“Geometrinin iki büyük hazinesi vardır:
Bunlardan biri Pisagor kuramı,
öteki de bir çizginin aşıt ve ortalama
orana bölünmesidir.”
Kepler
Güzelliğin Sayısı:
1,61803
İ
nsan bir tasarımdır. Kendi güzelliğini tasar-ladığı nesnelerde de görmek ister. Geomet-ri, tasarımları ahenkli bir şekilde düzenleme-mize yardımcı olur. Geometriyle tasarım yüzyıl-lar boyunca gizli uygulandığından geniş kitlele-re yayılmamış, bikitlele-reysel kalmıştır. Tasarımcılar, es-ki çağlardan günümüze, doğadan görmüş olduk-ları oranolduk-ları taklit edip kullandılar. Bunlardan en çok bilineni altın oran dediğimiz kesimdir. Bu ke-simle yapılan oranlama birimleri (modülleri) sa-yesinde tasarımlar güzelleşmiş ve kusurlu imalat yapılması önlenmiştir. Altın oran, yalnızca insan-larda değil hayvan ve bitkilerin yaşam kalıpların-da kalıpların-da görülür. Birçok bilim insanının araştırmalar sonucunda vardığı ortak kanı bunun, hayatın olu-şum süreci içinde yer alan bir tür büyüme yönte-mi olduğudur.Alman psikolog Gustav Fechner, ondokuzuncu yüzyılın sonlarında insanlardaki estetik algıları, çe-şitli dörtgenleri deneklerin beğenilerine sunarak “ter-cih edilme” sıklığı açısından ölçtü. Sonuçlara göre, deneklerin büyük çoğunluğunun beğendiği dörtge-nin altın oran olduğu görülmüştür. Benzer deneyler 1908’de Lalo ve diğerlerince de tekrarlandı ve sonuç-lar birbirine yakın çıktı. Yakın dönemde deneklerden, herhangi bir dikdörtgen çizmelerini istediğim kendi-me ait bir çalışmadaysa, kadınların erkeklere göre al-tın orana daha yakın dikdörtgenler çizdikleri çıktı.
Rakamlar ve sayı dizilerinin doğadaki organizas-yonlarla bağlarını araştıran insanoğlu, bu analizleri insan vücudunun boyutlarından müzikteki armo-nik oran dizilerine kadar yaymıştır. Doğadaki birçok bitki ve hayvan incelendiğinde büyümelerinin belirli bir sistematik içinde sürdüğünü görüyoruz. Her can-lı, doğanın kodlarını kendi kimliğini ortaya koyabi-lecek şekilde geliştirmiştir. Örneğin çam kozalağın-da Fibonacci sayılarını net olarak görebiliyoruz. Se-kiz adet spiral saat yönünde dönerken, 13 adet spiral tersi yönde döner. Ayçiçeğinde ise saat yönünde 21 spiral görülürken, 34 spiral tersi yönde şekil almıştır. Çam kozalağındaki 8 ile 13 ve ayçiçeğindeki 21 ile 34 sayıları Fibonacci dizisine aittir. Fibonacci
dizisinde-Genco Berkin 1971’de Niğde’de doğdu. Ortaokulu ve liseyi Kadıköy Anadolu Lisesi’nde bitirdikten sonra 1990’da Lefke Avrupa Üniversitesi’nde mimarlık eğitimine başladı. Aynı üniversitede araştırma görevlisi olarak çalıştı ve 1998’de Doğu Akdeniz Üniversitesi’nde yüksek lisansını tamamladı. 2006’da Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Mimarlık Fakültesi’nde doktorasını verdi. Halen, Haliç Üniversitesi’nde öğretim üyesi olarak çalışmaktadır.
>>> Genco Berkin
ki ardışık iki sayıdan büyük olanı küçüğe bölersek sonuç bize altın oranı verecektir.
