1. A¤›rl›k ve Yerin Çekim Alan›
2. Serbest Düflme Hareketi 3. At›fl Hareketi
a) Düfley At›fl Hareketi b) Yatay At›fl Hareketi c) E¤ik At›fl Hareketi
4. Dönme Haraketi, Yörüngesi Çember Olan Hareket 5. Kepler Kanunlar› ve Newton’un Genel Çekim Kanunu
a) Kepler Kanunlar›
b) Newton’un Genel Çekim Kanunu 6. Basit Harmonik Hareket
a) Çember Üzerindeki Hareketli Noktan›n, Çap Üzerindeki ‹z Düflümünün Hareketi
b) Sar›ml› Bir Yay›n Basit Harmonik Hareketi c) Basit Sarkaç
ÖZET
Ö⁄REND‹KLER‹M‹Z‹ PEK‹fiT‹REL‹M DE⁄ERLEND‹RME SORULARI
• Ünite I ile ‹lgili Problemler
• Ünite I ile ‹lgili Test Sorular›
YERYÜZÜNDE HAREKET
ÜN‹TE I
BU ÜN‹TEDE NELER Ö⁄RENECE⁄‹Z?
• Bu bölümü çal›flmaya bafllamadan önce ax + b = 0 ve ax2 + bx + c = 0 denklemlerinin çözümünü yapabilmeli, trigonometrik bilgilerinizi,
• Vektörlerin toplanmas›n› ve bileflenlerine ayr›lmas›n› , H›z, ivme gibi fiziksel nicelikleri,
Newton’un II. Hareket Kanunu’nu hat›rlamal›s›n›z.
BU ÜN‹TEY‹ NASIL ÇALIfiMALIYIZ?
Bu bölümü çal›flt›¤›n›zda;
• ‹kinci bölümde üzerinde durdu¤umuz a¤›rl›k kavram› ile ilgili bilgilerinizi yerçekimi ivmesine ba¤l› olarak ifade edebilecek,
• Serbest düflme, düfley at›fl, yatay at›fl, e¤ik at›fl hareketi yapan cisimlerin hareketlerini çözümleyebilecek,
• Düzgün dairesel hareketi, aç›sal yer de¤ifltirme, aç›sal h›z ve merkezcil ivmeyi anlayacak,
• Kütle çekim yasalar›ndan yararlanarak serbest düflen cisimleri, roket, uydu ve gezegenlerin hareketlerine uygulayabileceksiniz.
☞
✍
1- A⁄IRLIK VE YER‹N ÇEK‹M ALANI
Yeryüzünde, belirli yükseklikten b›rak›lan cisimler yere do¤ru düfler. Bu düflme hareketi, cisimleri yerin merkezine do¤ru çeken bir kuvvetin etkisiyle gerçekleflir. Bu kuvvete yer çekimi kuvveti denir. Daha önceki bilgilerimize göre, bir cisme etkiyen yer çekimi kuvvetine o cismin a¤›rl›¤› denildi¤inive
Tablo 1.1 : Birim tablosu
g’nin büyüklü¤ü cismin bulundu¤u noktan›n yerin merkezinden uzakl›¤›na ve co¤rafî enleme ba¤l› olarak de¤iflir.
Dünyam›zda oldu¤u gibi di¤er gök cisimlerinin de çekim alanlar› vard›r.
2- SERBEST DÜfiME HAREKET‹
Belirli bir yükseklikten ilk h›zs›z olarak düflmeye b›rak›lan cisimlerin a¤›rl›klar›
etkisiyle yere do¤ru yapt›klar› sabit ivmeli harekete serbest düflme hareketi denir.
❂
➠
➠
G = m g
ba¤›nt›s›yla hesapland›¤›n› biliyoruz. Eflitlikte g, birim kütle bafl›na düflen yer çekimi kuvveti olup, yerin çekim alan fliddeti ad›n› al›r.
Nicelik A¤›rl›k Kütle Yerin çekim alan
fliddeti
Sembol G m g
Birim N kg N/kg (m/s2)
Grafik 1.1: Serbest düflme hareketinde, a. H›z-zaman grafi¤i,
b. ‹vme-zaman grafi¤i, c. Konum-zaman grafi¤i fiekil 1. 1: Serbest düflme hareketi
a b c
Serbest düflme hareketi ilk h›zs›z, düzgün h›zlanan, düfley do¤rultulu ve afla¤›
yönlü harekettir (fiekil 1.1).
Serbest düflme hareketinde grafik çizimlerinde cismin b›rak›ld›¤› yer bafllang›ç noktas›, hareket yönü ise (afla¤› yön) + olarak seçilmifltir (Grafik 1.1).
Hareket, 2.bölümde ö¤rendi¤imiz ilk h›z› olmayan düzgün h›zlanan do¤rusal hareketin bütün özelliklerini tafl›maktad›r. Bundan dolay› ilk h›z› s›f›r olan düzgün h›zlanan do¤rusal hareket ba¤›nt›lar›nda, a yerine g yaz›l›rsa serbest düflme hareketinde kullan›lan ba¤›nt›lar elde edilir.
h :Cismin b›rak›ld›¤› yükseklik t : düflme süresi
g:yer çekimi ivmesi (yerin çekim alan fliddeti)
Yukar›da belirtilen serbest düflme hareketi ba¤›nt›lar›, hava direncinin s›f›r oldu¤u ortamlarda (boflluk) geçerlidir. Ayr›ca hava direncinin önemsiz oldu¤u ortamlarda da kullan›l›r.
Hava direncinin oldu¤u ortamda serbest düflmeye b›rak›lan cismin h›z› artarken, hava direnci de artar. Bir süre sonra hava direnci cismin a¤›rl›¤›na eflit hâle gelir. O anda cisme etki eden bileflke kuvvet s›f›rd›r. Bu durumda cisim Newton’un I. Hareket Kanununa (eylemsizlik prensibi) göre o andaki sabit h›z›yla hareketini sürdürür, bu sabit h›za limit h›z denir.
