Ö¤retmen olmama ra¤-men 7. ya da 8. s›n›f sözcü¤ü-ne hala al›flamad›m desem ye-ridir. 7.s›n›f› okumad›m asl›n-da, ama ona denk gelen orta 2 vard› benim zaman›mda. Müfredat, y›llar içinde de¤i-flim gösterse de 7. s›n›f yani orta 2, matematikte bilinme-yen yani “x” kavram›n›n ge-liflmeye bafllad›¤› y›l olarak kalm›flt›r hep! Bunu geliflti-ren konuysa denklemler bafll›¤› alt›nda ifllenir. Bafll›ca bilinmeyeni “x” ya da “a” olan pek çok basit denklem çözülür o y›l. Bir kere bi-linmeyen kullanman›n anlam›n› çözebilirseniz cebirde kimse tuta-maz sizi. Bu baflar›n›z daha sonra analiz konular›na da (limit- tü-rev- integral) yans›yacakt›r mutlaka.
‹nsan ister istemez flafl›r›yor bir 7. s›n›f ö¤rencisinin böyle ken-di müfredat›n›n ilerisinde konularla u¤rafl›p üretimler yapmas›na. Farkl› insanlar›n, ›fl›¤›n› yans›tmas› için di¤erlerini flafl›rtmas› da çok do¤al bir olgu de¤il midir zaten. Mazlum Ferhat arkadafl›m›za teflekkür ediyoruz öncelikle, çal›flmas›n› bizimle ve siz okuyucula-r›m›zla paylaflt›¤› için. Kendisi lise 2’de, daha do¤rusu 10.s›n›fta ö¤-renece¤i bir konuyu flimdiden keflfetmifl. Bu oldukça umut verici bir durum. Ne de olsa matematik dahisi Gauss da benzer ama da-ha basit bir formülü (1’den n’e kadar olan say›lar›n toplam formü-lünü) henüz ilkokul y›llar›nda toplama ifllemini ö¤renir ö¤renmez keflfetmifl. Bilinmeyen için d›flardan fikir almas› oldukça beklendik, Ferhat arkadafl›m›z›n. Çünkü bilinmeye kavram›n›n yani x’in haya-t›m›za yeni yeni girdi¤i bir y›l 7. s›n›f…
Okuyucumuzun bize iletti¤i buluflunu biraz mercek alt›nda in-celeyim isterseniz.
Geometrik Seriler
Seri, bir dizinin terimlerinin birbiriyle toplanmas›yla elde edilen sonuçtur. Sonuç bir say› olabilir ya da olmayabilir. Örne¤in dizi: 1,1,1… fleklinde sonsuz tane 1 den olufluyorsa bu sonsuz say›n›n toplam› bize bir say› vermez. Böyle durumlarda seriye ›raksak de-riz. Iraksakl›k sonsuz say›y› toplamaktan kaynaklanmaz. Söz geli-mi afla¤›da örne¤ini verdi¤igeli-miz geometrik seri yak›nsakt›r:
Biz sonlu toplamlardan bahsedece¤iz. Okuyucumuz bize sonlu toplam formülü göndermifl. ‹lk örne¤i:
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 yani
Bu sonlu toplam›n önceden keflfedilmifl bir formülü var. Formül genel anlam›yla flöyle:
Ferhat arkadafl›m›z›n bize gönderdi¤i formül daha kullan›fll›, çünkü onun formülünde ilk terimi istedi¤imiz yerden bafllat›yoruz, burada oldu¤u gibi 0’dan bafllatmak zorunda olmuyoruz. Toplam kurallar›, bunun için de pratik bir kural sunuyor. E¤er m’den n’e kadar olan toplam› bulmak peflindeyseniz, 1’den n’e kadar olan toplamdan 1’den m-1’e kadar olan toplam› ç›kart›n, geriye istedi¤i-niz k›s›m kalacakt›r:
Bu durumda Ferhat’›n üretece¤i formül flu flekilde gelir elimize:
Ferhat arkadafl›m›z gibi yazacak olursak:
Madem analize katk› sa¤layaca¤›nda bahsettik, onu da belirtme-den geçmeyelim. Sonsuz toplam hesapl›yorsan›z, formülünde t
son-suza giderken limit alman›z yeterli.
Geometrik seriler |r| < 1 için çal›fl›rken yak›nsak oldu¤undan r bu arada bir de¤erdir ve limiti 0’a gider. Sonuç olarak
gibi basit ve sadece bir sonuca ulafl›r›z. Sonsuz tane say›y› bu yal›n formülle hesaplamak gerçekten de hayat› ko-laylaflt›rm›yor mu ne dersiniz? N i l ü f e r K a r a d a ¤
karadagnilufer@yahoo.com
2 + 4 + 8 +…+ 64 = [64 – 2/2] . 2= 126 8 + 16 + 32 + … + 128 = [128 – 8/2] . 2 = 248 . . 3 + 9 + 27 + 81 = [81 – 3/3] . [3/2] = 120 27 + 81 + … + 729 = [729 – 27/3] . [3/2] = 1080 . . 4 + 16 + … +1024 = [ 1024 -4/4] . [4/3] = 1364 1024 + 4096 + 16384 = [ 1638 – 1024 /4] . [4/3] =21504 . .Bu kez 457 say›s›n›n kuvvetlerinin toplam›n› 3. kuvvete kadar bulal›m;
457 + 208849 + 95443993
= [95443993 -457/456] . [457/456] = 95653299 1 hariç tüm pozitif tam say›lar›n pozitif kuvvetlerinden oluflan bir toplama ifllemini flu flekilde yazabiliriz:
[son say› – ilk say›/ say›n›n birinci kuvveti] .[say›n›n birinci kuvveti / say›n›n birinci kuvveti -1]
Babam bu say›n›n kendisine x dememi ve ilk say›ya xmson say›ya da xnve
m = 1,2,3…;
n = m +1, m + 2, m + 3,…;
de¤erleri fleklinde tan›mlamam› ve x = 2,3,4,… dememi söyledi ve bu durumda flöyle formülize edebilece¤imi gördüm:
Bu formülü 1 hariç tüm pozitif say›lara uygulad›¤›mda do¤ru sonuç vermektedir. Yay›nlarsan›z sevinirim. (2000 Evler ‹lkö¤retim Okulu 7. s›n›f ö¤rencisiyim)
Mazlum Ferhat Arslan Seyhan / ADANA
Bir Buluflum Var
E¤er siz de kaydetti¤iniz önemli bir bulgu oldu¤unu düflünüyorsan›z dergimize gönderin ve onu sizin için de¤erlendirelim. Adresimiz: TÜB‹TAK Bilim ve Teknik Dergisi, Buluflumu De¤erlendirin Köflesi, Atatürk Bulvar› No:221 Kavakl›dere-ANKARA
102A¤ustos 2006 B‹L‹MveTEKN‹K