OREN3002 STATİK VE MUKAVEMET

OREN3002

STATİK VE MUKAVEMET

Karadeniz Teknik Üniversitesi

Orman Endüstri Mühendisliği Bölümü

Yrd.Doç.Dr. Kemal ÜÇÜNCÜ

Trabzon - 2017

1. Bölüm STATİK

ders notları

1. TEMEL KAVRAMLAR

1.1. Mekanik Biliminin Dalları

 Cisimlerin kuvvetler etkisinde dengesini ve hareketlerini inceleyen bilim dalına mekanik denir.

 Mekanik cisimler; maddesel nokta, rijit cisim, elastik cisim, plastik cisim ve akışkanlar (sıvı ve gazlar)’dır.

 Mekanik, eğer sadece maddesel nokta ve rijit cisim modelini inceliyorsa buna mühendislik mekaniği denir.

 Bunun dışında incelediği cisim modeline uygun isimler verilir.

Örneğin; elastisite, plastisite, hidromekanik, aerodinamik, elektromekanik gibi.

Şekil 1.1. Mekaniğin alt dalları

 Mekanik, kuvvet etkisindeki cisimlerin durağan ve hareket koşullarını inceleyen bilim dalıdır. Mekaniğin alt dalları Şekil 1.1’de gösterilmiştir.

1.1.1. Statik

 Denge halinde bulunan sabit durağan sistemlerin üzerindeki kuvvet ve momentleri inceler.

 Sistem hareket halinde olsa bile üzerinde ivme değerleri yoktur.

 İvmenin olmadığı yerde atalet kuvvetleri olmayacağından sistem statik kuralları ile incelenir.

 Statik bilimine ait ilk prensipler ve kanunlar kaldıracın bulunması ile başlamıştır.

 Archimedes denge kanunu ve kaldıraca ait ilk formülleri yazmıştır.

 Günümüze kadar Galile, Stevinus, Varignon, Newton, D’Alembert, Langrange ve Hamilton gibi birçok bilim adamı bu konuda çalışmışlardır.

 Statik, uzama, kısalma, eğilme, hareket, hız vb. gibi cismin fiziksel davranışı ile uğraşmaz, dengelenmiş kuvvetler ve bunun geometrisi araştırılır.

 Gerçekte kuvvet etkisi altında cisimler bir miktar da olsa şekil değiştirirler. Bu şekil değiştirmeler ya çok küçük olduklarından denge şartlarının incelenmesinde göz önüne alınmaz ya da cismin şekil değiştirmediği kabul edilir.

 Kısaca, statik bilimi rijit cisimlerin kuvvet ve boyutları arasındaki etkileşimi inceler.

1.1.2. Mukavemet

 Mukavemet, mühendislik yapılarının kendilerine etkiyen çok çeşitli yükler altında görevlerini yapacak şekilde boyutlandırılması sorununa cevap veren bir temel mühendislik bilimidir.

Boyutlandırma Koşulları:

• Güvenlik (emniyet) koşulu

• Ekonomik olma koşulu

• Yapılacak göreve uygun olma koşulu

 Çelişkili gibi görünen emniyet koşuluyla ekonomik olma koşullarını aynı zamanda ve her birisini en büyük ölçüde yerine getirebilme sanatı ise, yalnız mukavemetin değil, mühendislik mesleğinin amacı olarak nitelendirilebilir.

1.2. Malzemelerin Özellikleri

 Statik ve mukavemet, malzemelerin yüklenmeleri ve boyutlandırılmaları ile ilgili çalışma yaparlar. Bu bakımdan malzemelerin temel özellikleri bilinmelidir.

• Homojenlik (Homogeneity): Cismin fiziksel özelliklerinin koordinatlardan bağımsız olması özelliğine denir.

• Heterojenlik (Heterogeneity): Cismin fiziksel özelliklerinin koordinatlara bağımlı olması özelliğine denir.

• İzotropi (Isotropy): Cismin fiziksel özelliklerinin doğrultudan bağımsız olması özelliğine denir.

• Anizotropi (Anizotropy): Cismin fiziksel özelliklerinin doğrultuya bağımlı olması özelliğine denir.

• Higroskopi (Hygroscopy): Bir maddenin çevresindeki ortamdan su moleküllerini çekme ve tutma yeteneğidir.

1.3. Statiğin Temel Kavramları

 Uzayda, kuvvetler etkisi altındaki cisimlerin denge koşullarını inceler. Yukarıdaki tanımdan da açıkça görüldüğü üzere statikte aşağıdaki temel kavramlar vardır;

1) Kuvvet 2) Cisim 3) Atalet 4) Uzay

1.3.1. Kuvvet

 Kuvvet, hareketin nedeni olarak düşünülen fiziksel etkenin matematik modelidir.

 Kuvvetin elemanları;

– uygulama noktası (etki noktası), – doğrultusu,

– yönü ve

– şiddeti ile karakterize edilir.

 Bu özelliklere sahip büyüklükler vektörel büyüklüklerdir.

 Kuvvet, tatbik edildiği cisimlerin bulundukları konumları değiştirmeye çalışan fiziksel bir etki olarak tanımlanabilir.

 Kuvvet gibi ısı akışı, hız, ivme birer vektörel büyük iken, sıcaklık ve kütle skaler büyüklüktür.

 Eğer bir cisim ip, zincir vb. ile bir yere Şekil 1.2’de görüldüğü gibi asılmış ise yer çekimi etkisi ile ipi veya zinciri, düşey doğrultuda ağırlığı kadar bir kuvvetle aşağı doğru çekmektedir.

Kuvvet B noktasından etki etmektedir. Yönü aşağı ve doğrultusu AB’dir.

Şekil 1.2. Kuvvet etkisi

1.3.2. Cisim

 Uzayda yer kaplayan her şey cisim olarak adlandırılır. Cisimler çeşitli şekillerde (katı, sıvı, gaz vb.) olabilir. Davranışları çeşitli şekillerde modellenebilir. Mekanikte cisimler davranışına göre, rijit, elastik, elasto-plastik, vizkoelastik cisim olarak adlandırılır.

Statikte ise cisimler rijit olarak kabul edilir. Yani cisimler kuvvet etkisi altında hiç şekil değiştirmezler.

 Statikte cisimler iki ana idealleştirmeyle tanımlanırlar:

a) Maddesel nokta (Parçacık): Maddesel nokta olarak dikkate alınabilen cismin kütlesi bir noktada toplanmış olarak kabul edilir.

b) Rijit cisim: Kuvvetler etkisinde boyutları değişmediği kabul edilen, çok sayıda maddesel noktanın bileşimi olan ideal bir cisimdir.