ÖRNEK 1
125 metre yükseklikten serbest düflmeye b›rak›lan bir cisim yere kaç saniyede var›r? (hava sürtünmesi önemsenmeyecek, g=10 m/s2 al›nacak)
‹lk h›z› olmayan düzgün Serbest düflme h›zlanan do¤rusal harekette hareketinde
H›z v = a . t v = g t Yol x = 1
2 a t2 h = 1 g g t2 Zamans›z v 2 = 2 a x v 2 = 2 g h H›z
➠
➠
❂
➠
Nicelik
Tablo 1. 2 : Birim tablosu
3- ATIfi HAREKET‹
At›fl hareketleri incelenirken hava direncinin olmad›¤› varsay›lacak ve yeryüzüne yak›n uzakl›klar için yerin çekim alan fliddeti sabit al›nacakt›r.
a. Düfley At›fl Hareketi
1- Yukar›dan Afla¤›ya Düfley At›fl Hareketi
2- Afla¤›dan Yukar›ya Düfley At›fl Hareketi ÇÖZÜM
➠
h = 1
2 gt2 t2 = 125 5 125 = 1
2 10t2 t2 = 25 125 = 5t2 t2 = 52 t = 5 saniye
Belirli bir yükseklikten afla¤› do¤ru düfley olarak vo ilk h›z›yla at›lan cisim düfley do¤rultuda ve afla¤› yönlü düzgün h›zlanan bir hareket yapar (fiekil 1.3).
fiekil 1.3: Yukar›dan afla¤›ya düfley at›fl
fiekil 1.4: Afla¤›dan yukar›ya düfley at›fl
Düfley do¤rultuda afla¤›dan yukar›ya do¤ru vo ilk h›z›yla at›lan cisim, h›z›
s›f›r oluncaya kadar yer çekimi kuvvetinin etkisiyle düzgün yavafllayan do¤rusal hareket yapar. H›z› s›f›r oldu¤u andan itibaren de serbest düflme hareketi yapar (fiekil 1.4).
fiekil 1. 2
Cismin h›z›n›n s›f›r oldu¤u yüksekli¤e maksimum yükseklik denir ve
Cisim, maksimum yüksekli¤e ulafl›ncaya kadar geçen süreye ç›k›fl süresi denir ve
2. bölümde ö¤rendi¤iniz ilk h›zl› düzgün de¤iflen hareket (düzgün h›zlanan ve düzgün yavafllayan) ba¤›nt›lar›nda a yerine g yaz›larak düfley at›fl hareketinde kullan›lan ba¤›nt›lar elde edilir (Tablo 1.3).
ÖRNEK 2
Bir cisim yerden 60 m yükseklikten 20 m/s’lik h›zla, düfley olarak afla¤›ya at›l›yor.
Cismin;
a. At›ld›ktan 1 saniye sonra yerden yüksekli¤ini, b. Yere çarpma h›z›n› bulunuz. (g = 10 m/s2 al›nacak)
ÇÖZÜM
❂
❂
hmax = vo22g ba¤›nt›s› ile bulunur.
tç›k = vg ba¤›nt›s› ile bulunur. o
Yukar›dan ‹lk h›z› olan Afla¤›dan yukar›ya
‹lk h›z› olan düzgün afla¤›ya düfley düzgün at›fl h›zlanan harekette at›fl hareketinde yavafllayan hareketinde
h a rekette.
H›z
Yol
Z a m a n s › z H›z
v = vo + gt h = vot + 1
2 gt2 v2 = v02 + 2gh
v = vo - at x = vot - 1
2 at2 v2 = vo2 - 2ax v = vo + at
x = vot + 1 2 at2 v2 = vo2 + 2ax
v = vo - gt h = vot - 1
2 gt2 v2 = vo2 - 2gh
a. 1 saniyede alaca¤› yol, h1 = vot + 1
2 gt2 h1 = 20 . 1 + 1
210 . 12 h1 = 20 + 5
h1 = 25 m
h = h1 + h2 'den yerden yüksekli¤i, h2 = h - h1 h2 = 60 - 25
h2 = 35 m olarak bulunur.
b. Yere çarpma h›z›, v2 = vo2 + 2gh'den v2 = 202 + 2 . 10 . 60 v2 = 400 + 1200 v2 = 1600 v2 = 402
v = 40 m/s olarak bulunur.
Nicelik
Tablo 1.3 : Birim tablosu
fiekil 1.5
ÖRNEK 3
Bir cisim 80 m/s’lik h›zla düfley olarak afla¤›dan yukar›ya do¤ru at›l›yor. Cismin;
a. Ç›kabilece¤i maksimum yüksekli¤i,
b. Bu yüksekli¤e ç›k›fl süresini bulunuz. (g= 10 m/s2 al›nacak)
ÇÖZÜM
b) Yatay At›fl Hareketi
fiekil 1.6’da görüldü¤ü gibi belli bir yükseklikten yere paralel olarak voh›z› ile f›rlat›lan cismin yapt›¤› harekete yatay at›fl hareketi denir.
Yatay do¤rultuda cisme hiçbir kuvvet etki etmedi¤inden, hareket süresince x do¤rultusundaki yatay h›z› de¤iflmez. vx = vo (sabit)
ydo¤rultusundaki düfley h›z› ise vy = gt dir.
Cismin;
Yatay do¤rultudaki hareketi düzgün do¤rusal hareket (sabit h›zl› hareket) oldu¤undan al›nan yol,
Düfley do¤rultudaki hareketi ise serbest düflme hareketi oldu¤undan al›nan yol, ba¤›nt›s› ile hesaplan›r.
Hareketin herhangi bir an›ndaki h›z›,
❂
a. hmax = vo2 2g hmax = 802
2.10 hmax = 6400
20 hmax = 320 m
b. tç›k = vgo tç›k = 80 10 tç›k = 8 s olur.
fiekil 1.6: Yatay at›fl hareketi
x = vot ,
y = 1 2 gt2
v = vx2 + vy2,
ÖRNEK 4
3 m/s’lik bir h›zla yatay olarak f›rlat›lan bir cismin 0,4 saniye sonra h›z› kaç m/s olur? (g = 10 m/s2al›nacak)
ÇÖZÜM
c) E¤ik At›fl Hareketi y = g
2vo2 x2 ba¤›nt›s› ise hareketin yörünge denklemidir.
H›z›n do¤rultusu ise;
tgα = vy
vx ba¤›nt›s›ndan bulunur.
