verilen herhangi bir noktadaki değerini onun uygun şekilde yeniden seçimi ile istediğimiz değere ayarlayabiliriz. Bu anlamda daha çok rakıma benzemektedir: Size Denver'in ne kadar yüksek olduğunu sorsam olasılıkla bana onun deniz seviyesinden olan yüksekliğini söyleye- ceksiniz, çünkü burası uygun ve geleneksel bir referans noktasıdır. Fakat biz rakımı Washington D.C.'nin veya Greenwich'in ya da başka herhangi bir yerin üstünden itibaren ölçmek için de anlaşabilirdik. Bu ise deniz seviyesi ölçümlerimize sabit bir miktarı eklerdi (veya daha çok çıkarırdı), fakat gerçek dünya hakkında hiçbir şeyi değiştirmezdi. Gerçekten

ilgilendiğimiz tek nicelik iki noktanın rakımları arasındaki farktır ve bu ise referans seviyeniz neresi olursa olsun aynıdır.

Ancak, bunu söylemekle birlikte durgun elektrikte O için kullanılacak doğal bir yer vardır -rakım için deniz seviyesinin benzeri- ve bu yükten sonsuz uzaklıktaki bir noktadır. O zaman, genellikle

"potansiyelin sıfırını sonsuzda alırız." ^_^{V O}

 

^0_ olduğundan dolayı, bir referans noktasının seçimi V 'nin sıfır olacağı bir yer seçmeye eş değerdir.) Fakat bu anlaşmanın yürümediği özel bir halin varlığı konusuna dikkat edelim: yük dağılımının kendisinin sonsuza uzanması hali.

Örneğin, düzgün yüklü bir düzlemin alanı, Örnek 2.4'de bulduğumuz gibi,



^{ 20}



^nˆ'dir; O   koyarsak, bu taktirde düzlemin yukarısında z yüksekliğindeki potansiyel:

   

0 0

1 1

2 2

z

V z dz  z

 



    

olur. Çözüm ise basitçe başka bir referans noktası seçmektir (bu problemde başlangıç noktasını kullanabilirdiniz.) Güçlüğün yalnızca ders kitabı problemlerinde ortaya çıktığına dikkat ediniz; "gerçek hayatta"

sonsuza kadar giden yük dağılımı gibi bir şey yoktur ve sonsuzu daima referans noktamız olarak kullanabiliriz.

(iv) Potansiyel toplanabilirlik ilkesine uyar. Elektrodinamiğin orijinal toplanabilirlik ilkesi bir Q deneme yükü üzerindeki kuvvetle ilgilidir. Q üzerindeki toplam kuvvetin tek tek kaynak yükler üzerindeki kuvvetlerin vektör toplamına eşit olduğunu söyler:

1 2 ...

F F F 

Hepsini Q ile bölerek, elektrik alanın da toplanabilirlik ilkesine uyduğunu buluruz:

1 2 ...

E E  E 

Ortak referans noktasından r'ye kadar integral aldığımızda, aynı

zamanda potansiyelin de böyle bir ilkeyi sağladığı görülür:

1 2 ...

V V V  

Yani verilen herhangi bir noktadaki potansiyel ayrı ayrı tüm nokta yüklerden gelen potansiyellerin toplamıdır. Yalnızca bu kez bu, bir vektör toplamı değil, normal bir toplamdır ve bu özellik potansiyelle çalışmayı büyük ölçüde kolaylaştırır.

(v) Potansiyel birimleri. Bizim birimlerimizde, kuvvet Newton (N) olarak ve yük Coulomb (C) olarak ölçülür, bu yüzden elektrik alanlar Coulomb başına Newton (N/C) olur. Bundan dolayı, potansiyel Coulomb başına Newton -metre (Nm/C) veya Coulomb başına Joule (Joule/C) cinsinden

ölçülür. Coulomb başına bir Joule (Joule/C=Volt) bir Volt denir.

Örnek 2.6

Düzgün yüzey yükü taşıyan R yarıçaplı küresel bir kabuğun (Şek. 2.31) içinde ve dışında potansiyeli bulunuz. Referans noktasını sonsuzda alınız.

Çözüm: Gauss yasasından, dışarıdaki alan

2 0

1 ˆ

4

E q r

 



r

olup burada q küre üzerindeki toplam yüktür, içeride alan sıfırdır. Küre dışındaki noktalar için



^{r R}



^,

 

2

0 0 0

1 1 1

. 4 4 4

r r r

O

q q q

V r E dl dr

r r r

 _ ^  _ 

        

 

dir. Küre içindeki potansiyeli bulmak için



^{r R}



, integrali iki kısma ayırmalıyız, her bir bölgede oradaki alanı kullanarak

 

2

^{ }

0 0 0

1 1 1

0 0

4 4 4

R r R

R

q q q

V r dr dr

r r R

 _ ^{ }  _ 

        

buluruz.