1.3.3. Atalet

 Atalet, maddenin, hareketteki değişikliğe karşı direnç gösterme özelliğidir.

1.3.4. Uzay

 Uzay, fiziksel olayların meydana geldiği geometrik bir bölgedir.

İncelenen problemin türüne göre uzay bir boyutlu, iki boyutlu ve üç boyutlu olabilir.

1.4. Trigonometri

 Şekil 1.3’deki dik üçgende aşağıdaki trigonometrik bağıntılar geçerlidir.

Şekil 1.3. Dik üçgen Dik üçgende:

Şekil 1.4. Bir dikme indirilmiş üçgen

Şekil 1.5’de gösterilen herhangi bir üçgen sinüs ve kosinüs teoremleri geçerlidir. A,B,C kenar uzunluklar, a, b, c ise kenarın karşısındaki açılardır.

Şekil 1.5. Herhangi bir üçgen

Kosinüs teoremi

Sinüs teoremi

2. STATİĞİN TEMEL İLKELERİ

2.1. Temel İlkeler

 Elamenter mekanik, deneylerden elde edilen dört temel ilkeye dayanır. Bu ilkeler statik için de geçerlidir;

1) Newton kanunları 2) Paralelkenar ilkesi 3) Süperpozisyon ilkesi 4) Genel çekim ilkesi

2.1.1. Newton Kanunları

a) Newton’un 1. Kanunu: Denge İlkesi

 Denge halindeki kuvvetlerin etkisinde bir maddesel nokta, ya sabit durur ya da doğrusal hareket eder.

 Bir rijit cisme etkiyen iki kuvvetin dengede olabilmeleri için tesir çizgilerinin aynı, şiddetlerinin eşit ve yönlerinin zıt olması gerekir. Örneğin F1 = − F2 ise şekildeki kuvvetler dengede olurlar.

Şekil 2.1. Denge ilkesi

b) Newton’un 2. Kanunu

 Bir maddesel noktanın ivmesi, uygulanan bileşke kuvvetin büyüklüğü ile doğru orantılıdır. İvme, kuvvet ile aynı doğrultu ve yöndedir.

F = m a

c) Newton’un 3. Kanunu: Etki-Tepki Prensibi

 Birbirlerine değen iki cismin değme noktalarında etki ve tepki kuvvetleri aynı şiddette, aynı tesir çizgisi üzerinde ve zıt yöndedirler.

 Temas halindeki cisimlerin temas noktasındaki etki ve tepki kuvvetleri aynı doğrultuda ve şiddette, fakat zıt yönlüdür.

Şekil 2.2. Etki – tepki ilkesi

 Statikte, harekete karşı tamamıyla serbest olmayan cisimlerin denge şartlarını incelemek zorunda kalırız. Cismin herhangi bir doğrultu ve yöndeki serbest hareketine engel olan şeye bağ, orada doğan kuvvete de bağ kuvveti denir.

2.1.2. Paralelkenar İlkesi

 Bir cismin herhangi bir noktasına etkiyen iki kuvvetin etkisi, bir paralel kenarın köşegeni ile gösterilen tek bir kuvvetin etkisine denktir. Bu kuvvete bileşke kuvvet denir.

Şekil 2.3. Paralelkenar ilkesi

Şekil 2.4. Bileşke kuvvet

Vektörel olarak bu toplam 𝑐² = 𝑎² + 𝑏² şeklinde tanımlanabilir.

Eğer iki vektör arasındaki açı γ ise bileşkenin şiddeti aşağıdaki gibi hesaplanır.

𝑐 = 𝑎² + 𝑏² − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠𝛾

Buna kosinüs kanunu denir. Kuvvetlerin toplanmasında sinüs kanunu da kullanılır.

 Bunun tersi de doğrudur: bir kuvvet yerine doğrultuları belli iki kuvvet alınabilir. Bu kuvvetlere “bileşenler” adı verilir. Verilen bir kuvveti verilen iki doğrultuda belli iki kuvvete (bileşenlerine) ayırmak için de kullanılabilir.

Şekil 2.5. Bileşke kuvvet hali

2.1.3. Süperpozisyon İlkesi

 Bir rijit cismin bir noktasına etkiyen bir kuvvetin yerine, aynı tesir çizgisi üzerinde, aynı şiddet, doğrultu ve yönde, fakat başka bir noktaya etkiyen bir kuvvet konulursa, rijit cismin denge ve hareketinde bir değişiklik olmaz. Bu durum şekil 2.7’de gösterilmiştir.

Şekil 2.7. Süperpozisyon ilkesi

 Bir rijit cisim, bir takım kuvvetlerin etkisi altında dengede ise, aralarında dengede olan diğer birtakım kuvvetlerin eklenmesi veya çıkarılması ile cismin dengesi bozulmaz.

Şekil 2.8. Dengede cisim

 Denge ilkesi ve süperpozisyon ilkeleri birleştirilerek, rijit cisim statiğinde kuvvetin bir kayan vektör olduğu, yani aynı tesir çizgisi üzerinde, aynı şiddet, doğrultu ve yönde başka bir noktaya etkiyen bir kuvvet olarak göz önüne alınabileceği görülebilir.

2.1.4. Newton’un Gravitasyon Kanunu: Genel Çekim İlkesi

 Kütleleri M ve m olan iki maddesel nokta karşılıklı olarak eşit ve zıt yönlü F ve –F kuvvetleri ile Şekil 2.9’da görüldüğü gibi birbirini çeker. Cisimler arasındaki bu çekime Newton’un gravitasyon kanunu denir ve aşağıdaki bağıntı ile ifade edilir.

Şekil 2.9. Gravitasyon kanunu

 Gravitasyonal kuvvetler, her cisim çifti arasında mevcuttur.

Yeryüzü üzerinde, ölçülebilen tek gravitasyonal kuvvet, yerin çekiminden ileri gelen kuvvettir.

F = m a F = G M n

d²

denklemlerinin birleşiminden, düşen cismin kütlesi birbirini götürerek, g ivmesi aşağıdaki bağıntı ile belirlenebilir.

𝑔 = 𝐺 𝑀 𝑑²

 Yeryüzüne göre g’nin değeri, ekvatorda 9.78 m/^s2, 45⁰’lik enlemde 9.81 m/s² ve kutuplarda 9.83 m/s² olarak bulunmuştur. Çoğu mühendislik problemlerinde, g’nin değeri 9.81 m/s² olarak almak uygundur.