Cismin 0,4 s sonraki h›z›n›n yatay bilefleni vx = vo = 3 m/s2 olur.
Düfley bilefleni vy = g t 'den vy = 10.0,4
vy = 4 m/s bulunur.
0,4 s sonraki h›z›
v = vx2 + vy2
v = 32 +42 v= 9 + 16 v = 25
v = 5 m/s olarak bulunur.
fiekil 1.7: E¤ik at›fl hareketi
E¤ik at›fl hareketi, yatay bilefleni sabit h›zl›, düfley bilefleni ise sabit ivmeli hareket olan bileflik harekettir.
E¤ik at›fl hareketinde;
. Cismin hareket yörüngesi T tepe noktas›na göre simetriktir.
. Cismin maksimum yüksekli¤e ç›k›fl süresi, inifl süresine eflittir.
. H›z›n yatay bilefleni tüm hareket boyunca sabittir.
. α = 45° için at›fl uzakl›¤› (xmak) maksimum olur.
fiekil 1.7’ye göre e¤ik at›fl hareketi ile ilgili ba¤›nt›lar› yazal›m.
Cismin herhangi bir t an›nda bulundu¤u noktan›n koordinatlar› (konumu, yeri);
vy= 0 oldu¤u anda cisim maksimum yüksekli¤e ç›kar. (T noktas›)
❂
➠
➠
Yatayla α aç›s› yapacak flekilde vo h›z› ile f›rlat›lan cismin yapt›¤› harekete e¤ik at›fl hareketi denir.
Bafllang›ç noktas›ndaki h›z›n bileflenleri; vox = vocos α voy = vosin α
Herhangi bir t an›nda h›z v ise, H›z›n bileflenleri; vx = vox = vocos α
vy = voy - gt = vo sin α - gt olur.
Herhangi bir t an›nda cismin bileflke h›z›; v2 = vx2 + vy2 v = vx2 + vy2
H›z vektörünün do¤rultusu (yatayla yapt›¤› aç›) ise; tgα = vy
vx ba¤›nt›s›yla bulunur.
x = voxt = vo t cos α y = voyt - 1
2 gt2 = vot sin α -1
2 gt2 olur.
hmax = vo2 sin 2α 2g
α
Cismin hareket süresinde yatay do¤rultuda ald›¤› yola at›fl uzakl›¤› denir.
ba¤›nt›lar›ndan bulunur.
ÖRNEK 5
Yatayla 30° lik aç› yapacak flekilde 40 m/s’lik h›zla f›rlat›lan bir cismin;
a. Ç›kabilece¤i maksimum yüksekli¤i, b. Bu yüksekli¤e ç›k›fl süresini,
c. At›ld›¤› noktadan ne kadar uzakl›¤› düflece¤ini bulunuz.
(Hava sürtünmesi önemsenmeyecek, Sin 30°= 0,5, Cos 30°= 0,866, g =10 m/s2 al›nacak)
ÇÖZÜM
4. DÖNME HAREKET‹, YÖRÜNGES‹ ÇEMBER OLAN HAREKET
Do¤ru boyunca ilerleyen bir cismi, hareketi yönünde etki eden bir kuvvet h›zland›r›r, hareketine z›t yönde etki eden bir kuvvet ise yavafllat›r. Her iki durumda da hareket do¤rusald›r. fiekil 1.8’deki gibi bir cisme etkiyen kuvvet h›za daima dik olursa cisim dairesel hareket yapar.
❂
tç›k›fl = tinifl = vosin α g tuçufl = tç›k›fl + tinifl tuçufl = 2vosin α
g ,
Cismin havada kalma süresi;
xmax = vot cos α bağıntılarından bulunur.
a. hmax = vo2 sin 2α
2g = 402 . (0,5)2
2.10 = 1600.0,25
20 = 20 metre b. tç›k›fl = vosin α
g = 40 . 0,5
10 = 20
10 = 2 saniye c. xmax = vot cos α = 40 . 2 . 0,866 = 69,28 metre
fiekil 1.8: Dairesel harekette kuvvet ve h›z vektörleri
Daire üzerindeki harekette h›z›n ve kuvvetin büyüklü¤ü sabit ise cismin yapt›¤›
hareket düzgün dairesel harekettir.
Dairesel Hareketle ‹lgili Temel Kavramlar:
I. Periyot ve Frekans
Hareketlinin daire çevresi üzerinde bir kez dönmesi için geçen zamana periyot, birim zamandaki dönme (devir) say›s›na da frekans denir.
Periyot T, frekans f sembolü ile gösterilir. ‹kisi aras›nda, ba¤›nt›s› vard›r.
II. Aç›sal H›z ve Çizgisel H›z
Yar›çap vektörünün birim zamanda daire düzlemi içinde tarad›¤› (süpürdü¤ü) aç›ya aç›sal h›z denir. w sembolü ile gösterilir.
Cisim bir kez döndü¤ünde yar›çap vektörü taraf›ndan taranan aç› 360°= 2π radyan oldu¤undan, olur.
Hareketlinin dairesel yörünge üzerinde birim zamanda ald›¤› yola çizgisel h›z denir. v sembolü ile gösterilir.
Cisim bir tam dönmeyi T sürede yapar 2π r yolunu (daire çevresini) al›r. Buna göre çizgisel h›z;
Hareketlinin çizgisel h›z› ile aç›sal h›z› aras›nda da, eflitli¤i vard›r.
Tablo 1.4: Birim tablosu
❂
❂
❂
❂
T . f = 1 veya T = 1 f
w = 2π
T = 2πf rad/s
v = 2πR
T veya T = 1
f oldu¤undan, v = 2πfR fleklinde yaz›l›r.
v = 2πR
T veya T = 1
f oldu¤undan, v = 2πfR fleklinde yaz›l›r.
w = v R
Nicelik Periyot F rekans Aç›sal H›z Çizgisel H›z
Sembol T f w v
Birim s 1/s veya s-1 Radyan /s m/s
F rekans birimi için devir/saniye, hertz (Hz) de kullan›l›r.
Birim zaman için 1s, 1 dak, 1 h... al›nabilir.