İnsan yüzünde altın oranın ifadesi da-ha belirgindir. Romalı mimar ve sanatçı Marcus Pollio Vitruvius, Mimarlık Üzerine
On Kitap adlı yapıtında, tapınakların insan
oranlarıyla tasarlanması gerektiğini söy-ler. Vitruvius’un yapıtının önemli bir bö-lümünde, mimarlık düşüncesini tanımla-yan bileşenlerin başında geometrik oran-lar yer alır. Vitruvius’un bu oranoran-lar düze-nindeki paradigması ise insan vücudu-nun oranlarıdır. Bu insanbiçimci (antro-pomorfik) oranlar düzeni, mimari çizi-min taşıyıcısı olan geometrinin, mimar-lığın kendi gerçeğinin dışında oluşturdu-ğu bir mecaz örgüsü olarak ortaya çıkar ve Le Corbusier’nin (Charles-Edouard Jean-neret) Modulor’una (insan uzuvlarından esinlenen oranlama sistematiği) dek uza-nan bir çizgide belirleyicilik kazanır.
Altın Kesim
Altın oranı oluşturmanın birçok yo-lu var. Bunlar geometrik ve aritme-tik yollar olarak ifade edilebilir. Euklei-des, Stoikheia’da (bir tür akademi) hem bir düz çizginin altın kesiminin nasıl be-lirleneceğini ortaya koymuş hem de al-tın oranla ilgili başka bir probleme eğil-mişti: Öyle bir dikdörtgen bulunmalıydı ki, bundan bir kare çıkarıldığında geriye, ufak dikdörtgenin uzun kenar-kısa kenar oranı kendisininkiyle aynı oranda olma-lıydı. Düz bir çizginin altın kesimi aşağı-daki yol takip edildiğinde kolaylıkla oluş-turulabilir.
Bir AB çizgisi alalım ve bunu C nok-tasından iki bölüme ayıralım. C noktası-nın AB çizgisini AB:AC=AC:CB orantı-sını verecek şekilde bölmesi halinde C’ye AB’nin “altın bölümü,” bu orantıyı oluştu-ran AB/AC ve AC/CB ooluştu-ranına veya değe-rine de altın oran deriz.
C noktasından bölünmüş olan AB çiz-gisi üzerinde, AC= x ve CB= 1 olsun. Böy-lece, söz konusu AB/AC = AC/CB orantı-sı şu şekilde yazılabilir:
x +1 x --- = --- x 1
Bu da bize ikinci dereceden bir denk-lem verir:
x + 1 = x2 x2 – x – 1 = 0
Altın oranın sayısal değerini ortaya çı-karmak için bu denklemin köklerini bul-mamız yeterli olacaktır. ax2 + bx + c = 0 eşitliğiyle ifade edilen ikinci dereceden denklemlerde, denklem köklerini veren formülü anımsayalım: - b±√b2-4ac x 1, 2 = --- 2a 1+√1+4 1+√5 x 1= --- = --- 2 2 = 1,61803.
Bulduğumuz bu sayı güzelliğin rakam-sal olarak ifadesinden başka bir şey değildir. Bir çizginin altın bölümünü geomet-rik bir işlemle de kolayca belirleyebiliriz. ABCD karesini çizelim. Daha sonra kare-nin tam ortasından geçen çizgiden köşe-genine bir çizgi çekelim. Köşegenden aşağı bir yay indiğimizde altın oranı veren dik-dörtgeni oluşturabiliriz.
Altın oranı ifade eden 1,61803 sayısı-nı kullanarak ilk çalışmaları yapan Yunan heykeltıraş Phidias’tır. Φ sembolü onun is-minden dolayı bu sayıyı temsil etmekte-dir. Phidias’ı diğer tasarımcılar izlemiştir. Vitruvius, Leonardo da Vinci ve Albrecht Dürer’in insan vücudunu bir dairenin içine yerleştirdiklerini ve göbeği altın dikdörtge-nin kesim çizgisi hizasında konumlandır-dıklarını görürüz. Yunan ve Roma mimari-sinde çoğunlukla bu oranların kullanıldığı-nı biliyoruz. Vitruvius tıpkı insan vücudun-da başın ya vücudun-da ayağın bir birim (modül) oluşturması gibi binalarda da bir bütünle uyum içinde olan bir birimin (modülün) oluşturulması gerekliliğini savunuyordu.
