ELEKTROMAGNETİK TEORİ

BÖLÜM 5

5. DURGUN MAGNETİZMA 5.1. LORENTZ KUVVETİ 5.1.1 Manyetik Alanlar

Elektrodinamiğin temel problemini bir kez daha hatırlayalım:

1, , ...2 3

q q q kaynak yüklerinin bir Q yükü(deneme yükü) üzerine uyguladığı kuvveti hesaplamak istiyoruz (Şek. 5.1). Toplanabilirlik ilkesine göre, sadece iki yük arasındaki kuvvet ifadesini bilmek yeterlidir. Toplam kuvvet her bir yükün Q üzerine uyguladığı

kuvvetlerin vektörel toplamı olur. Şu ana kadar kaynak yükün durgun olduğu (deneme yükünün durgun olması gerekmez) en basit hale yani durgun elektriğe yöneltmiş durumdaydık.

1 2 0

1 ˆ

4

N i test i i i

F q Q r

 _ r

 



F Q  testE

1 2 0

1 ˆ

4

N i

i i i

E q r

 _ r

 



Şimdi hareketli yükleri ele alalım. Aralarında birkaç cm uzaklık bulunan ve tavandan asılı iki tel düşünelim. Bu telleri bir bataryaya bağlayalım, akım bir telden gidip diğerinden geri dönüyor olsun. Akım

verildiğinde teller dışa açılır yani birbirini ittiği gözlenir(Şek. 5.2a).

Bunu nasıl açıklarız? Belki bataryadan tellere yükler verildiğini ve aynı işaretli yüklerin birbirini ittiğini düşünebilirsiniz. Ama bunun doğru olmadığını kolayca görürüz: akım geçerken tellere dışarıdan bir test yükü yaklaştırırsak hiç kuvvet ölçemeyiz; yani, teller nötr durumdadır. Şimdi, telleri (Şek. 5.2b)’de olduğu gibi yerleştirir ve her iki teldeki akımın aynı yönde olmasını sağlarsam, bu kez tellerin birbirini çektiğini gözleriz!

Paralel akımların çekilmesine ve antiparalel akımların itilmesine ne tür kuvvet sebep olursa olsun, onlar durgun elektrik yapıda değildir.

Manyetik kuvvetle bu ilk karşılaşmamızdır. Durgun yük etrafındaki uzayda yalnızca bir elektrik alan E

oluşturduğu halde hareketli yük buna ek olarak bir de B

manyetik alanını oluşturur. Manyetik alanın varlığı kolayca gözlenebilir, bunun için bir pusula yeterlidir. Pusula ibresi manyetik alanın yönünü gösterir ve ibre genelde kuzey yönünü gösterir. Çünkü dünyanın manyetik alanı vardır; fakat laboratuar ortamında çok daha büyük manyetik alanlar oluşturabiliriz ve pusula oradaki manyetik alanın yönünü gösterir.

Şimdi akım taşıyan bir telin yakınında bir pusulayı tutarsanız hemen çok tuhaf bir şey keşfedersiniz: manyetik alan telden içeri veya dışarı doğru yönde değil, telin çevresinde dolanır yöndedir. Teli sağ elinizle kavrarsanız başparmak akımın yönünde olmak üzere dört parmağınız manyetik alan yönünde kıvrılır (Şek. 5.3). Bu yöndeki bir alan yakınındaki paralel bir akımı nasıl çekebilir? (Şek. 5.4)’deki ikinci telde manyetik alan kağıt düzlemi içine doğru, yüklerin hızı yukarı doğru, ama kuvvet sola doğru olur. Bu tür bir kuvveti temsil edecek ifade nasıl olmalıdır? Şimdi bunları inceleyelim.

5.1.1 Manyetik kuvvet

Şek. 5.4’deki kuvvetin bir vektörel çarpımla temsil edilebileceğini görmüştük. Gerçekten de, bir B

manyetik alanında v^ hızıyla hareket eden bir Q yüküne etkiyen manyetik kuvvet şöyledir.