III. Merkezcil ‹vme ve Merkezcil Kuvvet
Merkezcil kuvvetin dönme hareketi yapan cisme kazand›rd›¤› ivmeye merkezcil ivme denir.
Büyüklü¤ü, R ile a vektörleri ayn› do¤rultulu ve z›t yönlü oldu¤undan,
Dairesel harekette cismin yörüngesinde dönmesini sa¤layan, h›z vektörüne dik, merkeze yönelik bileflke kuvvete merkezcil kuvvet denir.
Düzgün dairesel hareket yapan cisme ivme kazand›ran kuvvet Newton’un II. Hareket Kanunu’na göre ;
Merkezcil kuvvet;
• Çizgisel h›za dik oldu¤undan ifl yapmaz.
• Yönü daima merkeze do¤rudur.
• Do¤rultusu sürekli de¤iflir.
Yatay ve Düfley Düzlemde Düzgün Dairesel Hareket
fiekil 1.9’daki gibi yatay düzlemde düzgün dairesel hareket yapan cismi yörünge üzerinde tutan (merkezcil kuvvet) ipteki gerilme kuvvetine eflittir.
❂
❂
➠
➠
T = F = mv2 R 'dir.
fiekil 1.9:Yatay düzlemde dairesel hareket
F = m a F = m v2
R = m w2 R fleklinde olur.
a = - m4π2R
T2 'den bulunur.
Ayn› cisme düfley do¤rultuda dairesel hareket yapt›r›ld›¤›nda (fiekil 1.10) Cismin a¤›rl›¤›n›n ip do¤rultusundaki bilefleni ile ipteki gerilme kuvvetinin bileflkesi merkezcil kuvveti verir.
I. Cisim üstte iken:
II. Cisim yanda iken:
Merkezcil kuvvet ipteki gerilme kuvvetine eflit olur.
III. Cisim altta iken:
Merkezcil kuvvet, F = Talt - G
‹pteki gerilme kuvveti,
Cisim alt noktadan geçerken ipteki gerilme en fazlad›r.
Yatay düzlemde düzgün dairesel harekette ipteki gerilme kuvveti yörüngenin her noktas›nda ayn› iken, düfley düzlemde düzgün dairesel harekette ise ipteki gerilme kuvveti yörüngenin her noktas›nda ayn› de¤ildir.
ÖRNEK 6
1 m uzunlu¤undaki bir ipin ucuna ba¤l› 0,5 kg’l›k bir cisim yatay düzlemde 2 m/s’lik h›zla döndürüldü¤ünde ipteki gerilme kuvveti kaç N olur?
➠
Merkezcil kuvvet, F = G + Tüst
‹pteki gerilme kuvveti, Tüst = F - G = mv2
R - mg olur.
fiekil 1.10: Düfley düzlemde dairesel hareket
F = Tyan = mv2 R dir.
Talt = F + G = mv2
R + mg olur.
ÇÖZÜM
ÖRNEK 7
1 m uzunlu¤undaki bir ipin ucuna ba¤l› 2 kg’l›k bir cisim düfley düzlemde 5 m/s’lik h›zla döndürülüyor. Cisim en üst, yan ve en alt noktada iken ipteki gerilme kuvveti kaç N olur? (g =10 m/s2al›nacak)
ÇÖZÜM
Virajlar› Dönen Araçlara Etkiyen Kuvvetler:
Yatay yolda R yar›çapl› viraj› dönen bir otomobilin d›fla savrulmas›n› sürtünme kuvveti önler. O halde bir otomobilin yatay yoldan viraj› güvenle dönebilmesi için,
Cisim yatay düzlemde dönerken ipteki gerilme kuvveti merkezcil kuvvete eflittir.
T = F = mv2 R T = 0,5 . 22
1 = 2 N
Tüst = mv2
R - mg Tyan = mv2
R Talt = mv2
R + mg Tüst = 2 . 52
1 - 2 . 10 Tyan = 2 . 52
1 Talt = 2 . 52
1 + 2 . 10 Tüst = 50 - 20 Tyan = 2 . 25 Talt = 50 + 20
Tüst = 30 N Tyan = 50 N Talt = 70 N
Fsür ≥ F kmg ≥ mv2
R k ≥ v2
Rg olmal›d›r.
Fsür ≥ F kmg ≥ mv2
R k ≥ v2
Rg olmal›d›r.
fiekil 1.12: E¤imli virajda bir otomobile etkiyen kuvvetler fiekil 1. 11
• Virajl› yollardaki e¤im, arac›n h›z›na ve viraj›n yar›çap›na ba¤l›d›r.
• k sürtünme kat say›s› e¤ime tan α eflit veya daha büyük olmal›d›r.
ÖRNEK 8
H›z› 36 km/h olan bir otomobilin, yar›çap› 40 m olan viraj› güvenle dönebilmesi için yolun e¤imi ne olmal›d›r? (g =10 m/s2 al›nacak)
ÇÖZÜM
v= 36 km/h = 10 m/s R= 40 m
tan α= ?
Yolun yatay olmas› halinde otomobilin güvenle dönebilmesi için k sürtünme kat say›s› ne olmal›d›r?
5- KEPLER KANUNLARI VE NEWTON’UN GENEL ÇEK‹M KANUNU a. Kepler Kanunlar›
Kepler, gezegenlerin günefl etraf›ndaki hareketlerini üç kanunla aç›klam›flt›r.
1. Yörüngeler Kanunu : Her gezegen, odaklar›ndan birinde günefl bulunan elips fleklinde bir yörünge üzerinde dolan›r.
2. Alanlar Kanunu: Günefli gezegene birlefltiren yar›çap vektörü eflit zaman aral›klar›nda eflit alanlar tarar.
Aalan› = B alan›
☛
➠
Araçlar›n virajlar› güvenle dönebilmesi için virajlara e¤im verilir. fiekil 4.12'deki otomobilin sürtünmesiz viraj› dönebilmesi için G a¤›rl›¤› ile yolun N tepki kuvvetinin bileflkesi F merkezcil kuvvete eflit olmal›d›r. Buna göre,
F = G + N tan α = F
G tan α = mv2
mgR tan α = v2
Rg bulunur.