Kabuğun içinde alanın sıfır olmasına rağmen potansiyelin sıfır olmadığına dikkat ediniz. Emin olmak için, bu bölgede V bir sabittir,

böylece  V 0

'dır -önemli olan da budur. Bu tip problemlerde, daima referans noktasından işe başlamalısınız; burası potansiyelin "sabitlendiği"

bir yerdir. Küre içindeki potansiyeli yalnızca oradaki alan cinsinden bulabilecekmişsin gibi zannedebilirsiniz, fakat bu yanlıştır: Küre içindeki potansiyel aynı zamanda dışarıda olup bitene de bağlıdır. Düzgün olarak yüklenmiş ikinci bir kabuğu dışarıya R  yarıçapına yerleştirseydim, R R 'nin içindeki alan halen sıfır olsa bile potansiyelde değişme olurdu.

Verilen bir noktanın dışına yerleştirilen (yani daha uzak r 'ye) yükün, küresel veya silindirik olarak simetrik olmak koşuluyla, bu noktada hiçbir net alan oluşturmadığı Gauss yasası tarafından garanti edilir; fakat

referans noktası olarak sonsuz kullanıldığında potansiyel için buna benzer herhangi bir kural yoktur.

2.3.3 Poisson Denklemi ve Laplace Denklemi

Kısım 2.3.1'de elektrik alanın skaler bir fonksiyonun gradyanı olarak yazılabileceğini bulmuştuk.

E V

Ortaya çıkan soru: E

için olan

0

0

E  ve E

      

denklemleri, V cinsinden ne şekil alırlar? Şimdi, ^{     E}



^V



^{ 2V}

olduğunu biliyoruz, böylece süregelen bir eksi işaretinden başka E 'nin diverjansı V 'nin laplasyenidir. Böylece Gauss yasası

2

0

V 

   (2.24) olduğunu ifade eder. Bu Poisson denklemi diye bilinir. Yükün olmadığı bölgelerde, dolayısıyla  , Poisson denklemi 0 Laplace denklemine indirgenir,

2V 0

  (2.25) Bölüm 3'de bu denklemleri daha dikkatli olarak inceleyeceğiz.

Gauss yasası ile ilgili bu kadarı yeterlidir. Rotasyonel yasası hakkında ne

söyleyebilirsiniz? Bu size

^{     E}



^V



ifadesinin sıfıra eşit olması gerektiğini söyler. Fakat bu V üzerine konan bir koşul sayılmaz -bir gradyanın rotasyoneli daima sıfırdır. Elbette, rotasyonel yasası E

'nin bir skalerin gradyanı olarak ifade edilebileceğini göstermede kullandık, bu yüzden şöyle bir kuralın yürürlükte olması süpriz değildir:   E 0, E  V

yazılmasına izin verir; bunun karşılığında, E  V

de   E 0

olmasını garantiler. V bir skaler olduğu için V 'nin belirlenmesi için yalnızca tek bir diferansiyel denklem

(Poisson denklemi) yeterlidir, E

için ise iki denkleme ihtiyaç vardır, diverjans ve rotasyonel.

2.3.4 Yerelleşmiş Bir Yük Dağılımının Potansiyeli

V 'yi E

yardımıyla tanımladık (Denk. 2.21

 

^r

O

V r E dl

 

 

 

 

  

 

. Fakat, genellikle, aradığımız şey E

'dir (E

'yi zaten biliyorsak V 'yi hesaplamanın fazla bir gereği olmayacaktı). Buradaki fikir, ilkönce V 'yi bulmak daha kolay olabilir, ardından da gradyan alarak E

'yi bulabiliriz şeklindedir. Öyleyse, tipik olarak, yükün nerede olduğunu biliyoruz (yani

'yu biliyoruz.) ve V 'yi bulmak istiyoruz. Şimdi, Poisson deklemi V ile

'yu birbirine bağlar, fakat talihsiz olarak bu bağlantı "yanlış sıradadır":

V 'yi bilseydik bu bağlantı bize 'yu verecekti, diğer yandan biz 'yu bildiğimiz halde V 'yi istiyoruz. O zaman yapacağımız şey Poisson denkleminin "tersini almaktır". Bu kısımda bu işlemi yapacağız.