Fmag Q v B^_ ^_

 

 

  

(5.1) Bunu F_elek QE

ile birleştirirsek, bir Q yükü üzerindeki toplam elektromanyetik kuvveti veren Lorentz kuvveti ifadesini buluruz.

F Q E^ ^v B^^

 

 

  

   

(5.2)

Bu da, Coulomb yasası gibi, teorinin bir aksiyomudur; doğru olup olmadığı deneyle anlaşılacaktır. Bundan sonra yapılacak iş B

manyetik alanını bulmaktır.

Lorentz Kuvvetinin Uygulamaları

Örnek 5.1. Siklotron hareketi

Yüklü bir parçacığın manyetik alanda en bilinen hareketi düzgün dairesel harekettir. (Şekil 5.5)’deki düzgün manyetik alan kağıt düzleminden içe doğrudur. Q yükü, saatin tersi yönünde v hızıyla R yarıçaplı bir daire etrafında hareket ederse manyetik kuvvet (denklem

5.1) içeri doğru yönelmiş ve sabit QvB büyüklüğündedir. Düzgün dairesel hareketin merkezcil ivmesi v²

R olduğundan, Newton’un ikinci hareket yasası yazılırsa

v2

QvB m veya p QBR

 R  (5.3) olur. Burada m parçacığın kütlesi ve p mv onun momentumudur.

Denklem(5.3) siklotron formülü olarak bilinir, çünkü o bir siklotrondaki-modern parçacık hızlandırıcılarının ilki- bir parçacığın hareketini tanımlar. Bu denklem deneylerde bir parçacığın momentumunun nasıl ölçülebileceğine de yol gösterir: parçacığı bilinen bir manyetik alan içine gönderin, oluşan dairesel yörüngenin yarıçapını ölçün. Bu aslında temel parçacıkların momentumlarını ölçmenin standart yoludur. Bu örnekte yükün B

manyetik alanına dik bir

düzlemde hareket ettiğini kabul edelim. Eğer buna ek olarak, parçacığın B

’ye paralel bir v_ ilave hızıyla harekete başlarsa, hareketin bu bileşeni manyetik alan tarafından değiştirilemez ve parçacık bir helis üzerinde hareket eder(Şek. 5.6). Yarıçap halen daha Denklem (5.3) ile verilir fakat önemli olan hız şimdi B

’ye dik bileşen olan v_dir.

Örnek 5.2. Sikloid hareketi

Düzgün manyetik alana ek olarak, buna dik yönde düzgün bir E elektrik alanı vardır. (Şekil 5.7)’de olduğu gibi, manyetik alanı

x yönünde ve elektrik alanı z yönünde alalım. Q yüklü bir parçacık

orijinden ilk hızsız bırakılıyor. Parçacığın yörüngesi nasıl olur.

Çözüm: Başlangıçta parçacık durgundur, bu yüzden manyetik kuvvet

sıfırdır ve elektrik alan parçacığı z yönünde hızlandırır. Parçacık hız kazandıkça, bir manyetik kuvvet doğar ve Denklem 5.1’e göre

Fmag Q v B

  

  

 

     

bu kuvvet yükü sağa doğru çeker. Onun daha hızlı gitmesiyle F_mag

’da daha kuvvetli hale gelir, sonunda, bu kuvvet onu geriye y -eksenine doğru büker. Bu noktada parçacık elektrik kuvvete karşı hareket ettiğinden yavaşlamaya başlar. O zaman manyetik kuvvet azalır ve elektrik kuvveti baskın gelir ve yükü (Şek. 5.7)’deki a noktasında durgun hale getirir. Orada tüm işlem yeniden başlar, parçacık b noktasına taşınır ve böylece devam eder.