F = G + N tan α = F
G tan α = mv2
mgR tan α = v2
Rg bulunur.
tan α = F G tan α = mv2
mgR tan α = v2
Rg bulunur.
tan α = v2
Rg = 102
40 . 10 = 100
400 = 0,25
Gezegenler Günefl’e yaklaflt›¤›nda h›zl›, uzaklaflt›¤›nda ise yavafl hareket eder.
3. Periyotlar Kanunu: Bütün gezegenler için, ortalama yörünge yar›çap› küpünün (R3), bir dolan›m süresinin karesine (T2) oran› sabittir.
Ba¤›nt›daki ortalama yörünge yar›çap›, güneflten gezegene olan maksimum ve minimum uzakl›klar toplam›n›n yar›s›d›r.
b. Newton’un Genel Çekim Kanunu:
Herhangi iki cisim birbirini kütleleri çarp›m›yla do¤ru orant›l› ve aralar›ndaki uzakl›¤›n karesi ile ters orant›l› bir kuvvetle çeker.
fiekil 1.14’te göre kütle çekim kuvvetinin büyüklü¤ü,
Ba¤›nt›daki G’ye genel çekim sabiti denir ve de¤eri; 6,67 x10-11 N m2/ kg2 dir.
ba¤›nt›s›yla belirtilir.
➠
fiekil 1.13: Gezegenlerin günefl etraf›ndaki hareketleri
R3
T2 = K (sabit) K ≅ 3,4 x 101 8m3 /s2 dir.
Rort = Rmin + Rmax
2
F = G m1m2 R2
fiekil: 1.14: Kütle çekim kuvveti
ÖRNEK 9
ÇÖZÜM
Dünya’n›n kütlesinin merkezinde topland›¤› düflünülürse Dünya ile kifli aras›ndaki uzakl›k Dünya’n›n yar›çap›na eflit olur. Buna göre Dünya’n›n adama uygulad›¤› çekim kuvveti,
6- BAS‹T HARMON‹K HAREKET
Bir cismin iki nokta aras›nda efl zamanl› (periyodik olarak) ve de¤iflen ivmeli olarak yapt›¤› titreflim (devir) hareketine Basit harmonik hareket denir. fiekil 1.15’teki örnekleri inceleyiniz.
fiekil 1.15: Basit harmonik hareket
❂
70 kg kütleli bir kifliye dünyan›n uygulad›¤› çekim kuvveti (kiflinin a¤›rl›¤›) kaç N'dur?
(Mdünya = 6 . 10 24 kg, Rdünya = 6,4 . 106 m, G = 6,67 . 10-11 Nm2/kg2)
70 kg kütleli bir kifliye dünyan›n uygulad›¤› çekim kuvveti (kiflinin a¤›rl›¤›) kaç N'dur?
(Mdünya = 6 . 10 24 kg, Rdünya = 6,4 . 106 m, G = 6,67 . 10-11 Nm2/kg2)
70 kg kütleli bir kifliye dünyan›n uygulad›¤› çekim kuvveti (kiflinin a¤›rl›¤›) kaç N'dur?
(Mdünya = 6 . 10 24 kg, Rdünya = 6,4 . 106 m, G = 6,67 . 10-11 Nm2/kg2)
F = GMadamMdünya
Rdünya2 = 6,67 . 10-11Nm2 /kg2(70kg) (6 . 102 4 kg) (6,4 . 106)2 F = 684 N bulunur.
Sar›ml› bir yay›n ucuna ba¤l› bir cismin afla¤›-yukar› (titreflim)hareketi
Bir ipin ucundaki cismin bir do¤rultuda gidip-gelme (sal›n›m) hareketi
Düzgün dairesel hareket yapan cismin, çap üzerindeki iz düflüm hareketi
Basit harmonik hareket ile ilgili tan›mlar:
Uzan›m (x): Herhangi bir anda cismin bulundu¤u noktan›n denge konumuna (orijine) olan uzakl›¤›na denir.
Genlik (r) : Uzan›m›n maksimum de¤erine denir.
Çarp›nt› (aç›sal frekans) (w): Hareketin aç›sal h›z›na denir.
Periyot (T): Cismin bir noktadan ayn› yönde art arda iki geçifli aras›nda geçen süreye yani bir titreflim için geçen süreye denir.
F rekans (f) : Cismin saniyedeki titreflim say›s›na denir.
a. Çember Üzerindeki Hareketli Noktan›n Çap Üzerindeki ‹z Düflümünün H a reketi
a b c
fiekil 1.16: Çember üzerindeki cismin çap üzerindeki iz düflümünün hareketi
R yar›çapl› çember üzerinde düzgün dairesel hareket yapan m kütleli cisme ait fiekil 1.16’daki hareketin; R vektörünün yatay ve düfley bileflenleri b’ deki,
Bu durumda m kütleli cisim düzgün dairesel hareket yaparken, yatay ve düfley çaplar üzerindeki iz düflüm noktalar› da ayn› peryotlu titreflim hareketi yapar.
❂
cismin üzerine etki eden F mekezcil kuvvetin yatay ve düfley bileflenleri ise c' deki gibi olacakt›r. R vektörü ile F merkezcil kuvvetin yönleri birbirine z›t oldu¤undan;
merkezcil kuvvetin de¤eri, F = -m 4π2R
T2 'den yatay ve düfley bileflenlerinin de¤eri, Fx = -m 4π2x
T2 ve Fy = -m 4π2 y
T2 'den bulunur.
cismin üzerine etki eden F mekezcil kuvvetin yatay ve düfley bileflenleri ise c' deki gibi olacakt›r. R vektörü ile F merkezcil kuvvetin yönleri birbirine z›t oldu¤undan;
merkezcil kuvvetin de¤eri, F = -m 4π2R
T2 'den yatay ve düfley bileflenlerinin de¤eri, Fx = -m 4π2x
T2 ve Fy = -m 4π2 y
T2 'den bulunur.
cismin üzerine etki eden F mekezcil kuvvetin yatay ve düfley bileflenleri ise c' deki gibi olacakt›r. R vektörü ile F merkezcil kuvvetin yönleri birbirine z›t oldu¤undan;
merkezcil kuvvetin de¤eri, F = -m 4π2R
T2 'den yatay ve düfley bileflenlerinin de¤eri, Fx = -m 4π2x
T2 ve Fy = -m 4π2 y
T2 'den bulunur.
b. Sar›ml› Bir Yay›n Basit Harmonik Hareketi
fiekil 1.17: Yaydaki uzamalar›n kuvvetle de¤iflimi
Esnek bir yay›n ucuna bir cisim as›l›rsa yay uzar (fiekil 1.17). Uzama miktar›
as›lan cismin a¤›rl›¤› ile do¤ru orant›l›d›r (Grafik 1.2). A¤›rl›k-uzama grafi¤indeki do¤runun e¤imi,
Orant› kat say›s› olan k’ye yay›n esneklik kat say›s› ya da yay sabiti denir.