Referans noktasını sonsuzda alarak, başlangıç noktasında bulunan bir q noktasal yükünün potansiyeli

 

²

0 0 0

1 1 1

4 4 0 4

r q q r q

V r dr

r r r

 _ ^  _ 

       

dır. Burada sonsuzu referans noktası olarak kullanmanın kolaylığını görüyoruz; bu seçim integraldeki alt sınırın etkisini yok eder. V 'nin işaretine dikkat edersek, V için yapılan tanımdaki

 

Denk. 2.21 ^r

O

V r E dl

 

 

 

 

  

 

alışılagelmiş eksi işareti tam olarak pozitif bir yükün potansiyelinin pozitif çıkması için seçilmişti. Pozitif yük

bölgelerini potansiyel "tepeleri", negatif yük bölgelerini ise potansiyel

"vadileri" şeklinde düşünmek faydalıdır ve elektrik alan artı yükten eksiye, tepeden aşağı doğru yönelmiştir. Genel olarak, bir q noktasal yükünün potansiyeli

 

0

1 4 V r q

 

r (2.26) dir, burada

r

, her zamanki gibi, yükten r'ye olan uzaklıktır (Şek. 2.32).

Toplanabilirlik ilkesini uyarınca, bir yükler topluluğunun potansiyeli

 

0 1

1 4

n i

i

V r q

 

 

ri (2.27)

veya, bir sürekli yük dağılımı için,

 

0

1 4 V r dq

  

r (2.28) olur. Özel olarak, bir hacim yükü halinde, potansiyel

  ^{ }

0

1 4

V r  r d

 

 

 

r (2.29) dır. Bu, 'yu bildiğimiz zaman V 'yi nasıl hesaplayacağımızı söyleyen aradığımız denklemidir; bu yerelleşmiş bir yük dağılımı için Poisson denkleminin "çözümüdür".

Denklem 2.29'u  cinsinden yazılmış olan elektrik alan formülü (Denk.

2.8) ile kıyaslarsak:

  ^{ }

2

0

1 ˆ

4

E r  r d

 

 

 



r r

Dikkat edilecek ana nokta, Denk. 2.29'da ˆr birim vektörü yoktur; böylece bileşenler için kaygı duymak gerekmez. Bu arada çizgi ve yüzey yüklerinin potansiyelleri şöyledir,

 

0

1 4

r dl





 

 r ve

 

0

1 4

r da





 

 r (2.30) Bu kısımda bulunan her şeyin referans noktasının sonsuzda alınmasına

bağlıdır. Bu Denk. 2.29'da hiç açık gözükmeyebilir, fakat bu denklemi başlangıç noktasındaki bir noktasal yükün potansiyelinden elde etmiştik,



1 40



^q r^, bu ise yalnızca O   iken geçerlidir. Bu formülleri yükün kendisinin sonsuza uzandığı yapay problemlerden birine uygulamaya kalkarsanız integral ıraksayacaktır.

Örnek 2.7 R yapıçaplı düzgün yüklenmiş küresel bir kabuğun potansiyelini bulunuz (Şek.2.33).

Çözüm: Bu Örnek 2.6'da çözdüğümüzle aynı problemdir, fakat bu kez onu Denk. 2.30'u kullanarak yapacağız:

  ^{ }

0

1 4

V r  r da



 

 

r

r noktasını z ekseni üzerinde seçelim ve r'yi kutup açısı  cinsinden

ifade etmek için kosinüsler yasasını kullanalım:

r² R²z²2Rzcos^

Bu küre üzerindeki bir yüzey elemanı R²sin  d d  dür, böylece

 

 

   

2

0 2 2

2 2

2

0

2 2 2 2

2 2

4 sin

2 cos

2 1 2 cos

2 2 2

2

R d d

V z

R z Rz

R R z Rz

Rz

R R z Rz R z Rz

z

R R z R z

z



  

 



  

 

 

  

    

 

    

 

     

 

   

 

 

buluruz. Bu aşamada pozitif kökü almak için çok dikkatli olmalıyız.

Kürenin dışındaki noktalar için, z R'den daha büyüktür ve böylece



^{R z}



²   'dir, küre içindeki noktalar halinde ise, ^{z R}



^{R z}



^{2  R z}

olur. Bu yüzden,

  ^{   }

  ^{   }

2

0 0

0 0

, dışarıda 2

, içeride 2

R R

V z R z z R

z z

R R

V z R z R z

z

 

 

 

 

 

    

 

 

    

 

Kabuk üzerindeki toplam yük cinsinden ^{q4R2,V z}

 

^



^{1 40}



^{q z}

(veya genel olarak, küre dışındaki noktalar için ^{V z}

 

^



^{1 40}



^{q rve}

küre içindeki noktalar için de



^{1 40}

 ^

^{q R}

^

^bulunur.