Şimdi incelemeyi nicel olarak yapalım: x-yönünde bir kuvvet olmadığından dolayı herhangi bir t anında parçacığın konumu

   









v y z  olur . Böylece,

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

0

0 0

x y z

v B y z Bz y Byz

B

   

    

elde edilir, buradan Newton’un ikinci yasasını uygulayarak,





F Q E v B^_ ^_ Q E z Bz y Byz ma m y y z z

 

        

    

 

 

veya ˆy ve ˆz bileşenlerini ayrı ayrı işleme sokarak ,

QBz m y  QE QBy mz   

Uygunluk için burada siklotron frekansı adında bir parametre tanımlayalım.

QB

  m (5.4) Bu, herhangi bir elektrik alanın yokluğunda parçacığın dönme frekansıdır. Buna göre hareket denklemleri

, E

y z z y

 ^B ^

 

  

    (5.5) şeklini alırlar. Bunların genel çözümü şöyledir.

 

 

 

1 2 3

2 1 4

cos sin /

cos sin

y t C t C t E B t C

z t C t C t C

 

 

   

   (5.6) Fakat parçacık



 

 



   





  ^E









y t t t z t t

B   B 

 

    (5.7)

Bu şekliyle sonuç fazla aydınlatıcı değildir, fakat R E

B

 (5.8) tanımını yapar ve cos²tsin²t1 özdeşliğinden yararlanarak sinüs ve kosinüsleri yok edersek



 







v R E

 B

  (5.10) hızı ile ilerleyen R yarıçaplı bir dairenin denklemidir. Yani parçacık,

tıpkı y -ekseni boyunca sabit v hızıyla giden bir tekerleğin çevresindeki nokta gibi hareket etmektedir. Matematikte bu eğriye sikloid denir. Dikkat edilirse parçacığın hareketi tümüyle E

yönünde bir hareket olmayıp, ona diktir.

Manyetik kuvvet F_mag Q v B^_ ^_

 

 

  

yasasının bir özelliğini vurgulamak gerekir.

Q yükü küçük bir dl v dt

kadar yer değiştirdiğinde yapılan iş

MANYETİK KUVVET İŞ YAPMAZ

. . 0

mag mag

dW F dl Q v B vdt^_ ^_

 

 ^{ } ^ ^{ }  (5.11) olur. Çünkü v B^_ ^_

^ ^’nin v^’ye dik olması ve ^_v B v^_. 0

^ ^ ^ olmasıdır.

Manyetik kuvvetler hareket eden bir parçacığın yönünü değiştirebilir ama hızını azaltıp çoğaltamazlar.

5.1.3 Akımlar

Bir telin kesitinden birim zamanda geçen yük miktarına akım diyoruz.

Tanım olarak sol tarafa akan negatif yük sağ tarafa akan pozitif yük olarak sayılır. Bu kabul elektromanyetik olaylarda yükxhız çarpımına bağlı hiçbir büyüklüğü etkilemez. Gerçekte iletkenler içinde hareket

eden negatif yüklü elektronlardır. Yani akıma zıt yönde giderler. Akım birimi Coulomb/saniye veya Amper (A) olur.

1A1 /C s (5.12) Çizgisel, Yüzeysel ve Hacimsel Akım yoğunluğu

Bir iletken maddenin birim kesitinden birim zamanda geçen yük miktarına akım diyoruz.

1 1

dq C

I A

dt s

  

1. Çizgisel akım yoğunluğu

Bir teldeki  çizgisel yük yoğunluğu v hızıyla hareket ediyorsa (Şekil 5.9), bunun oluşturduğu akım

I v (5.13) olur; çünkü v t uzunluğunda bir tel parçası üzerindeki ^





noktasını  zaman aralığında geçecektir. Gerçekte akım bir t vektördür:

Iv

(5.14) Fakat, akım zaten telin doğrultusunu izlediğinden, I

’nın vektör yapısı

pek belirtilmeden kullanılır. Nötr bir telde pozitif ve negatif yükler eşit sayıdadır; pozitif yükler durgun olduğundan akıma katılmazlar.