 Bir cismin kütlesini, genel çekim kanunuyla hesaplamak mümkündür. Cismin ağırlığının değeri, W ise ve cisim g ivmesi ile düştüğüne göre F = m a genel denklemine benzer olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

𝑊 = 𝑚 𝑔

2.2. Statiğin Temel İlkelerinden Çıkarılabilecek Sonuçlar

1) Üç kuvvet etkisindeki bir cismin dengede olabilmesi için bu üç kuvvetin aynı noktada kesişmesi gerekir.

2) Kuvvet kayan bir vektördür. Yani doğrultu ve yönü değişmemek şartıyla kuvvet kaydırılabilir

 Üç vektörün etki ettiği bir cismin dengede olabilmesi için bu üç vektörün “kapalı kuvvetler üçgeni” oluşturması gerekir.

Şekil 2.10. Kuvvetler üçgeni

2.3. Statik Problemlerinde Çözüm Uygulamaları

Bileşke aranması: Kuvvetler sisteminde kuvvetlerin sayısını azaltmak hesaplarda önemli kolaylıklar sağlar. Eğer kuvvetler sistemi bir tek kuvvete indirgenebilirse bu kuvvet aranan bileşke olur.

Bileşenlere ayırma: Bazı durumlarda bir kuvvetin kendisi yerine belirli doğrultulardaki bileşenlerinin kullanılması daha elverişli olabilir. Bu durumda bileşenlere ayırma problemi ile karşılaşılabilir.

Denge problemi: Kuvvetler sisteminin dengede olması için sağlaması gereken koşulların incelenmesidir. Statik problemleri incelenirken, problemdeki cisimlerin hepsi için, her birine etkiyen kuvvetleri açıkça gösteren ayrı ayrı diyagramlar çizilmelidir.

 Dengesi incelenecek olan sistemin ya da cismin üzerine etkiyen bütün kuvvetlerin gösterildiği diyagramlara serbest cisim diyagramları (SCD) denir.

 Bu diyagramların elde edilebilmesi için;

a) incelenecek olan cisim bağlarından ve diğer cisimlerden ayrılır,

b) bağlardan ve diğer cisimlerden ayrılan cismin serbest cismi üzerine uygulanan kuvvetler gösterilir,

c) serbest cisim birkaç parçadan oluşuyorsa, tüm cismin SCD’de, bu parçaların birbirlerine uyguladığı kuvvetler göz önüne alınmamalıdır,

d) bilinen dış kuvvetler şiddet ve doğrultularıyla SCD’de çizilir, e) bağ kuvvetleri (mesnet tepkileri veya mesnet reaksiyonları)

de, bağın özelliğine göre SCD’de cisim üzerine etkilidir.

3. VEKTÖRLER VE VEKTÖREL İŞLEMLER

3.1. Vektörler

 Vektörler, mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklüklerdir.

 Çevremizdeki büyüklükler; alan, hız, hacim, kütle vb.

genellikle iki şekilde adlandırılır;

• Skaler büyüklükler,

• Vektörel büyüklükler.

Skaler: Sadece fiziki büyüklüğü olan sıcaklık, kütle, alan, hacim, uzunluk gibi değerlere skaler denir. Pozitif veya negatif olabilir.

Vektör: Fiziki büyüklüğü (şiddeti) yanında, yönü ve doğrultusu olan konum, hız, ivme, kuvvet ve moment gibi değerler vektör olarak adlandırılır. Vektör, yönlenmiş bir doğru parçasıyla temsil edilir. Vektörel ifadeleri skalerden ayırmak için ya üzerinde bir ok

v veya alt çizgi v olarak gösterilirler.

 Vektörler kendi doğrultusunda kaydırılabiliyorsa bunlara kayan vektör başlangıç noktası sabit ise böyle vektörlere de bağlı vektörler denir.

 Skaler büyüklükler için geçerli olan dört işlem (toplama, çıkarma, çarpma bölme) ve diğer matematiksel (türev, integral) işlemler, vektörler için de vektörlere has yöntemlerle yapılabilmektedir.

 Vektörel büyüklükler: Hız, ivme ve kuvvet gibi hem yönü, hem doğrultusu, hem de şiddeti olan büyüklüklere vektör adı verilir. Örneğin kuvvet bir vektörel büyüklüktür.

 Bir F vektörünün şiddeti F ile, yönü ve doğrultusu 𝐹 ile simgelenir. Şekil 3.1’deki vektör doğrultusu üzerindeki A (XA, YA) ve B (XB, YB) iki nokta olup, bu noktalar koordinatlarıyla verilmişlerdir; dolayısıyla vektörün doğrultusu belirlidir.

Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir.

 Vektörleri aşağıdaki şekilde gruplandırılır:

a) Sabit vektör b) Serbest vektör c) Kayan vektör d) Birim vektör e) Eşit vektörler.

f) Negatif vektör.

Sabit vektör: Uygulama noktası sabit olan vektör. Mukavemette sabit vektörler kullanılır.

Serbest vektör: Yönü ve şiddeti korunmak şartı ile uzayda serbestçe hareket ettirilebilen vektörler.

Kayan vektör: Aynı doğrultu üzerinde olmak koşulu ile istenilen noktaya uygulanabilir. Statikteki kuvvetler kayan vektörlerdir.

Statikte kuvvetlerin kayan vektörler olduğu süperpozisyon ve denge ilkeleri yardımıyla gösterilebilir.

Birim vektör: Vektörel işlemlerin kolaylaştırılmasında birim vektör tanımlanmıştır. Bu vektörler sırasıyla x, y, z eksenleri boyunca i, j, k olarak bilinir. Bu vektörlerin boyları bir birimdir. Şekil 3.2’de görüldüğü gibi, bir skaler ile bir vektörün çarpımı şeklinde ifade edilir.

Şekil 3.2. Birim vektör

Şekil 3.3. Vektörün bileşenleri ve birim vektör

Eşit vektörler: Aynı yön ve büyüklükte olan vektörlerdir.

Negatif vektör: Verilen bir vektörle aynı büyüklükte ama ters yönde olan vektördür.