Altın kesim yalnız sanatta değil, do-ğal bütünlüklerde de aranmıştır. Zaman zaman dini bir saygı dahi görmüştür. Sa-natta ideal biçimlere ulaşabilmek amacıy-la bu orantı sıklıkamacıy-la kulamacıy-lanılmıştır. Oran-da iki birim arasınOran-daki işlem bölüm ola-rak söz konusu iken, orantıda iki par-ça arasındaki karşılıklı ilişki söz konusu-dur. Orantıda iç ile dış mekânın, biçim ile mekânın, biçimler ile işlevlerinin bir ileti-şim platformu oluşturduğu görülür.
Doğada düz çizgi bulamazsınız. Tüm canlıların konturları bir yarıçapa sahiptir. Buna örnek olarak verilebilecek en gü-zel canlı oluşum sarmal formundaki ka-buklulardır. Sarmallar doğada yaygın bi-çimde bulunurlar ve doğanın kullandı-ğı gizemli formlar arasında yer alırlar. Bu formları sanatçılar desenlerinde tekrarla-mış, mimarlarsa bir bezeme elemanı ola-rak kullanmıştır. Klasik sütun düzenle-rinden İyon düzenine ait volüt, doğada bulunan bir çeşit deniz kabuğundan esin-lenerek tasarlanmıştır. Tibia adındaki de-niz kabuğu bunların en çok bilinenidir.
Düzgün sarmalların bir çizim anah-tarına gereksinimi vardır. Sarmallar iki nokta, bir üçgen, bir kare, bir beşgen ya da bir altıgen ile merkezden kurulabilir. Noktaların sayısı ne kadar artarsa, sar-mal da o denli kusursuz olur. Anahtar şe-ma ne denli büyük olursa, sarşe-mal kollar da o denli geniş olurlar. Bir altın oran sar-malı elde etmek için bir altın oran
dik-Bilim ve Teknik Aralık 2009
>>>
Güzelliğin Sayısı: 1,61803
dörtgeniyle işe koyulmak gerekmektedir. Bir altın üçgenden de logaritmik bir sar-mal yaratılabilir. Tepe açısı 36°, taban açı-sı 72° olan ikizkenar üçgenlere altın üç-gen denir. Altın üçüç-gen içine çizilen ve gi-derek küçülen altın üçgenlerin köşelerin-den eşit açılı sarmallar geçmektedir. Al-tın üçgenleri ardışık noktalarla alAl-tın üç-genlere bölersek elde edilen üçgenlerin köşe noktalarından geçen logaritmik sar-mal (eşit açılı sarsar-mal) elde edilir. Doğa-daki sarmallar büyüme çarpanının değiş-mesiyle formlarında farklılaşma gösterir. Haliotis parva adındaki altın sarmallı ka-buğun büyüme çarpanı k=Φ4’tür.
Logaritmik sarmal (spiral) 72°-36°-72° açılarında bir ikizkenar üçgen olan altın üçgeni oluşturmakta kullanılabilir. Böyle bir üçgende AB/BC=BC/CD=CD/ DE=DE/EF=Φ’dir.
Bu tip sarmalların müzik aletlerinde de sıklıkla kullanıldığını görüyoruz.
Kanon
Mimarideki ritimlerin ve oranların gü-zelliğini algılamamızı sağlayan duyuları-mızla almaya çalıştığımız hazdır. Yunan mimarlığı estetiğin doruk noktasına ulaştı-ğı bir bilim alanı olarak kabul edilir; bunun estetiğini anlamak için gerekli temel kav-ramlar şunlardır: Kanon, ölçü, düzen, si-metri ve tartım. Kanon, norm düzeyi veya norm topluluğu anlamına da gelir. Gelişmiş medeniyetlerde mükemmelliğe, kendi
için-de ölçülü ve armonik olana, iiçin-deale özlem duyulduğu için kullanımı yaygınlaşmıştır. Kanun sözcüğünden türeyen kanon estetik adına hüküm vermenin ölçütüdür.
Kanon, Antik Yunanlar için metron’un eşanlamlısıdır ve ölçü birliği anlamına da gelir. Bu birlik, baştan itibaren, deneysel bi-çimde tasarlayıcı-yapıcı sistemin temelinde yer almıştır; ayak veya kol boyuyla, ardından sayısal bi-çimlerde temsil edilmiştir.