Denklem (5.13)’deki  sadece negatif yük yoğunluğunu gösterir. (Eğer her iki tür yük de hareket ediyor olsaydıI vv

  

olurdu.) Akım taşıyan dl uzunluğundaki parça üzerine etki eden kuvvet;

Fmag ^_v B dq^_ ^_v B^_dl ^_I B dl^_

     

     

      

(5.15) ile verilir. I

iledl

aynı yönde olduğu sürece, bu ifadeyi Fmag I dl B^_ ^_

 

 

  

(5.16)

şeklinde de yazabiliriz. Akım tel boyunca sabittir(büyüklük olarak) ve bu halde I integralin dışına çıkar.

Fmag I dl B^_ ^_

 

  



 

(5.17) Örnek 5.3

Dikdörtgen bir tel çerçevenin bir kenarı düzgün B

manyetik alanı içinde olup, diğer kenarında bir m kütlesi asılıdır (Şekil 5.10). Taralı bölgedeki manyetik alan kağıt düzleminin içine doğrudur. Kütlenin dengede kalabilmesi için çerçeveden geçen I akımı ne olmalıdır.

Çözüm:

Manyetik kuvvetin (veya, I B 

çarpımının) yukarı yönde olabilmesi için akım saat yönünde olmalıdır. Buna göre

Fmag IBa

olup a çerçevenin genişliğidir. Düşey kenarlardaki manyetik kuvvetler birbirine zıt yönde olurlar. F_mag kuvveti cismin mg ağırlığını karşılamalıdır. m kütleli tele sahip olduğu kütle nedeniyle yerçekimi kuvveti etki eder. Üzerinden akım geçtiği için manyetik kuvvet etki edecektir. Telin düşmemesi için mg ’ye eşit büyüklükte fakat zıt yönde bir kuvvet etki etmelidir. Bu durumda yatayda tellere etki eden manyetik kuvvetlerin birbirine eşit fakat zıt yönde olması gerekir.

Bunun için de şekildeki gibi 1 ve 2 tellerinden zıt yönde akım

geçmelidir.

1 2

mag mag

F  F Fmag mg

0 0

.

a a

I B dl mg I ve B sabit olduğundan I B dl mg I Bl mg

 

 

   



  



  

Bu halkadan geçen akım I mg

 Ba (5.18) büyüklüğünde ve saat yönünde olmalıdır.

2. Yüzeysel akım yoğunluğu

Yük akışı bir yüzey üzerinde oluyorsa K

ile gösterilen yüzeysel akım yoğunluğu tanımlanır. Genişliği dl_ olan ve yük akışına paralel bir şerit düşünelim (Şekil 5.13).

Bu şeritteki akım vektörü dI

ise, yüzeysel akım yoğunluğu şöyle tanımlanır.

K dI

dl_



 

(5.22) Başka bir deyişle K , yüzeydeki akışa dik birim uzunluktan geçen akımdır. Özel olarak,  yük yoğunluğu v

hızıyla hareket ediyorsa, K  v

(5.23) olur. Çünkü, dl_ genişlikteki şerit üzerindeki boyca yük yoğunluğu

dl

 _olur; burada ^dI





,  yük

yoğunluğuna bağlı olarak, yüzeyin her noktasında farklı değerde olabilir. Bir yüzey akımı üzerindeki manyetik kuvvet şöyle ifade edilir:

 

Fmag da v B^_ ^_ ^_K B da^_

   

   

    

(5.24) 3. Hacimsel akım yoğunluğu

Yük akışı, üç boyutlu bir bölge içinde ise, J

ile gösterilen bir hacimsel akım yoğunluğu tanımlanır. (Şekil 5.14)’de olduğu gibi yük akışına paralel giden ve küçük da_ kesitli bir tüp düşünelim. Bu tüp içindeki akım dI

ise, hacimsel akım yoğunluğu şöyle tanımlanır:

J dI

da_



 

(5.25) Bir diğer deyişle J

, akışa dik yöndeki birim kesitten geçen akımdır.