Şekil 3.4. Negatif vektör

Şekil 3.5

3.2. Vektörel İşlemler

 Bilinen iki vektör A ve B olsun. Bu iki vektörün toplamına R diyelim. Paralel kenar kanunu vasıtasıyla şekil 3.6’da bu toplam R = A + B şeklinde verilir. A ve B, vektörlerin boylarını gösterdiğine göre vektörlerin toplamı geometrik olarak şekil 3.6’daki gibi verilebilir.

Şekil 3.6. İki vektörün toplamının geometrik gösterimi

 Bu vektörlerin arasındaki açı θ ise toplamın şiddeti şu şekilde yazılabilir. Vektörün şiddeti iki çizgi arasında (mutlak değer) gösterilir.

R = A² + B² ∓ 2 A B cos θ

B vektörü ile R vektörünün yaptığı açı şu şekilde yazılabilir.

α = arctan A sin θ B + A cos θ

 Vektörlerin toplanması için dört temel metot vardır:

a) Paralel kenar metodu b) Üçgen metodu

c) Poligon metodu d) Analitik metot

 İlk iki metot genellikle iki vektörün toplanmasında diğer iki metot ise ikiden çok vektörün toplanması durumunda kullanılır.

a) Paralel kenar metodu

 Bir noktada kesişen iki vektör bir paralel kenara tamamlanırsa vektörlerin kesim noktasından geçen köşegen o vektörlerin toplamına eşittir. Paralel kenara tamamlama ölçekli bir çizimle yapıldığında köşegenin boyu ölçülerek bileşke kuvvetin şiddeti bulunabileceği gibi cebirsel olarak da bileşke kuvvetin şiddeti ve yönü hesaplanabilir.

• Bir üçgende bileşke kuvvet aşağıdaki gibi yazılabilir.

R = A² + B² + 2 A B cos θ ^1/2

• Dik üçgende aşağıdaki eşitlikler geçerlidir.

𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵 + 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛⁻¹ 𝐴 sin 𝜃

𝐵 + 𝐴 cos 𝜃

Ayrıca yukarıdaki formüllerden şu özel durumlar söylenebilir.

• θ = 0^o ise; iki vektör çakışıktır.

• θ = 90^o ise; iki vektör birbirine diktir. Bu durumda şunlar yazılabilir.

R = A² + B^{2 1/2} α = tan⁻¹ A

B

• θ =180^o ise; iki vektör aynı doğrultuda, ama yönleri zıttır.

• R = A + B ise; α = 0^o ve B > A veya α = 180^o ve B < A olur.

• Aynı uygulama çizgisi olan iki kuvvetin bileşkesi:

Şekil 3.7

Paralelkenar kuralı:

Şekil 3.8

• Grafik metodu:

Şekil 3.9

• Sinüs ve kosinüs kuralı:

Şekil 3.11. Üçgen metodunun uygulanması

c) Poligon metodu

 Bu metot üçgen metodun genişletilmiş halidir. İkiden fazla vektörün toplanması için kullanılan geometrik bir toplama metodudur.

 Bilinen üç vektör A,B,C olsun vektörlerden birini çizdikten sonra diğer vektörleri kendi yön ve doğrultusuna sadık kalarak çizilen ilk vektörün uç noktası ile diğer vektörün başlangıcı birleştirilir.

 Aynı işlem sonraki vektör içinde uygulanır.

 İlk çizilen vektörün başlangıç noktası ile son çizilen vektörün bitim noktası birleştirilirse R bileşke kuvveti; şiddet ve yön olarak bulunmuş olur.

Şekil 3.12. Poligon metodu

 Burada işlem sırası ve vektörlerin birbirini kesmesi önemli değildir. Şekil 3.12’de üç vektör için metodun uygulanışı gösterilmiştir.

d) Analitik metot

 Bir vektörü (birbirine dik doğrultularda) kartezyen koordinat sisteminde iki bileşene ayırmak mümkündür.

 Vektörün eksenlerden birisi ile yaptığı açı θ ise, vektör sin(θ) ve cos(θ) ile çarpılarak dik koordinatlardaki izdüşümü bulunabilir.

 Şekil 3.13’de görüldüğü gibi vektör x ve y eksenleri yönünde bileşenlere ayrılabilir.

Şekil 3.13. Bir vektörün bileşenlere ayrılması

 Bir kuvvet için yapılan bileşenlere ayırma birden fazla vektör içinde yapılabilir. Sonra bu bileşenler cebirsel olarak toplanırlar. Bütün vektörlerin x yönündeki bileşenleri Rx ve y yönündeki bileşenleri Ry olmak üzere bu işlemler birden çok kuvvet için yapılmış ise,

4. KUVVET VE MOMENT

4.1. Kuvvet

Bir cismin şeklini veya hızını değiştiren ve başka cisimler tarafından uygulanan fiziksel etkiye kuvvet denir.

Kuvvetin etkisi ile cisimde hız veya şekil değişimi görülebilir.

Kuvvet doğrultu yön ve bir şiddet içerdiğinden vektörle gösterilebilir.

Yalnız aynı vektörle gösterilmesine rağmen kuvvet cismin farklı yerlerine uygulandığında fiziksel etkisi farklı olur.

Bundan dolayı kuvvet özellikle rijit cisim mekaniğinde vektör ve etki doğrusu ile birlikte düşünülmelidir.

 Bir cismi hareket ettiren veya hareketini değiştiren etkiye kuvvet denir

Şekil 4.1. Kuvvet ve etkisi

 Kuvvetin iki etkisinden söz edilebilir;

a) Duran bir cismi hareket ettirmek.

b) Hareket halindeki cismi durdurmak, denge durumu.

 Bir cismi hareket ettirmek için hareket yönünde bir kuvvet uygulanır.

 Hareket halindeki bir cismi durdurmak için aynı doğrultuda, aynı şiddette ve ters yönde bir kuvvet uygulanmalıdır.

 Kuvvetin etkisi, kuvvetin şiddetine, doğrultusuna, yönüne ve uygulama noktasına göre değişiklik gösterir.

 Buna göre kuvveti tam olarak tanımlayabilmek için bu değerlerin bilinmesi gereklidir.

 Kuvvetin, böyle bir doğru parçası ve ok ucu ile gösterilmesine vektör denir.

Şekil 4.2

Kuvvetin Temel İlkeleri

• Kuvvetin yönü ;

– Soldan sağa artı (+), – Sağdan sola eksi (—),

– Yukardan aşağıya artı (+),

– Aşağıdan yukarıya eksi (—) olarak işaretlenir.