A¤›rl›k ile uzama aras›ndaki ba¤›nt›, G = kx’ dir.
Yay taraf›ndan, yay› s›k›flt›rmak veya uzatmak için uygulanan kuvvete eflit ve z›t yönde bir kuvvet uygulan›r. Bu kuvvete geri ça¤›r›c› kuvvet denir.
(-) iflareti uzama veya s›k›flma ile kuvvetin z›t yönlü oldu¤unu gösterir.
Basit harmonik hareketin peryodu, ba¤›nt›s›ndan bulunur.
❂
❂
➠
tan α = Gx = k fleklinde yaz›l›r.
Fyay = - kx
T = 2π m
k
fiekil 1.18
Seri ba¤lanan yaylarda toplam uzama, yaylardaki uzamalar›n toplam›na eflittir.
Buna göre;
fiekil 1.19
Paralel ba¤lanan yaylarda sisteme etki eden kuvvet yaylara etki eden kuvvetlerin
toplam›na eflittir. Buna göre;
Tablo 1.5: Birim tablosu
x = x1 + x2 olur.
Yaylar›n hepsine ayn› kuvvet etkir.
F = k x den bulunan x = F
k de¤eri eflitlikte yerine yaz›l›rsa,
F ksis = F
k1 + F
k2 olur.
Sistemin k sabiti için 1
ksis = 1 k1 + 1
k2 elde edilir.
E¤er, k1 = k2 = k ise ksis = k/2 olur.
Buna göre;
Fsis = F1 + F2 olur.
Yaylardaki uzamalar ayn›d›r.
ksisx = k1x + k2 x den sistemin k sabiti için ksis = k1 + k2 elde edilir.
E¤er, k1 = k2 = k ise ksis = 2 k olur.
Bileflik yay sistemleri için yay sabiti;
I. Yaylar›n Seri Ba¤lanmas› II. Yaylar›n Paralel Ba¤lanmas›
Nicelik Kuvvet Uzama-s›k›flma Yay sabiti
Sembol F x k
Birim N m N/m
ÖRNEK 10
Yay sabitleri 10 N/m ve 40 N/m olan eflit boydaki iki yay›n ucuna fiekil 1.20’deki gibi 0,32 kg’l›k bir cisim as›l›yor. Yaylar,
a. Seri
b. Paralel ba¤land›¤›nda sistemlerin yay sabiti ve periyodu ne olur? (π = 3 al›nacak)
fiekil 1.20
ÇÖZÜM
c. Basit Sarkaç
Basit sarkaç, a¤›rl›¤› ihmal edilen l boyundaki bir ipin ucuna as›lm›fl kütleden oluflur (fiekil 1.21). Sarkaç A ve B noktalar› aras›nda gidip-gelme fleklinde basit harmonik hareket yapar. Cismin A noktas›ndan B noktas›na gidip, tekrar A noktas›na dönmesi için geçen süre sarkac›n periyodunu verir.
a. Seri ba¤land›¤›nda 1
ksis = 1 k1 + 1
k2 1
ksis = 1 10 + 1
40 ksis = 8 N/m T = 2p m
k T = 2.3 0,32
8 T = 2 . 3 (0,02)2 T = 6 . 0,02
T = 0,12 saniye olur.
b. Paralel ba¤land›¤›nda ksis = k1 + k2
ksis = 10 + 40 ksis = 50 N/m T = 2p m
k T = 2 . 3 0,32
50 T = 2 . 3 0,0064 T = 6 (0,08)2 T = 6 . 0,08
T = 0,48 saniye olur.
Ba¤›nt›dan basit sarkac›n periyodunun;
• Sarkac›n boyunun karekökü ile do¤ru orant›l› oldu¤u,
• Yerin çekim alan fliddetinin karekökü ile ters orant›l› oldu¤u,
• Cismin kütlesine ba¤l› olmad›¤› görülür.
Periyodu 2 saniye olan sarkaca, saniyeleri vuran sarkaç denir.
ÖRNEK 11
40 cm boyundaki basit sarkac›n;
a. Periyodunu (iki nokta aras›nda gidip-gelme süresi),
b. Frekans›n› (saniyedeki sal›n›m say›s› ) bulunuz. (g =1 0 m/s2, π = 3 al›nacak)
ÇÖZÜM
❂
a. T = 2π l
g T = 2 . 3 0,4
10 T = 6 0,04 T = 6 (0,2)2 T = 6 . 0,2 T = 1,2 saniye
b. f = 1 T f = 1 1,2
f ≅ 0,8 sal›n›m / saniye
fiekil 1.21: Basit Sarkaç
Periyot T = 2π l
g ba¤›nt›s›yla bulunur.
ÖZET
Serbest düflme ve düfley at›fl hareketleri, yer çekimi alan fliddetinin etkisi alt›nda yap›lan düzgün de¤iflen do¤rusal harekettir.
Yatay at›fl hareketi, yatay do¤rultuda düzgün do¤rusal (sabit h›zl› hareket), düfley do¤rultuda ise serbest düflme hareketi olan bileflik bir harekettir.
E¤ik at›fl hareketi, yatay bilefleni sabit h›zl›, düfley bilefleni ise sabit ivmeli hareket olan bir bileflik harekettir.
Dönen bir cismin birim zamanda yapt›¤› aç›sal yer de¤ifltirmeye aç›sal h›z denir.
Ayn› cismin birim zamanda yapt›¤› aç›sal h›z de¤iflimine aç›sal ivme denir.
Daire çevresi üzerinde sabit bir h›zla yap›lan harekete düzgün dairesel hareket denir.
