Algoritmalara Giriş 6.046J/18.401J

(1)

Algoritmalara Giriş

D

^ERS

14

Yarışmacı Çözümleme

• Kendini Düzenleyen Listeler

• Öne Taşıma - Buluşsal Yaklaşım

• Öne Taşımanın Yarışmacı Çözümlemesi

Prof. Charles E. Leiserson

6.046J/18.401J

(2)

Kendini Düzenleyen Listeler

n elemanlı L listesi

• Erişim(x) işlemi seviye_L(x) = x’in L’nin başına olan uzaklığına mal olur.

• L listesi, komşu elemanların 1 maliyetle yer değiştirmesi ile yeniden düzenlenebilir.

(3)

Kendini Düzenleyen Listeler

Örnek :

(4)

Kendini Düzenleyen Listeler

Örnek :

14 anahtarlı elemana erişim 4’e mal olur.

(5)

Kendini Düzenleyen Listeler

Örnek :

3 ile 50’nin yer değiştirmesi 1’e mal olur.

(6)

Çevrimiçi ve Çevrimdışı Problemler

Tanım. İşlemler serisi S her seferinde bir kez oluşturulur. Her işlem için,

gelecekle ilgili herhangi bir bilgi

olmaksızın bir çevrimiçi algoritma A, işlemi çalıştırır. (örn. Tetris)

Çevrimdışı bir algoritma bütün S serisini en baştan görür.

Amaç : Toplam maliyet C_A(S)’yi en aza indirgemektir.

Tetris Oyunu

(7)

Kendini Düzenleyen Listelerin En Kötü Durum Analizi

Rakip her zaman, L listesinin kuyruğundaki n’inci

elemana erişir. Herhangi bir çevrimiçi A algoritması için en kötü durum :

(8)

Kendini Düzenleyen Listelerin Ortalama Durum Analizi

x elemanının p(x) ihtimali ile erişildiğini varsayalım. Bu durumda;

seviye_L(x)

Bu, L listesi p’ye göre azalan şekilde sıralı olursa en aza indirgenir.

Buluş : L listesindeki her elemanın kaç kere erişildiğini gösteren bir liste tutalım, L’yi bu listeye göre sıralayalım.

(9)

Öne Taşıma Buluşu

Pratik : Geliştiriciler, Öne Taşıma (ÖT) Buluşunun iyi sonuçlar verdiğini tecrübe ettiler.

Fikir : x’e eriştikten sonra, x’i listenin en başına sıra değiştirmelerle taşımak.

maliyet = 2 . seviye_L(x)

ÖT Buluşu, S dizisindeki erişim yerelliğine iyi tepki verir.

(10)

Yarışmacı Çözümleme

Tanım : Eğer bir k sabiti, herhangi bir S işlemler dizisi için;

durumunu sağlıyorsa, çevrimiçi A algoritması α – yarışmacıdır.

Burada OPT en uygun çevrimdışı algoritmadır. (“Tanrının algoritması”)

(11)

Öne Taşıma O(1) yarışmacıdır

Teorem : ÖT, kendini düzenleyen listeler için 4-yarışmacıdır.

(12)

Teorem : ÖT, kendini düzenleyen listeler için 4-yarışmacıdır.

İspat. L_i, i’inci erişimden sonraki ÖT listesi olsun, L_i* ise i’inci erişimden sonra en uygun liste olsun.

c_i = ÖT’deki i’inci işlem için maliyet

= 2 . seviye_{L i-1}(x) , eğer x’e erişiliyorsa.

c

_i

* =

ÖT’deki i’inci işlem için maliyet

= seviye_Li-1*(x) + t_i

t_i en uygun sıra değiştirme sayısıdır.

Öne Taşıma O(1) yarışmacıdır

(13)

Potansiyel Fonksiyonu

Potansiyel Fonksiyonu tanımlayın :

Ters çevirme

ve

(14)

Ters çevirme

ve

Örnek :

Potansiyel Fonksiyonu

(15)

Ters çevirme

ve

Örnek :

Potansiyel Fonksiyonu

(16)

Potansiyel Fonksiyonu

Ters çevirme

ve

Örnek :

(17)

Potansiyel Fonksiyonu

Ters çevirme

ve

Örnek :

(18)

Potansiyel Fonksiyonu

Ters çevirme

ve

Örnek :

(19)

Potansiyel Fonksiyonu

Ters çevirme

ve

Örnek :

(20)

Potansiyel Fonksiyonu

Ters çevirme

ve

Örnek :

(21)

Potansiyel Fonksiyonu

Ters çevirme

ve

Örnek :

(22)

Potansiyel Fonksiyonu

Ters çevirme

ve

(23)

Potansiyel Fonksiyonu

Ters çevirme

ve

• i=0, 1, …., için

• Eğer ÖT ve en uygun algoritma aynı liste ile başlıyorsa;

(24)

Potansiyel Fonksiyonu

Ters çevirme

ve

• i=0, 1, …., için

• Eğer ÖT ve en uygun algoritma aynı liste ile başlıyorsa;

1 değişimle Ф ne kadar değişir?

• Bir değişim 1 ters çevirme yaratır veya yok eder.

•

(25)

Erişim sırasında ne olur?

i’inci işlemin x’e eriştiğini düşünün ve şunu tanımlayın;

ve ve ve

ve

(26)

Erişim sırasında ne olur?

(27)

Erişim sırasında ne olur?

ÖT x’i öne hareket ettirdiğinde, ters çevirme yaratır ve ters çevirmeyi yok eder. En uygun algoritmada, her bir yer değiştirme ters çevirme yaratır. Bu durumda;

(28)

Amortize edilmiş maliyet

ÖT’nin i’inci işlemi için Ф göre amortize edilmiş maliyet :

(29)

Amortize edilmiş maliyet

(30)

Amortize edilmiş maliyet

iken.

(31)

Amortize edilmiş maliyet

(32)

Amortize edilmiş maliyet

(33)

Amortize edilmiş maliyet

iken

(34)

Amortize edilmiş maliyet

(35)

Büyük Final

Bu durumda, şuna sahibiz;

(36)

Büyük Final

(37)

Büyük Final

(38)

Büyük Final

ve iken.

(39)

EK

Eğer x’i öne taşıyan yer değiştirmeleri bedava kabul edersek, bu durumda öne taşıma 2-yarışmacı olur.

(40)

EK

Eğer x’i öne taşıyan yer değiştirmeleri bedava kabul edersek, bu durumda öne taşıma 2-yarışmacı olur.

Eğer L₀ ≠ L₀* ise ne olur?

• Bu durumda, Ф(L₀) en kötü durumda Θ(n²) olur.

• Ayrıca, C_MTF(S) ≤ 4 olur. n², |S| → ∞ bir sabitse, C_OPT(S) + Θ(n²) ise hala 4-yarışmacıdır.