Şekil 4.3

 Bir kuvvetin uygulama noktası, kendi doğrultusu üzerinde başka yerlere taşınabilir. Ancak kuvvetin tesiri değişmez. Yeter ki yeni uygulama noktası eskisine bağlı kalsın.

 Bir kuvvet sisteminde;

• Eşit şiddette,

• Aynı doğrultuda,

• Fakat ters yönde iki kuvvet birbirini dengede tutar.

Şekil 4.4

 Bir kuvvet, cisme etki yapınca;

• Cisim etki yapan kuvvete eşit,

• Onunla aynı doğrultuda,

• Fakat, ters yönde bir kuvvetle tepki gösterir (Etkiye Tepki Prensibi).

 Örneğin, duvara atılan yumruk elimizin acımasına yol açar.

Yumruk ne denli etkili ise, duvarın tepkisi de o denli fazla olacaktır; acıma hissi artacaktır. Buna göre, tepki etkiye eşit, fakat onunla ters yöndedir.

Bileşen ve Bileşke Kuvvetlerin Bulunması

 Bir cismi birden fazla kuvvet etkilediğinde, onların yaptığı etkinin aynısını yapabilecek tek kuvvete bileşke kuvvet denir ve R ile gösterilir. Cisme etki yapan kuvvetlere, bileşen kuvvet adı verilir F veya P ile gösterilir.

Şekil 4.5 Şekil 4.6

Bileşen ve bileşke kuvvetler grafik yöntem veya hesap yöntemi ile bulunabilir.

Dengeleyici Kuvvet:

 Bileşkeye eşit şiddette, onunla ters yönde olan kuvvete dengeleyici denir. Denge kuvvetini bulmak için, bileşkenin yönünü değiştirmek yeter.

Şekil 4.7

Hesap Yöntemi

 Kesişen iki kuvvetin bileşkesini hesap yöntemi ile bulmak için, trigonometrik formüllerden faydalanalım. Hesap yöntemi ve grafik yöntemi ile bulunan sonuçlar karşılaştırılarak problemin doğruluğunu sağlayalım.

 Bileşkenin hesaplanmasında Cosinüs formülü (Trigonometri) uygulanır.

a) a = 0^o ise, bileşen kuvvetler toplanarak bileşke kuvvet bulunur.

Şekil 4.8

b) a = 180⁰ ise sağa giden kuvvetler (+) sola gidenler ise (- ) alınarak toplanır.

Şekil 4.9

c) a = 90° ise Pisagor teoreminden yararlanarak sonuca ulaşılabiliriz.

Şekil 4.10

Bileşke kuvvet 𝑅 = 𝐹₁² + 𝐹₂²

formülü ile hesaplanır (cos90^o = 1).

d) a < 90° ise 𝑅 = 𝐹₁² + 𝐹₂² + 2 𝐹₁ 𝐹₂ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 formülü ile hesaplanır.

Şekil 4.11

Şekil 4.12

4.2. Moment

 Bir düzlem (B) içerisindeki kuvvetin momenti, moment merkezine göre (O), kuvvetin şiddetinin moment merkezi ile kuvvetin uygulandığı nokta arasındaki mesafenin (OA) çarpımına eşittir.

 Dönme merkeziyle (O), kuvvet (P) arasındaki dik uzaklığa kuvvet kolu (a) denir.

Şekil 4.13

Kısaca ;

 Kuvvet ile kuvvet kolunun çarpımına, kuvvetin “ Döndürme Etkisi ” veya Moment adı verilir. Moment M sembolü ile gösterilir.

 Örnek olarak; P kuvvetini Y ekseni etrafında dönüyormuş gibi farz edersek ;

• Kuvvet = P,

• Kuvvet kolu = a (OA) olarak alınırsa,

• Buradan Moment (Döndürme Etkisi)

• Moment = Kuvvet (P) x kuvvet kolu (a) olduğundan

• M = P x a veya

• M = P (kg) x a (cm) = kg cm olarak hesaplanabilir.

 Bu da O noktasına göre;

 Örnek olarak; Şekilde A noktasındaki bir sondaj borusunu döndürerek çakmak isteyen ekibin uygulaması gereken kuvveti hesaplamak istersek; A noktasına göre moment;

 Cismi etkileyen kuvvetler (n) adetse;

Şekil 4.14

ΣM_A = P₁ a₁ + P₂ a₂ + P₃ a₃ + … + P_n a_n

Burada ;

ΣM_A = A noktasına göre moment (kgm)

ΣM = Toplam moment

F₁ = A noktasına etki yapan (döndürmeye çalışan) kuvvet (kg)

a₁ = Kuvvetin A noktasına olan dik uzaklığı (m)

 Kuvvet birimini kilogram (kg) ve kuvvet kolunu metre (m) ile gösterirsek, moment birimi kilogram metre (kgm) olur.

 Kuvvet kolu santimetre (cm) ise, moment birimi kgcm’dir.

Bunun gibi tm, tcm’de moment birimi olarak yazılabilir.

 Cisim hareket etmezse yani sistem dengede ise ; ΣMo = 0 olur. Durgun hal (Denge durumu)

 Momentin işaretinin belirlenmesinde kuvvetin dönüş istikametine bakılır. Cismi, saat ibresi yönünde döndürecek şekilde etki yapıyorsa (+) pozitif, saat ibresinin tersi istikamette döndürecek etki yapıyorsa (-) negatif işaretli olarak alınır.

Varignon teoremi

1- Bir noktada kesişen birden fazla kuvvetin bileşkesinin herhangi bir dönme merkezine göre momenti, aynı noktaya göre bileşen momentlerinin cebirsel toplamına eşittir.

Not: Momentlerin yönlerine özellikle dikkat edilmelidir.

2- Bir paralel kuvvetler sistemi bileşkesinin herhangi bir dönme merkezine göre momenti, aynı noktaya göre bileşen momentlerinin cebirsel toplamına eşittir.

R d = P₁ a + P₂ b – P₃ c

5. RİJİT CİSİMLERİN DENGESİ

 Denge, hem ivmeli hareketle cismin ötelenmesini önlemek için kuvvetlerin dengesini, hem de cismin dönmesini önlemek için momentlerin dengesini gerektirir.

Şekilde cisme, kuvvet ve moment (kuvvet çifti) vektörleri etkilemektedir.

Bu kuvvetler, yerçekimi, elektriksel, manyetik veya temas kuvvetlerinden dolayı olabilir.