MÖ beşinci yüzyıldan itibaren heykel yapımında kanonun önemli bir yeri oldu. Heykeltıraşlar sabit orantı kurallarına sadık kalıyorlardı ve böylece, mermer bloğun ke-silmesi sırasında doğacak hatalardan ken-dilerini korumuş, aynı zamanda oranların doğruluğundan, parçaların yerlerine tam olarak oturacağından emin oluyorlardı. Ta-sarımda bütünü anlamak için her bir parça-nın algılanması, şifresinin çözülmesi gerek-mektedir. Kanonlar mimaride, sanatta ve müzikte düzenli bir ölçü ve aralıklama sis-temi oluşturulmasını sağlamıştır.
Fibonacci Serisi
Üreyen bir altın dikdörtgenler düzeni-nin karelerini ele alırsak, ardışık karelerin kenar uzunlukları, yaklaşık olarak bir Fibo-nacci dizisi oluşturur. Buradan çıkarabilece-ğimiz iki sonuç vardır: Fibonacci dizisinin geometrik esasını kare oluştururken, Altın Dizi’ninkini altın dikdörtgen oluşturur.
Ardışık Fibonacci sayıları birbirlerine bölündüğünde Φ değerlerine yaklaşan so-nuçlar çıkar. Sayılar büyüdükçe bu değeri tam olarak yakalar. Ayrıca, Fibonacci dizi-sine göre aritmetik olarak büyüyen kareler-den yola çıkarak yaklaşık bir altın dikdört-genler düzeni kurabilir ve bundan da bir yapay logaritmik sarmal üretebiliriz. Ger-çek bir geometrik ardışıklık halinde büyü-yen logaritmik sarmala kıyasla, Fibonacci artışına bağlı olarak yapay bir sarmal ola-caktır bu. Doğada da rastlanan bu tür Fibo-nacci sarmalını, sektör büyüme oranı s= Φ değerini veren logaritmik sarmalın kavuş-mazı (bir eğriye yaklaşarak giden, ancak onunla sonlu bir uzaklık içinde kesişeme-yen doğru) olarak sınıflandırabiliriz.
Fibonacci dizisinin günümüzün
uygula-malı biliminde önemli bir yeri vardır. Pas-cal üçgeninden de üretilebilen Fibonacci sayıları, çeşitli olasılık hesaplarında, gene-tik bilimiyle ilgili olarak Mendelcilik kura-mının yorumunda ve özellikle de elektro-nik bilgi-işlem alanında kullanılmaktadır. Bilgisayar Programcılığında problem
çöz-mek için bilgisayara komut dizi-leri verilir. Bu dizidizi-lerin çoğu frak-tallar gibi akış diyagramında doğ-rusal bir karar ağacını izler. Bunun bir adım ötesinde yer alan özyinelemeli al-goritma oldukça sibernetik bir şekilde ken-dini tekrar tekrar çalıştıran, aradığı şartlara ulaşana dek durmayan bir yöntemdir. Öz-yinelemeli algoritmalar da Fibonacci dizi-si kullanarak, organik olsun olmasın tüm canlıların 3 boyutlu şekilde molekül kafes-lerini çizebilen bir yazılım sistematiğidir.
Geniş kullanım alanı ve çok basit bir ya-pısı olan Pascal üçgeninin kökeni en az bin yıl öncesine kadar gider. Olasılık hesapla-rında ve kombinasyon problemlerinde ilk kez Louis Pascal kullandığı için (on yedin-ci yüzyıl) onun adıyla anılır. Pascal üçge-nin bizi ilgilendiren yanı, Fibonacci dizisini içermesidir. Pascal üçgenindeki sayıları ya-tay ve dikey değil de köşegenel yönde ilişki-lendirirsek sayıların toplamı Fibonacci di-zisini verir.