Düzgün dairesel harekette çizgisel h›z ile aç›sal h›z aras›nda , v = wR ba¤›nt›s›
vard›r.
Düzgün dairesel hareket yapan bir cisme fliddeti,
olan ve daima dairenin merkezine do¤ru yönelmifl bir merkezcil kuvvet etki eder.
Virajl› yollarda güvenli¤i sa¤lamak için yola, iç k›sma do¤ru e¤im verilir. Yolun
e¤imi, formülüne uymal›d›r.
Kepler, gezegenlerin hareketlerini üç kanun ile ifade etmifltir.
Newton’un Kütle Çekimi Kanunu’na göre aralar›ndaki uzakl›k R olan m1 ve m2 kütleli iki cisim birbirlerini, ile verilen bir kuvvetle çekerler. Yeryüzüne düflen cisimler, Dünya etraf›nda dönen uydular ve Günefl etraf›nda dolanan gezegenler bu kanuna uyarlar.
F = m v2 R
tan α = m v2 Rg
F = G m1m2 R2
Ö⁄REND‹KLER‹M‹Z‹ PEK‹fiT‹REL‹M
1- 125 m yükseklikte uçmakta olan bir helikopterden b›rak›lan bir cisim kaç saniye sonra yere çarpar? (g = 10 m/s2al›nacak)
ÇÖZÜM
2- 1. sorudaki cismin, 2 saniyede yere çarpmas› için kaç m/s’lik h›zla düfley do¤rultuda afla¤› do¤ru f›rlat›lmas› gerekir?
ÇÖZÜM
3- 45 m yükseklikteki bir noktadan yatay do¤rultuda 60 m/s h›zla f›rlat›lan bir cisim kaç metre uzakta yere çarpar (g = 10 m/s2al›nacak)
ÇÖZÜM h = 1
2 gt2 125 = 1
2 10t2 t2 = 25 t2 = 52 t = 5 s
h = 1 2 gt2 125 = 1
2 10t2 t2 = 25 t2 = 52 t = 5 s
h = vot + 1 2 gt2 125 = vo2 + 1
2 10 . 22 125 = 2vo + 20 2vo = 125 - 20 2vo =105 vo = 52,5 m/s
Cismin yere düflme süresi,
h = 1
2 gt2 den 45 = 1
2 10t2 45 = 5t2 t2 = 9 t2 = 32
t = 3 s olur.
Yatay olarak ald›¤› yol, x = vot x = 60 . 3
x = 180 m olur.
fiekil 1. 22
4- Yerden, yatayla 53° aç› yapacak flekilde ve 200 m/s’lik h›zla at›lan bir cismin 2 saniye sonundaki,
a. H›z›,
b. Bulundu¤u noktan›n koordinatlar› nedir?
ÇÖZÜM
b. Yatay düzlemde al›nan yol ;
Düfley düzlemde al›nan yol;
Koordinatlar›;
5- 3 radyan›n a. Kaç derece,
b. Kaç devir oldu¤unu bulunuz. (π = 3 al›nacak)
ÇÖZÜM
Sin 53° = 0,8, Cos 53° = 0,6, g =10 m/ s2
vo y = voSin 53° - gt vo y = 200 . 0,8 - 10 . 2 vo y = 160 - 20
vo y = 140 m/s
vo x = voCos 53°
vo x = 200 . 0,6 vo x = 120 m/s
Hız;
v = vo x2 + vo y2 = 1202 + 1402 v = 34 000
v = 185 m/s olur.
y = voy t - 1
2 g t 2 = 140 . 2 - 1
2 10 . 22 = 280 - 20 = 260 m x = v ox . t = 120 . 2 = 240 m
(x , y) (240,260)
a. 2 π radyan = 360° oldu¤undan 3 . 360
2π = 3 . 360
2 . 3 = 180°
b. 2 π radyan = 1 devir 3 . 1
2π = 3 2 . 3 = 1
2 = 0,5 devir a. 2 π radyan = 360° oldu¤undan 3 . 360
2π = 3 . 360
2 . 3 = 180°
b. 2 π radyan = 1 devir 3 . 1
2π = 3 2 . 3 = 1
2 = 0,5 devir a. 2 π radyan = 360° oldu¤undan 3 . 360
2π = 3 . 360
2 . 3 = 180°
b. 2 π radyan = 1 devir 3 . 1
2π = 3 2 . 3 = 1
2 = 0,5 devir a. 2 π radyan = 360° oldu¤undan 3 . 360
2π = 3 . 360
2 . 3 = 180°
b. 2 π radyan = 1 devir 3 . 1
2π = 3 2 . 3 = 1
2 = 0,5 devir
fiekil 1.23
6- Tekerleklerinin yar›çap› 0,5 m olan bir otomobil hareket ederek 10 saniyede 50 m/s’lik h›za ulafl›yor. Otomobil tekerle¤inin aç›sal h›z› nedir?
ÇÖZÜM
7- 6 m yar›çapl› çembersel yörüngede saniyede 3 devir yaparak dönen 2 kg kütleli cismin;
a. Çizgisel h›z›n› (v), b. Merkezcil ivmesini (a),
c. Merkezcil kuvvetini (F) bulunuz. (π = 3 al›nacak)
ÇÖZÜM
8- Tekerleklerle yol aras›ndaki sürtünme kat say›s› 0,1 olan bir araban›n, 400 m yar›çapl› yatay bir viraja güvenle girebilmesi için h›z› kaç m/s olmal›d›r?
( g= 10 m/s2al›nacak)
ÇÖZÜM k = 0,1 R = 400 m v = ? w = vr w = 50
0,5
w = 100 rad / s
R = 6 m f = 3 s-1 m = 2 kg
a. T = 1
f v = 2πR
T v = 36 1 3 T = 1
3 s v = 2 . 3 . 6 1 3
v = 108 m
b. a = v2 R a = 1082
6 a = 1944 m/s2 c) F = mv 2
R F = 2(108)2
6 F = 2 . 1944 F = 3888 N
c. F = m v 2 R F = 2 (108)2
6 F = 2 . 1944 F = 3888 N
k ≥ v 2 Rg den v 2 = k . R . g v 2 = 0,1 . 400 . 10 v2 = 400
v 2 = 202 v = 20 m/s
9- Yay sabiti 125 N/m olan bir yay›n ucuna 5 kg kütleli bir cisim as›lm›flt›r. Denge konumundan bir miktar çekilerek titreflime b›rak›lan kütlenin yapaca¤› hareketin peryodu kaç saniyedir? (π=3 al›nacak)
ÇÖZÜM k = 125 N/m m = 5 kg T = ?