İç kuvvetlerin toplamı sıfırdır, çünkü cisim içindeki parçacıklar arasındaki iç kuvvetler, Newton’un üçüncü kanununa göre eşit, fakat zıt yönlü doğrusal çiftler şeklindedir, yani dengededir.

Şekil 5.1

 Bir cisme etki eden kuvvet ve moment çifti sistemi, cismin herhangi bir O noktasına eşdeğer bir bileşke kuvvet ve bileşke moment çiftine indirgenebilir.

 Bu bileşke kuvvet ve moment çiftinin ikisi de sıfıra eşitse, cismin dengede olduğu söylenebilir.

Şekil 5.2

 Bu denklemler, bir rijit cismin dengede olması için, cisim üzerine etkiyen bütün dış kuvvetlerin toplamının ve dış kuvvetlerin bir noktaya göre momentleri toplamının sıfıra eşit olması gerektiğini ifade eder.

 Bu iki şart, sadece gerek değil, denge için ayrıca yeter koşuldur.

 Bunu göstermek için, bir başka nokta olan A’ya göre moment alalım:

Varsayım:

 Denge denklemleri uygulanırken, cismin rijit kaldığı, şekil değiştirmediği kabul edilmektedir.

 Gerçekte ise, yüklere maruz kalan cisimler deforme olur.

Bununla birlikte, beton ve çelik gibi oldukça rijit olan malzemelerde bile durum böyledir.

 Ancak, birçok mühendislik uygulamasında denge denklemleri uygulanırken, cismin rijit olduğu kabulü yapılır.

 Cisim şekil değiştirse bile, bu şekil değişiminin kuvvetlerin doğrultusunu ve moment kollarının sabit bir referans eksenine göre değişmediği kabul edilir.

İki Boyutlu Denge

 Aynı düzlemdeki kuvvetler ve bu düzleme dik momentlerin dengesi sözkonusudur.

 Bu tür sistemlere iki boyutlu kuvvet sistemleri denir.

 Şekildeki uçak, merkezden geçen eksene göre simetrik olduğu için, tekerleklerde oluşan kuvvetler T ve T, 2T olarak gösterilmiştir.

Şekil 5.4

Serbest Cisim Diyagramları (SCD)

 Denge denklemlerinin başarıyla uygulanması için, cisim üzerine etkiyen bilinen ve bilinmeyen bütün dış kuvvetlerin cisim üzerinde gösterilmesi gerekir.

 Bunun için serbest cisim diyagramı çizilmelidir.

 Bu diyagram cismi, çevresinden izole edilmiş veya serbest kalmış bir şekilde ana hatlarını, yani bir “serbest cismi”

gösteren bir taslaktır.

 Serbest cisim diyagramını çizmek için:

1) Cisim üzerine etkiyen dış kuvvetler, bilinen ve bilinmeyen tüm kuvvetler cisim üzerinde gösterilir. Bu kuvvetler: cisme etkiyen dış kuvvetler, reaksiyon/mesnet kuvvetleri ve cismin ağırlığıdır.

2) Bilinen kuvvetler/momentler bilinen şiddet ve yönleriyle gösterilmelidir. Bilinmeyen kuvvetler/momentlerin yön ve şiddetleri harflerle gösterilmelidir

3) Bir x-y koordinat ekseni oluşturulmalı ve bilinmeyen kuvvetler, bu eksenlerdeki bile şenlerine ayrılarak gösterilmelidir.

4) Cismin boyutları belirtilmelidir (bu boyutlar momentler bulunurken kullanılacaktır).

Dış ve İç kuvvetler

 Bir rijit cisim parçacıkların birleşimi olduğundan, üzerine hem dış hem de iç yükler etki eder. Ancak cismin serbest cisim diyagramında iç kuvvetler gösterilmez. İç ve dış kuvvetler daima eşit, fakat zıt yönlü doğrusal çiftler şeklinde ortaya çıkar ve bu nedenle cisim üzerindeki net etkileri sıfırdır.

 Motora etkiyen tüm iç kuvvetler (bulon, vida vb. kuvvetleri) birbirlerini dengeler. Sadece zincir kuvvetleri ve motor ağırlığı serbest cisim diyagramında gösterilir.

6. MESNETLER VE MESNET REAKSİYONLARI

 Bir mesnet cismin verilen bir doğrultuda ötelenmesini engelliyorsa, cisim üzerinde sözkonusu doğrultuda bir kuvvet ortaya çıkar.

 Aynı şekilde, cismin dönmesi engelleniyorsa, cisim üzerinde bir kuvvet çifti momenti uygulanır.

6.1. Kayıcı Mesnetler

 Sadece kirişin düşey doğrultuda ötelenmesini önler, tekerlek kiriş üzerinde sadece bu doğrultuda bir kuvvet uygular.

 Sadece bilinmeyen bir reaksiyon sağlar ve hareket yönüne pozitif bir açı ile etki eder.

 Böylece kayıcı mesnetler, bir doğrultuda lineer harekete ve dönmeye müsaade ederler.

 Kuvvet mesnetten kirişe etkiyor şeklinde gösterildi (yani cisim üzerinde).

 Mesnet serbestçe döndüğü için ve yatay yönde hareket edebildiği için o yönlerde mesnet kuvvetleri oluşmaz.

Şekilden anlaşılacağı üzere, y yönünde yer değiştirme yoktur yani sıfırdır ama yönünde bir tepki kuvveti R_Ay meydana gelir.

Şekil 6.1. Kayıcı mesnet

6.2. Sabit Mesnetler

 Tek noktada sabitlenmiş mesnetler yatay ve düşeyde iki reaksiyon verir dolayısıyla iki yönde cismin hareketine engel olur. Fakat dönmeyi sağlar.

Şekil 6.2. Sabit mesnet

6.3. Ankastre (Konsol) Mesnetler

 Yönü ve şiddeti bilinmeyen iki reaksiyon ve momenti sağlar (toplam üç bilinmeyen).

 Bu mesnet kirişin hem ötelenmesine, hem de dönmesine engel olur.

 Böyle bir mesnet iki doğrultuda lineer hareketi ve bir eksen etrafında dönmeyi engeller.

Şekil 6.3. Ankastre mesnet

Şekil 6.4. Kayar ve sabit mesnetin birlikte uygulanması

7. AĞIRLIK MERKEZİ

 Cismin ağırlığı önemli mertebedeyse bu sorularda belirtilir.

 Cisim üniformsa (aynı malzemeden yapıldıysa) ağırlık merkezi cismin geometrik merkeziyle çakışır.