Özel olarak,  hacimsel yük yoğunluğu v^ hızıyla hareket ediyorsa

Jv

(5.26) Hacimsel akım yoğunluğu üzerindeki manyetik kuvvet şöyle olur:

 

Fmag  d ^_v B^_ ^_J B d^_ 

   

   

    

(5.27) Rastgele bir küre yüzeyi üzerinden bir birim küre yüzey elemanı alalım, da dan ˆ

yüzey elemanımız olsun.

J dI

da_



 

ise dI Jda_ J da n. ˆ

(5.21) formülüne göre, bir S yüzeyini geçen akım şöyle yazılabilir:

yüzey

I^  Jda^ _ ya da . ˆ

yüzey

I^  J da n^ (5.28) Benzer şekilde V hacminden geçen akım

. .

S V

I J da ^_ J d^_

 

    

   



Burada diverjans teoremini kullandık.

Yük korunumlu olduğundan, yüzeyi geçen yük hacim içindeki yükte

. .

hacim yüzey

v d  v da

 

 







     



bir azalmaya neden olacaktır;

.

V V

J d d d d

t dt

   ^  ^ 

 

 

   

   

     

   

 

Buradaki eksi işareti, dışa doğru bir akışın, içerdeki yükte azalmaya karşılık gelmesini sağlar. Bu eşitlik her V hacmi için doğru olduğundan,

. J t



  



  (5.29)

süreklilik denklemi denilen bu bağıntı, yerel yük korunumunun matematiksel ifadesidir. Daha sonraki uygulamalar için noktasal,

boyca, yüzeysel ve hacimsel akım yoğunlukları için yazılan denklemleri nasıl dönüştüreceğimizi burada bir kez daha tekrar edelim:

       

1 n

i i i eğri yüzey hacim

q v I dl K da J d



   

  

    (5.30)

Bu, yükler için uyguladığımız qdl da d kuralının karşılığıdır.

Bu kural hatırlanırsa, (5.1) Lorentz kuvveti ifadesine karşılık gelen (5.15), (5.24) ve (5.27) formülleri bu şekilde çıkarılabilir.

Fmag ^_v B dq^_ ^_v B^_dl ^_I B dl^_

     

     

      

Fmag q v B^_ ^_

 

 

  

Herhangi bir noktasal yüke etki eden manyetik kuvvet

Fmag ^_I B dl^_

 

 

  

Herhangi bir çizgisel yük yoğunluğuna etki eden manyetik kuvvet

Fmag ^_K B da^_

 

 

  

Herhangi bir yüzeysel yük yoğunluğuna etki eden manyetik kuvvet

Fmag ^_J B d^_

 

 

  

Herhangi bir hacimsel yük yoğunluğuna etki eden manyetik kuvvet

Örnek 5.4 (a) Kesiti a yarıçaplı daire şeklinde olan bir teldeki I akımı kesit içinde düzgün dağılmıştır (Şekil 5.15). Hacimsel akım yoğunluğu

J ’yi bulunuz. (b) Teldeki akım yoğunluğunun eksenden olan uzaklıkla orantılı olduğunu varsayınız, J k s( burada k bir sabittir). Teldeki toplam akımı bulunuz.

Çözüm:

(a) Akış yönüne dik kesitin alanı a²olduğundan J dI

da_

 (5.25) ifadesine göre, hacimsel akım yoğunluğu

2

J I

a

 dir.

(b) J yoğunluğu s ile değiştiği için(5.25) denkleminin integralini almamız gerekir.

d  0 2 kadar değer alacaktır 0

s  kadar değer alacaktır a J k s şeklinde değişiyordu.

(Şekil 5.16)’daki gölgeli kısımlardaki akım dI Jda_

dır ve silindirik koordinatlarda yüzey elemanı da_ sdsd

olduğundan,

2 3

0 0

2 2

s s 3

a a

I kssdsd I k s ds d I k

 

   

 

 

 

 

 

     

   

       

olur.