10- 10 m/s’lik h›zla düfley olarak afla¤›dan yukar›ya do¤ru at›lan cismin ç›kabilece¤i maksimum yükseklik, maksimum yüksekli¤e ç›k›fl süresi nedir? (g= 10 m/s2al›nacak)
ÇÖZÜM
T = 2π m
k T = 6 1
25 T = 6 1 5 T = 2 . 3 5
125 T = 6 12
52 T = 6 5 T = 1,2 s
v 2 = v o2 - 2 g h 0 = v o2 - 2 g hmax
v o2 = 2 g hmax
h max = v o2
2g hmax = 102
2 . 10 hmax = 100
20 hmax = 5 m
v = vo - g t 0 = vo - g tç›k›fl vo = g tç›k›fl tç›k›fl = vgo tç›k›fl = 10 10 tç›k›fl = 1 s
DE⁄ERLEND‹RME SORULARI
a) BÖLÜM ‹LE ‹LG‹L‹ PROBLEMLER
1- 5,4 m yükseklikteki bir tramplenden 6 m/s’lik h›zla havuza atlayan yüzücü suya kaç m/s’lik h›zla çarpar?
2- rad/s’lik aç›sal h›zla dönen bir pla¤›n dönme ekseninden 10 cm uzaktaki bir noktan›n çizgisel h›z› kaç m/s’dir? (π = 3 al›nacak)
3- Aralar›nda belirli bir uzakl›k bulunan iki kütle aras›ndaki çekim kuvveti 54 N’dur. Bu iki kütle aras›ndaki uzakl›k 3 kat›na ç›kar›l›rsa aralar›ndaki çekim kuvveti kaç N olur?
4- Afla¤›dan yukar›ya düfley olarak vo ilk h›z›yla at›lan cismin 60 m yükseklikteki h›z›, ilk h›z›n›n yar›s›na eflit oluyor. Cismin ilk h›z› kaç m/s’dir?
5- Kuvvet - uzan›m grafi¤i Grafik 1.3’teki gibi olan esnek yay›n, yay sabiti nedir?
.
3π2
Grafik 1.3: Problem 1.5
b) BÖLÜM ‹LE ‹LG‹L‹ TEST SORULARI
1- Yerin çekim alan fliddetinin (g) de¤eri ile ilgili afla¤›daki yarg›lardan hangileri do¤rudur?
I. Yerin merkezinde s›f›rd›r.
II. Yer yüzeyinde en büyüktür.
III. Yer yüzeyinden uzaklaflt›kça azal›r.
A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) I.II ve III
2- Bir yay›n ucuna ba¤l› 0,5 kg kütleli cisim, sal›n›m peryodu 0,6 saniye olan basit harmonik hareket yapmaktad›r. Yay›n kuvvet sabiti kaç N/m’dir? (π = 3 al›nacak)
A) 3 B) 5 C) 9 D) 50
3- Bir kuleden b›rak›lan tafl 6 saniye sonra yere çarp›yor. Buna göre afla¤›dakilerden hangisi do¤rudur? (g = 10 m/s2al›nacak)
Kulenin yüksekli¤i (m) Tafl›n Ye re Çarpma h›z› (m/s)
A 180 60
B 120 90
C 90 120
D 60 180
4- E¤ik at›fl hareketinde at›fl uzakl›¤›n›n maksimum olabilmesi için cisim kaç derecelik aç› ile at›lmal›d›r?
A) 30 B) 45 C) 60 D) 90
5- Tekerleklerle yol aras›ndaki sürtünme katsay›s› 0,1 olan bir otomobilin, 225 m yar›çapl› yatay bir viraja güvenle girebilmesi için h›z› kaç m/s olmal›d›r?
(g=10 m/s2al›nacak)
A) 15 B) 22,5 C) 30 D) 45
6- Yatay at›fl hareketi ile ilgili afla¤›daki bilgilerden hangileri do¤rudur?
I. Kütleye ba¤l› de¤ildir.
II. Yatay h›z sabit ve vo ilk h›za eflittir.
III. Düfley h›z her saniye g kadar artar.
IV. Herhangi bir andaki h›z yörüngeye te¤ettir.
A) I ve II B) III ve IV C) II, III ve IV D) I, II, III ve IV
7- E¤ik at›fl hareketi yapan bir cisim ile ilgili afla¤›daki bilgilerden kaç tanesi do¤rudur?
• E¤ik at›fl hareketi kütleye ba¤l› de¤ildir.
• Tepe noktas›nda h›z s›f›r olur.
• H›z›n yatay bilefleni hareket süresince de¤iflmez.
• Cismin yörünge tepesine ç›k›fl süresi, inifl süresine eflittir.
• E¤ik at›larak at›ld›¤› seviyeye düflen cismin ilk h›z› ile son h›z› eflittir.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5
8- fiekildeki basit sarkaç ile yayl› sarkac›n periyotlar› eflit oldu¤una göre, basit sarkac›n ip uzunlu¤u kaç m’dir? (g = 10 m/s2al›nacak)
A) 0,2 B) 0, 5 C) 1,0 D) 1,5
9- fiekildeki sarmal yay›n ucuna 2 kg‘l›k cisim as›ld›¤›nda yay›n denge konumuna göre 2 cm uzad›¤› gözleniyor. Buna göre sarmal yay›n k yay sabiti kaç N/m’dir?
(g = 10 m/s2al›nacak)
A) 100 B) 200 C) 400 D) 1000
10- Bir tüfekle 50 m uzakl›ktaki bir a¤aca yatay do¤rultuda atefl ediliyor. Mermi a¤ac›n, tüfek do¤rultusundan 0,2 m afla¤›s›na isabet etti¤ine göre, merminin tüfekten ç›k›fl h›z› kaç m/s’dir? (g = 10 m/s2al›nacak )
A) 200 B) 250 C) 500 D) 1000