 Cisim üniform değilse, veya karmaşık bir geometriye sahipse bu durumda ağırlık merkezi verilecektir.

 Herhangi bir sistemin kuvvet analizi yapılacağı zaman, gerçek duruma en yakın analitik veya idealize modeli düşünülmelidir.

 Bunun için mesnet tipleri, malzeme davranışı ve cismin boyutları uygun bir şekilde seçilmelidir.

 Kompleks durumlarda birden fazla modelin analiz edilmesi gerekebilir.

Şekil 7.1

Şekil 7.2

Analizde İzlenecek yol:

1- Serbest Cisim Diyagramının Çizilmesi:

 Cisim üzerine etkiyen tüm dış kuvvetler ve kuvvet çifti momentlerinin gösterilmesi gereklidir.

 Bu vektörlerin büyüklükleri ve oluşturulan bir x-y eksen takımına göre belirlenen doğrultuları belirtilmelidir.

 Kuvvetlerin momentlerinin hesaplanması için gerekli olan cismin boyutları da serbest cisim diyagramına dahil edilir.

 Bilinmeyenler belirlenir.

 Etki çizgisi bilinen ancak büyüklüğü bilinmeyen bir kuvvet veya kuvvet çifti momentinin yönü varsayım ile belirlenebilir.

2- Denge Denklemlerinin Uygulanması:

 Bütün denklemleri aynı anda çözmek zorunda kalmamak için iki bilinmeyen kuvvetin etki çizgilerinin kesişme noktasında yer alan bir O noktasına göre M₀ = 0 moment denklemi uygulanır (ki bu bilinmeyen kuvvetlerin O noktasına göre momentleri sıfır olsun).

 Oluşturulan x-y eksenleri kullanılarak Fx = 0 ve Fy = 0 denge denklemleri uygulanır.

 Denge denkleminin çözümü sonucunda negatif bir skaler çıkarsa, sözkonusu kuvvet veya momentinin yönünün, serbest cisim diyagramında varsayılanın tersine olduğu anlaşılır.

8. KAFES SİSTEMLERİ VE KİRİŞLER

8.1. Düzlem Kafes Kiriş Sistemleri

 Aynı düzlem içinde birbirlerine uç noktalarından bağlanarak bir rijit yapı oluşturan çubuklar topluluğuna düzlem kafes sistemi denir.

 Uç noktalarından bağlanma şekli pratik uygulamalarında kaynaklı birleştirme şeklinde olmasına karşı hesaplamalarda sürtünmesiz silindirik mafsallı kabul edilir.

 Ayrıca çubuklar uç noktaları dışında yüklenmemiş kabul edilir.

 Böylece çubuklarda oluşacak iç kuvvetler çubuk doğrultusunda alınabilir.

 Kafes kiriş sistemlerinin yapım kolaylığı ucuzluğu ve hafifliği dolayısıyla bir çok yerde uygulama alanı vardır.

 Tren köprüleri, vinç kolları ve kuleleri , gezer köprülü vinçler , yüksek gerilim hattı direkleri , radyo verici antenleri, depo ve çiftlik çatı kirişleri gibi alanlarda uygulamalarına rastlanır.

8.1.1. Basit Kafes Sistemi

 Üç çubuktan oluşan kafes sistemi bir basit kafes sistemidir.

 Bu sistem üç çubuk ve üç düğüm noktası içerir.

 Bu sisteme eklenecek iki çubuk düğüm noktası sayısını bir artırır.

 Böylece oluşturulacak m sayıdaki çubuk ve n sayıdaki düğüm noktasından oluşan kafes sistemi de bir basit kafes sistemidir.

Bir basit kafes sisteminde m = çubuk sayısı n = düğüm noktası sayısı olmak üzere

2n = m + 3 olur.

Şekil 8.1. Basit kafes sistemi

Şekil 8.3. Çeşitli köprü kafes sistemi örnekleri Şekil 8.2. Çeşitli çatı kafes sistemi örnekleri

8.1.2. Düğüm Noktaları Metodu İle Kafes Sisteminin Analizi

 Kafes sisteminin her bir düğüm noktası için 2 denklem yazılır.

 n tane düğüm noktalı bir kafes sisteminde 2n denklem yazılacağından 2n sayıda bilinmeyen çözülebilir.

 Toplam çubuk sayısı 2n-3 ve mesnetlerden de 3 bilinmeyen geleceğine göre denklem sayısı yeterli olur.

 Ayrıca sistem bütün bir rijit cisim gibi alınıp dengesi düşünüldüğünde 3 denklem daha yazılabilir.

 Bundan dolayı düğüm noktaları metodu ile fazladan elde edilen 3 denklem sonuçların kontrolu için kullanılabilir.

 Bir kafes sisteminde çubuk kuvvetlerini bulmadan önce sistem bütün bir rijit cisim olarak göz önüne alınıp mesnet tepkileri bulunabilir.

 Daha sonra düğüm noktalarının dengesi düşünülerek en fazla iki bilinmeyen içerecek şekilde düğüm noktası seçip işleme başlanır.

 Çubuklardan düğüm noktalarına gelen kuvvetler çubuk doğrultularında alınır.

 Düğüm noktalarındaki kuvvetlerle çubuklardaki kuvvetler etki tepki ilkesine göre birbirinin tam zıttıdır.

 Bir düğüm noktasındaki bilinmeyenler çözüldüğünde bu düğüm noktasına çubuklarla direk bağlı diğer düğüm noktalarında da birer tane bilinmeyen azalacağından en fazla iki bilinmeyen içeren düğüm noktalarını bulmak kolaylaşır.

8.1.3. Özel Düğüm Noktaları

 Bir düğüm noktasında 4 tane çubuk şekildeki gibi ikişer ikişer aynı doğrultuda ise burada oluşturulacak kuvvet poligonu paralel kenar olur.

 Bundan dolayı aynı doğrultudaki çubuklara etki eden kuvvetlerin şiddeti birbirine eşit, yönü birbirinin zıttı olur.

Şekil 8.5. Özel düğüm noktaları

 Üç çubuktan oluşan bir düğüm noktasında çubuklardan ikisi aynı doğrultuda diğeri farklı doğrultuda yerleştirilmiştir.

 Ayrıca bir P kuvveti bu düğüm noktasına farklı doğrultudaki çubuğun doğrultusunda uygulandığında yine bu 4 kuvvet üzerine kurulan poligon paralel kenar şeklinde olur.