5.2 BİOT-SAVART YASASI 5.2.1 Kararlı Akımlar

Duygun yüklerin elektrik alanı zamanla değişmez; elektrostatik(durgun elektrik) terimi de buradan kaynaklanır. Benzer şekilde, kararlı akımların magnetik alanı zaman içinde sabit kalır. Kararlı akımların incelenmesine de magnetostatik(durgun magnetizma) diyoruz.

Durgun yükler ^sabit elektrik alanı; elektrostatik(durgun elektrik)

Kararlı akımlar^sabit magnetik alan; magnetostatik(durgun magnetizma⁾

Kararlı akım deyince hiç değişmeden süregelen bir yük akımı anlıyoruz. Uzayın herhangi bir bölgesinde birim zamanda geçen yük miktarı şimdi ne kadarsa 10 saniye önce veya 10 yıl sonra aynı değerdedir. Elbette, günlük yaşamda gerçekten kararlı bir akım yoktur.

Dikkat ederseniz, hareketli noktasal bir yük kararlı akım sayılamaz;

şimdi buradaydı, sonra orada. Elektrostatiğin her konusunda noktasal bir yükle başlamış ve toplanabilirlik ilkesini kullanarak, diğer yük dağılımlarına genellemiştik. Bunu magnetostatikte yapamayız, çünkü noktasal yükün hareketi kararlı akım anlamına gelmiyor. Bu nedenle, daha işin başında tüm uzaya yayılmış akımlardan başlamak zorundayız.

Kararlı akım geçen bir telde I akımı telin her yerinde I değerinde olmalıdır; aksi takdirde bir yerlerde yük birikecek ve akımı sürdürmek mümkün olmayacaktır. Bu nedenle, magnetostatikte    olur ve t 0 (5.29) süreklilik denklemi şu durumuna gelir:

.J 0

  

(5.31)

5.2.2 Kararlı Bir Akımın Magnetik Alanı

Kararlı bir akım geçen telin magnetik alanı Biot-Savart yasası ile verilir:

  ⁰ ₂ˆ ⁰ ₂ ˆ

4 4

I dl

B r  dl  I

 

  

   

 

 r r

r r (5.32) İntegral tel boyunca ve akım yönünde gidilerek alınır; dI 

tel boyunca bir uzunluk elemanıdır ve ˆr her zaman olduğu gibi kaynaktan ^r noktasına olan vektördür(Şek.5.17). ₀ sabiti boşluğun magnetik geçirgenliği (parmeabilite) adını alır ve MKS sisteminde değeri

7 2

0 4 10 N A/

   ^ (5.33) olur. Bu seçim sonucu B magnetik alanı Newton/amper-metre veya tesla (T) biriminde çıkar:

1 tesla = 1 N /(A.m) (5.34) (Magnetik alan için cgs birimi olan gauss pratikte daha uygun olmaktadır: 1 tesla = 10 gauss . Dünyanın magnetik alanı yarım gauss ⁴ kadar, laboratuarda üretilen şiddetli bir magnetik alan 10.000 gauss kadardır). Magnetostatikğin temel denklemi olan Biot-Savart yasası, elektrostatikteki Coulomb yasasının işlevini yapar. 1 r ’ye bağlılığı her ² iki yasada da ortaktır.

Örnek 5.5:Kararlı I akımı taşıyan sonsuz doğrusal telden s uzaklıkta magnetik alanı bulun (Şek.5.18).