Pek çok ağaç türünde yapılan inceleme-ler, ağaç gövdesinin yükselirken, belli bir yükseklikte iki dala ayrıldığını, biraz da-ha yüksekteyse bu dallardan sadece birinin tekrar dallara ayrıldığını ortaya çıkarmıştır. Bu aşamada sadece üç dal bulunur. Daha yüksekte, bu üç dalın ikisi aynı anda tekrar dallanır. Bu noktada, bütün dalların topla-mı beştir. Dalların bir sonraki oluşumunda, dal sayısı büyük olasılıkla sekiz olacaktır. 80
Bilim ve Teknik Aralık 2009
<<<
MÖ birinci yüzyılda yaşamış Romalı sa-natçı ve mimar Marcus Pollio Vitruvius’un insan vücudunun oranlarından esinlene-rek geliştirdiği mimarlık kuramı birçok sa-natçının bu alanda araştırmalar yapması-na yol açmıştır. Bir kişinin boyunun göbek yüksekliğine oranının ve ellerimizdeki çe-şitli kemiklerin oranlarının altın orana eşit olduğunun, eski çağlardan bu yana sanat-çılarca kullanıldığını biliyoruz. Robert Ric-ketts yaptığı çalışmalarla “altın bölen” adını verdiği patentli bir altın oran aracı üretmiş-tir. İnsan yüzlerinde yaptığı araştırmalar ve ölçümlerde, Fibonacci dizisinin dokuzun-cu, onundokuzun-cu, onbirinci ve on ikinci terimle-rini görmüştür (21, 34, 55, 89).
Modern mimarinin öncülerinden Le Corbusier, kurguladığı oranlama düzeni-ni Fibonacci dizisidüzeni-ni andıran bir sistemle, 183 cm’lik bir insan üzerine kurar. Le Cor-busier oranlama sistemini ikiye ayırır:
Birinci seride, 2, 4, 11 , 31, 51, 82,... İkinci seride, 27, 43, 70, 113, 183 33, 53, 86, 140, 226
2, 7, 9, 16, 25, 41, 66... sayıları yer al-maktadır. İnsan vücudunun modüler öl-çülerinden çıkan bu sayıların yardımıyla mimar, kullanıcılar için çömelme, otur-ma, yaslanma ya da dayanma yükseklik-lerini rahatlıkla bulabilir.
Sanat ve Estetik
Tıpkı altın dikdörtgen gibi, altın üç-genin de sanatta önemli bir yeri var-dır. Öncelikle, 36°’lik tepe açısı, beş kö-şeli yıldızın (pentagramın) tepe açısı-nı oluşturur, böylelikle noktalar birleş-tiğinde ortaya bir beşgen çıkar. Bu, Es-ki Yunan’da Pythagorasçılarda sihirli beş köşeli yıldız olarak tinsel bir anlam ka-zanmıştır.
Altın dikdörtgen, bir sanat eseri gi-bi görülür ve çeşitli şekillerde bölünegi-bi- bölünebi-lir. Bu geometrik şekillerden her biri sa-natçılar tarafından, grafik kompozisyon-larda düzenleyici yapılar olarak kullanıl-mıştır.
Kaliforniya Üniversitesi Tıp Merke-zinden emekli olan ağız ve çene cerrahı
Stephen Marquardt, insan estetiğindeki oranlar ve simetrilerle ilgili çok önemli araştırmalar yapmıştır. Çalışmaları, altın oranı merkeze alan bir dizi güzellik
mas-kesinin yapımıyla doruğa ulaşır. Kendi adıyla anılan altın oran maskesini, has-tasının fotoğrafı üzerine gelecek şekilde yerleştirerek, kişinin fiziksel görünümü-ne, gözlerin birbirlerinden uzaklığı, alın ve burnun uzunlukları gibi değişkenle-rin etkin rol oynadığı, matematiksel bir test uygular. Bu maskede, burun delik-leri üzerine gelen 72°-36°-72°’lik açıla-ra sahip altın üçgenin, kişi gülümsedi-ğinde, ağız ve çene etrafında oluşan bir beşgene dönüştüğü görülür. Çalışmasın-da ele aldığı örnekler bize aslınÇalışmasın-da güzel-liğin bir ölçüsü olduğunu ve matema-tiksel olarak ifade edilebileceğini ortaya koymaktadır.
Kaynaklar
Elam, K. Geometry of Design, Princeton Architectural Press, 2001.
Atalay, B. Matematik ve Mona Lisa, Albatros, 2006. Bergil, S. Doğada Sanatta Bilimde Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat Yayınları, 1993.
Vitrivius, M. Mimarlık Üzerine On Kitap, Şevki Vanlı Yayınları, 1998.
Le Corbusier, Modulor, Birkhauser, 2000.