 Paralel kenarın karşılıklı kenarlarının uzunlukları birbirine eşit olacağından farklı doğrultudaki çubuk kuvvetinin şiddeti P kuvvetine eşit olur.

 Eğer bu P kuvveti kaldırılırsa farklı doğrultudaki çubuğun kuvveti sıfır olur.

Şekil 8.6

İki çubuktan oluşan düğüm noktalarında iki çubuk aynı doğrultuda ise bunlara etki eden kuvvetlerin şiddetleri birbirine eşit, yönleri birbirine zıttır.

Böyle bir düğüm noktasına başka bir P kuvveti etki ediyorsa bunun şiddeti sıfır olmalıdır.

İki çubuktan oluşan düğüm noktasındaki çubuklar farklı doğrultularda ise bu çubuklardaki kuvvetler sıfırdır.

Şekil 8.7

• Aşağıda gösterilen kafes sisteminde BM ve FI çubuk kuvvetleri sıfırdır.

• FI çubuk kuvveti sıfır olduğu için FJ çubuk kuvveti de sıfırdır.

Şekil 8.8

8.1.4. Kesim Metodu İle Kafes Sisteminin Analizi

 Tüm sistemin analizi yerine çubuklardan bazılarına gelen kuvvetler hesaplanacağı zaman kesim metodu daha pratiktir.

 Bu metotta kafes sistemi hesabı istenen çubuktan geçen ve bilinmeyen üç çubuktan fazla çubuk içermeyecek şekilde bir çizgi ile ikiye ayrılır.

 Ayrılan taraflardan birinde yazılacak olan

denklemleri ile üç bilinmeyen çözülebilir.

Şekil 8.9

9. SÜRTÜNME

9.1. Sürtünme Kavramı

 İki yüzey birbirleriyle temasta ise biri ötekine göre hareket etmek isteyince sürtünme kuvveti denen teğetsel kuvvetler ortaya çıkar. Bu kuvvetler şiddetçe sınırlıdır.

 Yeteri kadar kuvvetin etkimesi halinde harekete mani olamazlar.

 İki tür sürtünme vardır.

1) Kuru Sürtünme (Cloumb)

2) Sıvı Sürtünme (Yağlanmış mekanizmalarda)

• Bu derste kuru sürtünme incelenir.

9.2. Kuru Sürtünme ve Kanunları

 Bir cismin diğer bir cisim üzerinde kaymaya başladığı ana kadar ki sürtünmeye statik sürtünme denir.

 Bir cisim diğer bir cisim üzerinde hareket halindeyken söz konusu olan sürtünmeye kinetik sürtünme denir.

1. Sürtünme katsayısı normal kuvvetten bağımsızdır. Fakat sürtünme kuvveti normal kuvvetle doğru orantılıdır.

f = μN

2. Sürtünme katsayıları değerleri sadece yüzeylerin tabiatına bağlıdır. Dayanma, yüzeyinin biçim ve büyüklüğünden bağımsızdır.

3. Kinetik sürtünme katsayısı statik sürtünme katsayısından küçüktür.

4. Küçük hızlarda sürtünme hıza bağlı değildir. Fakat yüksek hızlarda sürtünme azalır.

 Bir cisim yatay bir yüzeyle temasta ise dört farklı durum ortaya çıkar.

Bunlar;

1. Cisme etkiyen kuvvet onu temas yüzeyi boyunca hareket etmeye zorlamaz.

( fs ) sürtünme kuvveti yoktur.

Şekil 9.2

2. Etkiyen kuvvetler, cismi temas yüzeyi boyunca harekete zorlar fakat hareket ettirecek kadar büyük değildir. Meydana gelen sürtünme kuvveti statik dengeden çözülebilir.

fs = μsN kullanılamaz.

Şekil 9.3

3. Hareketin başlangıcı etkiyen dış kuvvetler sürtünme kuvvetinin max. (fs) değerine ulaşmıştır. Sürtünme kuvveti N normal kuvvetiyle beraber diğer kuvvetleri dengelemektedir.

fm = μs.N kullanılabilir.

 fm, her zaman hareketin ters yönündedir.

Şekil 9.4

4. Cisme etkiyen kuvvetler tesirinde kaymaktadır. Artık denge denklemi uygulanmaz.

fs = Fk Fk: Kinetik sürtünme kuvveti fk = μk.N

Şekil 9.5

Sürtünme katsayıları ve sürtünme açıları

Şekil 9.6

9.3. Sürtünme Ve Sürtünme Katsayısı

 Şekillerde gösterildiği gibi eğim açısı θ olan bir eğik düzlem üzerine bırakılan bir cismin θ nın belli değerlerine kadar dengede kaldığı bilinir.

 Aynı şekilde yatay düzlem üzerine bırakılan bir cisme yatay doğrultuda bir P kuvveti uygulanırsa P’nin belli değerlerine kadar cismin dengede kaldığı bilinir.

 Bütün bunların nedeni temas eden yüzeyler doğrultusunda tepki kuvvetlerinin oluşmasıdır.

 Bu kuvvetlere sürtünme kuvvetleri denir.

Şekil 9.7

 Sürtünme kuvvetinin maksimum değeri birbirlerine temasta olan cisimlerin cinslerine ve temas yüzeylerinin özelliklerine bağlıdır.

 Dengede kalmak şartıyla θ’nın en büyük değerinin tanjantına sürtünme katsayısı denir ve μ ile gösterilir.

Tablo 9.1. Bazı cisim çiftlerinde statik sürtünme katsayıları

Kinetik sürtünme katsayıları statik sürtünme katsayısının yaklaşık 0.75’ine eşittir.

9.4. Mesnetlerdeki Sürtünmeler

• Mesnetlerde temas yüzeyi belli ise sürtünme kuvveti bu yüzeye teğettir. Eğer mesnet mafsal şeklinde ve temas yüzeyi bilinmiyorsa ise sürtünme momenti göz önüne alınarak işlem yapılabilir.

Şekil 9.8

9.5. Halat Veya Kayış Kasnak Sürtünmesi

• Kayış kasnak sistemlerinde düz kayış yerine daha çok kesiti V şeklinde olan V kayışları kullanılır.

Şekil 9.9

V kayışlı kayış kasnak sistemlerinde kayışın her iki yan yüzeyinde temas olduğundan diferansiyel elemanda sürtünme kuvvetinin iki katı alınır.

Normal kuvvet yerine 2dNsin β/2 alınarak düz kayış için yapılan işlemler tekrar edilirse

Şekil 9.10