Çözüm: Şekildeki dl

tel parçası için dl ˆ

r çarpımı sayfanın dışına doğru olup, büyüklüğü

sin cos

dl^  dl^ 

olur. Şekilden, tan l s^  l^ stan olarak ifade edilebilir. Her iki tarafın türevini alırsak,  bağımsız değişkenine geçilirse,

2

2 2 2

1 cos

, cos ,

cos

s s

dl d ve olduğundan

s

  

    

r r

yazılabilir. Buna göre (5.32) integralini önce sonlu bir tel uzunluğu için alalım. Şek.5.19’da görülen sonlu parçanın başlangıç ve bitiş açıları  ₁ ve  ise , ₂

 

2 2

0

2 2

1

0 2 0

2 1

1

cos cos

4 cos

cos s s

4 4

I s

B d

s

I I

B d in in

s s









   

 

 

   

 

   

   

   

 

 

   

(5.35)

Elbette sonlu bir tel parçasında kararlı akım olmaz (yük bir uca geldiğinde nereye gidilebilir?); buradaki sonlu parça, örneğin kapalı bir

devrenin doğrusal bir kısmı olabilir. Bu durumlarda, toplam magnetik alana sadece doğrusal parçanın katkısı hesaplanabilir.

Sonsuz doğrusal tel için ₁  2 ve ₂ 2 olacağından

2

0 0 0

2

sin sin sin 2

4 2 2 2 4

I I I

B s s s

 

 

     

  



    

    

   

 



     

0

2 B I

s



  (5.36)

olup, magnetik alan yönü sayfa düzlemi dışına doğrudur. Magnetik alanın –tıpkı doğrusal telin elektrik alanı gibi–uzaklıkla ters orantılı olduğuna dikkat edelim. P noktasını telin altında seçmiş olsaydım B vektörü sayfa içine doğru olurdu. Magnetik alan, telin çevresinde

‘dolanım’ yönünde olur(Şekil 5.3).

Bir uygulama olarak, birbirine paralel ve aralarında d uzaklığı olan, sırasıyla I ve ₁ I akımı taşıyan sonsuz iki tel arasındaki çekim ₂ kuvvetini hesaplayalım (Şek.5.20). (5.36) formülüne göre, 1. telin 2.nin bulunduğu yerde oluşturduğu magnetik alan

0 1

2 B I

d



 

olup sayfa düzlemi içine doğrudur. (5.17) formülüne göre, 2.telin dl uzunluğuna etkiyen kuvvet

0 1 2 2

F I I dl d





 

 

 

 

 

olur. Telin birim uzunluğuna etkiyen ise

0 1 2

2 f I I

d



  (5.37) olur. Antiparalel akımlar için kuvvet itici yönde olur.

Örnek 5.6: Üzerinden I akımı geçen R yarıçaplı çemberin merkezinden z yükseklikte bir noktada magnetik alanı bulun (Şek. 5.21)

Çözüm: Çember üzerinde akım yönünde seçilen küçük dl

parçasının magnetik alana katkısı olan dB

vektörü şekilde gösterilmiştir. Çember çevresinde dl

integrali alınırken dB

vektörü bir koni yüzeyini süpürür.

Bu katkıların yatay bileşenleri birbirini sıfırlayacağından, sadece dikey bileşenlerin integrali magnetik alanı verir:

  ⁰ ₂ cos

4 B z  I dl

 

   r ( dl

ve ˆr birbirine diktir; cos çarpanı dikey bileşeni verir.) Burada cos ve r² sabit olduğundan integral dışına alınabilir; dl 2R parçalarının integrali çemberin çevresine eşittir:

2 2

cos R r ve r^ R z

 

 

0 0 2

2 3

2 2 2

cos 2

4 2

I I R

B z R

R z

   



 

 

 

 

 

r  (5.38) Yüzey ve hacim akımları için Biot-Savart yasası ifadeleri şöyle olur:

 

 

 

 

0 0

2 2

ˆ ˆ

4 ' 4

K r r J r r

B r  da ve B r  d

  

   

    

 

 

r r (5.39)

Bu iki ifadeye bakıp, hareketli noktasal yükün magnetik alanı için

 0

2

? ˆ

4 B  qv



 

  r

r (5.40)

yazmaya kalkmayın; yanlış olur. Daha önce söylediğimiz gibi: noktasal yükün hareketi kararlı akım olmaz. Biot-Savart yasası sadece kararlı akımlar içindir.