Bu özel halde, elbette V 'yi 2.21'i kullanarak elde etmek 2.30'u kullanarak elde etmekten daha kolaydır. Çünkü Gauss yasası E

'yi bize çok az bir zahmetle verdi.

2.3.5 Özet; Durgun Elektrik Sınır Koşulları

Tipik durgun elektrik probleminde bir  kaynak yük dağılımı verilir ve onun oluşturduğu E

elektrik alanını bulmak isteriz. Problemin simetrisi Gauss yasasıyla bir çözüm kabul etmediği sürece, bir ara adım olarak ilk

önce potansiyeli hesaplamak genellikle avantajldır. O halde şunlar durgun elektriğin temel nitelikleridir: , E

ve V . İncelememiz boyunca, bunları kendi aralarında birbirine bağlayan tam altı formül çıkardık. Bu denklemler kısa bir şekilde Şek. 2.35'de özetlenmektedir. İncelemeye yalnızca iki deneysel gözlemle başladık:

(1) toplanabilirlik ilkesi-tüm elektromagnetik kuvvetlere uygulanan geniş bir kural ve

(2) Coulomb yasası-durgun elektiriğin temel yasası. Bunlardan, diğerlerinin hepsi elde edilmişti.

Örnek 2.4 ve 2.5'i çözerken veya Problem 2.7, 2.11 ve 2.16 gibi problemleri çözerken, birer yüzey yükünü geçtiğinizde elektrik alanın her zaman bir süreksizliği olduğuna dikkat edelim. Gerçekte, böyle bir sınırı

geçerken E

'nin hangi miktar kadar değiştiğini bulmak kolay bir iştir. Her bir yönde sınırın ötesine ancak çok az taşabilen yonga inceliğinde bir Gauss hap kutusu çizdiğimizi varsayalım (Şekil 2.36). Gauss yasası

0 0

iç S

Q A

E da 

 

  

  

olduğunu ifade eder, burada A hap kutusu kapağının yüzey alanıdır ( noktadan noktaya değişirse veya yüzey eğri ise, A'yı son derece

küçük almalıyız.) Şimdi,  kalınlığının sıfıra gittiği limitinde, hap kutusunun yanları akıya hiçbir katkı yapmazlar, böylece elimizde

0

üst alt

E E 



    (2.31) kalır, burada E_üst^ E

'nin sınırın hemen yukarısındaki yüzeye dik bileşenini gösterir ve E_alt^ 'da yalnızca sınırın hemen altında olmak üzere yine aynı anlamdadır. Tutarlılık için, her iki yüzey içinde "yukarı yönü"

pozitif yön olarak seçelim. Sonuç: E

'nin normal bileşeni herhangi bir sınırda  ₀ miktarı kadar süreksizdir. Özellikle, hiçbir yüzey yükünün olmadığı yerlerde, E^ süreklidir, örneğin düzgün yüklenmiş bir katı kürenin yüzeyinde bu böyledir. Buna zıt olarak, E

'nin teğetsel bileşeni

daima süreklidir. Çünkü Denk. 2.19'u

E dl 0







Şek. 2.37'nin dar dikdörtgensel ilmeğine uyguladığımızda, uçlar hiçbir katkı vermez



 0'a giderken



ve yan kenarlar ise



E l E lüst^  alt^



katkısını verir, böylece

üst alt

E^ E^ (2.32) buluruz, burada E^ E

'nin yüzeye paralel bileşenini gösterir. E üzerindeki sınır koşulları (Denklem 2.31 ve 2.32) tek bir formül halinde birleştirilebilir:

0 üst alt ˆ

E E  n

 

 

(2.33) burada n^ˆ yüzeye dik, "alttan" "üste" doğru yönelmiş bir birim vektördür.

Bu arada, potansiyel her sınır geçişinde süreklidir (Şekil 2.38), çünkü

b üst alt

a

V V  E dl

 

olduğundan dolayı, yol uzunluğu sıfıra kadar kısaldıkça, integral de sıfıra iner:

üst alt

V V (2.34)

Bununla beraber, E V

olduğundan dolayı, V 'nin gradyanı E

'deki süreksizliği içinde barındırır. Denk. 2.33 bize,

0 üst alt ˆ

V V  n

   

(2.35)

çağrıştırır veya daha uygun olarak.

0

üst alt

V V

n n





 

  

  (2.36) Burada,

V V nˆ n

   



 (2.37)

V 'nin normal türevini (yüzeye dik doğrultudaki değişim hızı) gösterir. Bu sınır koşullarının yüzeyin hemen üstündeki ve altındaki alanları ve potansiyelleri birbirine bağlamaktadır. Örneğin, Denk. 2.36'daki türevler yüzeye her bir taraftan yaklaştığımız durumdaki uç değerlerdir.